Материальная точка

Материальная точка. Система отсчета.
Механическим движением тела называется изменение с течением времени его
положения относительно других тел.
Практически все физические явления сопровождаются движением тел. В физике есть
специальный раздел, который изучает движение, – это механика.
Слово «механика» произошло от греческого «механэ» - машина, приспособление.
При действии разных машин и механизмов происходит движение их частей: рычагов,
канатов, колес,... К механике так же относят нахождение условий, при которых тело
находится в покое, - условий равновесия тел. Эти вопросы играют огромную роль в
строительном деле. Двигаться могут не только материальные тела, но и солнечный
зайчик, тень, световые сигналы, радиосигналы.
Для изучения движения необходимо уметь описывать движение. Нам не интересно
как возникло это движение, нас интересует сам процесс. Раздел механики, который
изучает движение без исследования причины, его вызывающего, называется
кинематикой.
Движение каждого тела можно рассматривать по отношению к разным телам и
относительно их данное тело будет совершать различные движения: чемодан, лежащий в
вагоне на полке идущего поезда, относительно вагона – покоится, а относительно Земли –
движется. Воздушный шар, уносимый ветром – относительно Земли – движется, а
относительно воздуха - покоится. Самолет, летящий в эскадрильи, относительно других
самолетов строя покоится, а относительно Земли движется с большой скоростью.
Поэтому всякое движение, а так же и покой тела – относительны.
Отвечая на вопрос, движется или покоится тело, мы должны указать относительно чего
рассматриваем движение.
Тело, относительно которого рассматривается данное движение, называется телом
отсчета.
С телом отсчета связывают систему координат и прибор для измерения времени. Вся эта
совокупность образует систему отсчета.
Что значит описать движение? Это значит, что нужно определить:
1.траекторию, 2. скорость, 3. путь, 4. положение тела.
Очень просто дело обстоит с точкой. Из курса математики известно, что положение точки
можно задать с помощью координат. А если мы имеем тело, которое имеет размер? У него
каждая точка будет иметь свои координаты. Во многих случаях при рассмотрении
движения тела, тело можно принимать за материальную точку, или точку, обладающую
массой этого тела. А для точки можно единственным образом определить координаты.
Итак, материальная точка – это абстрактное понятие, которое вводится для упрощения
решения задач.
Условие, при котором тело можно принять за материальную точку:
Тело можно считать материальной точкой, если его размеры не сопоставимо
меньше по сравнению с пройденным путем.
Пример: материальной точкой можно считать планеты, которые вращаются вокруг
Солнца, самолет летит из Москвы во Владивосток, но при изучении сил сопротивления
воздуха – нельзя.
Часто можно тело принимать за материальную точку и при условии, что его размеры
сопоставимы с пройденным путем, когда в любой момент времени все точки движутся
одинаково. Этот вид движения называется поступательным.
Признаком поступательного движения является условие, что прямая, мысленно
проведенная через любые две точки тела, остается параллельной самой себе.
Пример: человек движется на эскалаторе, игла в швейной машине, поршень в двигателе
внутреннего сгорания, кузов машины при езде по прямой дороге.
Разные движения различаются между собой по виду траектории.

a
a
Если траектория прямая линия – то движение прямолинейное, если траектория –
кривая линия, то движение криволинейное.
Перемещение.
Путь и перемещение: в чем разница?
Путь
Перемещение
Путь – сумм длин всех участков
Перемещение – это вектор (или
траектории, пройденных телом за
направленный отрезок), соединяющий
некоторый промежуток времени.
начальное положение с его последующим
Путь – скалярная величина.
положением.
Обозначается – S, и измеряется в метрах,
Перемещение – векторная величина, а
(км, см, мм).
значит характеризуется двумя величинами:
Если знать начальное положение тела и
числовым значением или модулем и
путь, то невозможно определить где
направлением.
находится тело.
Обозначается – S, и измеряется в метрах,
(км, см, мм).
B
C
Если знать вектор перемещения, то можно
однозначно определить положение тела.
B
C
A
D
A
S = AB + BC + CD
D
S = AD
Вектора и действия с векторами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА
Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало (наз.
также точкой приложения вектора) и конец.
МОДУЛЬ ВЕКТОРА
Длина направленного отрезка, изображающего вектор, называется длиной, или модулем,


вектора. Длина вектора a обозначается a .
НУЛЬ-ВЕКТОР

Нуль-вектор ( 0 ) - вектор, начало и конец которого совпадают; его модуль равен 0, а
направление неопределенное.
КООРДИНАТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Пусть на плоскости задана декартова система координат XOY.
Тогда вектор может быть задан двумя числами:
a x  xк  xн и a y  y к  y н
Эти числа a x и a y в геометрии называют координатами вектора, а в физике – проекциями
вектора на соответствующие оси координат.
Чтобы найти проекцию вектора надо: из начала и конца вектора опустить
перпендикуляры на оси координат.
Тогда проекцией будет длина отрезка, заключенного между перпендикулярами.
Проекция может принимать как положительное, так и отрицательное значение.
Если проекция получилась со знаком «-«, то вектор направлен в противоположную сторону
оси, на которую его спроектировали.

При таком определении вектора его модуль a 
a x2  a y2 , а направление задается углом ,
который однозначно определяется соотношениями:
ay
a
sin    и cos   x
a
a
КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ
Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на
параллельных прямых.
РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и
одинаково направлены.
СУММА ВЕКТОРОВ

 



Суммой a  b векторов a и b называют вектор c , идущий из начала вектора a в



конец вектора b при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора a .
Происхождение этого правила связано с правилом параллелограмма сложения
векторов, источником которого является экспериментальный факт сложения сил
(векторных величин) по этому правилу.
Правило треугольника
Правило параллелограмма
Координаты равных векторов удовлетворяют соотношениям:
a x  bx и a y  b y
Координаты вектора суммы двух векторов удовлетворяют соотношениям:
c x  a x  bx и c y  a y  b y
Построение суммы нескольких векторов ясно из рисунка.
ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ВЕКТОРЫ



Вектор 1 a называется противоположным вектору a и обозначается  a .
Определение координаты движущегося тела.
Пусть тело совершило некоторое перемещение. Для определения его координат мы
должны использовать не вектор перемещения, а проекцию вектора перемещения на
числовые оси. (т.к проекция это число, а мы можем работать с числами).
Задача:
Два катера движутся противоположно друг другу и встречаются на расстоянии 100 км от
пристани. Затем они продолжают перемещаться и за время t первый катер переместился
на 60 км на восток, а второй катер – на 50 км на запад.
Определить координаты каждого катера относительно пристани и расстояние между
катерами через время t после встречи.
Решение:
1. Вводим систему координат:
Тело отсчета – пристань совместим с нулевой координатой, а ось ОХ направим
параллельно прямой вдоль которой движутся катера.

S2

S1
S1x
S2x
О (П)
X2
100
X1
2. Найдем проекцию векторов перемещения S1 и S2 на ОХ.
X
Т.к вектор S1 сонаправлен с ОХ, то проекция S1, то проекция будет положительной,
сл-но S1x = 60 (км), а т.к вектор S2 направлен в противоположную сторону оси ОХ, то
проекция будет иметь отрицательное значение S2x = - 50 (км).
3. Запишем чему равны проекции векторов перемещения S1 и S2.
S1x = X1 – 100 , отсюда X1 = S1x + 100
S2x = X2 – 100 , отсюда X2 = S2x + 100
Вычисляем: Х1 = 60 +100 = 160,
Х2 = - 50 + 100 = 50.
3. Расстояние между катерами будет равно 160 – 50 = 110 км.
Ответ: Х1 = 160, Х2 = 50, S = 110 км.
Определение вектора перемещения при прямолинейном равномерном движении.
Движение называется равномерным и прямолинейным, если за любые равные
промежутки времени тело проходит одинаковые пути, причем траекторией
движения является прямая.
Пример: поезд на длинном ровном перегоне, когда удары колес о стыки рельсов
слышны через равные промежутки времени, конькобежец или бегун на середине
дистанции, падение капель дождя, всплывание пузырьков газа в стакане с
газированной водой, падение парашютиста с раскрытым парашютом.
Основной количественной характеристикой движения является скорость.
Скоростью равномерного движения называют векторную величину, равную
отношению вектора перемещения тела, к промежутку времени, за который это
перемещение было пройдено.
V = S/t
Из формулы видно, что при равномерном движении перемещение возрастает
пропорционально времени, т.е S= V *t.
Для расчета перемещения используют формулу с проекциями векторов:
Sx = Vx * t
По знаку проекции можно судить о направлении соответствующего вектора
относительно выбранной оси.
Скорость прямолинейного движения.
Пусть в момент времени t1, считая от начального момента, тело находилось в точке с
координатой х1, а в момент времени t2 – в точке с координатой х2.
Тогда имеем, что t2 – t1 = t –время, в течении которого двигалось тело, х2 – х1 = Sx –
пройденному пути (перемещению).
Тогда проекция вектора скорости V=(x2-x1) / (t2-t1).
Разность (х2 – х1) может быть как положительной, так и отрицательной, т.е видно, что
если движение происходит в направлении оси ох, то значение проекции V будет
положительным, а если движение происходит в противоположном направлении оси
ОХ, то величина V будет отрицательной.
График зависимости пути от времени
Т.к S = Vt, тогда графиком зависимости пути от времени будет некоторая прямая.
Построим график зависимости S от t. Пусть тело движется со скоростью 2 м/с, тогда
графиком будет график функции S = 2t.
Пусть ось абсцисс – ось времени, а ось ординат – ось пути.
3 м/с
S
6
2 м/с
4
3
2
1
0
1
2
3
t
Ясно, что чем больше скорость, тем круче прямая, т.е угол, который график составляет
с осью времени будет больше.
Например: тело движется со скоростью 3 м/с, тогда графиком будет прямая,
удовлетворяющая уравнению S = 3t.
График строится по двум точкам, аналогично графику построения прямой.
t
1
2
S
3
6
Если по оси ординат вместо пути откладывать координату х, то это позволяет различать
направления движения по отношению к оси
Х (м)
- 3 м/с
- 0,6 м/с
- 0,6 м/с
t
ох.
Здесь представлены графики движений с «отрицательными» скоростями, т.е знак
показывает, что направление противоположно оси ОХ. Для таких движений координата
точки х уменьшается.
График зависимости скорости от времени.
Т.к мы рассматриваем равномерное движение, т.е скорость тела величина постоянная, то
графиком будет прямая параллельная оси абсцисс - времени.
И чем выше скорость, тем выше прямая.
Отрицательная скорость изобразится графиком ниже оси абсцисс.
Нулевая скорость изобразится участком оси времени (точкой покоя).
Рассмотрим график:
V (м/с)
А
К
D
E
С
-4 В
L
t
1
M
N
Рассмотрим движение, скорость которого изображена прямой АВ. Тогда площадь
прямоугольника АВСD равна произведению отрезка на оси времени t = 4,5 с на отрезок по
оси ординат – скорости V = 4 м/с. Т.е путь равен скорость умножить на время, т.е S = 4,5 *
4 = 18 (м), тогда можно говорить, что путь, пройденный за какой-либо промежуток
времени численно равен площади прямоугольника, ограниченного осью времени,
графиком скорости и двумя вертикальными отрезками, проведенными из точек,
соответствующих началу и концу рассматриваемого промежутка времени.
Причем видно, что на участке КЕ тело двигается со скоростью 2 м/с в течении 1,5 секунд,
затем на участке АД тело двигалось в течении 4,5 секунд со скоростью 4 м/с, следующий
участок СL тело не двигалось в течении 2 секунд, т.е скорость тела равнялась нулю, затем
тело двигалось в противоположную сторону оси выбранного направления со скоростью
2,5 м/с.
Теоретические задания.
1.Что такое механическое движение?
2. Что такое система отсчета?
3. Что такое материальная точка и при каком условии тело можно принимать за
материальную точку?
4. Путь и перемещение.
5. Виды движений. Что такое прямолинейное движение?
6. Определение равномерного прямолинейного движения?
7. Скорость равномерного прямолинейного движения.
8. Определение координаты движущегося тела.
9. Определение вектора перемещения при прямолинейном движении.
10. Графики зависимости S от t, V от t, Х от t.
Практические задания.
1. Какой длины надо взять бикфордов шнур, чтобы успеть отбежать после того, как
он зажжен на расстояние 150 м? Скорость бега 5 м/с, а пламя проходит 1 м за 2
мин.
2. Мальчик ростом 1,5 м бежит со скоростью 3м/с по прямой, проходящей под
фонарем, висящем на высоте 3 м. Покажите, что тень его головы движется
равномерно, и найдите скорость этого движения.
3. Точка, двигаясь равномерно вдоль оси ОХ, имела координаты х1 = -3,5 м и х2 = 2,5
м в моменты времени t1 = -2c b t2 = 6 c соответственно. Найдите графически, в
какой момент времени точка проходила через начало координат и какова была
координата в начальный момент времени. Найдите проекцию скорости на ось Ох.
4. Найдите при помощи графика пути, где и когда встретятся автомобили, вышедшие
навстречу друг другу со скоростями 40 км/ч и 60 км/ч из пунктов А и В, лежащих
на расстоянии 100 км друг от друга.
5. Мяч падает с высоты 2м, и, отскочив от земли, поднимается на высоту 1,5 м. Чему
равен путь и модуль перемещения мяча?
6. Точка движется по окружности радиуса R. Чему равны путь и модуль перемещения
через пол-оборота?
7. Какую систему координат надо выбрать для определения положения тел:
А) трактор в поле,
Б) вертолет,
С) поезд,
Д) шахматная фигура,
Е) люстра в комнате,
F) лифт,
G) подводная лодка,
Y) самолет на взлетной полосе.
8. Путь или перемещение мы оплачиваем в поездке в такси?
9. Катер прошел по озеру в направлении на северо-восток 2 км, а затем в северном
направлении еще 1 км. Найти геометрическим построение перемещение и его модуль.