Методы оптимальных решений - Мурманский государственный
advertisement
1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО
РЫБОЛОВСТВУ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"
Составитель – Яретенко Николай Иванович, доцент
кафедры информационных систем и прикладной
математики Мурманского государственного
технического университета;
Кафедра информационных
систем и прикладной математики
Методические указания рассмотрены и одобрены
кафедрой информационных систем и прикладной
математики от 16 сентября 2014 г., протокол № 1
Методы оптимальных решений
Методические указания к выполнению
контрольной работы
для студентов заочной формы обучения по
направлению 080100.62 «Экономика»
Рецензент Неделько Наталья Станиславовна, старший
преподаватель кафедры информационных систем и
прикладной математики Мурманского
государственного технического университета
Электронное издание подготовлено в авторской
редакции
Мурманский государственный технический
университет
183010, Мурманск, ул. Спортивная д. 13 тел. (8152)
25-40-72
Уч.-изд. л. _____Заказ __1656______
Мурманский государственный
технический университет, 2014
Мурманск
2014
2
ФЕДЕРААЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра ИС иПМ
МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Методические указания к выполнению
контрольной работы
для студентов заочной (заочно – ускоренной) формы обучения
по направлению подготовки бакалавра 080100.62 “Экономика”.
Мурманск
2012г.
3
Составитель - Яретенко Н.И., доцент каф. ИС и ПМ МГТУ.
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой
13.09.2012г. протокол № 1
Рецензент – Е.Н. Авдеева, доцент кафедры ИС и ПМ МГТУ;
4
Введение
Методические указания предназначены для студентов специальности 080100.62 “Экономика” заочной и
заочно – ускоренной формы обучения, изучающих курс “Методы оптимальных решений” и включают
материал по следующим темам:
. Принятие решений методом экспертных оценок.
. Игровые методы принятия оптимальных решений.
. Линейное программирование. Двойственность в задачах линейного программирования.
. Метод транспортной задачи.
. Динамическое программирование.
. Целочисленное и дискретное программирование.
Первое задание включает задачи расчета варианта стратегического развития фирмы методом
экспертных оценок и математических методов их анализа.
Во втором задании представлены игровые
решения в условиях риска и неопределенности.
модели, связанные
с принятием
оптимального
Третье задание включает задачи расчета плана производства при условии ограниченных
ресурсов. Большое внимание уделено проблеме двойственности в задачах линейного
программирования.
Четвертое задание связано с выработкой решения по поставкам продукции, транспортная задача
с учетом стоимости производства и задача, которая может быть приведена к форме транспортной
задачи.
В пятом задании нужно решить задачи динамического программирования.
В шестом задании требуется решить целочисленную задачу методом “Ветвей и границ” и
“Задачу коммивояжера”.
Задачи можно решать, как ручным способом, так и на компьютере с использование пакета Excel.
Во всех задачах обязательным является построение математических моделей, приведение
расчетов и подробный анализ результата решения.
Номер варианта задачи следует выбирать согласно своему номеру зачетной книжки:
- задачи: 1.1, 2.1, 2.2, 2.3, 3.1, 3.2 выбираются по предпоследнему номеру зачетной книжки;
- задачи: 4.1, 4.2, 5.1, 5.2, 6.1, 6.2 выбираются по последнему номеру зачетной книжки.
По каждой теме в методических указаниях дается пример решения типовой задачи, где подробно
описывается последовательность шагов по ее выполнению. Это поможет студентам-заочникам
разобраться в математических основах решения задач для принятия управленческого решения, решить
конкретные задачи контрольной работы.
.
5
ЗАДАНИЕ 1. Тема: «Принятие решений методом экспертных оценок»
Задача 1.1
Руководству фирмы представлено 8 проектов ее стратегического развития:
Д,Л,М,Б,Г,С,Т,К (они обозначены по фамилии авторов проекта).
Руководство поручило Правлению фирмы создать экспертную комиссию из 12 экспертов и выдать
каждому представленные проекты для их рассмотрения.
Каждый эксперт присвоил каждому проекту ранг в соответствии с его приоритетом, причем ранг 1
присваивался самому лучшему, ранг 2-второму по привлекательности и т.д.
Ранги 8 проектов по степени привлекательности приведены в обобщенной таблице 1.
Аналитическому подразделению Рабочей группы поручено провести математические расчеты методом
средних арифметических и методом медиан рангов и анализ результатов работы экспертов (таблицу 1.
1) и представить предложение по наилучшему проекту и ранги остальных.
Требуется представить предложение для принятия решения по стратегическому развитию фирмы.
таблица 1.1
вариант 1
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
7
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
6
вариант 2
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
5
5
4
8
7.5
6
1
3
4.5
7
1
Л
4
3
7
5
2
6
1
4
1
3
1
6
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2,5
3
8
2
3
5
Б
1
4
4
2,5
6
3
2,5
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
7
С
8
2
2
1
5
1
4
5
4
4.5
4
4
Т
7
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
6
7
8
6
1
5
7
8
6
7
8
8
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
7
8
4.5
7
1
Л
4
4
6,5
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2
1
6,5
2
3.5
4
2
3
3
2
2,5
5
Б
1
3
4
3
6
3
3
2
2
1
2,5
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
1
5
8
6
8
С
7,5
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7,5
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
Л
4
4
7
5
2
6
1
5
1
3
1,5
М
2
1
3
2,5
3.5
4
2
3
3
2
3
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
1,5
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
Т
6
6
6
7
7
7.5
8
6
7
6
5
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
вариант 3
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
вариант 4
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7
12
1
6
5
3,5
8
3,5
2
7
Д
5
5
8
4,5
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
7
4,5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
1,5
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
1,5
3
5
Б
1,5
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1,5
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
Д
7
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
6,5
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2
1
6,5
2
3.5
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
3
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
5
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
вариант 5
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
вариант 6
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8
вариант 7
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
3,5
4
7
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2
2
3
2
3
8
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
3
2
1
2
3
Г
3,5
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
5
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6,5
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
6,5
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
7
5
2
6
1
5
1
3
1
8
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
8
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
8
5
8
6
4
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
6
Т
6
6
3
7
7
7.5
3
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
7
6
7
8
7
вариант 8
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9
вариант 9
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
3,5
4
7
5
2
6
1
4,5
1
3
1
6
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
3,5
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4,5
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
Д
4,5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4,5
4
7
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
2
4
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
7
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
3
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
8
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
вариант 10
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10
вариант 11
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
6
5
7
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
8
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2
1
6
2,5
3
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
4
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
5
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
6,5
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2
1
6,5
2,5
3.5
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
вариант 12
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11
вариант 13
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
1
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
7
5
2
6
3
5
1
3
1
6
М
2
5
6
2,5
3.5
4
2
3
3
2
3
7
Б
1
3
4
2,5
6
3
1
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
5
Д
5
1
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
3,5
4
7
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2
5
6
2,5
3.5
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
3,5
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
вариант 14
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12
вариант 15
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
7
5
2
5,5
1
5
1
3
1
6
М
2
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5,5
7
8
6
7
8
7
Д
5
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
7
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2,5
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
1
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
2
2
3
Г
2,5
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
вариант 16
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
вариант 17
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
5
7
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
8
5
2
1
1
5
1
3
1
6
М
2,5
1
6
2,5
3.5
4
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
2,5
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
6
4
8
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
4
6
7
8
7
Д
5
4
8
4
2
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
5
7
5
8
6
1
5
1
3
1
6
М
8
1
6
2,5
3.5
4
2
2,5
3
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2,5
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
5
8
6
8
С
2
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
вариант 18
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
вариант 19
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
5
8
4
8
4
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
7
5
2
6
1
5
1
3
1
6
М
2
1
6
2,5
3.5
7,5
2
3
3
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
4
5
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
7
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
7
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
Д
7
5
8
4
8
7.5
6
1
8
4.5
7
1
Л
4
4
7
5
2
6
2
5
1
3
1
6
М
2
1
6
2,5
3.5
4
1
3
5
2
3
5
Б
1
3
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г
3
8
1
8
3.5
2
5
7
3
8
6
8
С
8
2
2
1
5
1
4
4
4
4.5
4
4
Т
6
6
3
7
7
7.5
8
6
7
6
5
2
К
5
7
5
6
1
5
7
8
6
7
8
7
вариант 20
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Методические указания
Рассмотрим задачу сравнения восьми проектов. По заданию руководства фирмы анализировались
восемь проектов, предлагаемых для включения в план стратегического развития фирмы. Они
обозначены следующим образом: Д, Л, М-К, Б, Г-Б, Сол, Стеф, К (по фамилиям менеджеров,
предложивших их для рассмотрения). Все проекты были направлены 12 экспертам, включенным в
экспертную комиссию, организованную по решению Правления фирмы. В приведенной ниже табл.1
приведены ранги восьми проектов, присвоенные им каждым из 12 экспертов в соответствии с
представлением экспертов о целесообразности включения проекта в стратегический план фирмы. При
этом эксперт присваивает ранг 1 самому лучшему проекту, который обязательно надо реализовать. Ранг
2 получает от эксперта второй по привлекательности проект, ... , наконец, ранг 8 - наиболее
сомнительный проект, который реализовывать стоит лишь в последнюю очередь.
15
Таблица 1.
Ранги 8 проектов по степени привлекательности для включения в план стратегического развития фирмы
№ эксперта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Д
5
5
1
6
8
5
6
5
6
5
7
1
Л
3
4
7
4
2
6
1
1
1
3
1
6
М-К
1
3
5
2,5
4
4
2
3
3
2
3
5
Б
2
1
4
2,5
6
3
3
2
2
1
2
3
Г-Б
8
8
8
8
3
2
5
7
5
8
6
8
Сол
4
2
2
1
5
1
4
4
4
4
4
4
Стеф
6
6
3
7
1
7
8
6
7
6
5
2
К
7
7
6
5
7
8
7
8
8
7
8
7
Примечание. Эксперт № 4 считает, что проекты М-К и Б равноценны, но уступают лишь одному
проекту - проекту Сол. Поэтому проекты М-К и Б должны были бы стоять на втором и третьем местах и
получить баллы 2 и 3. Поскольку они равноценны, то получают средний балл (2+3)/ 2 = 5/ 2 = 2,5.
Анализируя результаты работы экспертов (т.е. упомянутую таблицу), члены аналитической
подразделения Рабочей группы, анализировавшие ответы экспертов по заданию Правления фирмы,
были вынуждены констатировать, что полного согласия между экспертами нет, а потому данные,
приведенные в таблице, следует подвергнуть более тщательному математическому анализу.
Метод средних арифметических рангов.
Сначала следует подсчитать сумму рангов, присвоенных проектам (см. табл. 1). Затем эту сумму
разделить на число экспертов, в результате рполучим средний арифметический ранг (именно эта
операция дала название методу).
По средним рангам строится итоговая ранжировка (в другой терминологии - упорядочение), исходя из
принципа - чем меньше средний ранг, тем лучше проект. Наименьший средний ранг, равный 2,625, у
проекта Б, - следовательно, в итоговой ранжировке он получает ранг 1. Следующая по величине сумма,
равная 3,125, у проекта М-К, - и он получает итоговый ранг 2. Проекты Л и Сол имеют одинаковые
суммы (равные 3,25), значит, с точки зрения экспертов они равноценны (при рассматриваемом способе
сведения вместе мнений экспертов), а потому они должны бы стоять на 3 и 4 местах и получают
средний балл (3+4) /2 = 3,5. Дальнейшие результаты приведены в табл. 2 ниже.
Итак, ранжировка по суммам рангов (или, что то же самое, по средним арифметическим рангам) имеет
вид:
Б < М-К < {Л, Сол} < Д < Стеф < Г-Б < К . (1)
Здесь запись типа "А<Б" означает, что проект А предшествует проекту Б (т.е. проект А лучше проекта
16
Б). Поскольку проекты Л и Сол получили одинаковую сумму баллов, то по рассматриваемому методу
они эквивалентны, а потому объединены в группу (в фигурных скобках). В терминологии
математической статистики ранжировка (1) имеет одну связь и проект Б – приоритетный.
Метод медиан рангов.
Следует учесть, что ответы экспертов измерены в порядковой шкале, а потому для них недостаточно
проводить усреднение методом средних арифметических. Надо также использовать метод медиан.
Для этого надо взять ответы экспертов, соответствующие каждому из проектов, затем их надо
расположить в порядке неубывания (проще было бы сказать – «в порядке возрастания», но поскольку
некоторые ответы совпадают, то приходится использовать непривычный термин «неубывание») и из
полученной последовательности по каждому проекту найти медиану.
Например, проект Д имеет ранги 5, 5, 1, 6, 8, 5, 6, 5, 6, 5, 7, 1. Получим последовательность: 1, 1, 5, 5, 5,
5, 5, 6, 6, 6, 7, 8. На центральных местах - шестом и седьмом - стоят 5 и 5. Следовательно, медиана равна
5.
Результаты расчетов по методу средних арифметических и методу медиан свести в таблицу 2.
Таблица 2. Результаты расчетов по методу средних арифметических и методу медиан для данных,
приведенных в таблице 1.
Д
Сумма рангов
60
Среднее арифметическое рангов 5
Итоговый ранг по среднему
5
арифметическому
Медианы рангов
5
Итоговый ранг по медианам
5
Л
39
3,25
3,5
М-К
37,5
3,125
2
Б
31.5
2,625
1
Г-Б
76
6,333
7
Сол
39
3,25
3,5
Стеф
64
5,333
6
К
85
7,083
8
3
2,5
3
2,5
2,25
1
7,5
8
4
4
6
6
7
7
Медианы совокупностей из 12 рангов, соответствующих определенным проектам, приведены в
предпоследней строке табл.2. (При этом медианы вычислены по обычным правилам статистики - как
среднее арифметическое центральных членов вариационного ряда.) Итоговое упорядочение комиссии
экспертов по методу медиан приведено в последней строке таблицы.
Ранжировка (т.е. упорядочение - итоговое мнение комиссии экспертов) по медианам имеет вид:
Б < {М-К, Л} < Сол < Д < Стеф < К <Г-Б . (2)
Поскольку проекты Л и М-К имеют одинаковые медианы баллов, то по рассматриваемому методу
ранжирования они эквивалентны, а потому объединены в группу (кластер), т.е. с точки зрения
математической статистики ранжировка (2) имеет одну связь.
Сравнить ранжировки по методу средних арифметических и методу медиан для принятия
решеня о их приоритете:
17
Сравнение ранжировок (1) и (2) показывает их близость (похожесть). Можно принять, что проекты МК, Л, Сол упорядочены как М-К < Л < Сол, но из-за погрешностей экспертных оценок в одном методе
признаны равноценными проекты Л и Сол (ранжировка (1)), а в другом - проекты М-К и Л (ранжировка
(2)). Существенным является только расхождение, касающееся упорядочения проектов К и Г-Б: в
ранжировке (3) Г-Б < К, а в ранжировке (2), наоборот, К < Г-Б. Однако эти проекты - наименее
привлекательные из восьми рассматриваемых, и при выборе наиболее привлекательных проектов для
дальнейшего обсуждения и использования на указанное расхождение можно не обращать внимания.
ЗАДАНИЕ 2. Тема: "Игровые модели в задачах принятия решений. "
АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
Задача 2.1
Из платежной матрицы вариантов решений найти нижнюю и верхнюю цену игры.
Упростить платежную матрицу, решить задачу геометрическим методом.
Найти оптимальную стратегию игрока А и его выигрыш. Данные платежной матрицы представлены в таблице
2.1.
Таблица
2.1
Параметр
а11
а12
а13
а21
а22
а23
а31
а32
а33
1
5
4
7
5
9
9
2
1
5
2
2
2
5
1
0
3
2
4
4
3
7
10
4
2
5
2
3
8
3
4
4
4
9
7
4
5
9
2
9
Номер варианта
5
6
2
4
1
1
4
5
7
3
3
6
4
6
5
4
3
5
3
1
7
2
4
1
4
3
2
5
5
4
8
2
6
4
8
7
5
5
6
2
9
7
6
5
8
1
3
3
6
2
10
4
10
2
9
1
2
7
8
1
ИГРЫ С «ПРИРОДОЙ»
Задача 2.2
Найти оптимальные стратегии 1-го игрока (игрок А) исходя из различных критериев в игре с полной
неопределенностью относительно второго игрока (игрок В- природа). Данные даны в таблице 2.2
Таблица 2.2
Параметр
а11
а12
1
4
2
2
4
2
3
8
2
4
5
7
Номер варианта
5
6
4
7
7
3
7
5
2
8
8
2
9
1
7
10
5
4
18
а13
а21
а22
а23
а31
а32
а33
γ
р1
р2
р3
6
3
6
10
1
5
9
0,9
0,36
0,53
0,11
6
3
7
10
1
5
9
0,2
0,67
0,15
0,18
2
3
7
6
6
6
4
0,7
0,40
0,08
0,52
7
10
4
5
6
6
9
0,6
0,23
0,54
0,23
1
6
4
4
4
2
5
0,8
0,31
0,12
0,57
2
1
6
3
7
9
2
0,1
0,16
0,40
0,44
3
7
6
4
8
1
5
0,5
0,37
0,37
0,26
9
8
8
4
8
2
9
0,6
0,70
0,03
0,28
6
4
7
1
4
5
2
0,7
0,13
0,74
0,13
5
1
6
6
2
7
6
0,9
0,25
0,35
0,40
Задача 2.3
Предприятие имеет возможность самостоятельно планировать объемы выпуска сезонной
продукции А1, А2, А3. Не проданная в течение сезона продукция позже реализуется по сниженной цене.
Данные о себестоимости продукции, отпускных ценах и объемах реализации в зависимости от уровня
спроса приведены в таблице:
Вид продукции
А1
А2
А3
Себестоимость Цена единицы продукции
в течение
сезона
p1
p2
p3
d1
d2
d3
после уценки
Объем
реализации
при уровне
спроса
1
2
3
q1
q2
q3
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
Требуется:
1) придать описанной ситуации игровую схему, указать допустимые стратегии сторон, составить
платежную матрицу игры.
2) дать рекомендации об объемах выпуска продукции по видам, обеспечивающих предприятию
наивысшую прибыль.
(a) При условии, что вероятности известны.
(b) При условии, что вероятности того или иного спроса одинаковы.
(c) При условии, что про вероятности неопределенны.
Указание1. Для уменьшения размерности платежной матрицы считать, что одновременно на все три
вида продукции уровень спроса одинаков: повышенный, средний или пониженный.
Указание2. Использовать критерии Байеса( вероятности равны 0,25, 0,4, 0,35 соответственно), Лапласа,
Вальда, Сэвиджа, Гурвица (значение параметра в критерии Гурвица равно 0,6).
Исходные данные приведены в табл. 2.3.
Таблица 2.3
d1
d2
1
0,4
1,0
2
0,1
0,1
3
0,6
0,7
4
0,9
0,8
5
0,9
1,0
6
1,0
0,5
7
0,0
0,3
8
0,4
0,8
9
0,9
0,4
0
0,1
0,8
19
d3
p1
p2
p3
q1
q2
q3
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
с2
c3
0,8
2,4
2,0
2,9
1,5
1,0
1,3
13
17
13
6
6
9
3
2
2
0,6
2,7
2,1
2,5
1,5
1,6
1,3
16
15
14
10
9
5
2
3
5
0,2
2,7
2,2
3,0
1,6
1,5
1,7
12
17
12
5
9
8
5
3
2
0,4
2,4
2,4
2,3
1,0
1,5
1,9
20
16
19
7
6
8
1
5
3
0,6
2,1
2,4
2,2
1,9
1,9
1,4
10
14
16
7
8
9
5
3
4
0,7
2,1
2,2
3,0
1,1
1,4
1,3
10
19
19
7
8
9
5
7
5
0,6
2,4
2,8
2,8
1,9
1,3
1,2
20
10
20
6
9
8
3
4
5
0,2
2,9
2,0
2,2
1,3
1,8
1,8
15
20
19
9
9
9
6
2
3
1,0
2,3
2,1
2,8
1,9
1,6
1,4
17
17
11
5
5
6
2
6
3
0,7
2,9
2,1
2,8
1,7
2,0
1,1
16
19
13
8
6
9
5
4
6
Методические указания
Рассмотрим задачу.
Предприятие может выпускать три вида продукции – A1, A2 и A3, получая при этом прибыль, зависящую от спроса,
который может быть в одном из четырех состояний – B1, B2, B3, B4. Дана матрица, ее элементы aij характеризуют прибыль,
которую получит предприятие при выпуске i-й продукции при j-м состоянии спроса.
Продукция
A1
A2
A3
B1
3
9
7
Состояние спроса
B2
B3
3
6
10
4
7
5
B4
8
2
4
Определить оптимальные объемы выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом
состоянии спроса, считая его неопределенным.
Ознакомимся с основными понятиями теории игр.
Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, – игроками, а
исход конфликта – выигрышем.
Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:
1) варианты действий игроков;
2) объем информации о поведении партнеров, которой владеет каждый игрок;
3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть
задан количественно.
Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Мы
будем рассматривать только парные игры. В них участвуют два игрока: А и В, интересы которых противоположны, а под
игрой будем понимать ряд действий со стороны игроков А и В.
Игра называется игрой с нулевой суммой или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу
другого, т.е. для полного "задания" игры достаточно указать величину выигрыша первого игрока. Выбор и осуществление
одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока.
Стратегией игрока называется совокупность принципов, определяющих выбор его действий при каждом личном ходе в
зависимости от сложившейся ситуации. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число шагов.
Для того чтобы найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию
оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй игрок придерживается своей
стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию
устойчивости, т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.
Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной
стратегии естественно полагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.
20
Матрица, элементы которой характеризуют прибыль первого игрока при всех возможных стратегиях, называется
платежной матрицей игры.
Рассматриваемая задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В задана платежной
матрицей
A1
A2
A3
βj
B1
3
9
7
9
B2
6
4
5
6
B3
8
2
4
8
B4
8
2
4
8
αi
3
2
4
Обозначим через ai наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А. для всех возможных стратегий игрока
В (наименьшее число в i-й строке платежной матрицы), т.е. ai = min aij.
Среди всех чисел ai (i = 1, 2, ..., m) Выберем наибольшее: α = max αi. Назовем α нижней ценой игры или максимальным
выигрышем (максими-ном). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно, α =
max min aij.
Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы
уменьшить выигрыш игрока А. Выбирая стратегию Bj, он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для игрока
А. Обозначим βj = max aij
Среди всех чисел βj выберем наименьшее: β = min βj и назовем β верхней ценой игры или минимаксным выигрышем.
Это гарантированный проигрыш игрока В.
Следовательно, β = min max aij. Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.
Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" минимаксной и максиминной стратегий, называется
принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели,
противоположной цели противника. Определим нижнюю и верхнюю цену игры и соответствующие стратегии в задаче: α =
4, β = 6. Так как , то седловая точка отсутствует и оптимальное решение следует искать в смешанных стратегиях
игроков.
Смешанной
стратегией
SA
игрока
А
называется
применение
чистых
стратегий
A1,
A 2,
…,
Ai,
…,
Am
c
вероятностями
p1,
p2,
…,
pi,
…,
pm,
причем
pi 1 .
сумма
вероятностей
равна
1:
Смешанные
стратеги
игрок
А
запи-
сываются в виде строки SA = (p1, p2, …, pi, …, pm).
Аналогичн
стратегии
игрока
где
сумма
Итак,
В
обозначаются
вероятностей
в
виде
строки
SB
=
появления
стратегий
(q1,
q2,
равна
…,
qi,
1:
смешанные
…,
qm),
qi 1 .
= (p1, p2, p3) и
(q1, q2, q3, q4).
Обозначив xi = pi /v, i= 1, 2, 3, 4 и yj = pj,/v, j = 1, 2, 3, 4, составить пару двойственных задач линейного
программирования, затем привести математическую модель задачи к каноническому (стандартному) виду и решить
симплексным методом .Из симплексной таблицы с оптимальным решением взять значения параметров (-Z), xi и вычислить
цену игры v, и вероятности применения стратегий pi. Сделать анализ решения.
прямая задача
двойственная задача
MIN ( Z x1 x 2 x 3 )
MAX ( Z ' y1 y 2 y 3 y 4 )
3 x1 9 x 2 7 x 3 1
3 y1 3 y 2 6 y 3 8 y 4 1
SA*
SB*=
3 x1 10 x 2 7 x 3 1
9 y1 10 y 2 4 y 3 2 y 4 1
6 x1 4 x 2 5 x 3 1
7 y1 7 y 2 5 y 3 4 y 4 1
8 x1 2 x 2 4 x 3 1
y j 0,
j 1, 2, 3, 4
x i 0, i 1, 2, 3
Игры с « природой».
21
Для того чтобы можно сделать вывод о том какую именно стратегию выбирать игроку, необходимо использовать
критерии Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Лапласа, Байеса.
1. Критерий Вальда. Рекомендуется применять максиминную стратегию. Она достигается из условия HA= max min αij и
совпадает с нижней ценой игры.
j i
Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет действовать наихудшим для человека образом,
агрессивно, делать все, чтобы помешать нам достигнуть успеха.
Рассмотрим задачу.
Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине может принимать следующие значения
1
2
3
4
5
100
150
200
250
300
Если булочка не продана днем, то она м.б. реализована за 15 центов к концу дня. Свежие булочки продаются по 49
центов за штуку. Затраты магазина на одну булочку 25 центов.
Используя игровой подход, определить, какое число булочек надо заказывать ежедневно.
Составим платежную матрицу. Сначала вычислим прибыль (49-25=24) и убыток (15-25=-10).
100
150
200
250
100*24
100*24
100*24
100*24
100
100*24-50*10
150*24
150*24
150*24
150
100*24-100*10
150*24-50*10
200*24
200*24
200
100*24-150*10
150*24-100*10
200*24-50*10
250*24
250
100*24-200*10
150*24-150*10
200*24-100*10
250*24-50*10
300
Платежная матрица примет вид
100
2400
100
1900
150
1400
200
900
250
400
300
150
2400
3600
3100
2600
2100
200
2400
3600
4800
4300
3800
250
2400
3600
4800
6000
5500
300
100*24
150*24
200*24
250*24
300*24
300
2400
3600
4800
6000
7200
Вычислим критерий Вальда - максиминный. Он отражает принцип гарантированного результата:
Олицетворяет позицию крайнего пессимизма: надо ориентироваться всегда на худшие условия, зная наверняка, что хуже
этого не будет. Этот перестраховочный подход для того, кто очень боится проиграть.
Оптимальной считается стратегия, при которой гарантируется выигрыш в любом случае, не меньший, чем нижняя цена
игры с природой:
Нa = max min αij
j
i
Подсчитать min по строкам и выбрать ту стратегию, при которой минимум строки максимален.
А1
2400
А2
1900
А3
1400
А4
900
А5
400
Критерий Вальда рекомендует выбирать стратегию А1.
2. Критерий Гурвица (оптимизма - пессимизма). Критерий рекомендует при выборе решения не руководствоваться ни
крайним пессимизмом (всегда рассчитывай на худшее), ни крайним легкомысленным оптимизмом (авось кривая выведет).
Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле
Ha = Max {γmin aij + (1- γ)max aij}
j
i
i
где γ - степень оптимизма - изменяется в диапазоне [0, 1].
Критерий придерживается некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и
22
наилучшего поведения природы. При γ = 1 критерий превращается в критерий Вальда, при γ = 0 - в критерий максимума. На
γ оказывает влияние степень ответственности лица, принимающего решение по выбору стратегии. Чем хуже последствия
ошибочных решений, больше желания застраховаться, тем γ ближе к единице.
Рассмотрим платежную матрицу.
Параметр Гурвица возьмем равным 0,6.
min
max
γmin aij + (1- γ)max aij
2400
2400
2400*0.6+0.4*2400=2400
А1
1900
3600
1900*0.6+3600*0.4=2580
А2
1400
4800
1400*0.6+4800*0.4=2760
А3
900
6000
900*0.6+6000*0.4=2940
А4
400
7200
400*0.6+7200*0.4=3120
А5
Критерий Гурвица рекомендует стратегию А5.
3. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к
которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек
(фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.
Элементы матрицы рисков находится по формуле (rij):
rij = max aij - aij
где max aij - максимальный элемент в столбце исходной матрицы.
j
Оптимальная стратегия находится из выражения
Ha = Min {max(max aij - aij)}
j
i
j
Составим матрицу риска, (max aij - aij).
Выберем максимальный элемент в столбце и вычитаем из него остальные элементы столбца, получим max(max aij - aij).
100
150
200
250
300
Мax
0
1200
2400
3600
4800
4800
А1
500
0
1200
2400
3600
3600
А2
1000
500
0
1200
2400
2400
А3
1500
1000
500
0
1200
1500
А4
2000
1500
1000
500
0
2000
А5
Из максимальных значений последнего столбца выбираем минимальную величину, получим Min {max(max aij - aij)}.
Критерий Сэвиджа рекомендует стратегию А4.
4. Критерий Лапласа. Этот критерий основывается на принципе недостаточного обоснования. Поскольку вероятности
состояния не известны, необходимая информация для вывода, что эти вероятности различны, отсутствует. Поэтому можно
предположить, что они равны. Выбор стратегии осуществляется по формуле
Ha = Max {1/n·∑ aij}
где 1/n вероятность реализации одного из состояний р = 1/n.
(2400+2400+2400+2400+2400)/5=2400
А1
(1900+3600+3600+3600+3600)/5=3260
А2
(1400+3100+4800+4800+4800)/5=3780
А3
(900+2600+4300+6000+6000)/5=3960
А4
(400+2100+3800+5500+7200)/5=3800
А5
Критерий Лапласа рекомендует нам стратегию А4.
Таким образом, рассмотрев одну платежную матрицу, мы получили, что критерии Лапласа и Сэвиджа рекомендует
стратегию А4. То есть необходимый заказ булочек составит 250 единиц ежедневно.
5. Критерий Байеса. Принятие решения в условиях риска.
Если в рассмотренных выше критериях, необходимая информация о вероятностях какого-либо состояния отсутствовала,
то критерий Байеса действует в условиях не полной информации, т.е. в условиях риска (имеется информация о вероятностях
применения стратегий второй стороной). Эти вероятности называются априорными вероятностями.
Выбор стратегии осуществляется по формуле
Ha = Max {∑pi aij}
23
Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине задается следующим распределением вероятностей
1
2
3
4
5
100
150
200
250
300
0,2
0,25
0,3
0,15
0,1
Подставив значение aij и pi в формулу, получим:
А1
А2
А3
А4
А5
2400*0,2+2400*0,25+2400*0,3+2400*0,15+2400*0,1=2400
1900*0,2+3600*0,25+3600*0,3+3600*0,15+3600*0,1=3260
1400*0,2+3100*0,25+4800*0,3+4800*0,15+4800*0,1=3695
900*0,2+2600*0,25+4300*0,3+6000*0,15+6000*0,1=3620
400*0,2+2100*0,25+3800*0,3+5500*0,15+7200*0,1=3290
Критерий Байеса рекомендует стратегию А3
В условиях полной неопределенности теория не дает однозначных принципов выбора того или иного критерия.
Оптимальные стратегии, выбранные по различным критериям, различны.
Таким образом, окончательный вывод зависит от предпочтений человека, который принимает решение.
ПРИМЕР №1
Найти оптимальные стратегии 1-го игрока, исходя из различных критериев, в игре с полной неопределенностью
относительно второго игрока, заданной платежной матрицей:
А=
а11
а21
а31
а41
а12
а22
а32
а42
а13
а23
а33
а43
а14
а24
а34 ; А =
а44
5
8
21
20
10
7
18
22
Решение.
1. Максиминный критерий Вальда.
18
8
12
19
25
23
21
15
HA =
max min аij
j
i
Вычислим минимальные значения по строкам min аij, а далее из них выберем максимальное.
А=
5
8
21
20
10
7
18
22
18 25
8 23
12 21
19 15
5
7
12
15
Таким образом, получаем НA = max min аij = 15 при применении стратегии А4.
Ответ: оптимальной стратегией 1-го игрока А является
стратегия А4.
i
j
2. Критерий Гурвица.
Параметр Гурвица возьмем равным γ=0,6: H = Max {γmin aij + (1- γ)max aij}
j
i
А=
5
8
21
20
10
7
18
22
18 25
8 23
12 21
19 15
5
7
12
15
25
23
18
22
5*0,6+0,4*25=13
7*0,6+0,4*23=13,4
12*0,6+0,4*18=14,4
15*0,6+0,4*22=17,8
i
24
Получаем HA = max[0.6 min аij+(1-0.6) max аij]=17.8
j
i
i
Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является
стратегия А4.
3. Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска).
Необходимо построить матрицу рисков.
Для этого:
1) вычислить максимальные значения по столбцам
А=
5
8
21
20
21
10
7
18
22
22
18
8
12
19
19
25
23
21
15
25
2) вычислить матрицу рисков: rij= max аij- аij
rij=
21-5
21-8
21-21
21-20
22-10
22-7
22-18
22-22
19-18
19-8
19-12
19-19
25-25
25-23
25-21
25-15
=
16 12 1 0
13 15 11 2
0 4 7 4
1 0 0 10
3) вычислить максимальные значения по строкам и из них выберем строку с минимальным значением:
16 12 1 0
13 15 11 2
rij= 0 4 7 4
1 0 0 10
16
15
7
10
Получаем HA = min max rij = 7 при применении стратегии А3.
j
i
Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является
стратегия А3.
4. Критерий Лапласа.
n
Вычислить средние арифметические по строкам [1/n ∑ аij]
j=1
5 10 18 25 0.25 (5+10+18+25)=14.5
A=
8 7 8 23 0.25 (8+7+8+23)=11.5
21 18 12 21 0.25 (21+18+12+21)=18
20 22 19 15 0.25 (20+22+19+15)=19
n
Получаем HA = max [1/n ∑ аij] =19 при применении стратегии А4.
j
j=1
Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является
стратегия А4.
Выбор стратегии в условиях риска (при наличии вероятностной информации).
В1 В2 В3 В4
n
А1
5 10 18 25
H A= max∑Pj аij
j
j=1
А2
8
7 8 23
А3
21 18 12 21
А4
20 22 19 15
Вероятности стратегий второго игрока.
В1
В2
В3
В4
0.2
0.15
0.35
0.3
25
5*0.2+10*0.15+18*0.35+25*0.3=16.30
8*0.2+7*0.15+8*0.35+23*0.3=12.35
21*0.2+18*0.15+12*0.35+21*0.3=17.40
20*0.2+22*0.15+19*0.35+15*0.3=18.45
Получаем НA = 18,45 при применении стратегии А4.
Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является
стратегия А4.
ПРИМЕР №2
Предприятие имеет возможность самостоятельно планировать объемы выпуска сезонной продукции А1, А2, А3. Не
проданная в течении сезона продукция позже реализуется по сниженной цене. Данные о себестоимости продукции,
отпускных ценах и объемах реализации в зависимости от уровня спроса приведены в таблице:
Цена единицы
Объем реализации
Вид продукции
СебестоПродукции
При уровне спроса
имость
В
После
Повысреднем
Понитечение
уценки
шенном
женном
сезона
А1
d1
р1
q1
a1
b1
c1
А2
d2
р2
q2
a2
b2
c2
А3
d3
р3
q3
а3
b3
c3
Требуется:
1) придать описанной ситуации игровую схему, указать допустимые стратегии сторон, составить платежную матрицу
2) дать рекомендации об объемах выпуска продукции по видам, обеспечивающих предприятию наивысшую прибыль.
Указание. Для уменьшения размерности платежной матрицы считать, что одновременно на все три вида продукции
уровень спроса одинаков:
повышенный, средний или пониженный.
Вид продукции
Себестоимость
а1
а2
а3
2,6
3,7
1,5
Цена единицы
Продукции
В
После
течение
уценки
сезона
3,4
2,8
4,2
3,2
2,8
1,7
Объем реализации
При уровне спроса
Повысреднем
Понишенном
женном
14
38
24
8
22
13
5
9
7
Решение.
Игровая схема:
В игре участвуют 2 игрока: А - производитель, В - потребитель.
Игрок А стремится реализовать свою продукцию так, чтобы получить максимальную прибыль. Стратегиями игрока А
являются:
А1 - продавать продукцию при повышенном состоянии спроса
А2 - продавать продукцию при среднем состоянии спроса
А3 - продавать продукцию при пониженном состоянии спроса
Игрок В стремится приобрести продукцию с минимальными затратами. Стратегиями игрока В являются:
В1 - покупать продукцию при повышенном состоянии спроса
В2 - покупать продукцию при среднем состоянии спроса
В3 - покупать продукцию при пониженном состоянии спроса
Интересы игроков А и В - противоположны.
26
Определим прибыль от реализации продукции в течение сезона и после уценки:
Вид продукции
себестоимость
прибыль в течение сезона
прибыль после уценки
А1
2,6
3,4-2,6=0,2
2,8-2,6=0,2
А2
3,7
4,2-3,7=0,5
3,2-3,7= -5
А3
1,5
2,8-1,5=1,3
1,7-1,5=0,2
Предложение
Рассчитаем элементы платежной матрицы (матрицы прибыли):
Спрос
стратегии
Повышенный спрос
Средний спрос
14+38+24
8+22+13
Повышенный спрос
14*0,8+38*0,5+
8*0,8+(14-8) *0,2+
14+38+24
24*1,3=61,4
22*0,5+(38-22)*(-5)
+13*1,3+(24-13)*0,2
=29,7
Средний спрос
8*0,8+22*0,5+
8*0,8+22*0,5+
8+22+13
13*1,3=34,3
13*1,3=34,3
Пониженный спрос
5+9+7
5*0,8+9*0,5+7*1,3
=17,6
Составляем платежную матрицу игры.
Платежная матрица примет вид
Стратегии
В1
В2
5*0,8+9*0,5+
7*1,3=17,6
В3
Пониженный спрос
5+9+7
5*0,8+(14-5)*0,2+
9*0,5+(38-9)*(-5)+
7*1,3+(24-7)=8,3
5*0,8+(8-5)*0,2+
9*0,5+(22-9)*(-5)+
7*1,3+(13-7)*0,2 =12,9
5*0,8+9*0,5+
7*1,3=17,6
αi=min аij
j
А1
А2*
А3*
βj=max аij
*
61.4
34.3
17.6
61.4
29.7
34.3
17.6
34.3
8.3
12.9
17.6
17.6
8.3
12.9
17.6
i
Рассчитываем нижнюю и верхнюю цену игры.
α = max αi = 17.6
β = min βj = 17.6
Так как α = β = ν = 17,6, то найдена седловая точка (А3В3). Значит оптимальное решение: А3; В3
Производитель (игрок А) получит гарантированную прибыль в размере 17,6 ден.ед., если будет реализовывать свою
продукцию при пониженном уровне спроса в объеме 5,9 и 7 ед. соответственно продукции а1, а2 и а3
Контрольные вопросы:
1.Дайте определение конфликтной ситуации.
2.Как называется математическая модель конфликтной ситуации?
3.Как называются заинтересованные стороны в теории игр?
4.Какая игра называется антагонистической? Приведите пример.
5.Дайте определение понятию «стратегия».
6.Что понимается под исходом конфликта?
7.Дайте определение понятию «выигрыш».
8.На какие классы делятся игры в зависимости от числа игроков?
9.В чем состоит цель игрока А при выборе стратегии ?
10. В чем состоит суть максиминного принципа оптимальности и как называется выигрыш, полученный в соответствии в
этим принципом?
11.Почему максимин α называют нижней ценой игры?
12.В чем состоит цель игрока В при выборе стратегии?
13.Почему минимакс β называют верхней ценой игры?
14.Почему справедливо неравенство α < β ?
15.Дайте определение цены игры в чистых стратегиях.
16.Какая игра называется игрой в смешанных стратегиях?
17.Как найти оптимальную смешанную стратегию игрока А и цену игры 2 х n геометрически?
18.Что в теории игр понимается под термином «природа»?
19.Приведите примеры в которых решение принимается в условиях неопределенности, связанной с неосознанным
принятием различных факторов.
20.Чем отличается выбор оптимальных стратегий игроков в играх с природой от антагонистических игр?
27
21.Что понимается под риском игрока в игре с природой, и каким образом формируется матрица рисков,
22.Дайте определение критерия Вальда и как по нему определяется выигрыш?
23. Дайте определение критерия Севиджа и как по нему определяется выигрыш?
24. Дайте определение критерия Лапласа и как по нему определяется выигрыш?
25. Дайте определение критерия Байеса и как по нему определяется выигрыш?
26. Какой принцип выбора оптимальной стратегии лежит в основе критерия пессимизма –оптимизма Гурвица относительно
выигрышей?
28
ЗАДАНИЕ3.
Тема:
«ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.
СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД».
Задача 3.1.
Предприятие планирует выпускать n видов продукции Пi (i= 1, 2, … , n). При её изготовлении используются
ресурсы Р1, Р2, и Р3. прямые затраты ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, и b3. Расход j-го ресурса (j= 1,
2, 3) на единицу продукции i-го вида составляет aij ед. Цена единицы продукции i-го вида равна Сi денежных единиц.
Требуется:
1) Составить математическую модель прямой и двойственной задачи. Раскрыть экономический смысл всех
переменных, принятых в задаче;
2) Симплексным методом рассчитать план выпуска продукции по видам с учетом имеющихся ограничении ресурсов,
который обеспечивал бы предприятию максимальный доход;
3) Используя решение исходной задачи и соответствия между прямыми и двойственными переменными, найти
параметры оптимального плана двойственной задачи;
4) Указать наиболее дефицитный и недефицитный (избыточный) ресурс, если он имеется;
5) С помощью двойственных оценок yj обосновать эффективность оптимального плана, сопоставить оценку
израсходованных ресурсов и максимальный доход. Zmax от реализации готовой продукции по всему оптимальному
плану и по каждому виду продукции отдельно;
6) Оценить целесообразность приобретения bk единиц ресурса K по цене Ck.
Необходимые исходные числовые данные приведены в табл. 3.1.
Табл.3.1
Параметр
а11
а12
а13
а21
а22
а23
а31
а32
а33
b1
b2
b3
С1
С2
С3
K
bk
Сk
Номер варианта
1
2
5
2
4
2
7
5
1
7
9
0
9
3
2
2
1
4
5
4
57
53
58
97
57
97
13
28
19
11
20
18
2
2
5
5
22
39
3
7
10
4
2
5
2
3
8
3
58
95
68
17
29
21
2
10
28
4
4
5
9
7
4
5
9
2
9
63
72
86
27
20
20
3
3
19
5
10
1
9
7
3
4
5
6
3
70
96
80
18
28
21
3
1
18
6
4
1
5
3
6
6
4
5
1
58
66
57
14
21
17
3
2
17
7
10
4
1
5
3
5
2
0
4
80
89
73
23
24
27
2
4
37
8
2
6
9
8
7
5
10
6
2
86
77
56
19
16
23
1
4
13
9
7
6
5
8
1
3
3
6
10
65
97
97
19
13
24
3
5
11
0
4
10
2
9
1
2
7
8
1
71
81
90
27
25
17
2
1
23
Задача 3.2.
Составить диету включающие белки, жиры и углеводы в количестве не менее bi (i = 1, 2, 3). Для составления смеси
можно использовать три вида продуктов Bj (j = 1, 2, 3), содержащую белки жиры и углеводы в количестве aij. Цена
продуктов Cj. Необходимо определить такой набор продуктов, который обеспечил бы необходимое содержание питательных
веществ, и полная стоимость его при этом была бы наименьшей.
Требуется:
1) Составить математическую модель прямой и двойственной задач. Раскрыть экономический смысл всех переменных,
принятых в задаче;
2) Симплекс – методом решить двойственную задачу;
Необходимые исходные числовые данные приведена в табл. 3.2.
29
Таблица 3.2.
Номер варианта
1
2
10
8
3
5
13
15
3
2
2
2
7
9
9
5
4
7
8
6
3
5
9
14
8
11
29
20
28
25
25
13
Параметр
b1
b2
b3
а11
а12
а13
а21
а22
а23
а31
а32
а33
С1
С2
С3
3
22
0
9
0
1
5
8
9
0
7
9
0
26
27
20
4
19
9
15
1
1
4
0
5
2
3
8
11
18
25
15
5
1
14
12
5
7
7
7
6
6
7
12
10
16
15
19
6
1
13
0
6
5
4
5
8
8
18
11
3
23
10
22
7
2
9
14
10
5
6
2
10
4
1
6
20
29
30
10
8
17
3
6
3
9
4
4
0
7
3
9
9
26
20
26
9
14
6
17
6
3
4
7
0
1
2
12
2
26
16
13
0
22
13
6
1
5
6
3
4
10
10
0
4
11
25
24
Методические указания
Общая постановка задачи
Симплексный метод – метод последовательного улучшения плана.
Метод является универсальным, так как позволяет решить практически любую задачу линейного программирования.
Математическая модель задачи приводится к каноническому (стандартному) виду. Заполняется исходная симплекс – таблица
с использованием коэффициентов целевой функции и системы ограничений. Решается задача по алгоритму.
Идея симплексного метода заключается в том, что начиная с некоторого исходного опорного решения
осуществляется последовательно направленное перемещение по допустимым решениям к оптимальному. Значение целевой
функции для задач на максимум не убывает. Так как число допустимых решений конечно, то через конечное число шагов
получим оптимальное решение.
Алгоритм симплексного метода
1.
2.
3.
4.
5.
Математическую модель задачи привести к каноническому (стандартному) виду.
Построить начальную симплекс-таблицу исходя из стандартного вида.
Найти разрешающий столбец. В строке коэффициентов ЦФ найти значение с самим маленьким
отрицательным числом. Этот столбец и будет разрешающим.
Вычислить разрешающую строку и ведущий элемент. (Почленно разделить столбец свободных членов на
элементы разрешающего столбца, за исключением строки ЦФ. Выбрать наименьшее из частных. Эта строка
будет разрешающей. Ведущий элемент будет на пересечении разрешающего столбца и разрешающей
строки.).
Построить новую симплекс-таблицу-второй шаг.
При построении новой таблицы убрать из базиса строку с переменной разрешающей строки в предыдущей
30
6.
таблице. Ввести в базис строку с названием разрешающего столбца предыдущей таблицы.
Построение ведущей строки в новой таблице. Почленно поделить всю разрешающую строку на
разрешающий элемент.
Построение других строк в новой таблице. Почленно умножить ведущую строку на соответствующие этим
строкам элементы разрешающего столбца из предыдущей таблицы и прибавить к соответствующим строкам
в старой таблице.
Проверяем таблицу второго шага на оптимальность. Если в строке целевой функции нет отрицательных
элементов, тогда таблица имеет оптимальный план, записать ответ. Если в строке ЦФ есть отрицательный
элемент (элементы), тогда переходят к следующему (третьему) шагу, строят новую симплекс-таблицу в
соответствии п.5 и затем проверяют ее на оптимальность. Построение таблиц заканчивается с нахождением
оптимального плана.
Прямая задача на минимум решается следующим образом:
Написать математическую модель двойственной задачи в стандартном виде
Решить двойственную модель симплекс - методом
Записать ответ.
Связь между задачами двойственной пары в том, что, решая симплексным методом одну из них, автоматически
получаем решение другой.
Для этого достаточно воспользоваться соответствием переменных прямой и двойственной задач в последней
симплекс-таблице.
Х1
x2
…
xn
S1
S2
…
Sm
S1
S2
…
Sm
y1
y2
…
ym
Задача
На предприятии имеется возможность выпускать n видов продукции (1,2,…n). При ее изготовлении используются ресурсы
Р1, Р2, Р3. Размеры прямых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, b3. Расход i –го ресурса на
единицу продукции j-того вида составляют aij. Цена единицы продукции j-того вида равна cj ден. ед. Сформулировать
прямую и двойственную задачу и раскрывать экономический смысл всех переменных.
Требуется:
Найти оптимальный план симплекс-методом.
Найти решение двойственной задачи
Указать дефицитность ресурсов
Обосновать эффективность плана производства
Оценить целесообразность приобретения ресурса
Оценить целесообразность выпуска новой продукции
Данные:
b1 = 25, b2 = 30, b3 = 42
a11= 2, a12= 3, a13= 2, a14= 1
a21= 4, a22= 1, a23= 3, a24= 2
a31= 3, a32= 5, a33= 2,a34= 2
c1= 6, c2= 5, c3= 4, c4= 3
Математическая модель прямой задачи
max (Z= 6x1+5x2+4x3+3x4)
2x1+3x2+2x3+x4< 25
4x1+x2+3x3+2x4< 30
3x1+5x2+2x3+2x4< 42
x1, x2, x3, x4 > 0
Математическая модель двойственной задачи
min (Z*= 25y1+30y2+42y3)
2y1+4y2+3y3> 6
3y1+y2+5y3> 5
2y1+3y2+2y3> 4
y1+2y2+2y3> 3
y1, y2, y3, y4 > 0
31
Стандартный вид
min (Z= -6x1-5x2-4x3-3x4)
2x1+3x2+2x3+x4+S1=25
4x1+x2+3x3+2x4+S2=30
3x1+5x2+2x3+2x4+S3=42
x1, x2, x3, x4, S1, S2, S3 > 0
Экономический смысл переменных
Xi – количество произведенной продукции
Yj – цена ресурса
Si – количество оставшегося ресурса
x1
базис
Z
S1
S2
S3
значение
x2
x3
x4
S1
S2
S3
отношен
ие
0
-6
-5
-4
-3
0
0
0
25
2
3
2
1
1
0
0
12,5
30
4
1
3
2
0
1
0
7,5
42
3
5
2
2
0
0
1
14
значение
x1
x3
x4
S1
S2
S3
отношен
ие
45
0
-3,5
0,5
0
0
1,5
0
10
0
2,5
0,5
0
1
-0,5
0
4
7,5
1
0,25
0,75
0,5
0
0,25
0
30
19,5
0
4,25
-0,3
0,5
0
-0,8
1
значение
x1
x2
x3
x4
S1
S2
S3
59
0
0
1,2
0
1,4
0,8
0
4
0
1
0,2
0
0,4
-0,2
0
6,5
1
0
0,7
0,5
-0,1
0,3
0
2,5
0
0
-1,1
0,5
-1,7
0,1
1
Таблица 2
базис
Z
x2
S1
x1
S3
4,59
Таблица 3
базис
Z
x2
x1
S3
отношен
ие
32
Анализ решения
Продукции 1 вида производим 6,5 ед., второго вида 4 единицы, третьего и четвертого вообще не производим. Прибыль при
этом составит 59 ден. единиц.
Ресурс 1 типа стоит 1,4 ден. ед., 2 типа – 0,8 ден. ед. Третий тип ресурса у нас остался в количестве 2,5 ед., поэтому его
покупать не нужно.
Ресурсы 1 и 2 типа дефицитны, 3 типа избыточен.
Эффективность производства
Z = 6*6.5+5*4+4*0+3*0=59 Z*=25*1.4+30*0.8+42*0=59 Производство в целом эффективно.
2*1,4+4*0,8+3*0< 6 6=6 Производство 1 вида продукции эффективно
3*1,4+1*0,8+5*0< 5 5=5 Производство 2 вида продукции эффективно
2*1,4+3*0,8+2*0< 4 5,2> 4 Производство 3 вида продукции не эффективно
1*1,4+2*0,8+2*0< 3 3=3 Т.к. x4 не входит в базис, то оптимальный план не единственен.
Оценить целесообразность покупки 5 ед. второго ресурса по цене 10 ден. ед, т.е. единица ресурса обойдется нам в 2
ден. ед. Мы же готовы покупать только по 0,8 ден. ед. за 1 единицу ресурса.
а1 = 2, а2 = 2, а3 = 4. Цена новой продукции равна 4.
2*1,4+2*0,8+2*0< 4 4,4> 4 Производство 5 вида продукции не эффективно.
Контрольные вопросы.
1. Определение математической модели экономической задачи.
2. Виды математических моделей ЛП.
3. Составление математической модели.
4. Экономическая формулировка математической модели прямой и двойственной задач.
5. Понятие двойственности в задачах линейного программирования.
6. Правило построения математической модели двойственной задачи.
7. Первая теорема двойственности.
8. Вторая теорема двойственности.
9. Третья теорема двойственности.
10. Алгоритм геометрического метода решения задач ЛП.
11. Симплексный метод решения задач ЛП и его применение.
12. Алгоритм симплексного метода.
13. Анализ решения задачи по симплекс – таблице, отвечающей критерию оптимальности.
ЗАДАНИЕ 4. Тема: «ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА».
Задача 4.1
В пунктах Аi (i=1, 2, 3)производится однородная продукция в количестве аi единиц. Себестоимость единицы продукции в i-м
пункте равна Ci. Готовая продукция поставляется в пункты Вj (j=1, 2, 3, 4), потребности которых составляют bj ед. стоимость
перевозки единицы продукции из пункта Ai в пункт Bj задана матрицей Cij.
Требуется:
1) Написать математическую модель прямой и двойственной задач с указанием экономического смысла всех
переменных;
2) Составить план перевозки продукции, при котором минимизируются суммарные затраты по ее изготовлению и
доставке потребителям для условия что продукция произведенная в пункте Ai, где себестоимость её производства
наименьшая, распределяется полностью;
3) Вычислить суммарные минимальные затраты Zmin;
4) Узнать в какие пункты развозится продукция от поставщиков;
5) Установить пункты, в которых останется нераспределенная продукция, и указать её объем.
Необходимые исходные числовые данные приведены в таблице 4.1.
33
Таблица 4.1.
Параметр
а1
а2
а3
С1
С2
С3
b1
b2
b3
b4
С11
С12
С13
С14
С21
С22
С23
С24
С31
С32
С33
С34
Номер варианта
1
2
449
152
230
401
439
358
2
1
3
1
5
1
122
211
188
200
135
144
294
279
4
3
4
8
3
6
2
7
2
6
8
3
7
9
2
6
4
10
2
8
2
5
10
3
3
492
472
232
5
5
4
164
166
103
211
10
2
9
9
4
5
5
7
6
3
7
5
4
283
442
118
2
5
1
195
232
131
163
8
2
7
8
6
2
7
2
10
4
4
6
5
393
369
136
3
5
1
296
270
140
114
9
4
4
9
10
10
8
8
3
6
7
8
6
461
113
300
1
4
3
279
110
162
298
7
10
9
3
5
2
7
7
3
7
4
7
7
320
198
305
6
2
1
146
131
201
178
2
9
2
3
9
10
1
2
10
6
3
4
8
476
469
185
2
2
5
144
196
123
170
6
6
1
4
9
3
6
7
2
8
9
10
9
115
470
373
4
3
4
187
147
161
220
9
6
4
3
2
3
5
8
9
10
6
2
0
420
388
342
4
2
3
291
175
196
114
4
9
1
7
2
2
6
9
4
3
9
3
Задача 4.2.
Трудовые бригады Б1, Б2, Б3 численностью, а1, а2, и а3 человек, сформированы для уборки картофеля.
Для уборки картофеля на четырех полях П1, П2, П3 и П4 необходимо выделить b1, b2, b3, и b4 работников.
Производительность труда работника зависит от урожайности картофеля, а так же от численности бригады и
характеризуется для указанных бригад и полей элементами матрицы Pij (в центнерах на человека за рабочий день).
Требуется:
1) Распределить работников каждой трудовой бригады по полям так, чтобы за рабочий день было убрано максимально
возможное количество картофеля;
2) Определить сколько центнеров картофеля будет убрано с четырех полей при оптимальном распределении
работников.
Необходимые исходные числовые данные приведены в таблице 4.2.
Таблица 4.2.
Параметр
А1
А2
А3
B1
B2
B3
B4
Р11
Р12
Р13
Р14
Р21
Р22
Р23
Р24
Номер варианта
1
2
82
99
42
34
63
72
47
66
45
32
41
46
81
95
5
5
9
8
4
2
7
4
8
7
4
6
2
7
3
1
3
99
57
31
77
97
67
61
4
3
7
6
7
9
5
1
4
45
69
76
49
71
58
93
6
7
6
5
3
10
4
8
5
54
73
86
75
43
42
41
8
6
2
6
5
7
5
6
6
70
99
80
47
59
49
43
3
7
2
5
2
3
4
6
7
49
87
75
45
77
74
100
4
3
4
4
8
8
2
4
8
73
51
67
72
65
36
83
4
10
8
2
2
5
9
3
9
92
51
81
79
93
45
52
6
7
8
1
2
2
9
8
0
79
60
33
83
68
84
53
10
10
6
5
9
6
7
2
34
Р31
Р32
Р33
Р34
4
8
2
4
5
4
3
4
6
5
5
8
6
8
9
4
6
7
8
3
6
4
3
5
8
8
4
8
7
8
8
7
3
3
6
7
5
7
9
3
Методические указания
Постановка задачи:
Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах а1, а2, …, аm.
Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах, b1, b2, … , bn.
Известен Сij (i= 1, 2, … , m; j=1, 2 ,…, n) – стоимости перевозки единицы груза от каждого i-го поставщика каждому j-му
потребителю.
Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков вывозятся полностью, запросы
всех потребителей удовлетворяются полностью и суммарные затраты на перевозку всех грузов минимальны.
Исходные данные транспортной задачи записываются в таблице вида:
bj
b1
b2
…
bn
аi
С11
С12
…
С1n
а1
С21
С22
…
С2n
а2
…
…
…
…
…
Cm1
Cm2
...
Cmn
аm
Переменными (неизвестным) транспортной задачи являются xij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) – объемы перевозок от
каждого i-го поставщика j-му потребителю. Эти переменные могут быть записаны в виде матрицы перевозок.
x11
x
X 21
...
x
m1
x12
x22
...
xm 2
x1n
... x2 n
( xij )
... ...
... xmn
...
Математическая модель транспортной задачи
Математическая модель транспортной задачи в общем виде имеет вид:
m
n
Z ( X ) cij xij
min
i 1 j 1
n
x
j 1
ij
m
x
i 1
ij
ai , i 1,2,..., m,
b j , j 1,2,...n,
xij 0.
Целевая функция задачи Z(X) выражает требование обеспечить минимум суммарных затрат на перевозку всех
грузов. Вторая группа из уравнений ограничений записанных в общем виде, выражает требование, что запасы всех m,
поставщиков вывозятся полностью, а также полностью должны удовлетворятся запросы всех n потребителей. Последнее
неравенство является условием неотрицательности всех переменных.
В рассмотренной математической модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков
равны суммарным запросам потребителей, т.е.
m
n
i 1
j 1
ai b j .
такая задача называется сбалансированной, а её модель закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача
35
называется несбалансированной (с неправильным балансом), а её модель – открытой.
Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо, чтобы суммарные
запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей, т.е. задача должна быть сбалансированной.
Математическая модель двойственной задачи:
m
n
i 1
j 1
Z ' aiU i b jV j
max
U i V j C ij
U i ,V j произвольного знака
если целевая функция Z’ стремится к минимуму то в системе ограничении меняется знак: U i V j C ij
1)
2)
3)
4)
5)
экономический смысл перемененных двойственной задачи:
Ui – условная оценка i-го поставщика (условная плата поставщика перевозчику);
Vj – условная оценка j-го потребителя (условная плата потребителя перевозчику).
Ui, Vj – называются потенциалами.
Определения:
Если задача открыта, то необходимо добавить фиктивного поставщика или потребителя с недостающим объемом
поставки и нулевой стоимостью перевозки. Распределение поставки фиктивному потребителю (поставщику), идет в
последнюю очередь.
Клетка в плане перевозок называется базисной (закрытой), если в нее ставится перевозка.
Количество базисных клеток определяется соотношением r=m+n-1. опорное решение не может иметь базисных
клеток больше, чем r.
План называется вырожденным, если количество базисных клеток меньше r, т.е. базисных клеток не хватает при
выполненном условии, что объем поставок поставщиков распределен полностью и спрос потребителей также удовлетворен.
В этом случае необходимо добавить нулевую перевозку.
Если в задаче указана не только стоимость перевозки, но и стоимость производства товара, тогда необходимо
сложить эти стоимости с учетом перевозки товара от i-го поставщика j-му потребителю. Кроме того, математическая модель
составляется с учетом этой суммарной стоимости.
§ 2 Алгоритм решения транспортных задач.
1)
2)
3)
Составить опорный план, т.е. начальное приближение.
Составить математическую модель исходной прямой и математическую модель двойственной задач.
Пользуясь методом наименьшего (наибольшего) элемента и методом потенциалов найти улучшение исходного
опорного плана до тех пор, пока он не будет удовлетворять условию оптимальности.
Метод наименьшего элемента.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Сбалансировать задачу (убедиться, что задача сбалансирована).
Определить свободную клетку с наименьшей стоимостью перевозки. Если таких клеток несколько, то выбрать
клетку с наибольшей потенциальной грузоперевозкой. Если и таких клеток несколько, то выбирается любая из этих клеток.
В выбранную клетку поставить максимально возможную грузоперевозку для потребителя от поставщика.
Проверить, остался ли нераспределенным груз у этого поставщика.
Если груз распределен не полностью, то применяем п.2 относительно строки этого поставщика. Продолжать до тех
пор, пока груз этого поставщика будет полностью распределен.
Если груз поставщика распределен полностью, проверить, полностью ли удовлетворен объем потребителя.
Если потребитель полностью удовлетворен, то применить пункт 2 относительно оставшихся поставщиков и потребностей в
таблице.
Если объем потребителя полностью не удовлетворен, тогда применяется пункт 2 относительно соответствующего столбца.
Проверить план на вырожденность. Количество базисных клеток должно быть равным r=m+n-1.
Если план вырожденный, то поставить фиктивное значение груза так, чтобы иметь возможность найти потенциалы всех
базисных клеток (ставить нулевую перевозку).
Проверить на оптимальность и по возможности дальше улучшить, перейдя к методу потенциалов.
36
Метод потенциалов.
Для всех базисных клеток создать систему уравнений вида U i V j C ij .
1)
Выбрать переменную Ui или Vj, которой соответствует наибольшее количество занятых клеток, приравнять её к нулю,
решить систему уравнений относительно Ui и Vj и найти эти значения.
2)
Для всех свободных клеток составить и проверить выполнение неравенств: U i V j Cij
3)
4)
5)
6)
7)
Условия оптимальности: если для всех свободных клеток выполняется это неравенство, то тогда найден оптимальный план.
Если хотя бы для одной клетки не выполняется это неравенство, то необходимо улучшить опорный план с помощью
коэффициента перераспределения W.
Находим клетку, где сильнее всего не выполняется неравенство. Если таких клеток несколько, то выбирается любая.
В эту клетку ставим W со знаком «+».
Построить контур перераспределения груза, начиная с выбранной клетки, исходя из следующих правил:
В строке и столбце должно быть четное число W;
Контур меняет направление только в базисных клетках;
Коэффициент W меняет свой знак с «+» на «-» поочередно в углах контура.
После построения контура отметить, в каких базисных клетках коэффициент W стоит с отрицательным знаком. Из
этих клеток найти клетку с наименьшим значением перевозки, коэффициент W будет равен перевозке в выбранной клетке.
Найти новый план, перераспределив найденное значение W по контуру с учетом знаков «+» и «-», прибавляя или
уменьшая стоящую в клетке перевозку.
Проверить новый план в соответствии в п.2. если неравенства для свободных клеток выполняются, значит
найденный план оптимален.
Если в математической модели целевая функция на максимум (Zmax), то задача решается методом максимального
элемента, т.е. грузоперевозка (Xij) распределяется при составлении опорного плана с учетом наибольшего значения Cij
аналогично метода наименьшего элемента. В методе потенциалов проверяется выполнение неравенства U i V j Cij
Рассмотрим задачи:
Задача № 1
План перевозок:
Поставщики Аi
Запасы аi
Себестоимость
А1
А2
А3
2
3
1
400
300
500
Потребители Вj:
В1
В2
350
250
2
6
6
2
6
10
В3
150
4
7
7
В4
250
7
1
5
Решение:
Проверяем на сбалансированность
3
a
i 1
i
400 300 500 1200 ед.
j
350 250 150 250 1000ед.
4
b
j 1
3
4
a b
i 1
i
j 1
j
200
Задача не сбалансированная. Введем фиктивного потребителя В5 с потребностью в грузе, равной 200 ед. Стоимость
перевозки для фиктивного потребителя определим равной нулю.
В качестве общей стоимости будем брать сумму затрат на доставку единицы продукции из соответствующего пункта и ее
себестоимость в этом пункте.
37
Математическая модель прямой задачи
Z 4 x11 8x12 6 x13 9 x14 9x21 5x22 10 x23 4 x24 7 x31 11x32 8x33 6x34 100 x35
min
при
условии что,
x11 x12 x13 x14 x15 400,
x11 x21 x31 350,
x21 x22 x23 x24 x25 300,
x12 x22 x32 250,
x31 x32 x33 x34 x35 500,
x13 x23 x33 150,
xij 0
x14 x24 x34 250,
x15 x25 x35 200,
xij 0
Математическая модель двойственной задачи:
Z ' 400U1 300U 2 500U 3 350V1 250V2 150V3 250V4 200V5
max
U i V j Cij , U i ,V j произвольного знака
Экономический смысл переменных:
Z – целевая функция прямой задачи (суммарные затраты);
Z' – целевая функция двойственной задачи (суммарная потенциальная прибыль от перевозки груза);
Сij – стоимость перевозки единицы продукции из i-го пункта в j-ый;
Xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю;
Ui – условная плата перевозчику за вывоз единицы груза из i-го пункта отправления;
Vj – условная плата перевозчику за доставку единицы груза в j-ый пункт назначения.
Потребители
Поставщики
В1
В2
В3
В4
В5
350
250
150
250
200
50
А1
400
U1=-2
+W
350
4
8
100
А2
-W
Ui
6
9
+W
0
200
-W
U2=-6
300
9
5
150
А3
-W
10
100
+W
0
4
250
U3 =0
500
7
Vj
V1=6
8
11
V2=11
V3=8
6
V4=6
0
V5= 6
W=50
Проверяем на вырожденность:
R=m+n-1=3+5-1=7
m= 3 – количество поставщиков;
n = 5 – количество потребителей.
Базисных клеток 7, план не вырожден.
Проверяем план на оптимальность, используя метод потенциалов. Для базисных клеток составляем систему уравнений Ui +
Vj = Сij находим значение потенциалов так как переменных на 1 больше, чем уравнений,
то переменной U3 присваиваем значение 0 и решаем систему уравнений, получаем
38
U1 V1 4,
U1 V3 6,
U 2 V2 5,
U 2 V5 0,
U 3 V2 11,
U 3 V3 8,
U 3 V4 6.
V1 6, V2 11, V3 8, V4 6, V5 6, U1 2, U 2 6, U 3 0.
Проверяем выполнение неравенства в свободных: клетках Ui + Vj ≤ Сij
U1 V2 8,
U1 V4 9,
U1 V5 0,
U 2 V1 9,
U 2 V3 10,
U 2 V4 4,
U 3 V1 7,
U 3 V5 0.
более всего не выполняется условие Ui + Vj ≤ Сij, сюда ставим «+W», строим контур перераспределения W и находим его
значение:
W min 50;150;200 50 Перераспределяем W=50 по контуру.
Составляем следующий план:
Потребители
Поставщики
В1
В2
В3
В4
В5
350
250
150
250
200
350
А1
-W
50
Ui
+W
U1=-6
400
4
8
150
А2
6
9
+W
0
150
-W
300
5
9
+W
А3
100
-W
10
150
0
4
250
U3 =0
500
7
Vj
U2=-6
V1=10
11
V2=11
8
V3=8
6
V4=6
0
V5= 6
W=100
Так как переменных на i больше, чем уравнений, то переменной U3 присваиваем значение 0 и решаем систему уравнений,
получаем
39
U1 V1 4,
U1 V5 0,
U 2 V2 5,
U 2 V5 0,
U 3 V2 11,
U 3 V3 8,
U 3 V4 6.
V1 10, V2 11, V3 8, V4 6, V5 6, U1 6, U 2 6, U 3 0
проверяем выполнение неравенства в свободных клетках Ui + Vj ≤ Сij,
U1 V2 8,
U1 V3 6,
U1 V4 9,
U 2 V1 9,
U 2 V3 10,
– более всего не выполняется условие Ui + Vj ≤ Сij, сюда ставим «+W», строим контур перераспределения W
и находим его значение: W min 350;150;100 100 перераспределяем W=100 по контуру.
U 2 V4 4,
U 3 V1 7,
Составляем следующий план:
U 3 V5 0.
Потребители
Поставщики
А1
400
А2
300
А3
500
Vj
В1
В2
В3
В4
В5
350
250
150
250
200
250
Ui
150
4
6
9
5
10
4
0
6
0
250
0
50
9
100
150
7
V1=7
U1=-3
8
250
11
V2=8
8
V3=8
U1 V1 4,
U1 V5 0,
U 2 V2 5,
U 2 V5 0,
U 3 V1 7,
U 3 V3 8,
U 3 V4 6.
V1 7, V2 8, V3 8, V4 6, V5 3, U1 3, U 2 3, U 3 0
V4=6
V5= 3
U2=-3
U3 =0
40
Проверяем выполнение неравенства Ui + Vj ≤ Сij, в свободных клетках:
U1 V2 8,
U1 V3 6,
U1 V4 9,
U 2 V1 9,
U 2 V3 10,
U 2 V4 4,
U 3 V2 11,
U 3 V5 0.
Неравенство Ui + Vj ≤ Сij,в свободных клетках выполняется, построенной план является оптимальным.
Анализ решения.
1.
Оптимальный план перевозки продукции:
– от поставщика А1 перевозится 250 ед. продукции потребителю В1; 150 ед. продукции остается у поставщика;
– от поставщика А2 перевозится 250 ед. продукции потребителю В2; 50 ед продукции остается у поставщика;
– от поставщика А3 перевозится 100 ед.продукции потребителю В1, 150 ед, потребителю В3, 250 ед. потребителю В4 .
2.Суммарные затраты на изготовление и перевозку продукции:
Zmin 250 4 250 5 100 7 150 8 250 6 5650 ден. ед.
Задача №2
Условие: Студенческие отряды СО-1, СО-2 и СО-3 численностью 70, 99 и 80 человек принимают участие в
сельскохозяйственных работах. Для уборки картофеля на полях П1, П2, П3 и П4 необходимо выделить соответственно 47, 59, 49
и 43 человека. Производительность труда студентов зависит от урожайности картофеля, от численности отряда и
характеризуется для указанных отрядов и полей в центнерах на человека за рабочий день и представлена в матрице:
Сумма = 198
Bj
П1
П2
П3
П4
Ai
47
59
49
43
3
7
2
5
СО-1
70
2
3
4
6
СО-2
99
6
4
3
5
СО-3
80
Сумма = 249
Требуется:
Распределить студентов по полям так, чтобы за рабочий день было собрано максимально возможное количество
картофеля;
2)
Определить, сколько центнеров картофеля будет убрано с четырех полей при оптимальном распределении
студентов
1)
Решение:
1.Проверяем задачу на сбалансированность.
Общее количество человек в студенческих отрядах на 51 больше требуемого общего количества человек для уборки
картофеля.
Задача является не сбалансированной.
Чтобы сбалансировать задачу, добавляем фиктивное картофельное поле, для уборки которого нужно выделить 51 человека.
Производительность труда студентов на фиктивном поле принимаем равной НУЛЮ.
41
Составляем исходную таблицу
табл.1
Bj
Ai
СО-1
СО-2
СО-3
Сумма = 249
70
99
80
П1
47
3
2
6
П2
59
7
3
4
П3
49
2
4
3
П4
43
5
6
5
Сумма = 249
П5
51
0
0
0
Обозначения:
П5 – фиктивное картофельное поле;
Сij – производительность труда студентов i -го СО на j – м картофельном поле;
Xij – количество студентов, направляемое из i -го СО на j-ое картофельное поле;
Ui – условные оценки СО;
Vj – условные оценки картофельных полей
2.
Составляем математическую модель прямой и двойственной задач.
Математическая модель прямой задачи:
Целевая функция (на максимум)
Z max 3x11 7 x12 2 x13 5x14 2 x21 3x22 4 x23 6 x24 6 x31 4 x32 3x33 5x34
Система ограничений:
x11 x12 x13 x14 x15 70,
x11 x21 x31 47,
x21 x22 x23 x24 x25 99,
x12 x22 x32 59,
x31 x32 x33 x34 x35 80,
x13 x23 x33 49,
xij 0
x14 x24 x34 43,
x15 x25 x35 51,
x ji 0
Математическая модель двойственной задачи.
Z min 70U1 99U 2 80U 3 47V1 59V2 49V3 43V4 51V5
U i V j Cij , U i ,V j произвольного знака
Решаем задачу по методу максимального элемента.
Составляем опорный план (табл. 2)
Bj
П1
Ai
47
Табл.2
П2
59
П3
49
П4
43
11
59
СО-1
+W
U1=-1
3
7
-W
2
49
5
32
0
+W
U 2= 0
99
2
СО-3
–W
Ui
70
18
СО-2
П5
51
80
29
+W
3
4
6
0
51
-W
U3 =4
42
6
Vj
Проверяем на вырожденность.
4
V1=2
3
V2=8
5
V3=4
0
V4=6
V5= -4
W=11
Z= m+n-1=3+5-1=7
Базисных клеток 7. План не вырожден.
Проверяем опорный план на оптимальность.
Задаем U2 = 0 и определяем значения потенциалов.
U 2 V1 2, V1 2,
U 2 V3 4, V3 4,
U 2 V4 6, V4 6,
U 3 V1 6, U 3 6 V1 6 2 4,
U 1 V2 7, V2 7 U 1 7 (1) 8,
U 1 V4 5, U 1 5 V4 5 6 1,
U 3 V5 0, V5 0 U 3 4,
Вычисляем оценки для всех незаполненных клеток (ij)
11 U1 V1 3 1 2 3 2
12 U1 V3 2 1 4 2 1
15 U1 V5 0 1 (4) 0 5
22 U 2 V2 3 0 8 3 5
25 U 2 V5 0 0 (4) 0 4
32 U 3 V2 4 4 8 4 8
33 U 3 V3 3 4 4 3 5
34 U 3 V4 5 4 6 5 5
Опорное решение не является оптимальным, так как имеются отрицательные оценки.
Переходим к следующему плану.
Для клетки (1,5) с наименьшей оценкой (-5) строим цикл. Ставим в эту клетку коэффициент W со знаком «+» и применяя
метод наибольшего элемента находим цикл, (табл. 2). Определяем из цикла W =11
Осуществляем сдвиг по циклу и строим следующий план (табл. 3)
Bj
П1
П2
П3
Ai
47
59
49
СО-1
7
7
-W
2
49
80
Ui
U1=4
5
0
+W
43
U 2= 0
99
2
СО-3
11
59
70
3
СО-2
Табл.3
П5
51
П4
43
40
+W
3
4
6
0
40
-W
U3 =4
43
6
4
V1=2
Vj
3
V2=3
5
V3=4
0
V4=6
V5= -4
Проверяем план на оптимальность методом максимального элемента, как в п.З.
Задаем U2 = 0 и определяем значения потенциалов.
U 2 V1 2, V1 2,
U 2 V3 4, V3 4,
U 2 V4 6, V4 6,
U 3 V1 6, U 3 6 V1 6 2 4,
U 3 V5 0, V5 0 U 3 4,
U1 V5 0, U1 0 V5 0 (4) 4,
U1 V2 7, V2 7 U1 7 4 3,
Вычисляем оценки для всех незаполненных клеток (ij)
11 U 1 V1 3 4 2 3 3
13 U 1 V3 2 4 4 2 6
14 U 1 V4 5 4 6 5 5
22 U 2 V2 3 0 3 3 0
25 U 2 V5 0 0 (4) 0 4
32 U 3 V2 4 4 3 4 3
33 U 3 V3 3 4 4 3 5
34 U 3 V4 5 4 6 5 5
Определяем из цикла W=7
Осуществляем сдвиг по циклу и строим следующий план (табл. 4).
абл. 4
П1
47
Bj
Ai
СО-1
П2
59
П3
49
П4
43
3
7
2
49
99
2
43
3
0
7
4
6
0
U 2= 0
0
U3 =0
33
6
80
Vj
U1=0
5
47
СО-3
Ui
11
59
70
СО-2
П5
51
V1=6
4
V2=7
Проверяем план на оптимальность методом максимального
3
V3=4
5
V4=6
V5= 0
44
элемента, как в п.З.
Задаем U2 = 0 и определяем значения потенциалов.
U 2 V3 4, V3 4,
U 2 V4 6, V4 6,
U 2 V5 0, V5 0,
U 3 V5 0, U 3 0,
U 3 V1 6, V1 6,
U1 V5 0, U1 0,
U1 V2 7, V2 7,
Вычисляем оценки для всех незаполненных клеток (ij)
11 U1 V1 3 0 6 3 3
13 U1 V3 2 0 4 2 2
14 U1 V4 5 0 6 5 1
21 U1 V1 2 0 6 2 4
нет отрицательных оценок
22 U1 V2 3 0 7 3 4
32 U 3 V2 4 0 7 4 3
33 U 3 V3 3 0 4 3 1
34 U 3 V4 5 0 6 5 1
план табл. 4 оптимален.
Определяем значение целевой функции прямой и двойственной задачи:
Z max 7 59 4 49 6 43 6 47 1149
Z min 6 47 7 59 4 49 6 43 1149
Исходя из первой теоремы двойственности в условии нашей задачи Z max=Zmin=1149 (Z=Z’) последний план оптимален
Ответ:
1) Чтобы за рабочий день было убрано максимально возможное количество картофеля, следует распределить
студентов по полям следующим образом:
– Из СО-1 выделить 59 человек для уборки картофеля на втором поле П 2, а 11 человек останутся в СО;
– из СО-2 выделить 49 человек для уборки картофеля на ПЗ и 43 человека для уборки картофеля на П 4, а 7 человек
останутся в СО;
– из СО-3 выделить 47 человек для уборки картофеля на П1, а 33 человека оставить в СО.
2) При данном оптимальном распределении студентов с четырех полей будет убрано 1149 центнеров картофеля.
Контрольные вопросы.
1.Как сформулировать постановку транспортной задачи ?
2.Какие величины в математической модели транспортной задачи постоянные и какие переменные?
3.Как составить математическую модель прямой и двойственной транспортной задачи?
4.Какая клетка в плане транспортной задачи называется «базисной» и какая «свободной»?
5.Приведите пример сбалансированной и несбалансированной транспортной задачи. Как сбалансировать исходный план
транспортной задачи?
45
6.Поясните понятие «вырожденность» и «невырожденность» плана. Как построить «невырожденный» план?
7.Алгоритм метода наименьшего (наибольшего) элемента.
8.Метод потенциалов и его алгоритм.
9.Какой план транспортной задачи называется опорным?
10.Какой критерий оптимальности плана транспортной задачи?
11.Поясните понятие «коэффициент перераспределения груза – W» и как он определяется?
12.Как построить контур перераспределения W?
13.Анализ решения транспортной задачи.
ЗАДАНИЕ 5. Тема: «ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ».
Задача 5.1
Для реконструкции и модернизации производства на четырех предприятиях выделены денежные средства С = 80 ден.
ед. По каждому предприятию известен возможный прирост gi(х) (i = 1, 4) выпуска продукции в зависимости от выделенной
суммы. Требуется:
1) распределить средства С между предприятиями так, чтобы суммарный прирост продукции на всех четырех
предприятиях достиг максимальной величины;
2) используя решение основной задачи, найти оптимальное распределение 80 ден. ед. между тремя предприятиями.
Необходимые числовые данные приведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Параметр
g1(20)
g1(40)
g1(60)
g1(80)
g2(20)
g2(40)
g2(60)
g2(80)
g3(20)
g3(40)
g3(60)
g3(80)
g4(20)
g4(40)
g4(60)
g4(80)
1
9
18
24
38
11
19
30
44
16
32
40
57
13
27
44
69
2
9
17
29
38
11
34
46
53
13
28
37
49
12
35
40
54
3
7
29
37
41
9
19
28
37
17
27
37
48
16
30
42
65
4
9
10
35
44
12
25
34
46
11
20
32
48
14
23
40
50
Номер варианта
5
6
7
9
11
12
18
21
26
29
40
40
41
54
60
8
13
16
19
20
21
30
42
36
47
45
49
12
12
9
25
22
17
51
34
35
58
55
51
7
10
15
15
27
25
52
33
51
59
57
62
8
14
24
37
45
12
30
42
58
13
25
45
62
7
33
46
60
9
16
28
36
49
10
29
42
50
15
27
46
58
17
23
38
53
0
12
28
39
47
14
26
40
51
11
24
43
51
16
21
36
49
Задача 5.2
В начале планового периода продолжительностью 6 лет имеется оборудование, возраст которого t. Оборудование не
должно быть старше 6 лет. Известны: стоимость r(t) продукции, произведенной в течение года с помощью этого
оборудования; ежегодные расходы u(t), связанные с эксплуатацией оборудования; его остаточная стоимость s; стоимость р
нового оборудования, включающая расходы, связанные с установкой, наладкой и запуском оборудования. Требуется:
1) составить матрицу максимальных прибылей fn(t) за 6 лет;
2)сформировать
по
матрице
максимальных
прибылей
оптимальные
стратегии
замены
оборудования
возрастов
t
и
t1
лет
в
плановом
периоде
продолжительностью 6 и N лет.
Необходимые данные приведены в табл. 5.2.
46
Таблица 5.2
Параметр
1
5
4
1
0
10
20
20
20
19
19
18
18
10
11
12
12
13
13
14
N
t
t1
s
p
r(0)
r(1)
r(2)
r(3)
r(4)
r(5)
r(6)
u(0)
u(1)
u(2)
u(3)
u(4)
u(5)
u(6)
2
3
4
2
2
11
22
22
21
21
21
20
20
12
13
13
14
15
15
16
3
2
5
3
2
14
25
24
24
23
22
21
21
13
13
14
15
15
16
16
4
5
3
5
0
10
28
27
27
26
25
25
24
16
16
17
17
17
18
18
Номер варианта
5
6
7
3
4
5
5
4
3
4
6
5
3
0
5
10
8
17
21
24
28
20
24
27
19
24
26
19
23
25
18
23
24
18
22
24
17
21
23
11
13
15
11
14
15
11
15
16
12
16
17
12
17
17
13
17
18
13
17
19
8
4
6
4
2
12
20
20
20
18
17
16
16
8
9
9
10
10
10
11
9
5
3
6
0
6
26
25
25
24
24
23
23
15
15
16
16
17
17
18
0
3
6
3
1
13
23
23
22
22
21
20
20
11
12
13
14
14
15
16
Методические указания
ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СРЕДСТВ НА 1 ГОД
Пример: имеется запас средств, который нужно распределить между предприятиями, чтобы получить наибольшую
прибыль. Пусть начальный капитал S0=100 д.ед. Функции дохода предприятий даны в матрице прибылей по каждому
предприятию.
1 предприятие
f (х1)
3
4
9
11
12
Х
20
40
60
80
100
2 предприятие
f (х2)
2
5
8
7
15
Решение: математическая модель прямой задачи:
4
Z Fi ( xi )
max
x
i 1
i
100
xi 0, i 1,2,3,4.
3 предприятие
f (х3)
3
4
9
5
12
4 предприятие
f (х4)
3
6
8
7
14
47
Задача решается с использованием принципа Беллмана.
I
условная оптимизация
x3
x1
х2
x4
S 0
S1
S 2
S3
S4
II
безусловная оптимизация
Каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие управления
должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце каждого шага.
Использование данного принципа гарантирует, что управление, выбранное на любом шаге, не локально лучше, а лучше с
точки зрения процесса в целом.
Схема решения:
4 предприятия
денег всего S0=80
Условная оптимизация-1 этап
So____Iпр________ S1____ IIпр_________ S2__ IIIпр______ S3___
1шаг
2 шаг
3 шаг
х1
х2
х3
f(x1)
f(x2)
f(x3)
IVпр________S4
4 шаг
х4
f(x4)
F4=max{f(x4)}
Безусловная
оптимизация - 2 этап
F3=max{ f(x3)+F4}
F2=max{ f(x2)+F3}
F1=max{ f(x1)+F2}
Экономический смысл обозначений:
xi – количество денег, вкладываемых в i предприятие.
Si – количество денег, оставшихся после вложения в i-предприятие (состояние системы на i-шаге);
F(xi) – прибыль от вложенной суммы денег;
S0 – начальный капитал.
48
Рассмотрим 4 шаг:
На 4-ом предприятии может остаться либо 0, либо 20, либо 40, либо 60, либо 100 д.ед.Тогда прибыль от вложения
денег можно получить следующую.
Х4
0
20
40
60
80
100
S3
0
20
40
60
80
100
f (x4)
0
3
6
8
7
14
F4
0
3
6
8
7
14
Рассмотрим 3-й шаг.
На 3-ем и 4-ем предприятии может остаться либо 0, либо 20, либо 40, либо 60, либо 100 д.ед. Рассмотрим первую
возможность. Если 3-му предприятию мы выдаем 20 д.ед. то 4-му предприятию ничего не остается, и наоборот.
Соответственно 40 д.ед.можно поделить так (0;40), (20;20);
60 д.ед. – (0;60), (20;40), (40;20), (60;0).
Прибыль от вложения денег в 3-е предприятие берется в исходной матрице прибылей, а прибыль от вложений, денег
в 4-е предприятие берется из таблицы предыдущего шага
Прибыль на 3-м шаге берется максимальной по каждому вложению.
Вклад
Проект
Остаток
S2
0
Х3
0
0
20
0
20
40
0
20
40
60
0
20
40
60
80
0
20
40
60
80
100
S3
0
20
0
40
20
0
60
40
20
0
80
60
40
20
0
100
80
60
40
20
0
20
40
60
80
100
Прибыль из
матрицы
f (x3)
0
0
3
0
3
4
0
3
4
9
0
3
4
9
5
0
3
4
9
5
12
Прибыль за
шаг
F4
0
3
0
6
3
0
8
6
3
0
7
8
6
3
0
14
7
8
6
3
0
f+F
0
3
3
6
6
4
8
9
7
9
7
11
10
12
5
14
10
12
15
8
12
Прибыль на
шаге
F3
0
3
6
9
12
15
49
Рассмотрим 2 шаг.
Вклад
Проект
Остаток
S1
0
Х2
0
0
20
0
20
40
0
20
40
60
0
20
40
60
80
0
20
40
60
80
100
S2
0
20
0
40
20
0
60
40
20
0
80
60
40
20
0
100
80
60
40
20
0
20
40
60
80
100
Прибыль из
матрицы
f (x2)
0
0
2
0
2
5
0
2
5
8
0
2
5
8
7
0
2
5
8
7
15
Прибыль за
шаг
F3
0
3
0
6
3
0
9
6
3
0
12
9
6
3
0
15
12
9
6
3
0
Прибыль из
матрицы
f (x2)
0
3
4
9
11
12
Прибыль за
шаг
F3
15
12
9
6
3
0
f+F
0
3
2
6
5
5
9
8
8
8
12
11
11
11
7
15
14
14
14
10
15
Прибыль на
шаге
F2
0
3
6
9
12
15
Рассмотрим 1 шаг.
Вклад
Проект
Остаток
S1
Х2
0
20
40
60
80
100
S2
100
80
60
40
20
0
100
f+F
15
15
13
15
14
12
Прибыль на
шаге
F2
15
Анализ результатов:
Максимальная прибыль равна 15 д.ед. Расположить денежные средства между проектами можно несколькими
способами:
1) 1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 40 д.ед.
2) 1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 100 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 0 д.ед.
3) 1 проект – 20 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 20 д.ед.
50
4) 1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 20 д.ед., 4 проект – 20 д.ед.
5) 1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 40 д.ед.
задача о замене оборудования
С течением времени любое оборудование изнашивается физически и морально, поэтому на каком-то этапе его
эксплуатация становится менее выгодной, нежели приобретение и использование нового оборудования. В связи с этим
возникает задача определения наиболее подходящего момента замены оборудования, В качестве критерия оптимальности
при замене оборудования принимают минимум ожидаемых затрат или максимум ожидаемой прибыли за какой-то период
времени.
В начале планового периода N = 4 годам, имеется оборудование, возраст которого t = 2 года. Для каждого года
планового
периода
известны
стоимость
r(t)
произведенной
с
использованием
имеющегося
оборудования
продукции и затраты v(t), связанные с его эксплуатацией. Эти характеристики зависят от возраста оборудования. Известны
также остаточная стоимость оборудования s = 4 ден. ед., не зависящая от его возраста, и стоимость нового оборудования р =
13 ден, ед., не меняющаяся в рассматриваемом плановом периоде. Срок эксплуатации данного оборудования не более 6 лет.
t
r(t)
v(t)
0
27
15
1
23
15
2
26
16
3
25
16
4
24
16
5
23
17
6
21
19
Требуется разработать оптимальную политику в отношении имеющегося оборудования, те. на начало каждого года
планового периода установить, сохранить в этом году оборудование или продать его по остаточной стоимости s, или купить
новое оборудование, чтобы ожидаемая прибыль за N лет достигла максимальной величины.
Решение:
Схема решения
51
Состояние системы (S) будем характеризовать возрастом оборудования t = 0, 1,.... Значение t = 0 соответствует новому
оборудованию. Пусть хi - управление на i-м шаге, которое имеет два варианта - "сохранение" и "замена".
Математическая модель:
Математическая модель задачи:
Z = ΣFi(xi)→max
сохранить
xi - управление =
заменить
Экономический смысл переменных:
N - плановый период эксплуатации оборудования;
ZC - прибыль в случае сохранения оборудования;
ZЗ - прибыль в случае замены оборудования;
S0 - первоначальное состояние системы;
SHi - предполагаемый возраст оборудования в начале i-го периода, т.е. после того, как мы примем
решение сохранить или заменить его;
Si - возраст в конце i-го периода;
r(t) - прибыль от эксплуатации;
u(t) - расходы на эксплуатацию;
s - остаточная стоимость оборудования;
p - стоимость нового оборудования;
52
t - возраст оборудования;
fi - доход на i-ом шаге;
Fi - максимальный доход на i-ом шаге.
Рассмотрим основное функциональное уравнение на последнем, N-м шаге: FN (SN-1 , x N ) max Z N (SN-1 , x N ) .
В этой и последующих формулах максимальная прибыль на очередном шаге определяется с учетом всех возможных
состояний системы, в которых она может находиться сразу после принятия решения в начали данного года, поэтому
целесообразно уравнение переписать в виде
FN (SN-1 , x N ) max Z N (SNH , x N ) .
Если при этом в начале года выбрано управление "сохранение", то прибыль
Z N выражается разностью
Z N (S NH , x N ) r(SNH ) - v(SNH ) , если же выбрано управление "замена", то прибыль можно записать в виде
Z N (SNH , x N ) s p r(0) - v(0) .
Максимальная прибыль определяется большим из двух приведенных выражений. Если прибыль в обоих случаях будет
одинаковой, то целесообразно принять управление "сохранение", так как имеющееся оборудование хорошо освоено и с ним
легче работать.
При
произвольном
шаге
(i
<
N)
основное
функциональное
уравнение
принимает
вид
Fi (Si-1 , x i ) max(Zi (SiH , x i ) Fi1 (Si )) . Прибыль на i-м шаге по-прежнему определяется парой формул:
Zi (SiH , x i ) r(SiH ) - v(SiH ) , если выбрано управление "сохранение", и Zi (SiH , x i ) s p r(0) - v(0) – в противо-положном
случае.
Применим рассмотренный алгоритм к решению конкретной задачи. Начнем с последнего, четвертого года планового
периода. Имеем:
F4 (S3 , x 4 ) max Z4 (S3H , x 4 )
Z4 (S4H , x 4 ) r(S4H ) - v(S4H ) - в случае "сохранения" оборудования и
Z 4 (S4H , x 4 ) 3 - в случае его "замены".
Составляем первую таблицу, рассматривая все возможные начальные состояния оборудования, т.е. его возраст S3 = 1 –
6 лет.
x4
S4H
Z4
F4
Сохранение
1
11
11с
Замена
0
3
2
Сохранение
2
10
10с
Замена
0
3
3
Сохранение
3
9
9с
Замена
0
3
4
Сохранение
4
8
8с
Замена
0
3
5
Сохранение
5
6
6с
Замена
0
3
6
Сохранение
6
2
–
Замена
0
3
3з
Анализ таблицы показывает, что заменять оборудование выгодно только в том случае, если его возраст уже равен 6
годам, т.е. по условиям оборудование нельзя использовать далее.
Переходим к анализу ситуации перед третьим годом исследуемого периода.
F3 (S2 , x 3 ) max(Z3 (S3H , x 3 ) F4 (S3 ))
S3
1
Z3 (S3H , x 3 ) r(S3H ) - v(S3H ) - в случае "сохранения" оборудования и
Z3 (S3H , x 3 ) 3 - в случае его "замены".
Теперь следует оптимизировать расходы за двухлетний период (последний и предпоследний годы). Оптимальную
53
прибыль за четвертый год следует взять из первой таблицы. Подчеркнем, что S3H - возраст оборудования в начале третьего
года сразу после принятия решения о его сохранении или замене; S3 - возраст оборудования к концу третьего года. Данные
в колонку F4 переносятся из предыдущей таблицы в соответствии со значением параметра S3
S2
1
2
3
4
5
6
X3
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
S3H
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0
Z3
11
3
10
3
9
3
8
3
6
3
2
3
S3
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
–
1
F4
10
11
9
11
8
11
6
11
3
11
–
11
Z3+F4
21
14
19
14
17
14
14
14
9
14
–
14
F3
21с
19с
17с
14с
–
14з
–
14з
.
Условная оптимизация на начало второго года приведена в следующей таблице:
S1
1
2
3
4
5
6
X2
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
S2H
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0
Z2
11
3
10
3
9
3
8
3
6
3
2
3
S2
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
–
1
F3
19
21
17
21
14
21
14
21
14
21
–
21
Z2+F3
30
24
27
24
23
24
22
24
20
24
–
24
F2
30с
Z1+F2
38
33
24
33
33
33
32
33
30
33
–
33
F1
38с
27с
24з
24з
24з
–
24з
Последняя таблица завершает условную оптимизацию.
S0
1
2
3
4
5
6
X1
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
Сохранение
Замена
S1H
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0
Z1
11
3
10
3
9
3
8
3
6
3
2
3
S1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
–
1
F2
27
30
24
30
24
30
24
30
24
30
–
30
34з
33з
33з
33з
–
33з
С помощью таблиц условной оптимизации можно сформулировать оптимальную политику в отношении оборудования
любого возраста не старше 6 лет в течение четырехлетнего периода. Для наглядности основные результаты, содержащиеся в
последних столбцах четырех построенных таблиц оформим в виде сводной таблицы, которая называется матрицей
максимальных прибылей, и выделим элементы, ниже которых расположены показатели суммарной прибыли,
соответствующие выбору управления "замена". Элементы, расположенные выше линии, находятся в области "сохранения"
оборудования.
54
Матрица максимальных прибылей.
t
1-4
42
38
33
33
33
33
33
0
1
t=2
3
4
5
6
Годы
2-4
3-4
–
–
30
21
27
19
17
24
14
24
24
14
24
14
4
–
11
10
9
8
6
3
Сформулируем оптимальную политику в отношении оборудования, возраст которого 2 года. В таблице для t = 2 в
первой колонке стоит суммарная прибыль 33 ден. ед. за четыре года, при этом выбор управления – "замена". К началу
второго года возраст оборудования составит 3 года, поэтому в следующей колонке мы выбираем строку, соответствующую
возрасту 3 года. Оптимальная прибыль за второй - четвертый годы -24 ден. ед., и мы находимся в области "замены"
оборудования, следовательно, к началу третьего года оборудование будет иметь возраст 1 год. Прибыль за третий четвертый годы для такого оборудования равна 21 деи. ед., за последний, четвертый год - 10 ден. ед.и находятся в области
“сохранения”. Таким образом, рекомендуется замена оборудования в начале второго года.
ЗАДАНИЕ 6.
Тема: «ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ И ДИСКРЕТНОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ».
ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ ЗАДАЧА.
Задача 6.1.
Дана математическая модель целочисленной задачи. Для принятия управленческого решения требуется найти оптимальный
целочисленный план и максимальное значение целевой функции.
Решить задачу методом ветвей и границ. Данные необходимые для решения, приведены в табл. 6.1.
т
н
а
и
р
а
В
Таблица 6.1
Математическая модель задачи
55
Целевая функция
Ограничения
Условие
неотрицательности
1
Z 4 x1 3x2
max
2
Z 3x1 5x2
max
3x1 2 x2 16; 2 x1 3x2 18; x1 , x2 целые числа
2 x1 3x2 10; 4 x1 3x2 13; x1 , x2 целые числа
3
Z 6 x1 7 x2
max
3x1 5 x2 15; 6 x1 3x2 19; x1 , x2 целые числа
x1, x2 ≥ 0
4
Z 2 x1 3x2
max
2 x1 7 x2 20; 5 x1 4 x2 15; x1 , x2 целые числа
x1, x2 ≥ 0
5
Z 4 x1 3x2
max
3x1 2 x2 16; 2 x1 3x2 18; x1 , x2 целые числа
x1, x2 ≥ 0
6
Z 3x1 5x2
max
5 x1 2 x2 14; 2 x1 5 x2 16; x1 , x2 целые числа
x1, x2 ≥ 0
7
Z 5x1 4 x2
max
9 x1 4 x2 31; 8 x1 6 x2 39; x1 , x2 целые числа
x1, x2 ≥ 0
8
Z 4 x1 2 x2
max
4 x1 7 x2 16; 9 x1 4 x2 21; x1 , x2 целые числа
x1, x2 ≥ 0
9
Z 4 x1 3x2
max
4 x1 5 x2 19; 6 x1 2 x2 25; x1 , x2 целые числа
x1, x2 ≥ 0
0
Z 2 x1 4 x2
max
5 x1 6 x2 24; 7 x1 5 x2 30; x1 , x2 целые числа
x1, x2 ≥ 0
x1, x2 ≥ 0
x1, x2 ≥ 0
ЗАДАЧА ДИСКРЕТНОГО ПРГРАММИРОВАНИЯ.
ЗАДАЧА КОММИВОЯЖЕРА.
Задача 6.2.
Имеется необходимость посетить n городов в ходе деловой поездки. Спланировать поездку нужно так, чтобы,
переезжая из города в город, побывать в каждом не более одного раза и вернуться в исходный город. Определить
оптимальный маршрут посещения городов и его минимальное расстояние.
Задана матрица расстояний между городами cij. (см.условия задачи).
Сформулированная задача - задача целочисленная. Пусть хij = 1 , если путешественник переезжает из i -ого города в
j-ый и хij = 0, если это не так.
Формально введем (n+1) город, расположенный там же, где и первый город, т.е. расстояния от (n+1) города до
любого другого, отличного от первого, равны расстояниям от первого города. При этом, если из первого города можно лишь
выйти, то в (n+1) город можно лишь придти.
Введем дополнительные целые переменные, равные номеру посещения этого города на пути. u1 = 0, un+1 = n . Для
того, чтобы избежать замкнутых путей, выйти из первого города и вернуться в (n+1) введем дополнительные ограничения,
связывающие переменные xij и переменные ui. ( ui целые неотрицательные числа).
2. Математическая модель
n
n
Min ( cij xij ),
i, j 1 n, i j
i 1 j
n
xij 1,
i j,
i 1
x
j 1
u i u j nxij n 1,
0 ui n
n
xin1 xi1 ,
ij
1,
j 2 n 1,
i 2,..., n
Необходимые данные приведены ниже.
Условия задачи 6.2. Матрица расстояний cij
Вариант 1
ji
i 1 n,
i j,
при
i 1
j n 1
56
1
1
2
3
4
19
25
5
2
31
43
50
3
15
22
4
19
31
53
49
Вариант 2
1
1
2
3
4
37
10
38
2
19
50
39
3
25
26
4
11
58
39
24
Вариант 3
1
1
2
3
4
19
57
5
2
16
51
40
3
13
29
4
35
31
44
32
Вариант 4
1
1
2
3
4
30
54
19
2
39
16
36
3
45
20
4
2
33
55
25
Вариант 5
1
1
2
3
4
42
36
46
2
41
5
24
3
27
11
4
54
32
33
59
Вариант 6
1
1
2
3
4
58
22
25
2
21
12
47
3
40
11
4
28
39
23
51
Вариант 7
1
1
2
3
4
Вариант 8
34
29
26
2
6
31
34
3
56
46
12
4
35
46
32
57
1
1
2
3
4
2
22
34
45
39
33
7
3
26
12
4
56
51
44
16
Вариант 9
1
1
2
3
4
2
4
58
34
52
29
4
3
39
56
4
22
18
17
22
Вариант 0
1
1
2
3
4
2
14
48
57
30
35
50
3
40
34
4
33
4
24
44
Методичские указания
Понятия о методе ветвей и границ.
Метод ветвей и границ заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые
оказываются по определенным признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов.
Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых решений (планов) некоторым способом
разбивается на подмножества, каждое из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс
продолжается до тех пор. Пока не получено оптимальное целочисленное решение исходной задачи.
Название метода ветвей и границ исходит из того, что в процессе решения задача последовательно «ветвится»,
заменяясь более простыми. Процесс решения можно продолжать в виде дерева, цифры в узлах (вершинах) которого
обозначают план решения задачи (искомые переменные).
Графический метод решения задач целочисленного программирования.
При наличии в задаче линейного программирования двух переменных, а в системе ограничения – неравенств, она
может быть решена графическим методом без требований целочисленных переменных.
Если оптимальное решение этой задачи является целочисленным, то оно и является оптимальным для исходной
задачи.
Если же полученное оптимальное решение не целочисленное, то строится дополнительное линейное ограничение.
Оно обладает следующими свойствами:
1) Оно должно быть линейным;
2) Должно отсекать найденный оптимальный не целочисленный план;
3) Не должно отсекать ни одного целочисленного плана.
Алгоритм графического решения задачи
целочисленного программирования.
1.
Построить систему координат x10х2 и выбрать масштаб.
2.
Найти область допустимых решений (ОДР) системы ограничений задачи.
3.
Построить целевую функцию, являющуюся линией уровня и на ней указать направление нормали.
4.
Переместить линию целевой функции по направлению нормали через ОДР, чтобы она из секущей стала касательной
к ОДР и проходила через наиболее удаленную от начала координат точку. Эта точка будет являться точкой экстремума, т.е.
решением задачи.
58
Если окажется, что линия целевой функции параллельна одной из сторон ОДР, то в этом случае экстремум достигается во
всех точках соответствующей стороны, а задача линейного программирования будет иметь бесчисленное множество
решений.
5.
Найти координаты, точки экстремума и значение целевой функции в ней. Если полученные значения не
целочисленные, то перейти к следующему шагу.
6.
Выделить у этих координат область с целочисленными значениями.
7.
Определить новые координаты и построить граф.
8.
Найти точки с целыми значениями искомых переменных, подставить в уравнение целевой функции и найти её
значение. Максимальное из полученных значений целевой функции и будет решением задачи.
Пример решения задачи целочисленного программирования.
Условие задачи.
Решить методом ветвей и границ задачу, имеющую следующую математическую модель.
Z 7 x1 4 x2
max
3 x1 2 x2 12,
2 x1 5 x2 20,
x1 , x2 0,
x1 , x2 целые цисла
Решение:
1.
Находим координаты точек каждого линейного уравнения системы ограничений и строим прямые
1 прямая: 3х1+2х2=1
если х1=1, то 2х2=12, х2=6
если х2= 0, то 3х1=12, х1=4
2 прямая: 2х1+5х2=20
если х1=0, то 5х2=20, х2=4;
если х2=0, то 2х1=20, х1=10
2.
Находим ОДР.
Так как х1, х2 ≥ 0, то область будет ограничен прямыми ОХ1 и ОХ2 и построенными прямыми (см. рис.1).
3.
Находим координаты точек целевой функции и строим прямую целевой функции:
7х1+4х2=0
- первая точка х1=0; х2=0
- вторая точка х1=4, х2=(-7).
4.
Перемещаем прямую целевой функции по направлению через ОДР до тех пор, пока она не станет касательной к ней,
и находим точку А0.
5.
Находим координаты точек А0 и значение целевой функции в ней:
Х1=1,8; х2=3,27;
Z=71,8+43,27=12,6+13,08=25,68
Получен не целочисленный оптимальный план
6.
выделим область относительно точки А0 беря целые значения 1 ≤ х1 ≤ 2; 3 ≤ х2 ≤ 4.
Получим координаты точек по границе этой области:
А1 (1;3,6) А2 (2;3); А3 (0;4); А4 (1;3); А5 (0;3); А6 (1;0); А7 (2;0).
7.
Строим граф (рис.2)
8.
Для точек с целыми значениями их координат (искомые значения х1 и х2)находим значения целевой функции:
Для точки А2 (2;3) Z2= 72+43=26
Для точки А3 (0;4) Z3= 70+44=16
Для точки А4 (1;3) Z4= 71+43=19
Для точки А5 (0;3) Z5= 70+43=12
Для точки А6 (1;0) Z6= 71+40=7
59
Контрольные вопросы.
1.
Сформулируйте постановку задачи целочисленного программирования.
2.
Математическая модель задачи целочисленного программирования и ее особенности.
3.
Метод ветвей и границ и его применение.
4.
Алгоритм графического решения задачи целочисленного программирования.
5.
Как построить граф целочисленной области возможных решений задачи ?
6.
Как определить целочисленный план и экстремальное значение целевой функции?
60
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Красс М.С. Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. –
М.: Дело 2000.688с.
2. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике - М.: Банки и биржи, 1997. - 408 с.
3. Орлов А.И. Теория принятия решений. Учебное пособие. - М.: Издательство "Март", 2004. - 656 с.
4. Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. Москва, 2000. – 391 с.
5. Косоруков О .А., Мищенко А.В.. Исследование операций. Учебник для вузов - М.: Изд.
Экзамен,2003,-445с.
6. Кундышева Е.С.. Математическое моделирование в экономике. Уч. пособие. –М: Изд «Дашков и К0»
, 2004,-350с.
7. Экономико – математическое моделирование .Учебник для студентов вузов.Под
общ.ред.И.Н.Дрогобыцкого. – изд.»Экзамен»,2004. – 800с.
13. Шапкин А.С, Мазаева Н.П.
Математические методы и модели исследования операций:Учебник. – М.:Изд.-торговая корпорация
«Дашков и К0»,2004.-400 с.
8. М.С.Красс, Б. П. Чупрынов. Математические методы и модели для магистрантов экономики:
Учебное пособие. – СПб.:Питер,2006.-496с.
9.Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. - СПб: BHV, 1997. - 384
