Планирование эксперимента в задаче устойчивости

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ОСЛАБЛЕННОЙ ВЫРЕЗОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ
А. А. Саченков
Казанский государственный университет, Казань, Россия
Представлено теоретико-экспериментальное решение задачи устойчивости
цилиндрической оболочки эллиптического поперечного сечения при действии центрально
приложенной осевой сжимающей силы. При этом оболочка ослаблена круговым вырезом,
расположенным в средней части образующей в зоне малой кривизны боковой
поверхности. Поведение оболочки в этом случае весьма сложно. Докритическое
напряженно-деформированное состояние существенно моментное и геометрически
нелинейное. Оболочка терпит локальную потерю устойчивости с образованием волн в
зоне выреза. При дальнейшем нагружении происходит расширение области
волнообразования с переходом на область большей кривизны. В этот момент оболочка
теряет несущую способность. Обработку результатов эксперимента наиболее
целесообразно вести с позиций смешанного теоретико-экспериментального метода [2], в
условиях которого на основе анализа исходных уравнений устанавливается структура
расчетной зависимости с точностью до неизвестной функции, определяемой
экспериментально. Однако в данном случае объект исследования таков, что функция
получается зависящей от двух переменных (факторов): параметра эллиптичности и
параметра выреза. Это весьма усложняет процедуру ее экспериментального определения.
Для упрощения процесса обработки экспериментальных данных и минимизации числа
испытаний в работе реализована методика планирования эксперимента [1]. Так как при
этом изменяются одновременно все факторы, они должны быть совместимыми и
независимыми. Совместимость означает, что все комбинации факторов должны быть
осуществимы. Независимость предполагает возможность установления фактора на любом
уровне вне зависимости от уровня другого фактора. В качестве факторов были выбраны
две независимые переменные: X 1  a / b – отношение полуосей эллипса поперечного
сечения, X 2   – радиус отверстия.
Ставится задача построения математической модели, то есть построение
поверхности функции отклика в факторном пространстве. Данные для обработки
результатов эксперимента приведены в таблице 1.
Таблица 1
Основной уровень
Интервал варьирования
Верхний уровень
Нижний уровень
X1  a / b
X2  
1,5
0,5
2
1
7,5
7,5
15
0
Указанные в таблице переменные позволяют сформировать матрицу планирования,
на основе которой осуществляется расчет коэффициентов регрессии. Для случая
локальной потери устойчивости матрица планирования представлена в таблице 2.
Таблица 2
9
1
2
3
4
5
6
7
8
x0
x1
x2
x1 x2
y1
y2
yiсред
yiрасч
yiсред  yiрасч
1
1
-1
-1
1
155,7
147,4
151,55
151,63
-0,08
2
3
4
1
1
1
1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
33
83,7
13,8
31,04
78,9
12,7
32,02
81,3
13,25
32,03
81,3
13,23
-0,01
0,07
0,02
Здесь x j – кодированное значение фактора, вычисленное по формуле
xj 
X j  X j0
Ij
,
где X j – натуральное значение фактора, X j0 – натуральное значение основного уровня,
I j – интервал варьирования, j – номер фактора, y1 , y2 – значения критических нагрузок в
параллельных опытах, yiсред – среднее значение зависимой переменной в i -м опыте, yiрасч
– расчетное значение переменной, вычисленное по уравнению регрессии. Коэффициенты
регрессии определяются в соответствии с методикой, изложенной в [1]. Уравнение
регрессии для случая локальной потери устойчивости имеет вид
y  69,53  46,9 x1  22,3x2  12,9 x1 x2
Проверка значимости коэффициентов регрессии проводилась по t-критерию
Стьюдента или построением доверительного интервала. Оценка адекватности уравнения
регрессии в целом осуществляется в соответствии с F-критерием Фишера.
Для случая общей потери устойчивости матрица планирования и значения
зависимой переменной приведены в таблице 3.
Таблица 3
9
1
2
3
4
5
6
7
8
x0
x1
x2
x1 x2
y1
y2
yiсред
yiрасч
yiсред  yiрасч
1
1
-1
-1
1
155,7
147,4
151,55
151,58
-0,03
2
3
4
1
1
1
1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
54,28
100,4
26,88
51,12
94,6
25,32
52,7
97,5
26,1
52,66
97,54
26,06
0,04
-0,04
0,04
После вычисления коэффициентов регрессии уравнение регрессии принимает вид
y  81,96  42,6 x1  20,16 x2  6,86 x1 x2
В таблице 4 представлены значения коэффициентов регрессии для обеих форм
потери устойчивости:
Таблица 4
b1,2
b1
b0
b2
Локальная потеря устойчивости
69,53
-46,9
-22,3
12,9
Общая потеря устойчивости
81,96
-42,6
-20,16
6,86
Сравнение приведенных коэффициентов регрессии позволило установить
следующее. Как в случае локальной потери устойчивости, так и в случае полной потери
устойчивости наибольшее влияние на величину критической нагрузки оказывает параметр
эллиптичности (коэффициент b1 ). Коэффициент b2 при параметре выреза X 2 в целом
меньше соответствующего коэффициента b1 при параметре эллиптичности почти вдвое.
Его влияние на потерю устойчивости оболочки как локальной, так и общей, примерно
одинаково. Величина критической нагрузки локальной потери устойчивости в большей
мере, чем величина критической нагрузки полной потери устойчивости зависит от
взаимного влияния параметров геометрии оболочки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при
поиске оптимальных условий. – М.: Наука, 1976. –280 с.
2. Коноплев Ю.Г., Саченков А.А. Теоретико-экспериментальный метод в задаче
устойчивости цилиндрической оболочки эллиптического сечения // Исследования по
теории пластин и оболочек. Вып. 17. Ч. 1. – Казань: Изд-во КГУ, 1984. – С. 135–142.