Элементы линейной и векторной алгебры
реклама
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО
Уфимская государственная академия экономики и сервиса
ИВАНОВ М.С.
МАТЕМАТИКА
Часть 1
Элементы линейной и векторной алгебры
и аналитической геометрии
Учебное пособие
Рекомендовано
учебно-методическим советом УГАЭС
Уфа 2006
УДК 512:514
ББК 22.1:22.151.5 (Я 7)
И 20
Рецензенты:
Еникеев Т.И., канд. физ.-мат. наук, доцент, зам. директора
по научно-методической работе
Уфимского филиала Оренбургского государственного университета
Бакусова С.М., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры
экономической теории и мировой экономики
Иванов М.С.
Математика. Часть 1. Элементы линейной и векторной алгебры и
аналитической геометрии: Учеб. пособие. – Уфа: Уфимск. гос. акад. экон. и
сервиса, 2006. – 95 с.
ISBN 5–88469–303–Х
В данном пособии рассматриваются основные операции над матрицами,
свойства определителей и способы их вычислении, методы Гаусса и Крамера
решения систем линейных уравнении, а также понятие вектора, операции над
ними, разложение вектора по базису, уравнения прямой и плоскости, кривые
второго порядка.
ISBN 5–88469–303–Х
© Иванов М.С., 2006
© Уфимская государственная академия
экономики и сервиса,2006
2
МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
Дисциплина «Математика» занимает одно из центральных мест в
учебных планах экономических специальностей, она входит в цикл
математических и естественнонаучных дисциплин. Основные требования к
содержанию дисциплины определены государственным образовательным
стандартом высшего профессионального образования. Для освоения
дисциплины достаточно знаний и умений в объеме элементарной математики.
Математика играет важную роль в освоении естественнонаучных, инженернотехнических и экономических дисциплин. Матеметика является не только
орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и
средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Математика
является не только мощным средством решения прикладных задач и
универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.
Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую
составляющую в системе фундаментальной подготовки современного
экономиста.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА
Линейная и векторная алгебра и аналитическая геометрия составляет
начальный раздел общего курса математики в вузе. Целью данного раздела
является ознакомление с такими фундаментальными математическими
понятиями, как матрица, ранг матрицы, обратная матрица, определители,
решение системы линейных уравнении, метод Гаусса, вектор, линейная
независимость системы векторов, линейное пространство, его базис,
размерность, уравнения линий (прямой, конических сечений), поверхностей
(плоскости, поверхностей II порядка). Задачей курса является приобретение
знаний по основным математическим понятиям и навыков по решению
различных задач данного раздела.
ПЕРЕЧЕНЬ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ
Студент, успешно изучивший «Элементы линейной и векторной алгебры
и аналитической геометрии», должен знать такие математические понятия:
матрица, определитель, система линейных уравнений, вектор, линейное
пространство, уравнения различных линий и поверхностей.
Студент должен уметь: производить различные вычислительные
действия над матрицами, определителями, векторами; решать системы
линейных уравнений различными методами; выводить уравнения линий и
поверхностей 1-го и 2-го порядка.
3
ТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Матрицы, специальные виды матриц, действия над матрицами,
элементарные преобразования матрицы, ступенчатая форма матрицы.
Системы линейных уравнений, совместные, несовместные, определённые,
неопределённые, однородные, неоднородные. Правило Крамера, метод Гаусса
исследования и решения систем уравнений. Определители II и III и n-го
порядков, их основные свойства, способы вычисления определителей. Ранг
матрицы критерий совместимости систем линейных уравнений. Обратная
матрица способ её вычисления. Системы координат. Линии на плоскости.
Общее уравнение прямой линий на плоскости. Канонические уравнения
прямой. Уравнения прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя
прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Расстояние от точки до прямой. Линии второго порядка. Плоскость и прямая в
пространстве.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пискунов Л.С. Дифференциальные и интегральные исчисления, т. 2. М,
1978.
2. Боревич З.И. Определители и матрицы. М, 1970.
3. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. Учебное
пособие. Москва. ИНФРА-М, 1997
4. Высшая математика для экономистов, под редакцией проф. Кремера Н.Ш.
Москва. "Банки и биржи". Издательское объединение "ЮНИТИ", 1997.
5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, М, 1974.
6. П.Е. Данко, А.П. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Учебное пособие для вузов, часть I, Москва,
Высшая школа, 1986.
7. Бугряков Я.С. Никольский С.М. Задачник. Москва, Наука, гл. редакция
физ-мат. Литературы, 1982
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Сформулируйте правила сложения матриц и умножение матрицы на число.
Каким законом подчиняются эти операции?
Как определяется операция умножения двух матриц?
Какие матрицы называются перестановочными?
Дайте определение транспонированной матрицы. Какую матрицу называют
симметричной?
6. Какая матрица называется ступенчатой?
7. Что называется элементарными преобразованиями матрицы?
8. Что такое ранг матрицы и как его вычислить?
9. Какая система уравнений называется однородной? неоднородной?
1.
2.
3.
4.
5.
4
10. Всегда ли совместна однородная система уравнений? А неоднородная?
11. Когда система уравнений имеет единственное решение?
12. Что такое общее решение системы уравнений?
13. Сформулируйте критерий разрешимости неоднородной системы
уравнений?
14. Что называется определителем 2-го, 3-го и n-го порядков?
15. Сформулируйте правило разложения определителя по строке (столбцу).
16. Что называется минором M ij и алгебраическим дополнением Aij
элемента aij ?
17. Какая матрица называется не выровненной ?
18. Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы
вычисления обратной матрицы?
19. Как записывается система уравнений в матрично-векториальной форме?
Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?
20. Сформулируйте, в чём состоит процедура Гаусса и для решения каких
задач линейной алгебры она применяется?
21. Скалярные и векторные величины.
22. Линейные операции над векторами.
23. Проекция вектора на ось.
24. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
25. Скалярное произведение векторов.
26. Векторное произведение векторов.
27. Смешанное произведение векторов.
28. Прямая линия на плоскости. Различные уравнения прямой.
29. Окружность.
30. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
31. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы.
32. Парабола. Каноническое уравнение параболы.
33. Плоскость. Уравнение плоскости.
34. Прямая линия в пространстве. Ее уравнения.
ТРЕНИНГ-ТЕСТЫ
Выбрать один правильный ответ:
0 12
1. Вычислить 2 0 3
-4 0 0
а) –8; б)8; с)1; д)0.
2 0 0
2. Вычислить 0 2 0
0 0 2
5
а)8; б) –8; с)0; д)2.
1 2 5
3. Вычислить 0 0 0
7 9 2
а)0; б) –2; с)2; д)1.
1 0 0 0
4. Вычислить
0 10 0
0 01 0
0 00 1
а)1; б) –1; с)0; д)4.
1 1 1
5. Вычислить
1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 -4 -4 -4
а)0; б) –24; с) 3; д) -4
1 2 3
6. Вычислить 2 - 3 1
3 -1 4
а)0; б)1; с) –1; д) –12.
0 0 0 2
7. Вычислить
0 0 2 0
0 2 0 0
2 0 0 0
а)16; б) –16; с)0; д)2.
0
1 -1
8. Вычислить 1 2 1
2 -2 1
а)5; б) –5; с)3; д)0.
1 2
,
0 3
9. Найти Д=2А+АВ, А =
10 5
10 - 5
10
; б)
; c)
9 6
- 9 6
6
а)
2 1
В=
3 0
5
6 9
; д)
.
9
10 5
6
2
3 4
1 0
10. Найти Д = А 2 Е, А = , Е = .
1 0
0 1
11 12
11 -12
11 12
- 3 2
а)
; б)
; с)
; д)
2
3 2
3
- 3 2
11 12
11. Вычислить 2 АВ -5 ВА .
а) 7 АВ
б) -3 ВА
в) 3 АВ
г) 0
12. Вычислить угол между векторами a ={1;2;2} и b ={2;3;6}.
а) arccos 18/19
б) arccos 19/20
в) arccos 20/21
г) arccos 19/21
13. Даны векторы a ={3;4;0} и b ={-1;2;0}. При каком значении векторы
a + b и a ортогональны?
а) 0
б) 4
в) -5
3
г)
2
14. Треугольник АВС задан своими вершинами А (1;2;1), B (3;2;1), C (1;3;4).
Тогда его площадь равна
3
10
2
б) 2 10
в) 1/2 10
г) 10
а)
15. Найти смешанное произведение векторов a ={2;-1;-1}, b ={1;3;-1},
c ={1;1;4}.
а) 33
б) 32
в) 34
г) 30 2
7
16. Один конец отрезка перемещается по оси абсцисс, а другой по оси
ординат. Найти уравнение линии, описываемой серединой этого отрезка, если
длина отрезка равна 2.
а) х2+у2=2
б) х2+у2=4
в) х2-у2=1
г) х2-у2=4
17. Определить расстояние между параллельными прямыми 3х+у-3 10 =0 и
6х+2у+5 10 =0.
а) 2 10
б) 8 10
в) 5,5
г) 5,4
18. Даны вершины треугольника А (2;2), В (-2;-8) и С (-6;-2). Составить
уравнение медианы АМ.
а) 5х+10у-4=0
б) 6х-7у-2=0
в) 7х-6у-2=0
г) 4х-4у=0
19. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку М (9;8), если
асимптоты гиперболы имеют уравнения у= (2 2 /3)х.
а) х2/9-у2/8=1
б) х2/8-у2/9=1
в) х2/9-у2/16=1
г) у2/9-х2/8=1
20. Найти расстояние между точками А (30;80) и В (50;20).
а) 90
б) 100
в) 20 10
г) 101
Правильные ответы см. стр. 92.
8
СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ
МАТРИЦА – таблица, состоящая из определенного числа строк и определенного числа столбцов элементов.
КВАДРАТНАЯ МАТРИЦА – таблица, в которой число строк равно числу
столбцов.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ – это число, составленное по определенному правилу для
квадратной матрицы.
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ – действие по которому двум матрицам, взятым в
определенном порядке ставится по определенному правилу третья матрица.
ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА – это квадратная матрица, у которой главная
диагональ состоит из единицы, а все остальные нули.
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА К ДАННОЙ – это матрица, умножение которой на
данную матрицу дает единичную матрицу.
ВЕКТОР – направленный отрезок
БАЗИС – три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ – это число, вычисленное по определенному прапвилу для двух векторов
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ – это вектор, поставленный в соответствие
для двухданных векторов.
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ – это число для трех данных векторов.
ДЕКАРТОВА ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА – это ортонормированный
базис и точка, состоящая началом.
ЭЛИПС – это кривая, состоящая из точек, сумма расстояний которых до двух
определенных точек – постоянная величина.
ГИПЕРБОЛА – это кривая, состоящая из точек, разность расстояний которых
по модулю до двух определенных точек есть постоянная величина.
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ
ВВОДНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
В этом параграфе рассмотрим общематематические и логические
символы, которые используются в дальнейшем изложении всего курса
математики.
Знак конъюнкции: ^ (&), читается «и»,
Знак дизъюнкции: ˇ, читается «или»,
Знак отрицания: ┐(~), читается «не» или «неверно, что»,
Знак импликации , читается «если …, то …»,
Знак эквивалентности: , читается «если и только если», «тогда и
только тогда», «необходимо и достаточно».
9
Примеры
1) А: «Студенты заняли свои места»
В: «Лекция началась»
А & В означает, что «Студенты заняли свои места и лекция
началась».
2) (а > 0) & (а < 0)- это означает, что число а (0,1)
3) ┐sin x > 1 – неверно, что sin x больше единицы,
4) (a ≥ 0) (a > 0) ˘ (a = 0).
5) А: «Идет дождь», В: «Кто-то не выключил душ».
(A ˘ B) «Идет дождь или кто-то не выключил душ».
6) (sin x = 0) x = k , k Z.
7) (a > 0) & (a < 1) a2 < a.
8) A: x ≤ 0, B: ex ≤ 1, тогда A B читается: «Если x ≤ 0, то ex ≤ 1»
Рассмотренные выше логические символы: ^ (&),ˇ,┐, , в
математической логике обозначают соответствующие логические операции.
Теперь рассмотрим так называемые кванторы.
Квантор существования: , читается «найдется», «существует». Квантор
общности: , читается «все», «любой», «всякий», «каждый».
Примеры
(x)(ln x = 1) «Существует такой x, что ln x = 1».
(x)(sin2x + cos2x = 1) «Для любого x sin2x + cos2x = 1».
Физико-математические курсы составляют научную базу, на которой в
высшей школе строится общеобразовательная и специальная подготовка
будущих специалистов. Кроме того, эта база дает необходимые знания для
самостоятельного изучения и освоения всего нового, с чем придется
специалисту сталкиваться в ходе его дальнейшей практической деятельности.
Наряду с этим, изучение физико-математических дисциплин расширяет общий
кругозор, развивает научное мышление обучаемых, развивает интеллект и
формирует характер. Здесь полезно вспомнить слова Ломоносова М.В. (17111765): «Математику уж затем учить надо, что она ум в порядок приводит».
Великий итальянский ученый Галилео Галилей (1564-1642) – астроном, физик,
механик, основоположник точного естествознания – уже в те годы
подчеркивал фундаментальное значение математики для наук: «Философия
написана в грандиозной книге – природе, которая открыта всегда для всех и
каждого. Но понять её может лишь тот кто научился понимать её язык и знаки,
которыми она написана. Написана она же на математическом языке, а знаки её
математические формулы». (Под «философией» здесь понимается наука
вообще, разделения на конкретные науки в то время ещё не было). В учебе, в
успешном усвоении учебного материала все зависит от обучающегося, от его
воли, желания, умения организовать свой труд, от прилежания и любопытства,
от потребностей к любознательности. В заключении остановимся на
10
высказывании немецкого педагога Дистервега А. (1790-1866) –
популяризатора педагогических идей. Песталоцци И.Г. (1746-1827) –
швейцарского педагога: «Развитие и образование ни одному человеку не могут
быть даны или сообщены. Всякий, кто хочет к ним приобщиться, должен
достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами,
собственным напряжением. Извне он может получить только возбуждение».
Итак, желаем вам успешной творческой работы, ни пуха, ни пера!
Глава I. МАТРИЦЫ
МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
Многие задачи математики (и не только математики) приводят к
рассмотрению специальных таблиц (в общем случае прямоугольных),
составленных из чисел
1
0
2
4
3
А 1 3
2
2
3 5 5 1 lg 7
В этой таблице 3 строки, 4 столбца, ее полезно представить схематично
Таблица А типа 3х4 (три на четыре). В общем случае матрица В порядка
m n пишется следующим образом:
4
А=3 ٱ
b11
b
В 21
...
bm1
bm 2
b11
b12
b21
b22
...
...
b12
b22
...
b1n
... b2 п
... ...
... bmn
...
или
B
... b1n
... b2п
...
...
bm1 bm 2 ... bmn
Можно записывать и более кратко: B = (aij)m,n i = 1,2, …, m, j = 1,2, …,n
Числа bij – элементы матрицы, i - номер строки, j - номер столбца, положение
bij вполне определяется его индексами (i и j).
11
В ... bij
j
... i
3
матрицы А стоит на пересечении 2-й строки и
2
четвертого столбца, все элементы одной и той же строки имеют одинаковый
первый индекс, а все элементы одного столбца – одинаковый второй индекс,
так, вторая строка матрицы В порядка mxn состоит из элементов (b21, b22, b23,
…, b2n), третий столбец той же матрицы имеет вид
b
13
b23
...
b
m3
Принято матрицу и её элементы обозначать одной и той же буквой
(матрицу – большой, элементы – малыми буквами с индексами)
A = (aij)m,n, B = (bk,l)m,n, C = (cr,s)m,n
Элемент а24
Если в частности m = n, то (mxn) - матрица А называется квадратной: (nxn)
матрица
n
A
A = (aij)n,n = n
а
а
...
а
12
1п
11
А а21 а22 ... а2п
имеет вид
...
...
... ...
а
п1 ап 2 ... апп
Число n называется порядком квадратной матрицы А.
Элементы kвадратной матрицы А с одинаковыми индексами a11, a22, …, ann
называются диагональными, они образуют главную диагональ, а элементы a1n,
a2(n-1), …,an1 образуют побочную диагональ, рассмотрим матрицу
с11 с12 с13
С с21 с22 с23
с
31 с32 с33
12
главную диагональ образуют элементы c11, c22,c33, побочную диагональ
образуют c13, c22, c31.
ЧАСТНЫЕ ТИПЫ МАТРИЦ
Если матрица (aij)m,n содержит только нулевые элементы, то она
называется нуль-матрицей
0 0 ... 0
0 0 ... 0
О
Оi , j
m, n
... ... ... ...
0 0 ... 0
Квадратная матрица Е вида
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
Е
... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1
y которой все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы
нули, называется единичной матрицей.
Мы покажем позже, что нуль-матрица О и единичная Е играют в теории
матриц ту же роль, что и числа 0 и 1 в арифметических операциях:
(a)(a + 0 = 0 + a = a) ^ (a 0 = 0 a = 0) ^ (a 1 = 1 a = a)
Частным случаем (mxn) – матрицы являются и такие матрицы как A =
(a11, a12, …, a1n), это так называемая строчная матрица, её мы можем
рассматривать как n-мерный вектор а = (a11, a12, …, a1n). Можно рассматривать
и так называемые столбцевые матрицы
а
11
A = а21 = (a i j)m,1
...
а
m1
Очевидно (aij)m,1 – это m-мерный вектор а = (a11, a21, …, am1).
Выделим из множества квадратных матриц так называемые треугольные
матрицы:
а11 а12 а13 ... а1п
0
а
а
...
а
22
23
2п
А 0
0 а33 ... а3п - верхнетреугольная
...
...
...
...
...
0
0
0 ... апп
13
0 ... 0
b11 0
0 ... 0
b21 b22
В b31 b32 b33 ... 0 нижнетреугольная
...
... ... ...
...
b
n1 bn 2 bn3 ... bnn
Рассмотрим две матрицы одинакового строения: A = (aij)m,n, B = (bij)m,n,
(они имеют одинаковое число строк m, и одинаковое число столбцов n)
def
(A = B) (i,j)(aij = bij) т.е. соответствующие элементы матриц a и B
равны.
Например, если A = B
а12 а13 а14
а
1 0 2 1
= B =
А 11
,
а21 а22 а23 а24
3 4 1 5
то а11 = 1, a12 = 0, a13 = 2, a14 = -1; a21 = 3, a22 = -4, a23 = 1, a24 = -5;
Заметим, что задавая систему линейных уравнении, мы тем самым
задаем две матрицы, в школьном курсе математики мы на этом не
акцентировали внимание. Действительно, рассмотрим систему
2 х1 3х2 4 х3 1
(*)
7 х1 7 х2 11х3 0
5 х 6 х х 2
2
3
1
Симе (*) соответствуют две матрицы:
2 3 4
А 7 7 11
5
6
1
и
2 -3 -4
В - 7 7 - 11
5 6
1
1
0 ,
2
А называется матрицей системы (1), В – её расширенной матрицей.
Ясно, что система (1) вполне определяется заданием матрицы В.
В множестве матриц можmnно разумным образом ввести несколько
операции: сложение матриц, умножение матриц, умножение матрицы на
число.
СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Пусть А и В – имеют одинаковое строение, т.е. A = (aij)m,n B = (bij)m,n
(они имеют одинаковый порядок )
Суммой матриц А и В одного порядка называется матрица С = (сij)m,n,
элементы которой сij равны сумме соответствующих элементов A и B: C =
def
(cij)m,n (aij + bij)m,n
14
a12 b12
а11 b11
a b21 a22 b22
С 21
...
...
am1 bm1 am 2 bm 2
a1n b1n
... a2n b2n
cij m, n
...
...
... amn bmn
...
1 2 3
0 1 0
1 3 3
Если A 0 2 7 ,
B - 1 2 - 1,
C -1 4 6
1 3 2
3 1 7
4 4 5
Сумма матриц А и В обозначается A + B = C, таким образом
1 2 3
0 1 0
1 3 3
0 2 7 - 1 2 - 1 - 1 4 6
1 3 2
3 1 7
4 4 5
В частности, если О – нулевая матрица порядка mxn, А – матрица того
же порядка, то, очевидно A + O = O + A = A.
Очевидно, A + B = B + A (коммутативность сложения)
(A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность сложения)
Рассмотрим матрицы:
3 4 1
0 0 1
2 1 3 4
A 0
1
7 ,
B 1 0 1,
C
1
0
1
2
1 2 3
3 7 1
Очевидно A + B существует, её порядок (3х3), но A + C и B + C невыполнимые операции, так как A и C, B и C имеют неодинаковые порядки
(3х3) и (2х4).
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ НА ЧИСЛО
Рассмотрим A = (aij)m,n и к R . Под произведением матрицы А на
число к называется новая матрица В = кА, имеющая тот же порядок, что и А,
def
элементы которой bij
kaij :
а11 а12
а21 а22
B = k A = k
...
...
ат1 ат 2
а1п
... а2п def
... ...
... атп
...
15
kа11 kа12
kа21 kа22
...
...
kат1 kат 2
kа1п
... kа2п
...
...
... kатп
...
1
Например, 3 A = 3 2
1
3 1 3
1
1
0 3 2
2
2 3 1 3
2
9 3
4
3
3
0 3
2
6 9 3
6
0
1 0 0 2 0
(-2) E3 = -2 0 1 0 0 2 0
0 0 1 0
0 2
0
0
kO=k
...
0
0 ... 0 0
0 ... 0 0
... ... ... ...
0 ... 0 0
0 ... 0
0 ... 0
.
... ... ...
0 ... 0
Пусть А и В имеют одинаковый порядок mxn, тогда верны следующие
свойства рассмотренных выше операции:
для
k, k1, k2 R. (k1 + k2)A = k1A + k2A; k(A + B) = kA + kB.
Теперь мы можем ввести операцию, обратную для сложения матриц.
Пусть A = (aij)m,n, B = (bij)m,n и С = (сij)m,n, тогда A = C – B = C + (-1)B.
Например, если
1 2 4
,
С
0 2 7
то
0 1 - 2
,
В
5 4 - 3
1 2 4 0
C – B =
-
0
2
7
5
1 2
С (1) В
0 2
1 2 4 0
=
0 2 7 - 5
1 - 2 1
4 - 3 5
4
0
(-1)
7
5
-1 2 1
- 4 3 5
6
2 10
1 - 2
4 - 3
1
6
2 10
1
Таким образом, если A = (aij)m,n, B = (bij)m,n A – B = С(сij)m,n, где cij =
aij – bij, т.е. из элементов матрицы А вычитаем соответствующие элементы
матрицы В.
16
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Переходим к более сложной операции над матрицами – к умножению
матриц.
Пусть A = (aij)m,n, B = (bij)m,n , т.е. A имеет порядок mxn, B –
(nxp),подчеркиваем, что число столбцов матрицы А равно числу строк
матрицы В, а числа m и p могут быть произвольными, тогда под
произведением A B = C = (сij)m,n будем понимать матрицу С = (сij)m,n, где
def
сij ai1b1 j ai 2 b2 j ... ain bnj , i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, p, (1)
Таким образом, чтобы получить сij надо элементы i-й строки матрицы
А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В (элементы
i-й строки А подчеркнуты одной чертой, j-го столбца В - двумя чертами).
Иначе говоря, i-ю строку мысленно надо повернуть на 900 по часовой стрелке
и представить тем самым её в виде столбца (см. рисунок), соответствующие
элементы этих столбцов
ai1 b1 j
a
i 2 b2 j
~
а b
in nj
перемножить и полученные произведения сложить.
Если число столбцов А равно числу строк В, то длина строки А равна
высоте столбца В и формула (1) дает возможность вычислять cij для любых i и
j, (j = 1, 2, …, p)
Здесь полезны следующие схемы:
n
p
p
m
A
A
i
n
B
C
=
m
cij
B
=
i
j
j
17
Пользуясь формулой (1), можно найти любой элемент матрицы С =
(сij)m,n
c11 = a11b11 + a12b21 + … + a1nbn1
c12 = a11b12 + a12b22 + … + a1nbn2
…………………………………..
c1p = a11b1p + a12b2p + … + a1nbnp
…………………………………..
cm1 = am1b11 + am2b21 + … + amnbn1
cm2 = am1b12 + am2b22 + … + amnbn2
…………………………………………
cmp = am1b1p + am2b2p + … + amnbnp
Рассмотрим примеры.
2
1) A = 1 2 3 , B = 0 , произведение AB oпределено,
1
AB = (1 2 + (-2) 0 + 3(-1)) = (-1) - получили матрицу первого порядка.
Произведение BA тоже определено:
2(2)
23 2 4 6
2 1
2
1
2
3
=
=
0
0
1
0
(
2
)
0
3
0
0
0
1
(1) 1 (1)( 2) (1) 3 1 2 3
AB BA
1 1 3
1 0 2 1
A = 2 2 1 , B = 1 2 1 3
0 1 1
2 1 1 0
Матрицу А можно умножить на матрицу В, т.к. число столбцов А равно
числу строк В.
с11 с12 с13 с14
A B = С(сij)3,4 = с21 с22 с23 с24
с
31 с32 с33 с34
c11 = 1 1 + 1(-1) + (-3) 2 = –6
c12 = 1 0 + 1 2 + (-3) 1 = –1
c13 = 1 2 + 1 1 + (-3) (-1) = 6
c14 = 1 1 + 1 3 + (-3) 0 = 4
c21 = 2 1 + (-2)(-1) + 1 2 = 6
c22 = 2 0 + (-2)2 + 1 1 = –3
c23 = 2 2 + (-2)1 +1 (-1) = 1
c24 = 2 1 + (-2)3 + 1 0 = –4
c31 = 0 1 + 1(-1) + (-1) 2 = –3
18
c32 = 0 0 + 1 2 + (-1) 1 = 1
c33 = 0 2 + 1 1 + (-1)(-1) = 2
c34 = 0 1 + 1 3 + (-1) 0 =
Получим матрицу
6 1 6 4
С 6 3 1 4
3 1 2 3
Таким образом A B = C, но B A не существует, т.к. число столбцов
матрицы В не равно числу строк матрицы А.
Однако, если А и В – квадратные матрицы одного порядка, то
определены обе матрцы: АВ и ВА.
Умножение матриц подчиняется ассоциативному закону: (АВ) С = А(В
С), т.е. можно вначале найти АВ = D и затем вычислить (AB)C = DC, но
можно сначала найти BC = M, а потом умножить A M = A(BC), результат
будет один и тот же.
Однако АВ может и не равняться ВА, т.е. умножение матриц
некоммутативная операция. Действительно, рассмотрим
1 0
2 1
,
А
В
2 1
0 1
2 1
4 1
т.е АВ ВА
,
,
АВ
ВА
4 3
- 2 1
Таким образом, в общем случае АВ ВА (оба произведения существуют
для квадратных матриц одного порядка), но в частности могут встретиться
такие пары А и В, что AB = BA, такие матрицы называются перестановочными.
п
Легко показать, что если A = n – единичная матрица, то AE = EA = A, т.е.
единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей того же
порядка.
Рассмотрим E3 и A = 3
3
а11 а12
А а21 а22
а
31 а32
а13
1 0 0
а23 , Е3 0 1 0 ,
0 0 1
а33
тогда
с11 с12
AE = C = с21 с22
с
31 с32
c11 = a11 1 + a12 0 + a13 0 = a11
19
с13
с23
с33
c12 = a11 0 + a12 1 + a13 0 = a12
c13 = a11 0 + a12 0 + a13 1 = a13
c21 = a21 1 + a22 0 + a23 0 = a21
c22 = a21 0 + a22 1 + a23 0 = a22
c23 = a21 0 + a22 0 + a23 1 = a23
c31 = a31 1 + a32 0 + a33 0 = a31
c32 = a31 0 + a32 1 + a33 0 = a32
c33 = a31 0 + a32 0 + a33 1 = a33
Аналогично можно показать, что EA = A, т.е. AE = EA = A, таким
образом это свойство единичной матрицы оправдывает её название.
Возникает вопрос, почему умножение матриц вводится таким
“сложным” путем, есть ли этому объяснение. Попытаемся ответить на этот
вопрос.
Рассмотрим так называемое линейное преобразование плоскости x1ox2 на
плоскость y1oy2
x2
0
y2
x1
0
y1
Оно задатся системой двух линейных уравнении:
у1 а11х1 а12 х2
(2)
у а х
2
21
1
а
х
22 2
Система (2) определяется матрицей
а12
а
А 11
а21 а22
Можно сказать, что переменные (x1, x2) с помощью матрицы
преобразуются в
(y1, y2).
Рассмотрим наряду с преобразованием (2) преобразование (3) плоскости
y1oy2 на плоскость z1oz2
z1 b11 y1 b12 y2
z 2 b21 y1 b22 y2
(3)
20
Преобразование (3) переводит (y1, y2) в (z1, z2), матрицей (3) является
b
b
В 11 12
b21 b22
Найдем матрицу C преобразования плоскости x1ox2 на плоскость z1oz2.
z1 c11 x1 c12 x2
z 2 c21 x1 c22 x2
c
c
C 11 12
c21 c22
(4)
z1 = b11(a11x1 + a12x2) + b12(a21x1 + a22x2) = (b11a11 + b12a21)x1 + (b11a12 +
b12a22)x2
z2 = b21(a11x1 + a12x2) + b22(a21x1 + a22x2) = (b21a11 + b22a21)x1 + (b21a12 +
b22a22)x2
Таким образом, преобразование (x1, x2) на (z1, z2) осуществляется с
помощью матрицы
b a b12 a 21
С 11 11
b21a11 b22 a 21
b11a12 b12 a22
B A
b21a12 b22 a 22
Последовательное выполнение преобразовании (x1, x2) на (y1, y2) и (y1,
y2) на (z1, z2) т.е. (x1, x2) на (z1, z2) называется произведением этих линейных
преобразовании, которому соотвеоствует произведение соответствующих
квадратных матриц BA.
Таким образом, произведение матриц B A – это матрица
преобразования плоскости x1ox2 на плосkoсть z1oz2, т.е. матрица C, см.(4)
Глава II. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II ПОРЯДКА
Рассмотрим квадратную матрицу II порядка
а12
а
А 11
а21 а22
def
поставим ей в соответствие число a11a22 – a12a21, которое обозначим det A
a11a22 – a12a21 и назовем определителем II порядка или детерминатом (от
французского слова determinant – определитель). Имеются ещё и другие
обозначения:
21
det A A
a11
a12
a21 a22
Последнее ввел английский математик Кэли (Cayley, 1821-1895)
Определитель II порядка имеет 2! = 2 члена: a11a22, a12a21
Общий вид члена определителя II порядка а1к1 а2к 2 к1к 2 - некоторая
перестановка чисел 1,2; всего таких перестановок можно составить 2: (12),
(21), каждой перестановке соответствует член А .
Член определителя представляет собой произведение элементов, взятых
по одному из каждой строки и каждого столбца А .
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Вначале рассмотрим одно специальное преобразование матрицы,
которое назовем транспонированием.
Пусть дана (mxn) матрица A.
а11 а12 ... а1п
а 21 а 22 ... а 2п
А
...
... ... ...
а
а
...
а
т2
тп
т1
Составим новую матрицу AT
а11 а21 ат1
а
а
а
22
т2
АТ 12
,
а
а
а
2п
тп
1п
которая получена из A заменой её столбцов строками с теми же самыми
номерами: 1-я строка записана 1-м столбцом, 2-я строка – 2-м столбцом и т.д.
m–я строка - m-м столбцом. Полученная матрица называется транспонированной по отношению к A и обозначается AT.
Порядок AT равен (nxm), очевидно A AT и AT A определены и
существуют. Если A = (aij)n,n, то AT тоже квадратная и её порядок равен n.
В частности, если
AT = A, то A называется симметричной (=
симметрической), у такой матрицы элементы, симметричные относительно
главной диагонали, равны между собой. Пример симметричной матрицы
1 3 5
А 3 0 4
для A, AT = A
5 4 2
Кроме того, заметим, что (AT)T = A
22
Теперь перейдем к рассмотрению свойств определителей II порядка
(n=2). Итак,
a11 a12 def
a11 a12
det A det
a11a22 – a12a21
a
a
a
a
21 22
21
22
Непосредственно получаем
a11 a12 def
T
1) det A =
a11a22 – a12a21 A AT ;
a21 a22
Из этого следует, что свойство, верное для строк, верное и для столбцов
определителя и обратно, поэтому в дальнейшем мы будем говорить
преимущественно о свойствах строк определителя.
2) При перестановке строк местами меняется лишь знак определителя,
его абсолютная величина сохраняется:
A
A
a11
a12
a21 a22
a11
a12
= a11a22 – a12a21;
a21 a22
= a12a21 – a11a22 = - (a11a22 – a12a21) = - A .
3) Чтобы умножить det A на число m, достаточно умножить любую его
строку на m:
m A m (a11a22 – a12a21) = (ma11)a22 – (ma12)a21 = a11(ma22) – a12(ma21),
т.е. m A
тa11 тa12
a21
a22
=
a11
a12
тa21 тa22
Верно и обратное утверждение: если элементы некоторой строки A
имеют общий множитель m, то его можно вынести за знак определителя:
a11
a12
a
a12
a12
a
= m 11
= m A , A = 11
тa21 тa22
a21 a22
a
a
21
22
3 21
Пример. Рассмотрим A =
,
1
5
3 21
1 7
3(5 + 7) = 36
1 5
1 5
(1) Если detA имеет нулевую строку, то он равен нулю.
A=
3
A = 15 + 21 = 36.
23
a11 a12
= a11 0 – a12 0 = 0
0
0
(2) Если определитель имеет одинаковые строки, то он равен нулю:
a11 a12
a11 a12
= a11 a12 – a12 a11 = 0
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ III ПОРЯДКА (n=3)
Рассмотрим квадратную матрицу III порядка
а11 а12 а13
А а21 а22 а23
а
31 а32 а33
поставим ей в соответствие число
= (a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31) – (a13a22a31 +a11a23a32 + a12a21a33)
которое назовем определителем III порядка и обозначим
a11 a12 a13
a11 a12 a13
det A det a21 a22 a23 a21 a22 a23
a
a31 a32 a33
31 a32 a33
Определитель III порядка имеет 3! = 6 членов: a11a22a33, a13a21a32,
a12a23a31, a13a22a31, a11a23a32, a12a21a33,
Общий вид члена определителя III порядка а1к1 а2к 2 а3к3 к1к 2 к3 –
некоторая перестановка чисел 1, 2, 3, всего таких перестановок можно
составить 6: (123), (132), (213), (231), (312), (321), этим перестановкам
соответствуют 6 членов A . Член определителя представляет собою
произведение элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого
столбца A . Для составления шести членов определителя III порядка
существует мнемоническое правило (правило Саррюса = правило
треугольника). В определитель A входят 3 члена со знаком «+» и 3 члена со
знаком «-», для их составления можно воспользоваться следующим правилом:
24
(+)
(-)
Первые 3 члена определителя получаются перемножением трех
элементов главной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух
соответствующих треугольников (см. левый рисунок со знаком (+)). Другие 3
члена определителя получаются аналогично перемножением 3 элементов
побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах двух других
треугольников (см. правый рисунок со знаком (-)).
Свойства (1-5), установленные для определителей II порядка,
справедливы и для определителей III порядка, их справедливость проверяется
непосредственно.
Определители n-го порядка (n 3) богаче свойствами, для их
дальнейшего изучения введем несколько вспомогательных понятий.
Рассмотрим множество из n чисел {n 3). Известно, что существует
ровно n! перестановок элементов этого множества, например,
Пусть n = 2, 2! = 2 перестановки чисел {1, 2}: (12), (21)
Пусть n = 3, 3! = 6 перестановок чисел {1, 2, 3}: (123), (132), (213), (231), (312),
(321).
Пусть n = 4, 4! = 24 перестановки чисел {1, 2, 3, 4}:
(1234), (1324), (2134), (2314), (3124), (3214)
(1243), (1342), (2143), (2341), (3142), (3241)
(1423), (1432), (2413), (2431), (3412), (3421)
(4123), (4132), (4213), (4231), (4312), (4321) и т. д.
Пусть (k1, k2, …kn) - некоторая перестановка n – чисел, будем говорить,
что элементы этой перестановки ks и kr образуют беспорядок, если а) ks > kr; б)
ks предшествует kr.
Пример, n = 5. В перестановке = (35142) образуют беспорядки 3 и 1; 3
и 2; 5 и 1; 5 и 4; 5 и 2; 4 и 2.
Перестановка называется четной, если число беспорядков в ней четно, и
нечетной – в противном случае.
Рассмотренная выше перестановка (35142) четная, так как она имеет 6
беспорядков, перестановка (35412) – нечетная, так как число беспорядков в
ней 7.
Вернемся к определителю III порядка
25
a11
=
a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23 = (a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31) – (a13a22a31 +a12a21a33+
a33
+a11a23a32)
Непосредственно можно проверить, что вторые индексы первых трех
членов, взятых со знаком «+», четные: (123), (321), (231), трех последних
членов, взятых со знаком «-», нечетные: (321), (213), (132).
Аналогично и для определителя II порядка.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ПОРЯДКА n
Поставим в соответствие квадратной матрице A = (aij)n,n число detA = А ,
равное алгебраической сумме n! членов а1к1 а2к 2 ...апк п составленных из
сомножителей, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца
матрицы A, причем член берется со знаком «+», если его вторые индексы (k1,
k2 …kn) образуют четную перестановку, со знаком «-» в противном случае.
Таким образом
detA =
а11
а12
а21
а22
...
...
ап1
... а1п
... а2п def
... ...
(1) g а1к1 а2к 2 ...апк п
ап 2 ... апп
где
0,
если = (k1k2…kn) – четная перестановка, если - нечетная
g
1,
перестановка, сумма распространяется на все перестановки n чисел {1, 2, …n}.
Непосредственно видно, что определители II и III порядков то же
подпадают под это определение.
Теперь к рассмотренным выше свойствам (1-5) добавим ещё несколько
новых. Вначале введем понятия минора и алгебраического дополнения. Пусть
aij – некоторый элемент матрицы A = (aij)n,n. Вычеркнем в определителе А i –
ую строку и j – й столбец, в результате получим определитель (n-1) порядка
Mij, который называется минором элемента aij. Величина Aij = (-1)i+ jMij
называется алгебраическим дополнением aij.
Рассмотрим пример
26
det А
1
1 2 3
0
1
1
0 1
,
2 2 1 2
M23 =
M11 =
2 2 2 12
0 3 0
0 3 1 0
1
1 3
0 1
1
1 3
2 1 2 1, M33 = 0 1 1 3
3 1 0
0 3 0
A23 = (-1)2+ 3M23 = 12; A11 = (-1)1+ 1M11 = -1; A33 = (-1)3+ 3M33 = 3
Вернемся к рассмотрению свойств определителей n-го порядка, будем
считать, что для них верны свойства (1-5). Добавим к ним ещё несколько
новых свойств.
(3) Определитель А равен сумме произведении элементов некоторой
строки на их
алгебраические дополнения (строка выбирается произвольно), т.е.
detA = ai1 Ai1 + ai2Ai2 + … + ai n Ai n (i = 1, 2, … , n)
(5)
Равенство (5) называется разложением А по i – ой строке.
Доказательство
этого
свойства
для
произвольного
требует
дополнительных построений, мы ограничимся лишь проверкой этого
соотношения для n = 3 по произвольно выработанной строке, например,
второй. (i = 2)
a11
=
a12
a13
a23 = a21A21 + a22A22 + a23A23
a33
a21 a22
a31 a32
A21 = (-1)2+ 1M21 = -
A22 = M22 =
А23 = -М23 = -
а12
а13
а32
а33
а11
а13
а31
а33
а11
а12
а31 а32
27
= - (a12a33 – a13a32)
= a11a33 – a13 a31
= - (a11a32 – a12 a31)
= а21 [-(a12a33 – a13a32)]+ a22(a11a33 – a13a31)+ a23[-(a11a32 – a12a31)]=(a12a21a32+
a11a22a33+
+ a12a23a31 – (a12a21a33 + a13a22a31 + a11a23a32).
Мы получили разложение определителя по правилу Саррюса.
Аналогично можно получить разложение по любой строке (столбцу).
Например, запишем разложение определителя по III столбцу = a13A13 +
a23A23 + a33A33.
(4) Сумма
произведении
элементов
некоторой
строки
на
алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равно
нулю. Для определенности возьмем I и II строки. Рассмотрим тождество
А =
а11
b1
а12
b2
... а1п
... bn
a31
...
a32
...
... a3n = b1A21 + b2A22 + … + bnA2n
... ...
ап1
ап 2 ... апп
(6)
Равенство (6) – разложение А по II строке – верно при любых
значениях b1, b2, …, bn,
следовательно, оно представляет собой тождество по b1, b2, …, bn.
Подставим вместо этих элементов соответственно a11, a12, …, a1n,
получим
а11
а11
а12
а12
... а1п
... а1n
a31
...
a32
...
... a3n = a11A21 + a12A22 + … + a1nA2n = 0
... ...
ап1
ап 2 ... апп
(7)
Правая часть (6) обратилась в 0, так как определитель имеет одинаковые
строки (I и II). Очевидно, равенство (7), доказанное для I и II строк, верно для
любой пары строк.
28
(5) Рассмотрим определитель
=
а11 а11
а12 а12
... а1п а1 п
а21
а22
...
а2п
= (a11 + a’11)A11 + (a12 + a’12)A12 + …
...
...
...
...
ап1
ап 2
апп
...
+
(a1n + a’1n)A1n = (a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n) + (a’11A11 + a’12A12 + … + a’1nA1n)
= 1 + 2,
где
1 =
а11
а12
а21
а22
...
...
ап1
... а1п
... а2п
...
2 =
,
...
ап 2 ... апп
а11
а12
а21
а22
...
...
ап1
... а1 п
... а2п
...
...
.
ап 2 ... апп
Пример.
2
3
0
= 1 1 3 =
0 1 1
1
1
0
1
1 1 3 +
0 1 1
2
0
1 1 3 = 1 + 2,
0 1 1
= -1, 1 = -1, 2 = 0.
(I-ю строку мы представим как 1 + 1 1 + 2 0 + 0)
Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой
строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на
некоторое число к.
Для определенности к элементам II строки прибавим соответствующие
элементы I, умноженные на число к :
1 =
а11
а12
а21 ка11 а22 ка12
a31
a32
...
...
ап1
ап 2
...
а1п
а11
... а2n ка1п 1 а21
a31
...
a3n
...
...
...
апп
...
29
ап1
а12
а22
... а1п
... а2n
a32
...
... a3n
... ...
ап 2 ... апп
а11 а12 ... а1п
ка11 ка12 ... ка1n
a31 a32 ... a3n
...
... ... ...
ап1
к
ап 2
...
а11
а12
... а1п
а11
а12
...
...
... а1п
... ...
1
апп
3
ап1 ап 2 ... апп
а11
а12
а21
а22
...
...
... а1п
... а2п
...
...
+
ап1
ап 2 ... апп
а11
а12
... а1п
а21
а22
...
...
... а2п
=
... ...
ап1
ап 2 ... апп
т.е. 1 = .
переход (1) выполнен на основании свойства (8), (2) и (3) – соответственно на
основании свойств (3) и (5).
Рассмотрим ещё одно свойство квадратных матриц, которое возьмем без
доказательства.
9) Если А и В – две квадратные матрицы n – порядка, то det (AB) = detA
detB. Если A B = C, то detA detB = detC.
Пример.
1 3
A =
, B =
1
0
3 7
3 13
. AB = C =
; А = 3; В = -6; С = 21 – 39
0
2
3
7
= -18
А В = -18, т.е. А В = С .
Глава III. РАНГ МАТРИЦЫ, ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
МАТРИЦ, ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Рассмотрим (mxn) – матрицу, пусть k N, k ≤ m, n. Выберем в А к строк
и к столбцов, на их пересечении находится квадратная матрица к-го порядка,
определитель которой называется минором к-го порядка данной матрицы А.
Заметим, что строки и столбцы минора должны быть расположены
относительно друг друга в том же порядке, что и в матрице А. Рассмотрим
пример.
а11 а12
А а21 а22
а
31 а32
30
а13
а23
а33
а14
а24
а34
Составим некоторые миноры к-го порядка:
k = 1: любой элемент матрицы А, например, a11 – минор I порядка
а
а12 а11 а13 а23
,
,
k = 2: 11
а21 а22 а21 а23 а33
а11
а12
k = 3: а21 а22
а31 а32
а 24 а22
,
а34 а32
а24
а12
а14 а12
а13
а14 а11
а13
а14
а23 , а21 а22
а33 а31 а32
а24 , а22
а34 а32
а23
а33
а24 , а21 а23
а34 а31 а33
а24
а34
а13 а11
а34
(выписаны все миноры 3-го порядка)
Введем понятие ранга матрицы.
Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок её
миноров, не равных нулю.
Обозначения: rA, r(A), rang A, rank A. Мы будем пользоваться первыми
обозначениями, они наиболее компактны.
Примеры.
1 2
Найти rA.
А
0 3
1 2
= 3(≠ 0) наивысший порядок её миноров, отличных от
0 3
нуля равен 2 rA = 2.
А
1 2
B=
3
4 0 1 Найти rB.
5 2 2
Миноры II порядка, отличные от нуля, имеются, например,
В
1
3
4 1
= -1 – 12 = -13( 0) rB 2.
Но единственный минор III порядка, который имеется у матрицы В
1 2
3
13 2
3
13 2
4 0 1
0
0 1
0 наивысший
13 2
5 2 2
13 2 2
порядок миноров, отличных от нуля равен 2 rB = 2.
31
1 0 0 2
С 0 1 0 1 Найти rC.
0 0 1 7
Непосредственно можно установить, что rC = 3 т.к. матрица С имеет
минор III порядка, отличный от нуля
1 0 0
Е 0 1 0 = 1( 0).
0 0 1
миноров IV порядка у нее нет 3 – наивысший порядок её миноров, не
равных нулю.
Введем теперь понятие элементарных преобразовании матрицы.
Определение. Следующие преобразования матрицы называются
элементарными:
а) вычеркивание нулевой строки,
б) перестановка двух строк местами,
в) умножение строки на число, отличное от нуля,
г) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное
число.
Теорема. При элементарных преобразованиях матрицы её ранг не
меняется.
Эту теорему мы возьмем без доказательств.
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАНГА МАТРИЦЫ
Очевидно, если A = 0 rA = 0, если же A 0 rA 1, т.е. если А имеет
хотя бы один элемент, не равный нулю, то rA 1. Очевидно 0 rA min (m,n).
Существует несколько способов для вычисления rA. Мы остановимся на одном
из них наиболее простом и естественном. Матрицу вида
а11 а12 ... а1s ...
0 а22 ... a2 s ...
А
...
... ... ... ...
0 ... a ss ...
0
называют ступенчатой, если a11 a22 … ass 0
(a11 0, a22 0, …, ass 0).
Непосредственно можно показать, что rA =
А, действительно А, имеет минор S -го порядка
32
a1n
a2n
...
a sn
S – числу ненулевых строк
а11
0
...
0
а12
... а1s
а22 ... a2 s
= a11a22 … ass 0
... ... ...
0
... a ss
Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно
привести к ступенчатому виду. Рассмотрим примеры.
Найти rA для
2 0 2 0 2
0 1 0 1 0
А
2 1 0 2 1
0
1
0
1
0
Приведем А к ступенчатому виду с помощью элементарных
преобразовании А
2
1 0
А
0
0
2 0
2
2
1 0 1 0 2 0
1 2 2 1
0
1 0 1 0
0
0
2
2
1 0 1 0 3
0 2 1 1
0 0 0 0
0
0
2
0
2
0 1 0
0 0 2 1 1
3
0 1
2
0
1. – первые 2 строки А оставили без изменения, из 3-й строчки вычли 1-ю (= к
3-й строчке прибавим 1-ю, умноженную на (-1)).
2. – первые 2 строчки матрицы после преобразования (1) оставили без
изменения, из 3-й и 4-й вычли 2-ю, (3) – вычеркнули нулевую строку.
В результате получим (3х5) матрицу с ненулевыми строками rA = 3
(числу ненулевых строк)
(2) Для матрицы С, рассмотренной выше (см. стр. ), найдем rC
посредством
элементарных преобразовании.
1 0 0 2
С 0 1 0 1
0 0 1 7
33
Её ранг мы вычисляли, он равен 3. Легко видеть, что матрица С имеет
ступенчатый вид, число ненулевых строк равно 3 rC = 3
Найти rD для
1 3 2
1
D = 4 2 2
7
1 8
1 3 2
2
0 10 10
0 22 22
1 3 2
3
0 10 10
0 0 0
3 1 3 2 ,
0 10 10
22. – первую строчку оставили без изменения, к 2-й и 3-й строке прибавили 1ю, умноженную соответственно на 4 и 7,
23. – первые две строчки преобразованной матрицы оставили без изменения, из
3-й вычли 2-ю, умноженную на 2,2
24. – из последней матрицы удалили нулевую строку, получили ступенчатую
матрицу с двумя ненулевыми строчками rD = 2.
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Сравним свойства операции сложения и умножения для действительных
чисел и квадратных матриц
2) (a, b R)(a + b = b + a; a + 0 = a)
3) (a R)( - a)(a + (-a) = 0)
4) (a, b R)(a b = b a; a 0 = 0)
5) (1 R) (a R)(a 1 = a)
6) Если a 0 a-1 такoе, что a a-1 = 1
Рассмотрим теперь свойства сложения и умножения матриц.
Если А и В квадратные матрицы n-го порядка, то
(4) А + В = В + А, А + 0 + А
(5) А + (-А) = 0
(6) В общем случае A B B A, A 0 = 0 A = 0
(7) (A)(AE = EA = A)
Возникает вопрос, когда для квадратной матрицы А существует матрица
B такая, что AB = BA = E, если существует, как её найти.
Определение. Если для квадратной матрицы А существует матрица В
такая, что AB = BA = E, то В называется обратной для А и обозначается A-1
(т.е. B = A-1). Очевидно в этом случае A A-1 = A-1 A = E и, следовательно А
будет обратной для A-1: (A-1)-1 = A.
Теорема. Для квадратной матрицы A = (aij)n,n обратная матрица A-1
существует тогда и только тогда, когда А 0 (Если А 0, то А называется
невырожденной)
34
Доказательство. Необходимость. Пусть для А существует A-1: A A-1 = E,
тогда на основании 10-го свойства определителей имеем АА 1 = А А 1 =
Е = 1 А А 1 =1, А 0.
Достаточность. Пусть А 0. Обозначим А = . Построим новую
матрицу В следующим образом:
21.В матрице А заменим каждый её элемент aij его алгебраическим
дополнением Aij, получим матрицу A1:
А11
А
А1 21
...
Ап1
А1п
А22 ... А2п
... ... ...
Ап 2 ... Апп
А12
...
22.Транспортируем матрицу A1, получим матрицу A2 = А1Т
А11
А
А2 12
...
А1п
23.Умножим A2 на число
Ап1
... Ап 2
= А1Т
... ...
... Апп
А21 ...
А22
...
А2п
1
1
, получим матрицу B = A2:
А11
А12
В
...
А1п
А21
А22
...
А2п
...
...
...
...
Ап1
Ап 2
...
Апп
Покажем, что B = A-1 т.е. AB = BA = E
Обозначим AB = C, BA = C1.
Пусть C = (cij), C1 = (c’ij)
cij =
1
(a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + … + a i n A i n) =
35
1
, если i j
1 0, если i j
ибо, если i = j, то выражение в скобках представляет собой разложение
определителя А по i–ой строке, поэтому равно (см. свойство определителя
(6)), если же i j, то выражение равно сумме произведении элементов i-ой
строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой
строки, поэтому оно равно нулю (см. свойство определителя (7)).
Таким образом, (i)(cij = 1), (i j)(cij = 0),
т.е. C = (cij)n,n = E.
Аналогично доказывается, что C1 = E
Итак, поставленный вопрос относительно существования и построения
обратной матрицы мы получим такой ответ: если А 0, то обратная матрица
существует и находится она по формуле (8):
А11
1
1
А
A-1 = A2 = 12
...
А1п
А22
...
А2п
Примеры.
2 7
1) A =
, построить A-1.
1 3
А = 13( 0) A-1 cуществует.
Найдем Aij, Aij = (-1)i+ jMij
A11 = 3; A12 = 1; A21 = -7; A22 = 2; A-1 =
Проверка:
3
2
7
13
-1
A A =
1 3 1
13
7
13 =
2
13
6 7
13
13
3
3
13 13
Ап1
... Ап 2
... ...
... Апп
А21 ...
1 3 7
13 1 2
14 14
13 13 = 1 0 = E2
7
6 0 1
13 13
1 1 0
2) Найти A-1 для А 0 1 1
1 1 1
1 1
А 0
1
1
1
0
1 1 0
1 0
1
0
1 1
= (-1)(1-2) = 1 A-1
1 1 = (-1)
2 1
2 1
36
cуществует.
Найдем Aij, (Aij = (-1)i+ jMij)
А11
1 1
А13
0 1
А22
А31
А33
1 1
0,
1,
1 1
1 0
1
1
1 0
1 1
1
0 1
1 1
А21
1,
А23
1,
1 1
0
А12
А32
А1
1,
1,
1 0
1,
1 1
1 1
1
1 0
0
0
2,
1
1
1,
1
1
1 1 1 .
1 2 1
Проверка:
0
1
1 1 0
1
A-1 A =
1 1 1
1 2 1
3 2
3) Найти A-1 для А, А 3 1
0 1
Вычислим А .
А
А
3 2
=
3
0
1
0
1
1 0 0
1 1 0 1 0 E3
1 1
0 0 1
1
0
1
3 2 1
1 0 3 1 0 0,
1 1
3 1 0
т.к.
имеет две одинаковые строчки. Имеем: detA = 0 обратная матрица
для А не существует.
37
Глава IV. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В школьном курсе математики рассматриваются как правило,
квадратные системы линейных уравнении, т.е. системы, в которых число
неизвестных равно числу уравнении. Например, такие
ax by c
а1 х b1 y c1
ax by cz d
a1x b1 y c1z d1
a x b y c z d
2
2
2
2
и другие.
В курсе высшей математики исследуются системы линейных уравнении
в самом общем виде:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
(9)
...
...
...
...
...
ат1 х1 ат 2 х2 ... атп хп bm
Заметим, что в общем случае т ≠ п, в частности система (9) может быть
квадратной, т.е. т = п. В §2 мы отмечали, что системе линейных уравнении
соответствуют две матрицы, например, системе (9)
а11 а12 ... а1п
а21 а22 ... а2п
А
,
...
... ... ...
а
а
...
а
т2
тп
т1
а11 а12
а21 а22
А
...
...
а
т1 ат 2
...
а1п
... а2п
... ...
... атп
b1
b2
,
...
bm
А называется матрицей системы (9), A - её расширенной матрицей.
Матрица A вполне определяет систему (9): по ней полностью можно
воспроизвести систему (9) с точностью до обозначения неизвестных.
Простейшим частным случаем системы (9) является линейное уравнение
ax = b
(9’)
Для (9’) m = n = 1
b
a) Если a ≠ 0 x = , система имеет единственное решение.
a
38
б) Если a = b = 0, то (9’) удовлетворяет любое действительное х, она
имеет бесконечное множество решении.
в) Если а = 0, b 0 система не имеет решении.
Такие же частные случаи имеют место и в общем случае для системы
(9): система может иметь единственное решение, бесконечное множество
решении, может вообще не иметь решении.
Система (9) называется совместной, если она имеет решение, в
противном случае она называется несовместной. Совместная система
называется определенной, если она имеет единственное решение, и
неопределенной, если она имеет бесконечное множество решении.
Запишем систему (9) в матричной форме.
х1
b1
х
b
Пусть х 2 , b 2 - столбцевые матрицы.
хп
bm
Тогда легко показать, что система (9) может быть записана в следующей
(матричной) форме:
(10)
Ax b
Действительно, произведение A x определено, т.к. число столбцов A
равно числу строк x :
а11 а12
а22
а
А x 21
...
...
ат1 ат 2
а1п x1 a11 x1 a12 x2 ... a1n xn
... а2п x 2 a21 x1 a22 x2 ... a2n xn
=
... ... ...
...
...
...
... атп x n am1 x1 am 2 x2 ... amn xn
...
получили столбцевую матрицу. Две столбцевые матрицы равны, если равны
их соответствующие элементы, приравнивая соответствующие элементы A x и
b , получим систему (9). Итак, систему(9) можно записать в компактной
матричной форме (10).
Система (9) называется однородной, если вектор b - нулевой, т.е. если в
правой части уравнении системы (9) стоят только нули, в противном случае (9)
называется неоднородной (= среди координат вектора b есть хотя бы одно
bi 0)
Решением системы (9) называется вектор x , координаты которого при
подстановке их в уравнения системы (9) обращают их в верные числовые
равенства.
Две системы типа (9) называются эквивалентными, если множества их
решении совпадают.
39
Элементарным преобразованиям матрицы А системы (9) соответствуют
элементарные преобразования уравнении этой системы:
(а) вычеркиванию нулевой строки – вычеркивание уравнения с
нулевыми коэффициентами,
(б) перестановке двух строк местами – перестановка двух системы
местами,
(в) умножению строки на число, неравное нулю,
(г) прибавлению к строке другой строки, умноженного на произвольное
число.
Из элементарной математики нам известно, что при элементарных
преобразованиях системы получается новая система, эквивалентная данной.
ФОРМУЛА КРАМЕРА
Остановимся подробнее на одном частном случае системы (9), когда m = n
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...
... ...
...
...
ап1 х1 ап 2 х2 ... апп хп bп
(11)
Систему (11) принято называть квадратной, ей соответствует матричное
уравнение
(12)
Ax b
где
х1
х
х 2 ,
хп
b1
b
b 2 ,
bп
а11 а12
а22
а
А 21
...
...
ап1 ап 2
... а1п
... а2п
... ...
... апп
Для системы (11)(12) верна теорема Крамера (швейц. Математик,
1704-1752)
Теорема. Если А 0 , то система (11) имеет единственное решение
при любом b , это решение вычисляется по формулам (формулы Крамера)
40
хi i , где i получатся из заменой в нем i–го столбца столбцом из
свободных членов, т.е.
b1
a1i
a2i
b2
вектор аi
заменяется
вектором
b
a
bn
ni
Доказательство. Пусть detA = 0 существует A-1, умножая слева
(12) на A-1, получаем:
A-1(A x ) = A-1 b ; (A-1A) x = A-1 b ; A-1A = E
E x = A-1 b ; x = A-1 b , т.к. E x = x
Последнее запишем в развернутом виде
х1 A11
х2
...
= A1i
хi
...
A1n
x
n
A21
...
A2i
...
A2n
...
...
...
...
...
An1
...
Ani
...
Ann
b1 A11 b
1
b2
...
A
= 1i b1
bi
...
A1n
b
b
n 1
A21
b2
...
A2i
b2
...
A2n
b2
...
...
...
...
...
An1
bn
...
Ani
bn
...
Ann
bn
Имеем равенство двух столбцевых матриц соответствующие их
элементы равны, приравняем их i–ые элементы:
1
xi = (A1i b1 + A2ib2 + … + Anibn)
(13)
Теперь разложим определитель по i– му столбцу:
det A = = a1iA1i + a2iA2i + … + aniAni
(14)
Очевидно, выражение в скобках в правой части (13) получается из (14)
а1i
a 2i
заменой i–го столбца в вектора а
столбцом из свободных членов
a
ni
(вектором bi ).
Таким образом, A1i b1 + A2i b2 + … + Ani bn = i и, следовательно (13)
перепишется:
xi = i , (i = 1, 2, …, n).
41
Например,
b1
b
1 2
...
bn
a12
a22
...
... a1n
... a2n
...
...
a11
,
2
an 2 ... ann
b1
...
... a1n
a23 ... a2n
... ... ...
an1 bn
an3 ... ann
a21 b2
...
a13
и т.д.
Легко видеть, что решение найденное по правилу Крамера,
единственное если det A 0, то система (11) совместная (определенная).
Замечание 1. В предыдущих параграфах мы рассматривали столбцевые и
строчные матрицы. Очевидно, такие специальные матрицы мы можем
рассматривать (интерпретировать, толковать) и как n – мерные вектора.
Замечание 2. Теорема, устанавливающая правило Крамера, применима
только к квадратным системам (11) с det A 0.
Перейдем теперь к исследованию общих систем линейных уравнении
типа (9). Вначале познакомимся с критерием совместности систем линейных
уравнении, возьмем его без доказательства.
Теорема. (Кронекера-Капелли).
Система линейных уравнении (9) совместна когда ранг матрицы
системы равен рангу её расширенной матрицы, т.е. r (A) = r( А ).
Этот критерии позволяет установить совместность или несовместность
системы без предварительного её решения.
Глава V. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ
Рассмотрим однородную систему уравнений
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn 0
a x a x ... a x 0
21 1
22 2
2n n
...
... ...
...
...
ат1х1 ат 2 х2 ... атп хп 0
(15)
или
A х 0,
(16)
Отметим, что система (16), следовательно и (15), совместна, ибо она
имеет нулевое (так называемое тривиальное) решение:
0
0
A0 0 ,
где 0 .
0
42
Говорят, что множество решении системы (15) не пусто (оно содержит
вектор 0 ). Следующие важные свойства относятся только к однородным
системам.
Свойство 1. Если вектор
х1
х
х 2 - решение системы (15), а - некоторое число, то вектор х тоже
хп
решение системы (15).
х1
х2
Действительно подставим вектор х
в матричное уравнение
х
п
(16) и воспользуемся тем, что числовой множитель можно выносить при
умножении матриц: А( х ) = 0 = 0 , A х 0 , т.к. вектор х – решение (16).
Таким образом, если мы нашли набор – решение х1, х2, …, хп, то умножив
его на произвольное число, снова получим решение системы.
Свойство 2. Если вектора
х1
х
х 2 и
хп
у1
у
у 2 - два решения однородной системы, то их сумма,
...
уп
x1 y1
x2 y 2
вектор – z x y
- тоже решение системы.
...
x
y
n
n
Убедимся, что это так, подстановкой вектора z в (16):
А z = А( х + у ) = А х + А у = 0 + 0 = 0 .
Таким образом, решения можно складывать и умножать на числа, при
этом получаем снова решения системы. Можно сказать, что однородная
система уравнений имеет «линейное пространство решений».
Переходим к обсуждению вопроса о том, как найти все решения
однородной система. Применим для этого метод Гаусса.
Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений состоит из
прямого и обратного хода.
Прямым ходом приведем заданную систему к ступенчатому виду.
Рассмотрим соответствующую ступенчатую систему. С одной стороны, она
43
эквивалентна исходной, а с другой, как будет показано ниже, - легко поддается
исследованию и решению. Решение системы находится обратным ходом
метода Гаусса.
Проиллюстрируем сказанное на примере системы
х1 х2 х3 х4 х5 0
х х х 2х х 0
1
2
3
4
5
х1 2 х2 х3 х4 2 х5 0
х1 2 х2 х3 2 х4 4 х5 0
Очевидно, что все преобразования над системой сводятся к
соответствующим преобразованиям над матрицей системы.
Прямой ход метода Гаусса – приведение матрицы системы к
ступенчатому виду:
1
1
А=
1
1
1 1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1 1
1
2
0
2
1
0
0
2
1
2
1
0
1
1 2
2 1
3 3
1
1
2 1
1 2
3 3
1
1 1
1 2 2 1 0
0 2
1 2 0
0 2 1 2 0
1
1 1
1 1
1 1
2 1 0
2 1 1 2 0
2 1 2 4 0
1
1
1 1
1
2
0
2
1
0
1
2 1
В
1 2
0
0
1
Матрица В ступенчатая, и первый шаг алгоритма Гаусса закончился.
Вернемся теперь к той системе уравнений, которая соответствует матрице В:
х1 х2 х3 х4 х5 0
х2 2 х3 2 х4 х5 0
2х х 2х 0
3
4
5
(17)
44
Мы отбросили последнее уравнение, все коэффициенты которого равны
нулю. Заметим, что угловые элементы матрицы В являются коэффициентами
при х1, х2, х3 в системе (17). Коэффициенты же при х4 и х5 не являются
угловыми. Переходим ко второму этапу метода Гаусса – отысканию решения
нашей системы. Заметим, что число переменных нашей системы п = 5, а
независимых уравнений осталось только т = 3. Назовем переменные х4, х5,
несвязанные с угловыми коэффициентами, свободными, а переменные х1, х2,
х3 – главными. Главными всегда являются переменные, коэффициенты при
которых остались угловыми, Заметим сразу, что при другом способе
приведения матрицы к ступенчатому виду свободными переменными могли
оказаться переменные с другими номерами.
Однако, число свободных переменных всегда равно п - r, где n - число
переменных в системе уравнений (в нашем случае n = 5), а r – ранг матрицы,
равный числу угловых элементов (в нашем случае r = 3).
Второй этап метода Гаусса называется обратным ходом. Мы будем
находить вектор-решение, причем сначала будем рассматривать последнее
уравнение системы, а затем будем «подниматься наверх» по системе к
первому уравнению (отсюда название «обратный ход»). Вернемся к системе
(17). Перенесем слагаемые, содержащие свободные переменные х4, х5 в правую
часть системы:
х1 х2 х3 х4 х5
х2 2 х3 2 х4 х5
2х х 2х
3
4
5
(18)
Из последнего уравнения выразим несвободную переменную х3 через
свободные х4, х5. При этом важно, что коэффициент при х3 – это угловой
элемент, а значит, отличен от нуля:
1
x4 + x5
(19)
2
Полученное выражение для х3 подставим в предпоследнее уравнение
системы (18) и выразим из него несвободную переменную х2 через свободные
х4 , х5 :
x3 = -
х2
1
2 х4 х5 2 х4
2
х2 х4 2 х5
2 х4
х2
3 х4
45
х5
х5
3 х5
(20)
Теперь подставляем в первое уравнение системы (18) выражения (19) и
9
(20) для переменных х3 и х2, получим для x1 = - x4 + 3x5.
2
Окончательно формулы, выражающие зависимые (несвободные)
переменные через свободные, имеют вид:
9
х
х4 3 х5
1
2
х2 3 х4 3 х5
1
х
х4 х5
3
2
(21)
Эту запись можно рассматривать как запись общего решения системы
(15). Давая свободным переменным х4, х5 произвольные значения, находим по
формулам (21) значения главных переменных и получаем бесконечное
множество решении системы. Таким образом, в записи (21) содержится
бесконечное множество решений исходной системы, т.к. переменным х4 и х5
можно давать любые значения. Например, пусть x4 = 0, x5 = 1, тогда вектор х
= (3, -3, 1, 0, 1) будет решением системы; если
1
9
x4 = 0, x5 = 1, тогда вектор у ,3, ,1,0 – другое решение системы; при
2
2
3 1
x4 = x5 = 1, получим z ,0, ,1,1 – тоже решение и т.д.
2 2
Векторы x, y, z называют частными решениями системы. Они
получаются из общих формул (21), если подставлять в них конкретные
значения свободных переменных. Особую роль играют системы уравнений,
которые имеют единственное решение. В случае такой системы нет свободных
переменных, т.е. ступенчатая форма матрицы имеет верхнетреугольный вид.
3х1 х2 х3 0
Пример. х1 х2 2 х3 0
2х х 0
1
3
3 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2
1 1 2 3 1 1 0 2 5 0 2 5
2
0 1 2
0 1 0 2 3 0
0 2
46
Преобразованная система имеет вид
х1 х2 2 х3 0
2 х2 5 х3 0
2 х3 0
Из последнего уравнения x3 = 0, подставляя x3 во второе уравнение,
получим x2 = 0, а затем и х1 = 0. Мы нашли единственное решение системы
х (0, 0, 0) = 0 . Легко видеть, что определитель этой системы отличен от нуля,
поэтому нулевое решение можно получить непосредственно по формулам
Крамера.
Таким образом, если число угловых элементов оказалось в
ступенчатой форме равным числу переменных, n = 3, то система имеет
единственное решение, таким решением однородной системы является О = (0,
0, 0) - нуль вектор. Нулевое решение однородной системы называют
тривиальным.
Глава VI. НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ
Критерий совместности неоднородной системы уравнений
В общем виде неоднородная система записывается так
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...
... ...
...
...
ап1 х1 ап 2 х2 ... апп хп bп
(22)
или в векторно-матричном виде
Ах b ,
см. (12)
(23)
Соответствующая этой системе однородная система имеет ту же
матрицу системы A = (aij)m n, но свободный вектор правых частей b 0 , т.е.
(24)
Ax 0
Вспомним, что решения однородной системы можно было складывать и
умножать на числа, при этом снова получались решения той же системы. С
неоднородными системами дело обстоит иначе. Справедливы следующие
утверждения.
47
Пусть вектор x и вектор y – два решения неоднородной системы. Тогда
вектор z x y является решением соответствующей однородной системы.
Проверим это подстановкой в систему (24):
A z A( x y) = Ax A y = b - b = 0, A z = 0 .
Пусть теперь вектор x - некоторое частное решение неоднородной
системы (23), y - решение соответствующей однородной системы (24), тогда
вектор z x y будет решением неоднородной системы (23). Подставим z в
систему (23):
Az A( x y) = Ax A y = b + 0 = b , А z = b . Это означает, что к решениям
однородной системы можно прибавить решение неоднородной, получим
решение неоднородной системы.
Чтобы получить общее решение неоднородной системы нужно к
общему решению соответствующей однородной системы прибавить
некоторое частное решение неоднородной. Как только было показано, такая
сумма будет решением неоднородной системы. Кроме того, в этой сумме
будут содержаться все решения неоднородной системы.
Чтобы прояснить вопрос о совместности системы, рассмотрим пример:
х1 х2 х3 5 х4 0
3х1 2 х2 2 х3 х4 1
х 4 х 11х 0
2
4
1
х1
0
х2
х , b 1 ,
х
0
3
4
5
0
1
1 .
11
0
А и методом Гаусса приведем её к
1 1 1 5
Имеем А 3 2 2 1 ,
1 4 0 11
1 1 1
A 3 2 2
1 4 0
Выпишем расширенную матрицу
ступенчатому виду:
1 1 1 5
A 3 2 2 1
1 4 0 11
0 1 1 1
5
1 0 5 1 16
0 0 5 1 16
48
0
1
0
5
1 1 1
0 5 1 16
0 5
0
0
0
1 =В
1
Матрица В имеет ступенчатый вид, имеет три угловых элемента, ранг
расширенной матрицы равен 3. Заметим, что и нерасширенная матрица (до
вертикальной черты) одновременно тоже приведена к ступенчатому виду, но
она имеет ранг r = 2,, т.е. r(A) r( А ), по теореме Кронекера-Капелли система
несовместна. Выпишем соответствующую систему уравнений:
х1 х2 х3 5 х4 0
5 х2 х3 16 х4 1
0 х 0 х 0 х 0 х 1
2
3
4
1
Видно, что не существует таких числовых значении x1, x2, x3, x4, чтобы
последнее уравнение выполнялось, а значит, система несовместна. Всегда,
если в ступенчатом виде расширенной матрицы есть строка, в которой до
вертикальной черты стоят только нули, а за вертикальной чертой стоит
ненулевой элемент, можно сделать вывод о несовместности системы
уравнений. Описанная ситуация означает, что ранг расширенной матрицы
больше на 1 ранга основной матрицы (в нашем случае r(A) = = 2, r( А ) = 3).
Если же r(A) = r( А ), т.е. ранги расширенной и основной матрицы
совпадают, то ступенчатая форма В заканчивается нулевыми строками.
В этом случае исходная система совместна (теорема КронекераКапелли).
Научимся теперь находить решения неоднородной системы в случае её
совместности.
Пусть дана система уравнений:
х1 2 х2 х3 х4 1
2 х 3х х х 2
1
2
3
4
3 х1 х2 х113 х4 0
3 х1 5 х2 2 х4 3
Выпишем расширенную матрицу и приведем её к ступенчатому виду
(прямой ход метода Гаусса):
49
1
1 2 1
2 3 1 1
А
3 1 11 1
3 5 0
2
1 1 2 1
1
2 0 1
3 1
0 0 5 14 4
3 0 1
3 1
1
0
3
0
1
1
1 2 1
0
0 1 3 1
=B
0 0
1
1
3
0 0
0
0
0
Поскольку в расширенной и основной матрице 3 ступеньки, то r(A) =
r( А ), система совместна. Эквивалентная ступенчатая система имеет вид:
х1 2 х2 х3 х4 1
х2 3х3 х4 0
х3 х4 3
(25)
Мы отбросили последнее уравнение, которое выполняется тождественно
(при всех значениях х1, х2, х3, х4 имеем 0х1 + 0х2 + 0х3 + 0х4 = 0)
Обратный ход метода Гаусса начинается с того, что объявляем
переменные х1, х2, х3 («связанные» с угловыми элементами) главными, а
переменную х4 – свободной. Выражаем через эту свободную переменную х4
остальные:
х1 4 х4 14
(26)
х2 2 х4 9
х х 3
4
3
Сначала из последнего уравнения (25) мы нашли х3, а затем, подставляя
выражение для х3, через х4 во второе уравнение (25), получили выражение х2
через х4 и, поднимаясь ещё «выше», находим х1. Запишем общее решение
системы:
х = (- 4х4 – 14; - 2х4 – 9; - х4 -3; х4)
Давая переменной х4 конкретные числовые значения и вычисляя х1, х2,
х3, мы будем получать все новые и новые решения системы.
Например, если х1 = 0, то х2 = - 9, х3 = -3 и вектор х (-14, -9, -3, 0) будет
частным решением системы.
Отметим следующий важный факт. Общее решение соответствующей
однородной системы в нашем примере запишется так:
50
х1 4 х4
х2 2 х4
х х
4
3
(27)
Из формул (26) видно, что общее решение неоднородной системы есть
сумма общего решения (27) однородной и частного решения неоднородной
системы равно сумме некоторого частного решения х (-14, -9, -3, 0)
неоднородной системы и общего решения однородной.
Особо отметим ситуацию, когда система имеет единственное решение.
Как и в случае однородной системы это означает, что нет свободных
переменных, а угловых элементов ровно столько, сколько переменных в
задаче.
Пример. Рассмотрим систему:
3х1 х2 х3 1
х1 х2 2 х3 0
2 х х 1
1
3
3 1 1
Имеем 1 1 2
2 0 1
1 1 2
0 2 5
0 2 3
1
0
1
0
1
1
1 1 2
3 1 1
2 0 1
1 1 2
0 2 5
0
0 2
0
1
1
0
1 В,
2
r( В ) = 3
Ступенчатая система имеет вид
х1 х2
2 х2
2 х3
0
5 х3
2 х3
1
2
Свободных переменных нет, из последнего уравнения находим, что x3 =
1. Подставляя это значение во второе уравнение, получим
-2x2 = 1 - 5x3, -2x2 = -4, x2 = 2.
Наконец, из первого уравнения x1 = - x2 + 2x3 = -2 + 2 1 = 0.
Единственное решение системы – вектор х (0, 2, 1).
51
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ.
1. Найти А + В, если
3 2
A =
,
5 4
1 0
B =
1 2
4 2
A + B =
4
2
0 2 1
3 5
2. Найти В + С, если B =
, C =
7
1
0
1
2
Сумма В + С не определена, так как В и С имеют разные порядки: (2х3) и (2х2)
3. Найти C = 2A - B, если
1 1 0
A = 2 3 10 , B =
5 7 3
1 1 3
1 3 2
9 8 7
0
2(1) 2 1
1 1 3
1 1 3
C = 2 2 2 3 2 10 + 1 3 2 = 3 3 22
2 5 2 7 2 (3)
9 8 7
1 6 1
1 2
2
1
1
2
3
4
4. Найти AT + B, если A =
, B =
0 3
1 0 7 5
1
3
1 1
2
0
AT =
, AT + B =
3
7
4
5
3
1 1
1 2
0
0
2
2 1
4 1
+
=
3
7
0 3
3 10
4
5
1
3
3
8
3 2
5. Найти A B и B A, если A =
, B =
5 4
52
3 4
2 5
3 3 (2) 2 3 4 (2) 5 5 2
AB =
=
5 3 (4) 2 5 4 (4) 5 7 0
3 3 4 5 3 (2) 4 (4) 29 22
BA =
=
2 3 5 5 2 (2) 5 (4) 31 24
Таким образом матрицы А, В, - неперестановочны так как A B
6.
Найти AB = C, если
2 0
1
1 2 1
A =
, B = 1 3 0
3 1 0
1
4 1
Заметим, что число столбцов А равно числу строк B AB определено.
с
с
C = 11 12
с21 с22
с13
с23
c11 = 1 1 + 2(-1) + (-1) 1 = -2
c12 = 1 2 + 2(-3) + (-1) 4 = -8
c13 = 1 0 + 2 0 + (-1) 1 = -1
c21 = 3 1 + 1(-1) + 0 1 = 2
c22 = 3 2 + 1(-3) + 0 4 = 3
c33 = 3 0 + 1 0 + 0 1 = 0
2 8 1
C =
2
3
0
BA не имеет смысла, так как число столбцов матрицы В не равно числу
строк матрицы А.
1 1 0
4
0
2
1
7. Найти A B, если A =
,
B
=
2
1
1
0
4
1 0 1
A B - определено, но B A – не имеет смысла
53
0 ( 4) 2
1 4 (1) 2
22
1 ( 4) 0
04
AB =
1 4
1 2
0 ( 4) 6
1
4
0
2
(
1
)
(
4
)
0
1 а
8. Найти A3, если A =
0
1
а
А
0
1
3
def 1
1 а 1 а 1 а 1 а 1 а
=
=
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
2
1 а 1 а
=
.
0
1
0
1
2
1 а
1 а а 1 2а
=
=
.
1 0 1
0 1
0
3
1 а
1 2а 1 а
=
=
0
1
0
1
0
1
1 3а
.
0
1
п
1 3а
1 па
=
Легко видеть, что An =
0 1
0 1
cos
9. Найти A3, если A =
sin
cos
A2 =
sin
cos2 sin 2
=
sin cos cos sin
sin
,
cos
A3 = A2 A,
sin cos
cos sin
sin
=
cos
cos sin sin cos cos2
=
2
2
sin cos
sin 2
cos2 sin 2 cos sin
A3 = A2 A =
=
sin
2
cos
2
sin
cos
сos 2 cos sin 2 sin cos2 sin sin 2 cos cos3
=
=
sin 2 cos cos2 sin sin 2 sin cos2 cos sin 3
54
sin 2
cos2
sin 3
cos3
cos
Можно доказать, что An =
sin
Найти C = A2 – 3AB, если
sin
cos
2 5
B =
1
3
3 1
A =
,
0
1
3 1 3 1
A2 =
=
0
1
0
1
3 1 2 5
AB =
=
0 1 1 3
9 2 5
C = A2 – 3AB =
-3
0 1 1
1
Найти A AT и AT A, где A = 1
2
18
=
3
2
0
1
1 1 2
AT =
, A AT =
2 0 1
5 18
1 3
9 2 15 54
+
=
9
0 1 3
1 2
1 0
2 1
1 1 2
AT A =
2
0
1
9 2
.
0
1
1 1 2
=
2 0 1
1 2
1 0 =
2 1
24 52
3 10
5 1 0
1 1 2
0 2 5
6 0
0
5
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
По определению det A
a b
c d
ad bc
Определитель III порядка можно вычислять непосредственно по правилу
Саррюса, но можно свести к вычислению нескольких определителей IIпорядка путем разложения по строке или столбцу.
Вычислить определитель квадратной матрицы
55
1 1
1
A 1 1 1
1 1
1
(а) По правилу Саррюса (см. §3), имеем
1
A 1
1
1
1
1
1 =
1
1
= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 4
(б) Вычислим \А\ путем разложения по III -му столбцу (см. §3 свойство 6 ):
А 1 А13 1 А23 1 А33 113
133
1
1
1 1
1
1
1
1
123
1
1
1 1
0 2 2 4
(в) Вычислим этот определитель, разложив его по II строке:
А 1 А21 1 А22 1 А23 121
1 1
1
1
1 12 2
1
1
1
1
123
1
1
1 1
2 0 2 4
(2) Вычислим \А\ путем разложения по 1 столбцу, предварительно обратив 2
элемента этого столбца в нули ( см. §3) свойство 9)
1
А 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
0 -2
2
0
0
2
(1) - I-ю строку оставили без изменения, к 11 строке прибавили 1-ю,
умноженную на-1, к III строке прибавили 1-ю.
Итак,
1
1
А 0 2
0
2
1
2 1 А11 0 А21 0 А31 1 А11 111М 11
0
2 2
2
0
4
Можно показать, что все элементы строки или столбца определителя,
кроме одного, путем элементарных преобразований на основании свойства 9
можно обратить в нули. Последний способ вычисления \А\ самый экономный,
рациональный.
56
Вычислить
1
2
3
1
2
0 1 2 0 1
3
5
1
3
2 1 А11 0 А21 0 А31 1 111 М 11
0 1 8
1
2
1 8
10
Мы здесь разложим по элементам 1 - го столбца, предварительно
обратив в нули 2 его элемента. Разложим по элементам 1 строки, обратив 2
ее элемента в нули посредством элементарных преобразований:
1
2
3
1
0
0 1 2 0 1
3
5
1
0
2 1 А11 М 11
0 1 8
1
2
1 8
8 2 10
3. Вычислить
3 0
0
0
0
0
2
2
1
3 1 0
1 5
3
5
Чтобы вычислить определитель IV порядка, надо разложить его по
строке или по столбцу, тем самым свести его вычисление к вычислению
определителей III - го порядков.
Разложим по элементам IV столбца:
0 А14 0 А24 0 А34 5 А44 5 А44 5 1
4 4
3 0
М 44 5 2
1
0 А12
1 5 3 А11
15 А11
15 111
0 А13
2
0
3 1
2
0
0
1
3 1
30
(1) - минор М 44 разложили по элементам 1 строки.
( А14 , А24 , А34 , А44 , - алгебраические дополнения элементов IV столбца
, А12
, А13
, - алгебраические дополнения элементов 1 строки
определителя ; А11
определителя М 44 )
Вычислим определитель , разлагая его по элементам 1 строки:
57
3 А11 0 А12 0 А13 0 А14 3 1
11
0 А12
1 3 2 А11
2
0
0
5
3
5
М 11 3 3 1 0 1
1 0
6 111 М 11 6
0 А13
3
5
30
- минор М 11 разложили по элементам I строки.
Замечание. При разложении определителя по строке или столбцу мы для
полной ясности писали и слагаемые с нулевыми множителями типа 0 Аij , в
дальнейшем такие слагаемые мы будем опускать.
4. Вычислить определитель
1 2 0 0 0
3 2 3 0 0
0 4 3 4 0
0 0 5 4 5
0 0 0 6 5
1 2 0 0 0
1
3 2 3 0 0
3 2 3 0 0
1 2 2 5 0 4 3 4 0 2 20 0
0 0 0
2
3 2 0 3 20
0 0 5 4 5
0
0
5 2 1
0 0 0 6 5
0
0
0 3 1
1 3 0 0
4
0
0 6 2 0
0 5 2 1
0 0 3 1
3 1 0
3
1
0
5 - 80 5 2 1 6 - 80 5 - 1 0 80
0 3 1
0
3
1
-2 3 0 0
2
3 2 0
0
5 2 1
0
0 3 1
3
1
5 1
80 8 640
(1)-из II, IV и V столбцов вынесли общие множители за знак
определителя соответственно 2,2,5,
(2) - из элементов II столбца вычли элементы 1 столбца,
(3) - разложили по элементам 1 строки
(4) - к II строке прибавили 1 -ю и затем из 1-го столбца вынесли
общий множитель -2
(5) - разложили по элементам II - го столбцу и вынесли общий
множитель из II-и строки
(6) - из II строки вычли III - ю.
5. Вычислим определитель так называемой треугольной матрицы (см.
§2):
58
0
1
2 3
det A det
5 3
4
2
0 0
0 0
1 0
3 2
Общий член А имеет вид a11 a22 a33 a44 , где 1 , 2 , 3 , 4
- номера столбцов, которым принадлежат данные элементы, так, например,
a11 находится на пересечении 1 - й строки и 1 столбца, a33 - III строки и 3
столбца и т.д. Выберем элементы a11 a22 a33 a44 , таким образом, чтобы в
общий член не входили нулевые элементы. Ясно, что 1 1, так как
а12 0, а13 0, а14 0 . Итак а11 1 1. Аналогично, 2 2 , так как 2 не может
равняться 1, ибо в общий член уже входит представитель 1 - го столбца, но
2 3, 2 4 , так как а 23 0, а 24 0.
Рассуждая
аналогично,
мы
приходим
к
выводу,
что
общий
член
имеет
вид
1 1, 2 2, 3 3, 4 4 и
А
а11 а 22 а33 а 44 1 3 1 2 6, все остальные члены определителя А равны нулю и
кроме того перестановка вторых индексов
1 0
-2 3
1 , 2 , 3 , 4 1 2 3 4 четная det
5 -3
4 2
0
0 0
1 3 1 2 6
1 0
3 2
0
Путем аналогичных рассуждений можно показать, что определитель
любой треугольной матрицы (верхнетреугольной, нижнетреугольной) равен
произведению его диагональных элементов:
а11
а12
0
а 22
...
...
...
0
0
... а пп
а11
0
...
а
1 21
...
а 22
а п1
а п2
...
... а1п
... а 2п
...
а11 а12 ...а пп
0
... а 2п
а11 а12 ...а пп
... ...
... а пп
Замечание. Мы знаем, что член a11 a22 ... aпп берется со знаком "+",
если вторые индексы образуют четную перестановку, и со знаком "-", если
нечетную перестановку. В случае треугольных матриц вторые индексы
59
образуют перестановку (1 2 ...п), которая имеет 0 беспорядков эта
перестановка четная, т.е. член а11 а 22 ...а пп берется со знаком "+".
В частности, так называемые диагональные матрицы тоже являются
треугольными
а1
0
det
...
0
0
а2
...
0
0
... 0
а1а 2 ...а п
... ...
... а п
...
В частности единичная матрица Е тоже диагональная (треугольная)
Е 1
6. Вычислить определитель
1
2
3
... п
1
0
3
... п
1 2
0
... п
...
...
... ...
...
1 2 3 ... 0
Определитель легко обращается в верхнетреугольный, если к каждой
строке, начиная со II-й прибавить 1 - ю:
п
1
2
3 ...
0
2
6 ... 2п
0
0
3 ... 2п
... ... ... ...
...
0
п
0
0 ...
Вычислить определитель квадратной матрицы п - го порядка
3
2
А2
...
2
2
3
2
...
2
2 ... 2
2 ... 2
3 ... 2
... ... ...
2 ... 3
К первому столбцу А прибавим все остальные столбцы
60
3 п 12
3 п 12
А 3 п 12
...
2
2 ... 2
3
2 ... 2
2
3 ... 2
... ... ... ...
3 п 12
2
2 ... 3
из каждой строки, начиная со II-й, вычтем 1 - ю:
А
3 п 12
2
2 ... 2
0
1
0 ... 0
0
0
...
... ... ... ...
0
0
1 ... 0 3 п 12,
0 ... 1
так как последний определитель верхнетреугольный.
РАНГ МАТРИЦЫ
1 3
1 2
, А2
,
1. Найти r Ai , если А1
4 1
10 20
4 3 2 2
А3 0 2 1 1
0 0 3 3
Как известно, см. §4, рангом матрицы А называется наивысший порядок
ее миноров, отличных от нуля.
1 3
1 3
, то А
1 12 13 0 наибольший порядок
4 1
4 1
Если А1
ее миноров, неравных нулю, равен 2
rA1 2.
1
2
, det A 20 20 0 rA2 2. Но A2
Рассмотрим матрицу A2
10 20
имеет миноры I- ro порядка, неравные нулю, таковыми являются все четыре
элемента A2 наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля, равен 1,
т.е. rA2 1.
Рассмотрим Аз она имеет ступенчатую форму rA3 равен числу ее
ненулевых строк, т.е. 3, иначе r A3 3.
Найти r Ai , для
3 5 7
А1 1 2 3 ,
1 3 5
2 0 1 4 3 2 1
А2 1 1 2 0 2 1 7 ,
3 2 4 0 0 3 9
61
1 0 0 0 5
А3 0 0 0 0 0
2 0 0 0 11
Матрицу А1 приведем к ступенчатому виду ( с помощью элементарных
преобразований)
3
3
1 2 3
1 2
1 2
2
3
4 1 2
3
А 1 3 5 7
0 1 2 0 1 2
1
0 1 2
1 3 5
0 1
2
0
0 0
r A1 2 , мы применили следующие элементарные преобразования:
(1) - поменяли местами 1 и II строчки, в результате в левом верхнем углу
получили 1, это сделано для удобства вычислений.
(2) - к II и III строчкам прибавили 1 - ю, умноженную соответственно на-3 и-1
(3) - к III строке прибавили II - ю,
(4) - вычеркнули нулевую строку.
При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется, в
результате преобразований получили ступенчатую матрицу, число ее
ненулевых строк равно 2 r A1 2. .
Найдем ранг A2 .
1 1 2 0 2 1 7
1
А2 1 2 0 - 1 4 3 2 1 2 0
3 2 4 0 0 3 9
0
1 1 2 0 2 1 7
1
3 0 - 1 - 2 0 - 6 0 - 12 4 0
0 - 2 - 5 4 - 1 0 - 13
0
1
2
0
2
1
-2 -5 4
-1
0
-1 - 2 0 6 0
1
2
0
2
1
1 - 2 0 - 6 0
0
1 4 11 0
7
- 13
12
7
- 12
11
Число ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы равно
3 r A2 3 .
(1) - поменяли местами 1 и II строки,
(2) - прибавили к II и III строкам 1 - ю, умноженную соответственно на -2 и -3
(3) - поменяем местами I и II строчки
(4) - к III строке прибавим II -ю, умноженную на -2.
Ранг матрицы А3 равен 2, так как после вычеркивания нулевой строки
получаем матрицу
1 0 0 0 5
,
2 0 0 0 11
которая имеет минор II -го порядка, отличный от нуля:
62
1
5
2 11
11 10 1 0 rA3 2 .
Найти ранг матриц:
0 1
2 1 4 2
2 5 - 1 3
2 3
А 1 2 3 2 , В - 1 4 1 2 , С
-1 -1
1 3 7 0
- 7 2 5 0
-1 1
1 2 3 2 1 2 3 2
1
A 2 1 4 2 0 5 10 2
1 3 7 0 0 5 10 2 0
1
2 1 4
1 4 1 2 1 4
B 2 5 1 3 0
13
1
7 0 13
7 2 5 0 0 26 2 14 0 0
1 1 0 1 1
3 1 0 0
2
C
0
1 1 2 0
1 1 2 5 0
1 1 1
0
0 2
D
0 0
0
0 1 1
1
- 1 2
1 -1
-1 0
1 1
,
D
0 0
0 1
1 0
- 2 5
1 - 1
1 1
0 1
0 0
2
rA 2
5 10 2
2
3
1 2
1 4 1 2
rB 2
1 7
0
13
1
7
0 0
1 1 1 0 1
1 1 2 0
1 1 2 1 1 0 1
r C 2
1 1 2 0
0
0 0 0
1 1 2
2 2 4 0
0
0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 0 1 1 1 0 1 1 1
1 0 2
0
2 0 0
2
0
1 0 0
0
1 0 0
0
1
0
Матрица D приведена к ступенчатому виду, число ненулевых ее строк
равно 4 rD 4 .
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Если квадратная матрица А невырожденная, т.е. det A 0 , то для А
существует A 1 такая, что A A 1 A 1 A E
Найти обратные матрицы для
1 2
3 - 4
cos
, B
, C
A
3 4
5 7
sin
1 2 - 2
2 3 2
- sin
, D 2 1 2 , M 1 2 - 3
cos
2 - 2 1
3 4 1
Найдем A 1 .
A 4 6 2 0 A 1 - существует.
Обозначим А
63
А 1
1 А11
А12
А21
, А11 111 М 11 4;
А22
А12 11 2 М 12 3; А 21 121 М 21 2.
1 4 2
А22 12 2 1 А 1
2 3 1
3
1
1 2 1 0
2 2
1
2
2
1
2
2
Проверка А А 1
0 1 Е.
3
1
3
4
3
/
2
1
/
2
6 4
3 4
2
2
Аналогично получается А 1 А Е.
Найдем В 1 .
В 21 20 41 В 1 - существует, В 1
1 В11
В12
В11 7; В12 5; В 21 4 4; В 22 3 В -1
7
3
4
41
Проверка В В 1
5 7 5
41
В21
В22
1 7 4
41 5 3
4 21 20 12 12
41 41 41 41 41 1 0 Е
3 35 35 20 21 0 1
41 41 41 41 41
Аналогично проверяется В 1В Е
Найдем С 1 .
С
сos
sin
sin
cos
C
C 1 11
C12
cos 2 sin 2 1 C 1 существует.
C 21
, C11 cos , C 21 sin sin
C 22
cos
C12 sin , C 22 cos C 1
sin
Проверка
сos
С 1 С
sin
sin cos
cos sin
sin 1 0
E.
cos 0 1
Непосредственно проверяется и C C 1 E
64
sin
cos
Найдем D 1 .
1
2
D2
1
2
1
2
2
2 0 3
2 2
8 3
0 6
1
5
1 8
2 5
35 16 33 D 1 существует.
Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы D.
D11
D22
1
2
2 1
1 2
2
1
5;
D12
2 2
5;
D 23
1
2;
2 1
2
2 2
D13
6;
D33
D
1
D11
1
D12
33
D13
D21
D22
D23
2
2 2
D 31
1 2
2 1
1
6;
2 2
1
2
6;
D 21
2
2
2
1
D 32
1 2
2
2
2;
6;
3.
D31
5 2 6
1
D32 2 5 6 .
33
D33
6 6 3
Вычислим M 1 .
2 3
2
0
M 1 2 3 1
3 4
1
8
3
2
0 2 10
1
1
8
2 10
6 M 1 существует. Вычислим
алгебраические дополнения элементов М :
M 11
2 3
1 3
M 33
2 3
1 2
10; M13
1 2
1 M
1
2; M 21
3 2
5;
3 1
3 4
4 1
2 3
3 2
2 2
M 22
4; M 23
1; M 31
13; M 32
8.
3 1
3 4
2 3
1 3
4 1
2 2
14; M12
5 13
14
1
10 4 8 .
6
1
2 1
2. Решить матричные уравнения AX == В, YC = D, где A и В, С и Dквадратные матрицы одного порядка, Х и У искомые матрицы.
Если А 0, С 0 , то каждое из этих уравнений имеет единственное
решение: умножим первое уравнение слева на А 1 , второе - справа на С 1 :
А 1 АХ А 1 В, А 1 А Х А 1 В, ЕХ А 1 В, Х А 1 В. .
65
Аналогично, YC C 1 DC 1 , Y CC 1 DC 1 , YE DC 1 , Y DC 1
Рассмотрим конкретные примеры:
3 1
2 3
3 1
2 3
X
, A
, B
2 5
1 4
2 5
1 4
A 17 A 1 существует, уравнение AX = В имеет единственное решение
: X A 1 B . Построим A 1 , для этого найдем Aij :
15 4
5 1
10 1
2 3
17 17
17 17
А11 5; А21 1; А12 2; А22 3 Х А 1 В 17 17
2
3
4
3
6
12
1 4
17 17
17 17 17 17
11
17
1
17
11
17 1 11 11
18 17 1 18
17
Решим еще одно матричное уравнение:
1 0 3 4
1 0
3 4
, C
, D
Y
1 3 0 15
1 3
0 15
C 3.
1 3 0 1
1
3 1 1
3
Найдем C 1 ; C11 3; C 21 0; C12 1; C 22 1 C 1
0
1
3
Уравнение YC = D имеет единственное решение: Y DC 1
3 4 1
1
Y
0 15 3
4
0
1 3 3
3 5
4 5
3 3
5 5
4
3 .
5
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Вначале рассмотрим системы, решаемые по методу Крамера.
Решить систему линейных уравнений
х1 2 х 2 3 х3 0
2 х1 х 2 3 х3 1
3 х х 2 х 3
2
3
1
66
1 2 3
1 2 3
5 9
det 2 1
3 0 5
9
10
5
7
3 1 2
0 5
7
система имеет единственное решение, которое может быть найдено по
формулам Крамера ( система определенная):
x1 1 , x2 2 , x3 3 , где i , получается из заменой в нем i - го столбца
столбцом из свободных членов.
0 2 3
1 = 1
3
0 2
3
= 1 1
3
1 2
0 4 11
1
3
1 0 3
2 =
3 =
2 1
=
9
3 3 2
0 3
7
1 2 0
1 0 0
1
1
2
=
3
=
4 11
1 0 3
0 1
2
3
=-
=
1 9
5 3
3
4 11
= -10
= -20
3 7
5 1
2 5 1 =
2
= 10
1 3
3 5 3
x1 = 1 = 1; x2 = 2 = 2; x3 = 3 = -1;
вектор (1,2, -1) - решение системы, система определенная.
2. Решить систему линейных уравнений
3
17 х 4 у 31
11х 9 у 78
1 =
31
4
78 9
=
4
11 9
2 =
= -279 – 312 = -591
x=
17
= - 153 – 44 = -197
17 31
11 78
= 1326 – 341 = 985
1 591
985
=
3; y = 2 = 5
197
197
67
Решением системы является вектор = (3; -5).
Система совместная, определенная.
Рассмотрим систему линейных уравнений
3х1 2 х2 х3 5
х1 х2 х3 0
4 х х 5 х 3
3
1 2
Ее можно решить по методу Крамера, так как ее определитель 0.
3
2
1
3
2
1
4
3
= 1 1 1 = 4
= -11
3 0 =
11 11
4 1 5
11 11 0
Oднако, мы ее решим по методу Гаусса. Выпишем ее расширенную
матрицу и приведем к ступенчатому виду:
3 2 1
1 1 1
4 1 5
1 1 1
0 1 4
0 5 9
5
1 1 1
(1)
0 3 2 1
4 1 5
3
0
1 1 1
(3)
5
0 1 4
0 0 11
3
0
( 2)
5
3
0
5
22
(1) - переставили местами I и II строки,
(2) - к II и III строкам прибавили I-ю, умноженную соответственно на-3 и-4
(3) - к III строке прибавили II-ю, умноженную на -5, последней матрице
соответствует матрица
х1 х2
х2
х3
0
4 х3
11х3
5
22
Система приведена к треугольному виду, она имеет единственное решение:
x3 = 2; x2 = 4x3 – 5 = 4 2 – 5 = 3; x1 = x1 = x3 – x2 = 2 – 3 = - 1.
Решением системы является вектор = (-1; 3; 2), система совместная,
определенная.
68
4. Исследовать систему линейных уравнений:
2 х1 х2
3х1 5 х2
4 х 7 х
2
1
3х3
9
х3
х3
4
5
Найдем ранг матрицы системы
2 1 3
A = 3 5 1
4 7 1
Матрица А имеет миноры II - го порядка, отличные от нуля, например,
2
1
= -10 + 3 = -7 r A 2.
3 5
Но определитель матрицы А равен нулю
1 3
2
10
20
0
10 20
А 3 5 1 1
2 0
0
1 2
4 7 1
4
7 1
наивысший порядок миноров матрицы А, отличных от нуля, равен 2, т. е. r (A)
= 2.
Найдем ранг расширенной матрицы А
9
2 1 3
А 3 5 1
4
4 7 1
5
Эта матрица имеет минор III - го порядка, неравный нулю:
1 3
9
20
0 6
20 6
10 6
5 1 4 2 0 9
2
168
2 9
1 9
7 1 5
7 1 5
максимальный порядок миноров А , отличных от нуля, равняется 3, т.е.
r( А ) = 3, получили: r (А) r( А ),
по теореме Кронекера-Капелли (см. §5) система несовместная.
Заметим, что к данной системе метод Крамера применить невозможно,
так как определитель системы равен нулю.
69
5. Исследовать систему линейных уравнений
2 х1 х2 х3 х 4 1
х1 2 х2 х3 4 х 4 2
х 7 х 4 х 11х 5
2
3
4
1
Вычислим r (A) и r ( А ),
2 1 1 1 1 2
A = 1 2 1 4 2 1
1 7 4 11 1 7
1 2 1
3
0 3
0 0 12
2 1
А 1 2
1 7
1 2
0 3
0 0
совместна.
1
1
1
4
4 11
1
4
3
7
12
28
1
4 1 2 1 4
1 1 0 3
3 7
4 11 0 9 3 7
4
7 r (A) = 3
28
1 1 2 1 4
2
2 2 1 1 1
1
5 1 7 4 11
5
2
3 r ( А ) = 3, т.е. r (A) = r ( А ) = 3, система
12
Решим систему по методу Гаусса, по правилам Крамера она не может
быть решена, так как система неквадратная. Матрицу А выше мы привели к
ступенчатому виду, ей соответствует система
х1 2 х2 х3 4 х4 2
3х2 3х3 7 х4 3
12 х 28 х 12
3
4
В полученной системе неизвестную x4 перенесем в правые части
уравнений и объявим ее свободной неизвестной, x1, x2, x3
- главными
неизвестными.
х1 2 х2 х3 2 4 х 4
3 х 2 3 х3 7 х 4 3
12 х 12 28 х
3
4
решая эту систему, относительно главных неизвестных x1, x2, x3, получим
70
12 28 х4 7
х4 – 1
12
3
1
1
7
х2 = (7х4 – 3 –3х3) = [7х4 – 3 –3 ( х4 - 1)] = 0
3
3
3
7
5
x1 = 2 – 4x4 + x3 + 2x2 = 2 – 4x4 +( х4 - 1) = - х 4 + 1
3
3
Получили общее решение:
7
5
= х 4 1;0; х 4 1; х 4
3
3
Придавая свободной неизвестной x4 произвольные числовые значения,
получим бесконечное множество частных решений:
Пусть x4 = 0: 1 (1; 0; -1; 0)
2 4
Пусть x4 = 1: 2 ( ;0; ;1 )
3 3
10
8
Пусть x4 = - 1: 3 ;0; ;1 и т.д.
3
3
Система совместная, неопределенная.
Таким образом, если ступенчатая форма системы имеет треугольный вид
(см. пример 3), то она совместная, определенная; если ступенчатая форма
имеет вид трапеции, то система совместная, неопределенная (пример 5).
6. Решить однородную систему линейных уравнений
х3 =
х1 2 х 2 х3 0
2 х1 2 х 2 3х3 0
3х х 5 х 0
2
3
1
Однородная система совместна, так как она имеет нулевое решение
(тривиальное решение). Более важным для однородной системы является
наличие у нее ненулевых решений: (a1, a2, a3), где, хотя бы одно ai
отлично от нуля.
Вычислим определитель системы:
1 2 1
0
0
1
5 4
= 37( 0)
2 2 3 5 4 3
2 9
3 1 5
2 9
5
система имеет единственное решение ( по теореме Крамера), т.е. система
совместная, определенная. Но она как однородная система имеет тривиальное
решение (0,0,0) это решение единственное, других решений у нее нет, иначе
система не имеет ненулевых решений.
71
7. Решить однородную систему методом Гаусса.
х1 3х2 х3 0
3х1 3х2 х3 0
2х х 0
1
3
Рассмотрим ее расширенную матрицу:
0 1 3
1
0 1 3
1
1 3 1
А 3 3 1
0 0 12 2
0 0 6 1
2 0 1
0 0 6 1
0 0 12 2
1
0
1 3
1 3
1
0
0 6 1
0
0
6
1
0
0 0
0
0
Последней матрице соответствует система
0
0
0
х1 3 х 2 х3 0
6 х 2 х3 0
Система имеет трапециидальную форму она совместная, неопределенная. Объявим хз - свободной неизвестной, x1 и х2 - главными
неизвестными
х1 3 х 2 х3
6 х 2 х3
х
х2 3 ;
6
х
1
х
x1 = - x3 – 3x2 = - x3 - 3 3 = - x3 + 3 = - х3
2
2
6
1
1
Общее решение: х3 ; х3 ; х3
6
2
Запишем несколько частных решений.
Пусть x3 = 0: 1 (0; 0; 0) - тривиальное решение.
1 1
Пусть x3 = - 1: 2 ( ; ;1)
2 6
1 1
Пусть x3 = 1: 3 ; ;1 и т.д.
2 6
8. Исследовать на совместимость методом Гаусса
х1 х2 2 х3 1
2 х1 х2 х3 3
4 х х 5 х 0
2
3
1
72
1 1 2
А 2 1 1
4 1 5
1 1 1
2
3 0 3 3
0 0 3 3
1 1 1
2
1 0 3 3
4 0 0
0
1
1
5
Последней строке матрицы соответствует уравнение:
0x1 +0x2 +0x3 = -5,
которое не имеет решений система, содержащая это уравнение, сама не
имеет решений, т.е. несовместная.
Этот факт несовместности системы можно обосновать и теоремой
Кронекера- Капелли: матрица А приводится к ступенчатому виду с двумя
ненулевыми строками (см. преобразование А ).
1 1 2
2
1 1
А 2 1 1
т.е. rA =2,
0
3
3
4 1 5
1 1 2
но А 2 1 1
4 1 5
ступенчатый вид для
1
3 4,
0
А имеет 3 ненулевых строки r A = 3, таким образом
rA r A система несовместная.
9. Решить по методу Гаусса систему линейных уравнений:
х1 х 2 х3 х 4 5
х 2 х 3 х х 11
1
2
3
4
2 х1 х 2 х3 3 х 4 8
3 х1 х 2 5 х3 2 х 4 16
1
1 1
1 2 3
А
2 1 1
3 1 5
1
1
3
2
5 1 1
1
1
11 0 1 4 0
8 0 3 1 1
16 0 2 8 1
73
5
6
2
1
1
0
0
0
5 1
1 4 0
6 0
0 13 1
16 0
0 16 1
13 0
1
1 1 1
0 1 0 4
0 0 1 13
0 0 0 29
1
1
1
1
1
1
1
0
4
0
1
13
0 1 16
5
6
16
13
5
6
16
29
х1 х 2 х 4 х3 5
х 0х 4х 6
4
3
Имеем 2
х 4 13 х3 16
29 х3 29
x3 = -1; x4 = 16 + 13x3 = 3; x2 = 6 + 4x3 = 2; x1 = 5 – x2 – x3 - x4 = 1
Решением системы будет вектор = (1; 2; -1; 3), она совместная,
определенная. Систему можно решать и по методу Крамера, так как ее
определитель не равен нулю ( = 29)
10. В заключение решим систему линейных уравнений матричным
методом.
Рассмотрим систему
2 х1 3х 2 2 х3 9
х1 2 х 2 3х3 14
3х 4 х х 16
2
3
1
Для матрицы М этой системы мы уже находили М-1 (см. §6, обратная
матрица).
Запишем систему в матричной форме М х b , где
2 3 2
x1
9
M 1 2 3 ,
x x2 ,
b 14
3 4 1
x
16
3
Решение матричного уравнения имеет вид: х M 1 b (см. §6, обратная
матрица)
5 13 9
14
126 70 208
12 2
1
1
1
x 10 4 8 14 90 56 128 18 3
6
6
6
1 16
2 1
18 14 16
12 2
74
x1 2
x2 3
x 2
3
x1 = 2; x2 = 3; x3 = - 2, т.е. решением будет вектор = (2; 3; -2).
Глава VII. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
НА ПЛОСКОСТИ
СИСТЕМА КООРДИНАТ
Задачей аналитической геометрии является изучении свойств
геометрических объектов с помощью алгебры на основе применения
координат. Впервые систематически метод координат был применен
Декартом.
Из школьного курса математики известно, что положение любой точки
М на плоскости, относительно заданной прямоугольной системы координат
определяется с помощью пары чисел x -абсцисса точки, y - ордината точки.
Символически это записывается так М (x, y).
(В пространстве положение точки определяется тройкой чисел (x, y, z)
см. §5 гл.1)
Декартова система координат не является единственной системой
координат, позволяющей определить положение точек на плоскость или в
пространстве, но является наиболее часто используемой координатной
системой.
ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
Выберем на плоскости точку О (полюс) и некоторый исходящий из нее
луч OX (полярная ось), укажем единицу масштаба.
Полярными координатами точки М называется два числа и , первое
из которых ( полярный радиус ) равен расстоянию от точки М до точки О, а
второе (полярный угол ) - угол, на который нужно повернуть против часовой
стрелки луч OX до совмещения с лучом ОМ ( рис.19)
M
O
X
Рис. 19
Точку М с полярными координатами и обозначают так М (,)
Что касается значений принимаемых полярными координатами обычно
считают, что 0<+.,0<2. Однако в некоторых задачах приходится
75
рассматривать углы, большие 2, а также oтрицательные углы, т.е. углы
отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке. Полюсу О соответствует
=0 , а угол не определен.
Установим связь между декартовой и полярной системами координат.
При этом будем предполагать, что начало декартовой системы и полюс
совпадают, а полярная ось является положительной полуосью OX (рис.20).
Очевидно, x=cos, y=sin и обратно, x 2 y 2 , tg=y/x
Y
y
M
O
x
X
Рис. 20
Чтобы найти величину угла , нужно, используя знаки x и y определить
в какой четверти находится точка М.
ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ
Линия на плоскости обычно задается как множество точек, обладающих
некоторыми геометрическими свойствами, исключительно им присущими.
Пример. Окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости,
удаленных на расстояние R от некоторой точки плоскости О (центр
окружности).
Уравнением линии на плоскости XOY называется уравнение, которому
удовлетворяют координаты (x, у) каждой точки данной линии и не
удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на данной линии.
Из определения уравнения линии возникают две основные задачи
аналитической геометрии.
1) Дана линия, как множество точек. Составить уравнение линии.
2) Дано уравнение некоторой линии. Изучить по этому уравнению ее
геометрические свойства.
Замечание. Вид уравнения линии зависит не только от вида самой
линии, но и от выбора системы координат.
Пример. Уравнение окружности с центром в начале координат и
радиусом R имеет вид x2+y2=R2
В полярной системе координат с полюсом в центре окружности уравнение
имеет вид =R
76
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ
Теорема Всякое уравнение первой степени
Ax+By+C=0 (A2+B20)
(1)
представляет собой уравнение некоторой прямой на плоскости XOY (общее
уравнение прямой).
Прямая, заданная уравнением (1) ортогональна вектору n={A,B}. Этот
вектор называется нормальным вектором прямой (рис.21)
Y
Ax+By+C=0
n={A,B}
O
X
Рис. 21
Два линейных уравнения (1) представляют собой одну и ту же прямую
тогда и только тогда, когда их левые части отличаются только множителем,
т.е. когда они имеют вид Ax+By+C=0, Ax+By+C=0, если 0.
Рассмотрим частные случаи общего уравнения прямой
1.С=0, уравнение Ax+By=0 определяет прямую, проходящую через начало
координат (поскольку х=о, у=о удовлетворяет этому уравнению)
2. В=0, уравнение Ax+C=0 определяет прямую, параллельную оси ОY
(поскольку нормальный вектор n={A,0} ортогонален оси ОY)
3. А=0, By+C=0 - прямая, параллельная оси ОX.
4. В=0, С=0, уравнение Ах=0 определяет ось ОY.
5. А=0, С=0, уравнение Ву=0 определяет ось ОX.
Если в уравнении (1) ABC0, то записав его в виде ((x/(-C/A))+(y/(C/B)))=1 и положив a=(-C/A), b=(-C/B) получим уравнение прямой в
«отрезках» (x/a)+(y/b)=1
Геометрический смысл чисел a и b понятен из рис.22
Y
b
O
a
X
Рис. 22
77
КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется
направляющим вектором прямой.
Найдем уравнение прямой, проходящей через данную точку
M0 (x0,y0) и имеющий заданный направляющий вектор q={l, m}.
Точка М (x, y) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы
M 0 M ={x-x0,y-y0} и q коллинеарны, т.е. тогда и только тогда, когда координаты
этих векторов пропорциональны
х х 0 y - y0
(2)
l
m
Уравнение (2) называется каноническим уравнением прямой.
Для того, чтобы написать уравнение прямой, проходящей через две
заданные точки M0(x0,y0) и M1(x1,y1), к качестве направляющего вектора
прямой берут вектор q= M 0 M1 ={x1-x0,y1-y0}.
х х0
y - y0
(3)
х 1 - х 0 у1 у 0
(3) - уравнение прямой проходящей через две заданные точки.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ
Рассмотрим прямую, не параллельную оси OX. Предположим, что
рассматриваемая прямая пересекает ось OX в точке А (рис.23) Возьмем на оси
OX произвольную точку М, лежащую правее точке А, а на рассматриваемой
прямой произвольную точку N, лежащую в верхней полуплоскости. Угол
=NAM назовем углом наклона прямой к оси OX.
Y
N
A
О
X
M
Рис. 23
Если прямая параллельна оси OX или совпадает с ней угол наклона этой
прямой считается равным нулю.
Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона
прямой к оси OX. Обозначим буквой k угловой коэффициент прямой. По
определению k=tg. Заметим, что для прямой параллельной оси OY угловой
78
коэффициент не существует. Выведем уравнение прямой проходящей через
заданную точку M0(x0,y0) и с заданным угловым коэффициентом.
Рассмотрим прямую, не параллельную осям координат (рис.24)
Y
y
M
y0
D
O x0
x
X
Рис. 24
Из рисунка видно, что tg=MD/M0D, MD=y-y0, MK=x-x0.
Получаем k=(y-y0)/(x-x0)
Тогда y=y0+k(x-x0)
(4)
- уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) с заданным угловым
коэффициентом.
Если в (4) обозначить через b постоянную b=y0-kx0, то уравнение (4)
примет вид
y=kx+b
(5)
Уравнение (5) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
3 Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых.
а) Пусть две прямые заданны общими уравнениями: A1x+B1y+C1=0,
A2x+B2y+C2=0
Тогда угол между прямыми определяется углом между нормальными
векторами n1={A1,B1} и n2={A2,B2} и соответственно равен
cos
A A 2 B1 B 2
1
2
2
2
2
A1 B1 A 2 B 2
В этом случае условие параллельности этих прямых эквивалентно
А
В
условию коллинеарности векторов n1 и n2, т.е. имеет вид 1 1
А 2 В2
Условие перпендикулярности выражается равенством n1n2=0, или
А1А 2 В1В 2 0
б) Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:
79
х - х 1 y - y1 х - х 2 y - y 2
,
.
l1
m1
l2
m2
Направляющими
векторами
этих
прямых
q1={l1,m1},q2={l2,m2}, то по аналогии со случаем а) имеем:
служат
векторы
l1l 2 m1m 2
1) угол между прямыми: cos
l12 m12 l 22 m 22
2) условие параллельности: l1/l2=m1/m2
3) условие перпендикулярности: l1l2+m1m2=0
в) Пусть две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
y=k1x+b1, y=k2x+b2
В этом случае:
1) угол между прямыми: tg=(k2-k1)/(1+k1k2);
2) условие перпендикулярности: k1k2=-1;
3) условие параллельности: k1=k2.
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ
Рассмотрим прямую, заданную общим уравнением Ax+By+C=0 и
некоторую точку M0(x0,y0). Под расстоянием от точки M0 до прямой
понимается длина перпендикуляра d=M0N, опущенного из точки M0 на
прямую (рис.25)
Y
M0
N
X
O
Рис.25
Уравнение перпендикуляра M0N можно записать в виде
B(x-x0)-A(y-y0)=0. Так как точка N(x1,y1) лежит на этом перпендикуляре имеем
B(x1-x0)-A(y1-y0)=0 и следовательно (x1-x0)/A=(y1-y0)/B=t
Поэтому
d
x1 -x 0 2 y1 -y0 2
A 2 B2 t
Точка N(x1,y1) лежит на прямой Ax+By+C=0 и x1=x0+At, y1=y0+Bt, тогда
получаем Ax1+By1+C=Ax0+By0+C+A2t+B2t=0. Следовательно
t=-(Ax0+By0+C)/(A2+B2)
Окончательно получаем:
A
d x
0
By C
0
A B
2
80
2
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Окружность.
Выведем уравнение окружности с центром в точке M0(x0,y0) и радиса R.
(рис.26)
Y
M(x,y)
y0
M0
O
x0
X
Рис.26
Для произвольной точки M(x,y) окружности выполнено равенство
M0M=R
Вспоминая формулу расстояния между двумя точками, имеем
x-x 0 2 y-y0 2 R
Возводя обе части равенства в квадрат, получаем уравнение окружности
радиуса R с центром в точке M0 :
(x-x0)2+(y-y0)2=R2
ЭЛЛИПС
Эллипс - это линия, образованная точками, у которых сумма расстояния
до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.
Обозначим фокусы эллипса F1 и F2, а расстояние между ними 2с.
Примем за ось абсцисс прямую, проходящую через фокусы, начало координат
возьмем в середине отрезка F1F2. Тогда координаты точек F1 и F2 будут
соответственно (-c,0) и (c,0). Обозначим сумму расстояний точек эллипса от
фокусов через 2а. По определению эллипса имеем: MF1+MF2=2a
Каноническое уравнение эллипса в выбранной системе координат с
данными обозначениями имеет вид:
(x2/a2)+(y2/b2)=1,
Здесь b2=a2-c2 (c<a)
Исследуя уравнение эллипса, можно сделать следующее заключение
относительно формы эллипса.
81
1) Симметрия эллипса.
Так как уравнение эллипса содержит только квадраты текущих
координат, то если точка (x, y) находится на эллипсе, то и точки (х, у). Это
означает, что эллипс имеет две оси симметрии, совпадающие с осями
координат к центру симметрии (центр эллипса), совпадающий с началом
координат.
Ось симметрии, на которой находятся фокусы эллипса, называется
фокальной осью.
Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами
эллипса. Эти вершины имеют координаты A(-a,0), B(0,b), C(a,0), D(0,-b).
Отрезок АС называется большой осью эллипса (т.к. b<a)
2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника |x|a, |y|b.
Действительно, из уравнений эллипса следует, что x2/a2|1, y2/b21.
Y
B
A
OO
C
X
D
Рис.27
ГИПЕРБОЛА
Гипербола - это линия, образованная точками, для которых абсолютная
величина разности расстояний, до двух фиксированных точек F 1 и F2,
называемых фокусами, есть величина постоянная.
Обозначим эту постоянную через 2а, расстояние между фокусами 2с.
Систему координат выберем так же, как и в случаи эллипса.
Пусть М(x, y) - произвольная точка гиперболы (рис. 28).
Y
M(x,y)
F1
O
F2
X
рис. 28
По определению гиперболы |MF1-MF2|=2a
82
Каноническое уравнение гиперболы в выбранной системе координат и
при данных обозначениях имеет вид
x2/a2-y2/b2=1,
где b2=c2-a2 (c>a).
Исследуем формулу гиперболы по ее каноническому уравнению.
1) Гипербола имеет две оси симметрии и центр симметрии. При этом
одна их осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются
вершинами гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболы.
Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и поэтому называется мнимой
осью. Действительная ось гиперболы, заданной своим каноническим
уравнением, совпадает с осью ОX, мнимая с осью OY, центр гиперболы с
началом координат.Вершины гиперболы имеют координаты (-a,0), (a,0)
Число а называется действительной полуосью гиперболы, число b мнимой
полуосью.
2) Гипербола располагается вне прямоугольника |x|<a, |y|<b и состоит из
двух отдельных ветвей. Диагонали прямоугольника определяются
b
a
уравнениями y x являются асимптотами гиперболы.
Y
b
-a
0
9
0
a
Х
b
Рис. 29.
ПАРАБОЛА
Парабола - это линия, образованная точками, равноудаленными от
данной точки F и от данной прямой (при условии, что данная точка не лежит
на этой прямой)
Данная точка F называется фокусом параболы, а данная прямая
директрисой параболы.
Выберем систему координат таким образом: за ось ОX примем прямую,
проходящую через фокус F перпендикулярно к директрисе, за положительное
направление примем направление от директрисы к фокусу. За начало
координат примем середину О отрезка от фокуса до директрисы, длину
которого обозначим p.
83
Пусть М(x, y) - произвольная точка, лежащая на параболе. Пусть N основание перпендикуляра, опущенного из М на директрису. По определению
МN=MF
Из этого получается каноническое уравнение параболы y2=2px
Y
N
M
-p/2
O
F(/p2,0)
X
Рис. 30
Свойства параболы.
1) Парабола имеет ось симметрии. Осью параболы является ось ОX.
Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы.
Вершиной параболы является начало координат.
2) Вся парабола находится в правой полуплоскости.
24.Уравнение директрисы x=-p/2
Глава VIII. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
1) Уравнение плоскости.
Пусть в декартовой системе координат в пространстве дана точка
M0(x0,y0,z0). Зададим произвольный вектор n={A,B,C}. Запишем уравнение
плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору n.
Пусть M(x,y,z) - любая точка этой плоскости. Тогда вектор M M будет
перпендикулярен вектору n, а, следовательно, их скалярное произведение
равно нулю n M M =0.
Это равенство справедливо для всех точек плоскости и нарушается для
точек, на принадлежащих этой плоскости.
В координатной форме это уравнение имеет вид
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
(1)
Вектор n={A,B,C} называется нормальным вектором плоскости.
Если в уравнении (1) раскрыть скобки и обозначить D=-(Ax0+By0+Cz0),
то получится уравнение первой степени
Ax+By+Cz+D=0
(2)
которое называется общим уравнением плоскости.
0
0
84
УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ.
УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ
ПЛОСКОСТЕЙ
Пусть две плоскости заданы общими уравнениями A1x+B1y+C1z+D1=0,
A2x+B2y+C2z+D2=0
Вопрос об определении угла между этими плоскостями сводится к
определению угла между их нормальными векторами n1={A1,B1,C1},
n2={A2,B2,C2} .
Угол между двумя плоскостями вычисляется по формуле
A A BB CC
cos
A1 B1 C1 A 2 B2 C2
Условие параллельности двух плоскостей эквивалентно коллинеарности
векторов n1 и n2 т.е. имеет вид A1/A2=B1/B2=C1/C2
Условие перпендикулярности двух плоскостей эквивалентно условию
ортогональности векторов n1 и n2, т.е. имеет вид A1A2+B1B2+C1C2=0
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
3. Уравнение плоскости, походящей через три различные точки, не
лежащих на одной прямой.
Выведем уравнение плоскости проходящей через три различные точки
M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).
Пусть М(х,у,z) точка лежащая в одной плоскости с точками М1, М2, М3.
Тогда векторы M M , M M , M M компланарны. Векторы
M M ={x2-x1,y2-y1,z2-z1}, M M ={x3-x1,y3-y1,z3-z1}, M M ={x-x1,y-y1,z-z1}
компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно
нулю. Используя выражение смешанного произведения в координатах,
получаем уравнение плоскости, проходящей через три указанные точки
M1,M2,M3.
1
1
1
1
2
х - х1
2
у - у1
3
1
3
1
z - z1
x 2 - x1
y 2 - y1 z 2 - z1 0
x 3 - x1
y 3 - y1
z 3 - z1
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
1.Уравнение прямой в пространстве.
Пусть в заданной системе координат дана точка M0(x0,y0,z0) и вектор
q={l,m,n}. Через точку M0 параллельно вектору q можно провести
единственную прямую в пространстве. Найдем ее уравнение.
На искомой прямой возьмем точку М(x, y,z). Тогда радиус - вектор OM можно
представить в виде OM OM0 M 0 M . Вектор M 0 M коллинеарен вектору q,
поэтому M 0 M =q. Получаем
OM OM 0 +q
(1)
85
Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой,
вектор q называется направляющим вектором прямой. Записывая уравнение
(1) в координатной форме
x=x0+l
y=y0+m - << +
(2)
z=z0+n
получим параметрическое уравнение прямой. Выражая из каждого равенства
(2) параметр и приравнивая полученные выражения друг к другу имеем
(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n
(3)
Уравнение (3) называется каноническим уравнением прямой.
Прямую линию в пространстве можно задать также как линию
пересечения двух плоскостей.
А1х В1у С1z D1 0
A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0
(4)
Предполагается что плоскости не параллельны и не совпадают.
2.Взаимное расположение двух прямых.
Пусть две прямые в пространстве заданы своими каноническими
уравнениями
(x-x1)/l1=(y-y1)/m1=(z-z1)/n1, q1={l1,m1,n1}
(x-x2)/l2=(y-y2)/m2=(z-z2)/n2, q2={l2,m2,n2}
Очевидно, что угол между этими прямыми можно принять угол между
их направляющими векторами.
l1 l 2 m1 m2 n1 n2
cos
2
2
2
2
2
2
l1 m1 n1 l 2 m2 n2
Если две прямые параллельны то их направляющие вектора
коллинеарны. Отсюда получаем условие параллельности двух прямых
l1/l2=m1/m2=n1/n2
Условие перпендикулярности двух прямых следует из условия
перпендикулярности их направляющих векторов l1l2+m1m2+n1n2=0
3.Угол между прямой и плоскостью.
Пусть дано уравнение прямой линии (x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n и
уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0. q={l,m,n} - направляющий вектор
прямой, n={A,B,C}- нормальный вектор плоскости. Угол между прямой и
плоскостью является дополнительным к углу между векторами q и n, значит
Al Bm Cn
sin
A2 B 2 C 2 l 2 m2 n2
Условие параллельности прямой и плоскости следует из
ортогональности векторов q и n Al+Bm+Cn=0
86
Условие перпендикулярности прямой и плоскости
коллинеарности векторов q и n, значит A/l=B/m=C/n
равносильно
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Дан треугольник ABC. На стороне ВС расположена точка М так чтобы
|BM|/|MC|=. Найти AM если AB b , AC c .
Решение.
BM
BM
b c
AM AB BM b
BC b
c b b
c b
BC
BC
1
1
Дано AB a 2b , BC 4a b , CD 5a 3b . Доказать, что ABCD – трапеция.
Решение. ` DA AB BC CD a 2b 4a b 5a 3b 8a 2b 2 4a b .
Следовательно, векторы DA и BC коллинеарны. Векторы AB и CD не
коллинеарны. Поэтому четырехугольник ABCD трапеция.
Даны точки M1(1,2,3) и M2(3,-4,6). Найти длину вектора M 1 M 2 и его
направляющие косинусы.
Решение. M 1M 2 OM 2 OM 1 3;4;6 1;2;3 2;6;3.
6
3
COS ; COS
7
7
2
COS ;
7
ъ;
Найти скалярные произведения векторов 3 а -2 b и 5 a -6 b , если a 4 , b 6 и
угол между векторами а и b равен
.
3
Решение.
3a 2b 5a 6b 15a 2 10ab 18ab 12b 2 15 a 2 12 b 2 28 a b cos 3
15 4 2 12 6 2 28 4 6
1
336
2
При каком значении m векторы a m i j и b 3i 3 j 4k перпендикулярны
Решение.
Находим скалярное произведение
этих векторов
a b 3m 1 3 0 4 3m 3 ; т.к.. ab ,то а b =0. Отсюда 3m 3 0 , т.е. m=1.
Вычислить площадь треугольника с вершинами A(2;2;2),B(4;0;3) и C(0;1;0).
Решение. Находим векторы
AB 4 2 i (0 2) j (3 2) k 2i 2 j k .
АС (0 2) i (1 2) j (0 2) k 2i j 2k
Находим векторное произведение AB на AC .
AB, AC
i
2
2
j
k
2 2
2 1
2
1
1 i
j
k
5i 2 j 6k
1 2
2 2
2 1
1 2
2
Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади
построенного на них параллелограмма, то
87
S ABC 2 AB, AC 2
1
1
2
2
5 2 2 6
65
2
Какому
условию должны удовлетворять векторы а и b , чтобы векторы а + b
и а -b
были коллинеарны.
Решение.
Найдем
векторное
произведение
векторов
а +b и а -b .
a b, a b a, a b, a a, b b, b a, a 2a, b b, b .
Векторы (ненулевые) коллинеарны тогда и только
тогда, когда
их векторное
произведение равно 0. Так как [ а , а ] = [ b , b ] = 0, то 2[ а , b ] = 0. Поэтому
векторы а и b должны быть коллинеарны.
Показать, что вектора а 7i 3 j 2k , b 3i 7 j 8k , c i j k компланарны.
Решение. Находим смешанное произведение векторов.
7 3 2
7 8
3 8
3 7
ab c 3 7 8 7
3
2
7 1 3 5 2 4 0 .
1 1
1 1
1 1
1 1 1
Так как ab c =0, то векторы компланарны
Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A(0;0;1) B(2;3;5) C(6;2;3)
D(3;7;2).
Решение. Найдем векторы AB, AC , AD совпадающие с ребрами пирамиды и
выходящими из точки А: AB 2;3;4, AC 6;2;2, AD 3;7;1.
Находим смешанное произведение векторов
2 3 4
AB AC AD 6 2 2 2
3 7 1
2 2
7 1
3
6 2
3 1
4
6 2
3 7
24 3 0 4 36 120 .
Так как объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного
1
6
на векторах AB, AC , AD , то V 120 20 .
1)Найти полярные координаты точки A2 3;2 . 2) Найти прямоугольные
5
координаты точки B 2; .
4
Предполагается, что полюс совпадает с началом координат, а полярная
ось направлена по оси абсцисс.
Решение.
Так как точка А лежит в первой четверти то
2 3 2 22 4, tg 2 23
1
3
,
3
.
Итак A 4; .
2) x 2 cos
3
5
2
2
2
4
2
88
5
2
2 .
2
4
2
Итак B( 2; 2 ) .
y 2 sin
Уравнение прямой задано в виде
x 2 5 y 2 5 0 .
4
2
Написать: 1) общее
уравнение этой прямой. 2) уравнение с угловым коэффициентом. 3) уравнение
в отрезках.
Решение.
Разрешив уравнение относительно х, получаем уравнение прямой с
1
2
1
2
угловым коэффициентом y x 5 . Здесь k , b 5 .
Раскрывая скобки и упрощая получаем общее уравнение прямой
x 2 y 2 5 0 .Здесь A 1, B 2, C 2 5 .
Перенесем в общем уравнении прямой свободный член уравнения и
разделим обе части на 2 5 , имеем
x
y
1 . Здесь a 2 5 , b 5 .
2 5
5
Выяснить, какие из точек M 13;1, M 2 2;3, M 3 2;1 лежат на прямой 2x+3y-13=0
Решение. Если точка лежит на прямой, то ее координаты должны
удовлетворять уравнению прямой. Имеем: 2 3 3 1 13 0, 2 2 3 3 13 0 ,
2 2 3 1 13 0 . Поэтому точка M2 лежит на прямой, а точки M1 и M3 на
прямой не лежат.
Дана прямая х+2у+1=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
M0(2;1).1) параллельно данной прямой; 2) перпендикулярно данной прямой
Решение.
1) Уравнение прямой, параллельной данной имеет вид х+2у+С=0. Так как
прямая проходит через точку M0, то 2 2 1 С 0 ,C=-4. Окончательно
получаем x+2y-4=0.
2) Уравнение прямой, перпендикулярной данной имеет вид –2X+Y+C=0. Так
как прямая проходит через точкуM0, то 2 2 1 С ,C=3. Окончательно
получаем –2x+y+3=0.
Даны вершины треугольника A(0;1); B(6;5); C(12;-1). Найти длину высоты,
опущенной из вершины С на сторону АВ.
Решение. Найдем уравнение стороны АВ
x y 1
x 0 y 1
или
, т.е.
6
4
6 0 5 1
4x-6y+6=0. Пользуясь формулой расстояния от точки до прямой имеем
d
4 12 6(1) 6
4 2 6
2
60
52
15. Определить координаты центра и радиус окружности x2+y2-8x+6y=0.
Решение. Сгруппировав члены уравнения, получим (x2-8x)+(y2+6y)=0.
Дополняя выражения стоящие в скобках до полных квадратов имеем
(x2-8x=16)+(y2+6y+9)-16-9=(x-4)2+(y+3)2-25=0, (x-4)2+(y+3)2=25.
89
Таким образом центр окружности находится в точке (4;-3), а радиус
окружности равен 5
16.Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки
5 6
15
и N 2;
.
M ;
5
2
4
2 y2
1 - искомое уравнение эллипса. Этому уравнению
Решение. Пусть x
a2 b2
25
3
должны удовлетворять координаты данных точек. Следовательно
1,
4a 2 8b 2
4
3
1 . Отсюда a 2 10 , b 2 1 . Итак, уравнение эллипса имеет вид
2
2
a
5b
x
2
10
y
1
2
1.
17.Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в
2 y2
соответствующих фокусах и вершинах эллипса x
1.
8
5
Решение. Найдем координаты фокусов и вершин эллипса. Из соотношения
b 2 a 2 c 2 – имеем с 2 =8-5=3. Таким образом координаты фокусов эллипса
F1 3;0 , F 2 3;0 . Координаты вершин A1 8;0 , A2 3;0 . По условию
вершины гиперболы лежат в точках F1 и F2. Находим a 2 3 2 3 , b 2 8 3 5 .
2 y2
Окончательно получаем x
1.
3
5
18.Составить каноническое уравнение параболы, если известно, что ее фокус
находится в точке пересечения прямой 4x-3y-4=0 с осью ОХ
Решение.
Точка пересечения прямой 4x-3y-4=0 с осью ОХ имеет координаты (1;0).
Следовательно, в каноническом уравнении параболы y2=2px параметр p=2.
Окончательно получаем y2=4x
19.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и M0(1;2;-3)
перпендикулярно вектору n ={1;-2;3} .
Решение.
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через данную точку и
перпендикулярной данному вектору 1(x-1)-2(y-2)+3(z+3)=0, т.е.
x-2y+3z+12=0.
20.Составить уравнение плоскости проходящей через три точки (1;1;1); (1;1;0); (2;1;3)
Решение.
90
Пользуясь уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки
x 1 y 1 z 1
имеем
0
2
1
0
1 0 .
2
Раскрывая определитель получаем -4x-y+2z+3=0.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M(3;-1;-5) и перпендикулярной плоскостям 3х-2у+2z+7=0 и 5x-4y+3z+1=0.
Решение.
Очевидно, что в качестве нормального вектора n искомой плоскости можно
взять векторное произведение векторов n1 {3;-2;2} и n2 {5;-4;3}
i
j
k
2 2 2 3 3 2
n [n1 , n 2] 3 2 2 i
j
k
2;1;2
4 3
3 5
5 4
5 4 3
Теперь, используя уравнение прямой, проходящей через данную точку М,
перпендикулярно вектору n получаем 2(x-3)+y+1-2(z+5)=0 или 2x+y-2z-15=0
Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(1;1;1) и параллельно
вектору q ={2;-3;5}
Решение.
Пользуясь каноническим уравнением прямой, получаем
x 1 y 1 x 1
.
2
3
5
Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(5;-1;3) и параллельно
прямой
2x+3y+z-6=0
4x-5y-z+2=0
Решение.
Найдем направляющий вектор прямой q . Так как он должен быть
перпендикулярен нормальным векторам n1 ={2;3;1} и n2 ={4;-5;-1}, то за q
можно принять векторное произведение векторов n1 и n2 .
i
q n1 , n2 2
j
3
k
1 2;6;22.
4 5 1
Пользуясь каноническим уравнением прямой имеем
x 5 y 1 z 3
.
2
6
22
Найти точку пересечения прямых
x 1 y 2 z 4
x 2 y 5 z 1
и
1
5
2
2
2
3
Решение.
z2
5
, y z 12
2
2
y
1
x5
z3
Подставляя эти выражения в равенство
2
6
22
Выразим из уравнения первой прямой х, у через z. x
имеем z=-2. Окончательно получаем (0;7;-2) точка пересечения прямых
91
Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую
x 1 y 2 z
3
1
4
и
перпендикулярной плоскости 3х +у-z+2=0.
Решение.
Поскольку искомая плоскость содержит данную прямую, поэтому она
проходит через точку М(-1;2;0). Нормальный вектор n искомой плоскости
перпендикулярен направляющему вектору q ={3;-1;4} данной прямой и
нормальному вектору n1 ={3;1;-1} данной плоскости.
Поэтому
i
j
k
3
1
1
n q , n1 3 1
4 3;15;6 .
Остается воспользоваться уравнением плоскости проходящей через заданную
точку М перпендикулярно заданному вектору n .
-3(х+1)+15(у-2)+6z=0 или х-5у-2z+11=0.
ПРАВИЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ НА ТРЕНИНГ-ТЕСТЫ:
Правильные ответы на тренинг-тесты на стр.5-7:
1-а, 2-а, 3-а, 4-а, 5-а, 6-а, 7-а, 8-а, 9-а, 10-а, 11-а, 12-в, 13-в, 14-г, 15-а, 16-б, 17в, 18-в, 19-а, 20-в.
92
СОДЕРЖАНИЕ
МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА
ПЕРЕЧЕНЬ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ
ТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
ТРЕНИНГ-ТЕСТЫ
СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ
Глава I. МАТРИЦЫ
Глава II. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Глава III. РАНГ МАТРИЦЫ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
МАТРИЦЫ. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.
Глава IV. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Глава V. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Глава VI. НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Глава VII. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА
ПЛОСКОСТИ
Глава VIII. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
ПРАВИЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ НА ТРЕНИГ-ТЕСТЫ
93
3
3
3
4
4
4
5
9
9
11
21
30
38
42
47
52
75
84
87
92
Иванов Михаил Степанович
МАТЕМАТИКА
Часть 1
Элементы линейной и векторной алгебры
и аналитической геометрии
Учебное пособие
Технический редактор: Р.Р. Ахтямова
Подписано в печать 16.03.06. Формат 60х84 1/16.
Бумага газетная. Гарнитура «Таймс».
Усл. печ. л. 5,5. Уч.-изд. л. 6,25. Тираж 100 экз.
Цена свободная. Заказ № 22.
Отпечатано с готовых авторских оригиналов
на ризографе в издательском отделе
Уфимской государственной академии экономики и сервиса
450078, г. Уфа, ул. Чернышевского, 145; тел. (3472) 78-69-85
94
