УДК 519.1 ЗАДАЧА СУММИРОВАНИЯ И ТОЖДЕСТВА С БИНОМИАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Сергеев И. С., Николаев П. Д. научный руководитель д-р физ.-мат. наук Лейнартас Е. К. МАОУ «Гимназия №13» Задача суммирования является одной из главных в теории исчисления конечных разностей и часто возникает в различных разделах математики. В компьютерной алгебре сумма ищется в символьном виде, то есть явно в виде математической функции. Тем самым задача явного вычисления сумм различных функций представляет большой интерес. В данной работе методами теории суммирования получено следующее тождество с биномиальными коэффициентами: 𝑥 𝑥 𝑡 ∑ 𝐶𝑡+𝑚 = 𝐶𝑥+𝑚+1 . (1) 𝑡=0 Сформулируем классическую проблему суммирования: целочисленного аргумента) ф(t), где t = 0,1,2,3, …, 𝑥 дана последовательность (функция k, …. Требуется найти сумму 𝑆(𝑥) = ∑ ф(𝑡) = ф(0) + ф(1) + … + ф(𝑥). 𝑡=0 f(x) Хорошо известен и широко применяется следующий приём нахождения данной суммы. Если функция удовлетворяет условию f(x+1) – f(x)=ф(x), то искомая сумма равна (см. [1]) 𝑥 𝑆(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑡 + 1) − 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑥 + 1) − 𝑓(0). (∗) 𝑡=0 Якоб Бернулли использовал этот приём для нахождения суммы степеней натуральных чисел: 𝑆𝑚 (𝑥) = 1𝑚 + 2𝑚 + … + (𝑥 + 1)𝑚 . Он нашёл многочлены 𝐵𝑚+1 (𝑥) степени (m+1), которые удовлетворяют рекуррентному соотношению 𝐵𝑚+1 (𝑥 + 1) − 𝐵𝑚+1 (𝑥) = (𝑚 + 1)𝑥 𝑚 , что и позволило решить данную задачу суммирования. Мы воспользуемся данным методом суммирования для доказательства одного тождества с n! k биномиальными коэффициентами. Биномиальными коэффициентами называются числа вида C =k!(n−k)!. n Нам понадобятся следующие свойства биномиальных коэффициентов: Cnk = Cnn−k , k+1 Cnk + Cnk+1 = Cn+1 , (2) (3) Кроме того, для n<k считается Сkn =0. (4) Обозначим Nm(x) – решение рекуррентного соотношения Nm(x+1) – Nm(x) = Nm-1(x+1), где m и x – целые неотрицательные числа. (**) По определению полагаем: N-1(x) = 1. Последовательно решая уравнение (**) для m=0, 1, 2, 3 ... , найдем, что N0(x) = x, N1(x) = x(x+1) x(x+1)(x+2) x(x+1)(x+2)(x+3) 2! 3! 4! , N2(x) = , N3(x) = . Прямой подстановкой в уравнение (**) проверяется, что для произвольного m справедлива формула: Nm (x) = x(x+1)…(x+m) . (m+1)! (5) x Докажем тождество (1) используя прием суммирования (*). Обозначим фm(x) = Cm+x , и будем искать тогда, согласно методу суммирования, нужно решить относительно неизвестной функции fm(x) ∑xt=0 фm (t), x x рекуррентное соотношение fm(x+1) – fm(x) = Cm+x , так как Cm+x = x−1 Cx+m (m+x)! x!m! = (x+1)(x+2)∗…∗(x+m) m! = Nm−1 (x + 1). x−1 Тогда согласно (5) и (**), искомая функция равна fm(x) = Nm(x) = Cx+m , а по свойству (2) получим m+1 m+1 = Cx+m , т.е. fm(x) = Cx+m . Учитывая свойство (4), имеем fm(0) = С𝑚+1 = 0. Кроме того, многочлены Nm(x) удовлетворяют 𝑚 рекуррентному соотношению fm(x+1) – fm(x) = фm(x), и с учетом свойства (3) и формулы (*) получим, что ∑xt=0 фm (t) = fm(x+1) – fm(0) = fm(x+1) = С𝑚+1 x+m+1 , т.е. t x ∑xt=0 Ct+m = Cx+m+1 . (6) Замечание. Тождество (6) доказано другим, комбинаторным, способом в [2] (с.170) при решении одной из задач о блужданиях точки по целочисленной решётке. Метод, использованный в данной работе, может быть применён для доказательства других тождеств, а также для решения других задач о блуждании точки и задач суммирования. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Гельфонд А. О. – «Исчисление конечных разностей» - издание второе, дополненное, Государственное издательство физико – математической литературы, Москва, 1959 2. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. – «Комбинаторика» - М.: ФИМА, МЦНМО, 2006 3. М. М. Глухов, В. П. Елизаров, А. А. Нечаев – «Линейные рекуррентные последовательности» - М.: Гелиос АРВ, 2003 4. И. Н. Воробьёв. – «Числа Фибоначчи» - «Наука», главная редакция физ.-мат. Литературы, Москва, 1969 г., 112 стр. 5. А. И. Маркушевич – «Возвратные последовательности». Издание второе. Литература, Москва, 1975 г.