Ейлер, Леонард

Ейлер, Леонард
План:
Введення





1 Біографія
o 1.1 Швейцарія (1707-1727)
o 1.2 Перший приїзд до Росії (1727-1741)
o 1.3 Пруссія (1741-1766)
o 1.4 Знову Росія (1766-1783)
o 1.5 Цікаві факти
o 1.6 Оцінки
o 1.7 Адреси в Санкт-Петербурзі
2 Вклад у науку
o 2.1 Теорія чисел
o 2.2 Математичний аналіз
o 2.3 Геометрія
o 2.4 Комбінаторика
o 2.5 Інші області математики
o 2.6 Механіка і математична фізика
o 2.7 Астрономія
o 2.8 Інженерна справа
3 Пам'ять
o 3.1 У філателії
o 3.2 Математичні олімпіади
4 Примітки
5 Праці
o 6.1 Праці Ейлера в Інтернеті
Література
Введення
Леонард Ейлер ( ньому. Leonhard Euler ; 4 (15) квітня 1707 , Базель, Швейцарія - 7 (18)
вересня 1783, Санкт-Петербург, Російська імперія) - швейцарський, німецький та
російський математик, який зробив значний внесок в розвиток математики, а також
механіки, фізики, астрономії та низки прикладних наук.
Ейлер - автор більш ніж 800 робіт [1] за математичного аналізу, диференціальної геометрії,
теорії чисел, наближених обчислень, небесній механіці, математичної фізики, оптиці,
балістиці, кораблебудування, теорії музики та ін
Майже півжиття провів в Росії, де вніс істотний внесок у становлення російської науки. В
1726 його було запрошено працювати в Санкт-Петербург, куди переїхав роком пізніше. З
1731 за 1741, а також з 1766 був академіком Петербурзької Академії наук (в 1741 - 1766
роках працював в Берліні, залишаючись одночасно членом Петербурзької Академії
почесним). Добре знав російська мова і частину своїх творів (особливо підручники)
публікував російською. Перші російські академіки-математики ( З. К. Котельников) і
астрономи ( С. Я. Румовскій) були учнями Ейлера. Деякі з його нащадків до цих пір
живуть в Росії. [2]
1. Біографія
1.1. Швейцарія (1707-1727)
Леонард Ейлер народився в 1707 в сім'ї базельського пастора, друга сім'ї Бернуллі. Рано
виявив математичні здібності. Початкове навчання здобув удома під керівництвом батька,
який навчався колись математики у Якоба Бернуллі. Пастор готував старшого сина до
духовної кар'єри, проте займався з ним і математикою - як у якості розваги, так і для
розвитку логічного мислення. Одночасно з навчанням в гімназії хлопчик захоплено
займався математикою, а в останні гімназичні роки відвідував університетські лекції
молодшого брата Якоба, Йоганна Бернуллі.
Базельський університет в XVII-XVIII століттях
20 жовтня 1720 13-річний Леонард Ейлер став студентом факультету мистецтв
Базельського університету. Але любов до математики направила Леонарда іншим шляхом.
Незабаром здатний хлопець звернув на себе увагу професора Йоганна Бернуллі. Він
передав обдарованій студентові математичні статті для вивчення, а по суботах запросив
приходити до нього додому, аби спільно розбирати незрозуміле. У будинку свого вчителя
Ейлер познайомився і потоваришував з синами Бернуллі - Данилом і Миколою, також
захоплено займатися математикою.
8 червня 1724 17-річний Леонард Ейлер вимовив на латині мову про порівняння
філософських поглядів Декарта і Ньютона і був удостоєний наукового ступеня магістра.
У подальші два роки юний Ейлер написав кілька наукових робіт. Одна з них, "Дисертація
з фізики про звук", що отримала схвальний відгук, була представлена на конкурс для
заміщення несподівано звільнилася в Базельському університеті посаді професора фізики (
1725). Та, попри позитивний відгук, 19-річного Ейлера визнали дуже юним, щоб
включити в число кандидатів на професорську кафедру. Треба зазначити, що кількість
наукових вакансій в Швейцарії було зовсім невелике. Тому брати Данило та Микола
Бернуллі виїхали в Росію, де саме йшла організація Академії наук, вони обіцяли
поклопотатися і там про посаду для Ейлера.
На початку зими 1726 Ейлера повідомили з Санкт-Петербурга : за рекомендацією братів
Бернуллі він запрошений на посаду ад'юнкта з фізіології з окладом 200 рублів [3].
Отримання авансу як компенсація проїзних витрат розтягнулося майже на рік і лише 5
квітня 1727 Ейлер назавжди покинув Швейцарію.
1.2. Перший приїзд до Росії (1727-1741)
22 січня 1724 Петро I затвердив проект пристрою Петербурзької Академії. 28 січня
вийшов указ Сенату про створення Академії. З 22 професорів і ад'юнктів, запрошених у
перші роки, виявилося 8 математиків, які займалися також механікою, фізикою,
астрономією, картографією, теорією кораблебудування, службою заходів і терезів.
Одним з найважливіших завдань Академії стала підготовка кадрів вітчизняних. Пізніше
при Академії були створені університет і гімназія. У силу гострої нестачі підручників
російською мовою Академія звернулася до своїх членів з проханням скласти такі
руководства. Ейлер, хоча й значився фізіологом, склав на німецькій мові дуже добротне
"Керівництво до арифметики", яке тут же було переведено на російську і служило не один
рік в якості початкового підручника. Переклад першої частини в виконав 1740 перший
російський ад'юнкт Академії, учень Ейлера Василь Адодуров. Це було перший
систематичний виклад арифметики російською мовою. На загальний подив, Ейлер вже
наступного після приїзду року став швидко говорити по-російськи. [4]
В 1730, коли на російський престол вступила Анна Іванівна, цікавість до Академії упав. За
роки свого правління імператриця відвідала Академію всього лише один раз [5]. Частина
запрошених професорів стала повертатися на батьківщину. Місце, що звільнилося
професора фізики було запропоновано Ейлера ( 1731), одночасно він отримав збільшення
окладу до 400 рублів. Ще через два роки Данило Бернуллі повернувся в Швейцарію, і
Ейлер зайняв його кафедру, ставши академіком і професором чистої математики з
окладом 600 рублів (втім, Данило Бернуллі отримував вдвічі більше). Миколай Бернуллі,
талановитий математик, який раптово помер від хвороби незабаром після приїзду в Росію,
в 1726.
В один з останніх днів 1733 26-річний Леонард Ейлер одружився на своїй ровесниці
Катаріні ( ньому. Katharina Gsell ) Дочки живописця (петербурзького швейцарця) Георга
Гзеля. Молодожёны приобрели дом на набережной Невы, где и поселились. В семье
Эйлера родились 13 детей, но выжили 3 сына и 2 дочери. [C 1]
Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. По отзывам современников, для
него жить означало заниматься математикой. А работы у молодого профессора было
много: картография, всевозможные экспертизы, консультации для кораблестроителей и
артиллеристов, составление учебных руководств, проектирование пожарных насосов и т.
д. От него даже требуют составления гороскопов, каковой заказ Эйлер со всем возможным
тактом переадресовал штатному астроному. Но всё это не мешает ему активно проводить
собственные исследования.
За первый период пребывания в России он написал более 90 крупных научных работ.
Значительная часть академических "Записок" заполнена трудами Эйлера. Он делал
доклады на научных семинарах, читал публичные лекции, участвовал в выполнении
различных технических заказов правительственных ведомств.
В 1735 году Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое
астрономическое (по другим данным, картографическое) вычисление. Группа академиков
просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу за 3 дня - и справился
самостоятельно. Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял
зрение на правый глаз.
В 1730-е годы Эйлер становится известен и в Европе. Двухтомное сочинение "Механика,
или наука о движении, в аналитическом изложении", изданное в 1736 году, принесло ему
мировую славу. В этой монографии Эйлер блестяще применил методы математического
анализа к решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде. "Тот, кто
имеет достаточные навыки в анализе, сможет всё увидеть с необычайной лёгкостью и без
всякой помощи прочитает работу полностью", - заканчивает Эйлер своё предисловие к
книге. Начиная с этого момента, теоретическая механика становится прикладной частью
математики.
Обстоятельства ухудшились, когда в 1740 году умерла императрица Анна Иоанновна, и
царём был объявлен малолетний Иоанн VI. "Предвиделось нечто опасное, - писал позднее
Эйлер в автобиографии. - После кончины достославной императрицы Анны при
последовавшем тогда регентстве положение начало представляться неуверенным". В
самом деле, в регентство Анны Леопольдовны Петербургская Академия окончательно
приходит в запустение. Эйлер обдумывает возврат на родину. В конце концов он
принимает предложение прусского короля Фридриха, который приглашал его в
Берлинскую Академию на весьма выгодных условиях, на должность директора её
Математического департамента. Академия создавалась на базе прусского Королевского
общества, основанного ещё Лейбницем, но в те годы находившегося в удручающем
состоянии.
1.3. Пруссия (1741-1766)
Эйлер подал руководству Петербургской Академии прошение об отставке:
Того ради нахожусь принужден, как ради слабого здоровья, так и других
обстоятельств, искать приятнейшего климата и принять от его Королевского
Величества Прусского учиненное мне призывание. Того ради прошу
Императорскую Академию наук всеподданнейше меня милостиво уволить и
снабдить для моего и домашних моих проезду потребным пашпортом [6]
.
29 мая 1741 года разрешение Академии было получено. [6] Эйлер был "отпущен" и
утверждён почётным членом Академии с окладом 200 рублей. Взамен он обещал по мере
своих сил помогать Петербургской Академии - и действительно, все проведённые в
Пруссии годы Эйлер участвовал в публикациях Академии, редактировал математические
отделы русских журналов, приобретал для Петербурга книги и инструменты. На квартире
Эйлера, на полном пансионе, годами жили молодые русские учёные, командированные на
стажировку. Известно об оживлённой переписке Эйлера с Ломоносовым, в творчестве
которого он высоко ценил "счастливое сочетание теории с экспериментом" [C 2]. В 1747
году он дал благоприятный отзыв президенту Академии наук графу К. Г. Разумовскому о
статьях Ломоносова по физике и химии, утверждая [C 3] :
Все сии диссертации не токмо хороши, но и весьма превосходны, ибо он
[Ломоносов] пишет о материях физических и химических весьма нужных,
которые по ныне не знали и истолковать не могли самые остроумные люди, что
он учинил с таким успехом, что я совершенно уверен в справедливости его
изъяснений. При сём случае г. Ломоносову должен отдать справедливость, что
имеет превосходное дарование для изъяснения физических и химических явлений.
Желать должно, чтоб и другия Академии в состоянии были произвести такия
откровения, как показал г. Ломоносов.
Эйлер, в ответ к его сиятельству г. президенту 1747 года
Этой высокой оценке не помешало даже то, что Ломоносов математических работ не
писал и высшей математикой не владел. [C 4]
Портрет 1756 года, выполненный Эмануэлем Хандманном (Kunstmuseum, г. Базель)
В июне 1741 года Леонард Эйлер с женой, двумя сыновьями и четырьмя племянниками
прибыл в Берлин. Он провёл там 25 лет и издал около 260 работ.
Первое время Эйлера встречают в Берлине доброжелательно, его приглашают даже на
придворные балы. [6] Король постоянно в отлучке из-за непрерывных войн, но работы у
Эйлера немало. Помимо математики, он занимается многими практическими делами,
включая лотереи, чеканку монет, прокладку нового водопровода и организацию
пенсионного обеспечения.
В 1742 году вышло четырёхтомное собрание сочинений Иоганна Бернулли. Посылая его
из Базеля Эйлеру в Берлин, старый учёный писал своему ученику: "Я посвятил себя
детству высшей математики. Ты, мой друг, продолжишь её становление в зрелости". В
берлинский период, одна за другой, выходят работы Эйлера: "Введение в анализ
бесконечно малых" (1748), "Морская наука" (1749), "Теория движения Луны" (1753),
"Наставление по дифференциальному исчислению" (лат. Institutiones calculi differentialis ,
1755). Многочисленные статьи по отдельным вопросам печатаются в изданиях
Берлинской и Петербургской Академий. В 1744 году Эйлер открывает вариационное
исчисление. В его работах используются продуманная терминология и математическая
символика, в значительной степени сохранившиеся до наших дней, изложение доводится
до уровня практических алгоритмов.
В 1753 году Эйлер купил поместье в Шарлоттенбурге (пригород Берлина) с садом и
участком. Мать известила Эйлера о смерти в Швейцарии его отца; вскоре она переехала к
Эйлеру.
Огромную популярность приобрели в XVIII веке, а отчасти и в XIX-м, эйлеровские
"Письма о разных физических и философических материях, написанные к некоторой
немецкой принцессе", которые выдержали свыше 40 изданий на 10 языках (в том числе 4
издания на русском). Это научно-популярная энциклопедия широкого охвата, написанная
ярко и общедоступно [7].
Фридрих II Прусский
По отзывам современников, Эйлер всю жизнь оставался скромным, жизнерадостным,
чрезвычайно отзывчивым человеком, всегда готовым помочь другому. Однако отношения
с королём не складываются: Фридрих находит нового математика невыносимо скучным,
совершенно не светским, и обращается с ним пренебрежительно. В 1759 году : умер
Мопертюи, президент Берлинской Академии наук. Пост президента Академии король
Фридрих II предложил Даламберу, но тот отказался. Фридрих, недолюбливавший Эйлера,
всё же поручил ему руководство Академией, однако без титула президента.
Во время Семилетней войны русская артиллерия разрушила дом Эйлера; узнав об этом,
фельдмаршал Салтыков немедленно возместил потери, а позже императрица Елизавета
прислала от себя ещё 4000 рублей [8].
1765 : новый шедевр Эйлера, "Теория движения твёрдых тел". В 1766 году опубликованы
"Элементы вариационного исчисления ". Именно здесь впервые появилось название
нового раздела математики, созданного Эйлером и Лагранжем.
В 1762 году на русский престол вступила Екатерина II, которая осуществляла политику
просвещённого абсолютизма. Хорошо понимая значение науки как для прогресса
государства, так и для собственного престижа, она провела ряд важных, благоприятных
для науки, преобразований в системе народного просвещения и культуры. Императрица
предложила Эйлеру управление математическим классом (отделением), звание
конференц-секретаря Академии и оклад 1800 рублей в год. "А если не понравится, говорилось в письме её представителю, - благоволит сообщить свои условия, лишь бы не
медлил приездом в Петербург".
Эйлер сообщил в ответ свои условия:



оклад 3000 рублей в год и пост вице-президента Академии;
ежегодная пенсия 1000 рублей супруге после его смерти;
оплачиваемые должности для троих его сыновей, в том числе пост секретаря
Академии для старшего.
Все эти условия были приняты. В письме от 6 января 1766 года Екатерина пишет канцлеру
графу Воронцову:
Письмо к Вам г. Эйлера доставило мне большое удовольствие, потому что я
узнаю из него о желании его снова вступить в мою службу. Конечно, я нахожу
его совершенно достойным желаемого звания вице-президента Академии наук,
но для этого следует принять некоторые меры, прежде чем я установлю это
звание - говорю установлю, так как доныне его не существовало. При
настоящем положении дел там нет денег на жалование в 3000 рублей, но для
человека с такими достоинствами, как г. Эйлер, я добавлю к академическому
жалованию из государственных доходов, что вместе составит требуемые 3000
рублей Я уверена, что моя Академия возродится из пепла от такого важного
приобретения, и заранее поздравляю себя с тем, что возвратила России
великого человека [9]
.
Мемориальная доска на доме Эйлера в Берлине
Эйлер подал королю прошение об увольнении со службы, но никакого ответа не получил.
Подал повторно - но Фридрих не желал даже обсуждать вопрос о его отъезде. В ответ на
это Эйлер прекратил работать для Берлинской Академии.
Решающую поддержку Эйлеру оказали настойчивые ходатайства российского
представительства от имени императрицы. 30 апреля 1766 года Фридрих наконец-то
разрешил великому учёному покинуть Пруссию, отпустив вдогонку (в письмах того
периода) несколько злобных острот. Правда, Кристофа, младшего сына Эйлера,
служившего подполковником артиллерии (ньому. Oberstleutnant ), король наотрез
отказался отпустить из армии. Позднее благодаря заступничеству Екатерины II он всё же
смог присоединиться к отцу; в русской армии он дослужился до генерал-лейтенанта. [10]
Ейлер повертається до Росії, тепер уже назавжди.
1.4. Знову Росія (1766-1783)
Будівля Петербурзької академії наук у другої половини XVIII століття ( Кунсткамера)
На липні 1766 60-річний Ейлер, його сім'я і домочадці (всього 18 осіб) прибули до
російської столиці. Відразу ж після прибуття він було прийнято імператрицею. Катерина,
тепер вже Вторая, зустріла його як августійшу особу і осипала милостями: завітала 8000
рублів на покупку будинку на Василівському острові і на придбання обстановки, надала
на перший час одного зі своїх кухарів і доручила підготувати міркування про реорганізації
Академії.
До нещастя, після повернення в Петербург у Ейлера утворилася катаракта лівого ока - він
перестав бачити. Ймовірно, з цієї причини обіцяний пост віце-президент Академії він так і
не отримав. Однак сліпота не відбилася на її працездатності. Ейлер диктував свої праці
хлопчикові-кравця, який все записував по-німецьки. Число опублікованих ним робіт
навіть зросло; за півтора десятки років другого перебування в Росії він продиктував понад
400 статей і 10 книг.
1767 - 1770 : робота над двотомній класичної монографією "Універсальна арифметика"
(видавалася також за назвами "Початки алгебри" і "Повний курс алгебри"). Російською
мовою цей чудовий працю виходить відразу ж (перший тому: 1768), німецькою - два роки
тому. Книга була перекладена на багато мов та перевидавалася близько 30 разів (тричі російською). Всі наступні підручники алгебри створювалися під найсильнішим впливом
книги Ейлера.
У ці роки виходить тритомник Оптика ( лат. Dioptrica , 1769-1771) і фундаментальне
Інтегральне числення" ( лат. Institutiones calculi integralis ), Теж в 3 томах.
В 1771 у житті Ейлера сталися дві серйозні події. У травні в Петербурзі стався великий
пожежа, що знищила сотні будівель, у тому числі будинок і майже всі майно Ейлера.
Самого науковця насилу врятували. Всі рукописи вдалося уберегти від вогню; згоріла
лише частина "Нової теорії руху місяця, але вона швидко була відновлена за допомогою
самого Ейлера, який зберіг до глибокої старості феноменальну пам'ять. Ейлера довелося
тимчасово переселитися в інший будинок.
У вересні того ж року, по особливому запрошення імператриці, в Санкт-Петербург прибув
для лікування Ейлера відомий німецький окуліст барон Вентцель. Після огляду він
погодився зробити Ейлерові операцію і видалив з лівого ока катаракту. Ейлер знову став
бачити. Лікар приписав берегти очей від яскравого світла, не писати, не читати - лише
поступово звикати до нового стану. Проте вже через кілька днів після Ейлер операції зняв
пов'язку, і незабаром утратив зір знову. На цей раз - остаточно.
1772 : "Нова теорія руху Місяця". Ейлер нарешті завершила свій багаторічну працю,
наближено вирішивши задачу трьох тіл.
В 1773 за рекомендацією Данила Бернуллі до Петербурга приїхав з Базеля учень Бернуллі,
Ніклаус Фусс. Це було великим успіхом для Ейлера. Фусс володів рідкісним поєднанням
математичного таланту та вміння вести практичні справи, що й дало йому можливість
відразу ж після приїзду взяти на себе турботи про математичних працях Ейлера.
Незабаром Фусс одружився на внучці Ейлера. У наступні десять років - до самої своєї
смерті - Ейлер переважно йому диктував свої праці, хоча іноді користувався "очима
старшого сина" та інших своїх учеников.
В 1773 померла дружина Ейлера, з якою він прожив майже 40 років; у них було три сини
(молодший син Христофор згодом був генерал-лейтенантом російської армії і командиром
Сестрорецкого збройового заводу). Це було великою втратою для вченого, прив'язаного
щиро до сім'ї. Незабаром Ейлер одружився з її зведеної сестри Соломії.
1779 : виходить "Загальна сферична тригонометрія", перше повне виклад всієї системи
сферичній тригонометрії.
Надгробок Л. Ейлера, гранітний саркофаг, 1837
Ейлер активно працював до останніх днів. На вересні 1783 76-річний вчений став
відчувати головний біль і слабкість. 7 ( 18) вересня після обіду, проведеного в колі сім'ї,
розмовляючи з академіком А. І. Лекселем про нещодавно відкритої планеті Уран і її
орбіті, він раптово відчув себе погано. Ейлер встиг вимовити: "Я вмираю", - і втратив
свідомість. За кілька годин, так і не приходячи до тями, він помер від крововиливу в
мозок.
"Він перестав обчислювати й жити", - сказав Кондорсе на траурному засіданні Паризької
академії наук ( фр. Il cessa de calculer et de vivre ).
Його поховали на Смоленському лютеранському кладовищі в Петербурзі. Напис на
пам'ятнику був: "Тут спочивають тлінні рештки мудрого, справедливого, знаменитого
Леонарда Ейлера".
В 1955 прах великої математика був перенесений до "Некрополь XVIII века" на
Лазаревському цвинтарі Олександро-Невської лаври. Погано що зберігся надгробний
пам'ятник при цьому замінили.
1.5. Цікаві факти

А. С. Пушкін призводить романтичний розповідь: нібито Ейлер склав гороскоп для
новонародженого Іоанна Антоновича ( 1740), але результат його настільки налякав,
що він нікому не став його показувати, і лише по смерті нещасного царевича
розповів про ньому графу К. Г. Розумовського. Вірогідність цього історичного
анекдоту вкрай сумнівна. [11]

Маркіз Кондорсе повідомляє, що незабаром після переїзду до Берліна Ейлера
запросили на придворний бал. На питання королеви-матері, від чого він так
небагатослівний, Ейлер відповів: "Прошу мене вибачити, але я тільки що з країни,
де за зайве слово можуть повісити". [12]

Інший розповідь Кондорсе: одного разу два студенти, виконуючи незалежно
складні астрономічні обчислення, отримали трохи розрізняються результати в 50-м
знаку, і звернулися до Ейлера по допомогу. Ейлер виконав ті ж обчислення в розумі
і вказав правильний результат. [13]

Розповідають, що Ейлер не кохав театру, і якщо потрапляв туди, піддавшись
умовлянням дружини, то щоб не нудьгувати, виконував в розумі складні
обчислення, підібравши їх обсяг так, щоб вистачило якраз остаточно уявлення.

В 1739 вийшла робота Ейлера "Tentamen novae theoriae musicae" з математичної
теорії музики. З приводу цієї роботи ходив жарт, що в ній дуже багато музики для
математиків і занадто багато математики для музикантів. [14]
1.6. Оцінки
За відгуками сучасників, за характером Ейлер був добродушний, незлобивий, практично
ні з ким не сварився. До нього незмінно тепло ставився навіть Йоганн Бернуллі, важкий
характер якого випробували на собі його брат Якоб і син Данило. Для повноти життя
Ейлера було потрібно тільки одне - можливість регулярного математичного творчества. У
той же час він було життєрадісний, товариський, любив музику, філософські розмови. [15]
Эйлер был заботливым семьянином, охотно помогал коллегам и молодёжи, щедро делился
с ними своими идеями. Известен случай, когда Эйлер задержал свои публикации по
вариационному исчислению, чтобы молодой и никому тогда не известный Лагранж,
независимо пришедший к тем же открытиям, смог опубликовать их первым. [16] Лагранж
всегда с восхищением относился к Эйлеру и как к математику, и как к человеку; он
говорил: "Если вы действительно любите математику, читайте Эйлера".
Академік С. И. Вавилов писал: "Вместе с Петром I и Ломоносовым, Эйлер стал добрым
гением нашей Академии, определившим её славу, её крепость, её продуктивность".
"Читайте, читайте Эйлера, он - наш общий учитель", - любил повторять и Лаплас (фр.
Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre matre tous. ). [17] Труды Эйлера с большой пользой для
себя изучали и "король математиков" Карл Фридрих Гаусс, и практически все знаменитые
учёные XVIII-XIX веков.
1.7. Адреса в Санкт-Петербурге
З 1766 года Эйлер проживал в доходном доме по адресу: Николаевская набережная, 15 (с
перерывом, вызванным сильным пожаром). В советское время улица была переименована
в "Набережную лейтенанта Шмидта". На доме установлена мемориальная доска, сейчас в
нём располагается средняя школа. [C 5]
2. Вклад в науку
Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики,
физики, астрономии и по ряду прикладных наук. С точки зрения математики, XVIII век это век Эйлера. Если до него достижения в области математики были разрознены и не
всегда согласованы, то Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию
чисел и др. дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий.
Значительная часть математики преподаётся с тех пор "по Эйлеру".
Формула Эйлера
Благодаря Эйлеру в математику вошли общая теория рядов, удивительная по красоте "
формула Эйлера ", операция сравнения по целому модулю, полная теория непрерывных
дробей, аналитический фундамент механики, многочисленные приёмы интегрирования и
решения дифференциальных уравнений, число e, обозначение i для мнимой единицы,
гамма-функция с её окружением и многое другое.
По существу именно он создал несколько новых математических дисциплин - теорию
чисел, вариационное исчисление, теорию комплексных функций, дифференциальную
геометрию поверхностей, специальные функции. Другие области его трудов: диофантов
анализ, астрономия, оптика, акустика, статистика и т. д. Познания Эйлера были
энциклопедичны; кроме математики, он глубоко изучал ботанику, медицину, химию,
теорию музыки, множество европейских и древних языков.
Биографы отмечают [18], что Эйлер был виртуозным алгоритмистом. Он неизменно
старался довести свои открытия до уровня конкретных вычислительных методов.
Эйлер охотно участвовал в научных дискуссиях, из которых наибольшую известность
получили [19] :



Спор о струне.
Спор с Д'Аламбером о свойствах комплексного логарифма.
Спор с английским оптиком Джоном Доллондом (англ.) о том, возможно ли создать
ахроматическую линзу.
Во всех упомянутых случаях Эйлер отстаивал правильную позицию.
2.1. Теория чисел
П. Л. Чебышёв писал: "Эйлером было положено начало всех изысканий, составляющих
общую теорию чисел". Большинство математиков XVIII века занимались развитием
анализа, но Эйлер пронёс увлечение древней арифметикой через всю свою жизнь.
Благодаря его трудам интерес к теории чисел к концу века возродился.
Эйлер продолжил исследования Ферма, ранее высказавшего (под влиянием Диофанта) ряд
разрозненных гипотез о натуральных числах. Эйлер строго доказал эти гипотезы,
значительно обобщил их и объединил их в содержательную теорию чисел. Он ввёл в
математику исключительно важную "функцию Эйлера" и сформулировал с её помощью
"теорему Эйлера". Эйлер создал теорию сравнений и квадратичных вычетов, указав для
последних критерий Эйлера.
Он опроверг гипотезу Ферма о том, что все числа вида
оказалось, что F 5 делится на 641.
- простые;
Доказал утверждение Ферма о представлении нечётного простого числа в виде суммы
двух квадратов.
Дал одно из решений задачи о четырех кубах.
Эйлер доказал Великую теорему Ферма для n = 3 і n = 4 , создал полную теорию
непрерывных дробей, исследовал различные классы диофантовых уравнений, теорию
разбиений чисел на слагаемые.
Он открыл, что в теории чисел возможно применение методов математического анализа,
положив начало аналитической теории чисел. В основе её лежат тождество Эйлера и
общий метод производящих функций.
Эйлер ввёл понятие первообразного корня и выдвинул гипотезу, что для любого простого
числа p существует первообразный корень по модулю p; доказать это он не сумел, позднее
теорему доказали Лежандр и Гаусс. Большое значение в теории имела другая гипотеза
Эйлера - квадратичный закон взаимности, также доказанный Гауссом.
2.2. Математический анализ
Одна из главных заслуг Эйлера перед наукой - монография "Введение в анализ
бесконечно малых " (1748). В 1755 году выходит дополненное "Дифференциальное
исчисление", а в 1768-1770 годах - три тома "Интегрального исчисления". В совокупности
это фундаментальный, хорошо иллюстрированный примерами курс, с продуманной
терминологией и символикой, откуда многое перешло и в современные учебники.
Собственно современные методы дифференцирования и интегрирования были
опубликованы в данных трудах.
Основание натуральных логарифмов было известно ещё со времён Непера и Якоба
Бернулли, однако Эйлер дал настолько глубокое исследование этой важнейшей
константы, что с тех пор она носит его имя. Другая исследованная им константа:
постоянная Эйлера - Маскерони.
Первая книга по вариационному исчислению
Он делит с Лагранжем честь открытия вариационного исчисления, выписав уравнения
Эйлера - Лагранжа для общей вариационной задачи. В 1744 году Эйлер опубликовал
первую книгу по вариационному исчислению ("Метод нахождения кривых, обладающих
свойствами максимума либо минимума").
Эйлер значительно продвинул теорию рядов и распространил её на комплексную область,
получив при этом знаменитую формулу Эйлера. Большое впечатление на математический
мир произвели ряды, впервые просуммированные Эйлером, в том числе не поддававшийся
до него никому ряд обратных квадратов :
Современное определение показательной, логарифмической и тригонометрических
функций - тоже его заслуга, так же как их символика и обобщение на комплексный
случай. [20] Формулы, часто именуемые в учебниках " условия Коши - Римана ", более
правильно было бы назвать "условиями Даламбера - Эйлера".
Он первый дал систематическую теорию интегрирования и используемых там
технических приёмов, нашёл важные классы интегрируемых дифференциальных
уравнений. Он открыл эйлеровы интегралы - ценные классы специальных функций,
возникающие при интегрировании: бета-функция и гамма-функция Эйлера.
Одновременно с Клеро вывел условия интегрируемости линейных дифференциальных
форм от двух или трёх переменных (1739). Первый ввёл двойные интегралы. Получил
серьёзные результаты в теории эллиптических функций, в том числе первые теоремы
сложения.
С более поздней точки зрения, действия Эйлера с бесконечными рядами не всегда могут
считаться корректными (обоснование анализа было проведено лишь полвека спустя), но
феноменальная математическая интуиция практически всегда подсказывала ему
правильный результат. Впрочем, дело было не только в интуиции, Эйлер действовал здесь
достаточно сознательно, во многих важных отношениях его понимание смысла
расходящихся рядов и операций с ними превосходило стандартное понимание XIX века и
послужило основой современной теории расходящихся рядов, развитой в конце XIX начале XX века. [21]
2.3. Геометрія
В элементарной геометрии Эйлер обнаружил несколько фактов, не замеченных Евклидом
:




Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре).
В треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центр тяжести лежат на
одной прямой - " прямой Эйлера ".
Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и
середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на
одной окружности (окружности Эйлера).
Число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) у любого выпуклого многогранника
связаны простой формулой : В + Г = Р + 2.
Второй том "Введения в анализ бесконечно малых" (1748) - это первый в мире учебник по
аналитической геометрии и основам дифференциальной геометрии. Термін аффинные
преобразования впервые введён в этой книге вместе с теорией таких преобразований.
В 1760 году вышли фундаментальные "Исследования о кривизне поверхностей ". Эйлер
обнаружил, что в каждой точке гладкой поверхности имеются два нормальных сечения с
минимальным и максимальным радиусами кривизны, и плоскости их взаимно
перпендикулярны. Вывел формулу связи кривизны сечения поверхности с главными
кривизнами.
1771 год : опубликовано сочинение "О телах, поверхность которых можно развернуть на
плоскость". В этой работе введено понятие развёртывающейся поверхности, то есть
поверхности, которая может быть наложена на плоскость без складок и разрывов. Эйлер,
однако, даёт здесь вполне общую теорию метрики, от которой зависит вся внутренняя
геометрия поверхности. Позже исследование метрики становится у него основным
инструментом теории поверхностей.
2.4. Комбинаторика
Магический квадрат Эйлера
Эйлер много внимания уделял представлению натуральных чисел в виде сумм
специального вида и сформулировал ряд теорем для вычисления числа разбиений.
Он исследовал алгоритмы построения магических квадратов методом обхода шахматным
конем.
При решении комбинаторных задач он глубоко изучил свойства сочетаний и
перестановок, ввёл в рассмотрение числа Эйлера.
2.5. Другие области математики


Теория графов началась с решения Эйлером задачи о семи мостах Кёнигсберга.
Метод ломаных Эйлера.
2.6. Механика и математическая физика
Множество работ Эйлера посвящены математической физике: механике, гидродинамике,
акустике и др. В 1736 году вышел трактат "Механика, или наука о движении, в
аналитическом изложении", знаменующий новый этап в развитии этой древней науки. 29летний Эйлер отказался от традиционного геометрического подхода к механике и подвёл
под неё строгий аналитический фундамент. По существу, с этого момента механика
становится прикладной математической дисциплиной.
В 1755 году публикуются "Общие принципы движения жидкостей", в которых положено
начало теоретической гидродинамике. Выведены основные уравнения гидродинамики
(уравнение Эйлера) для жидкости без вязкости. Разобраны решения системы для разных
частных случаев.
Углы Эйлера
В 1765 году в книге "Теория движения твёрдых тел" Эйлер математически описал
кинематику твёрдого тела конечных размеров (до него исследовалось в основном
движение точки). Он ввёл в математику углы Эйлера и теорему вращения. Его имя также
носят кинематическая формула распределения скоростей в твёрдом теле, уравнения
(Эйлера - Пуассона) динамики твёрдого тела, важный случай интегрируемости в динамике
твёрдого тела.
Эйлер обобщил принцип наименьшего действия, довольно путано изложенный
Мопертюи, и указал на его основополагающее значение в механике. К сожалению, он не
раскрыл вариационный характер этого принципа, но всё же привлёк к нему внимание
физиков, которые позднее выяснили его фундаментальную роль в природе.
2.7. Астрономія
Эйлер много работал в области небесной механики. Он заложил основу теории
возмущений, позднее завершённой Лапласом, и разработал очень точную теорию
движения Луны. Эта теория оказалась пригодной для решения насущной задачи
определения долготы на море, и английское Адмиралтейство выплатило за неё Эйлеру
специальную премию.
Основные труды Эйлера в этой области:



"Теория движения Луны", 1753.
"Теория движения планет и комет" (лат. Theoria motus planetarum et cometarum ),
1774.
"Новая теория движения Луны", 1772.
Эйлер исследовал поле тяготения не только сферических, но и эллипсоидальных тел, что
представляло собой существенный шаг вперёд. [14]
2.8. Инженерное дело
В 1757 году Эйлер впервые в истории нашёл формулы для определения критической
нагрузки при сжатии упругого стержня. Однако в те годы эти формулы не могли найти
практического применения.
Почти сто лет спустя, когда во многих странах - и прежде всего в Англии - стали строить
железные дороги, потребовалось рассчитать прочность железнодорожных мостов. Модель
Эйлера принесла практическую пользу в проведении экспериментов.
3. Пам'ять
Швейцарская банкнота с портретом молодого Эйлера
В честь Эйлера названы:








Вулиця в Алма-Ате
Кратер Euler на Місяці.
Астероид 2002 Эйлер.
Международный математический институт им. Леонарда Эйлера Российской
Академии наук, основанный в 1988 году в Петербурге.
Благотворительный фонд поддержки отечественных учёных. [C 6]
Медаль (англ. Euler Medal ), с 1993 года ежегодно присуждаемая канадским
Институтом комбинаторики и её приложений (англ. Institute of Combinatorics and its
Applications ) за достижения в этой области математики.
Золотая медаль имени Леонарда Эйлера Академии наук СССР и Российской
академии наук.
Множество понятий в математике и других науках, см.: список объектов,
названных в честь Леонарда Эйлера.
Полное собрание сочинений Эйлера, издаваемое с 1909 года Швейцарским обществом
естествоиспытателей, до сих пор не завершено; планируется выпуск 75 томов, из них
вышло 72. 8 дополнительных томов будут посвящены научной переписке Эйлера (свыше
3000 писем [22]).
В 1907 году российские и многие другие учёные отметили 200-летие великого
математика. В канун его 300-летия (2007) в Петербурге состоялся международный
юбилейный форум и был снят кинофильм о жизни Эйлера [C 7]. В том же году в
Петербурге, у входа в Международный Институт Эйлера, был открыт памятник Эйлеру
работы скульптора А. Г. Дёмы [C 8]. Центробанк РФ выпустил памятную монету [C 9] в
ознаменование этого события. Портрет Эйлера помещался на швейцарскую 10-франковую
банкноту (6-я серия) и на почтовые марки Швейцарии, России и Германии.
3.1. В филателии

Почтовые марки

Почтовая марка СССР,
1957 год

Почтовая марка ГДР, посвящённая Леонарду Эйлеру, 1983, 20 пфеннигов (Михель 2825, Скотт
2371)
3.2. Математические олимпиады
Очень многие факты в геометрии, алгебре и комбинаторике, доказанные Эйлером,
повсеместно используются в олимпиадной математике.
15 апреля 2007 года была проведена интернет-олимпиада для школьников по математике,
посвящённая 300-летию со дня рождения Леонарда Эйлера, происходившая при
поддержке ряда организаций. [C 10] В декабре 2008 - марте 2009 года проводится
математическая олимпиада имени Леонарда Эйлера для восьмиклассников, призванная
отчасти заменить им утрату регионального и заключительного этапов Всероссийской
математической олимпиады для 8 классов. [C 11]
4. Примітки
1. Nicolas Fuss. Eulogy of Euler by Fuss - www-history.mcs.stand.ac.uk/~history/Extras/Euler_Fuss_Eulogy.html (Англ.) . - Read at the Imperial
Academy of Sciences of Saint Petersburg 23 October 1783. Архивировано www.webcitation.org/618VCNocP из первоисточника 23 августа 2011.
2. Письмо М.В. Ломоносова Л. Эйлеру - www.webcitation.org/618VCs6lx из первоисточника 23
августа 2011.
3. История Императорской Академии Наук в Петербурге Петра Пекарского. Том
второй. Издание отделения русского языка и словестности Императорской
Академии Наук. Санкт-Петербург. Типография Императорской Академии Наук.
1873
4. Владимир Захаров. "Олигархам выгодно, чтобы население России уменьшилось" www.inauka.ru/laureats/article35764.html. Известия -Наука (12 сентября 2003). Ломоносов - это трагическая фигура в науке.
5. См.: Дом Л. Эйлера (А. Гитшова) (наб. Лейтенанта Шмидта, 15) www.encspb.ru/ru/bigimage.php?kod=2803984726. Энциклопедия Санкт-Петербурга.
Архивировано - www.webcitation.org/618VGxmk6 из первоисточника 23 августа 2011.
6. См.: Игорь Макаров. Инвестиции в "чистую науку" www.spbumag.nw.ru/2006/04/8.shtml // Санкт-Петербургский университет :
журнал. - 7 марта 2006. - № 4 (3726).
7. См.: Новости сайта выпускников СПбГУ - www.alumni-spbu.ru/news.asp (26 июня
2007).
8. А. М. Вершик, С. В. Востоков. О праздновании 300-летия со дня рождения
Леонарда Эйлера. www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=7923&option_la
ng=rus Успехи математических наук, 62:4(376) (2007), стр. 186-189.
9. 300-летие со дня рождения Л. Эйлера - www.cbr.ru/banknotes_coins/Base_of_memorable_coins/coins1.asp?cat_num=5110-0079. Серия:
Выдающиеся личности России. Центральный банк Российской Федерации (2
апреля 2007). Архивировано - www.webcitation.org/618VIYLl8 из первоисточника 23 августа
2011.
10. Интернет-олимпиада для школьников, посвящённая 300-летию со дня рождения
Леонарда Эйлера - www.euler.math.ru/.
11. Олимпиада им. Леонарда Эйлера - www.matol.ru/. Архивировано www.webcitation.org/618VJHwLZ из первоисточника 23 августа 2011.
Использованная литература
1. Математика XVIII столетия. Указ. соч - С. 32.
2. Глейзер Г. И. История математики в школе - ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm М .: Просвещение, 1964. - С. 232.
3. Гиндикин С. Г., 2001, с. 220.
4. Яковлев А. Я. Леонард Эйлер - М .: Просвещение, 1983.
5. Гиндикин С. Г., 2001, с. 218.
6. ↑ 1 2 3 Гиндикин С. Г., 2001, с. 225.
7. Гиндикин С. Г., 2001, с. 264.
8. Гиндикин С. Г., 2001, с. 230.
9. Гиндикин С. Г., 2001, с. 231.
10. К 150-летию со дня смерти Эйлера : сборник - Изд-во АН СССР, 1933.
11. А. С. Пушкин. Анекдоты, XI // Собрание сочинений www.rvb.ru/pushkin/01text/07criticism/01criticism/0436sovr/0955.htm Т. 6.
12. Marquis de Condorcet. Eulogy of Euler. History of the Royal Academy of Sciences
(1783) - www.math.dartmouth.edu/~euler/historica/condorcet.html - Paris, 1786. - P. 3768.
13. Белл Е. Т. Указ. соч - С. 123.
14. ↑ 1 2 Будівництво Д. Я. глава VII / / Короткий нарис історії математики www.reshebnik.ru/history/ / Переклад І. Б. Погребисского - 3-е изд. - М ., 1984.
15. Литвинова Е. Ф. Ейлер / / Коперник, Галілей, Кеплер, Лаплас і Ейлер, Кетле.
Біографічні оповідання - Челябінськ, Урал, 1997 Т. 21. - З. 315. - (Бібліотека Ф.
Павленкова). - ISBN 5-88294-071-0.
16. Белл Е. Т. Указ. соч - С. 129.
17. Dunham, William. Euler: The Master of Us All - Mathematical Association of America,
1999. - P. xiii. - ISBN 0-88385-328-0.
18. Белл Е. Т. Указ. соч - З. 117.
19. Математика XVIII сторіччя. Указ. соч - С. 35.
20. Рибніков К. А. Том II / / Історія математики в 2-х томах - М .: Изд. МГУ 1963. - С.
26-27.
21. Див. наприклад: Харді Г. Г. Розбіжні ряди - urss.ru / cgi-bin / db.pl? lang Ru = &
blang = ru & page = Book & set = 1 & list = 46 & id = 32804 / Пер. з англ - 2-е вид. URSS, 2006. - С. 504.
22. Рибников К. А. Указ. соч - С. 19.
5. Праці










Нова теорія руху Місяця - Л. : Изд. АН СРСР, 1934.
Метод знаходження кривих ліній володіють властивостями або максимуму, або
мінімуму - М.-Л.: ГТТІ, 1934.
Основи динаміки точки - М.-Л.: ОНТИ, 1938.
Диференціальне числення - М.-Л., 1949.
Інтегральне числення. У 3 томах - М .: Гостехиздат, 1956-58.
Вибрані картографічні статті - М.-Л.: Геодезіздат, 1959.
Введення в аналіз нескінченних. У 2 томах - М .: Фізматгіз, 1961.
Дослідження з балістики - М .: Фізматгіз, 1961.
Листи до німецької принцеси про різні фізичних та філософські матерії - СПб. :
Наука, 2002. - 720 с. - ISBN 5-02-027900-5, 5-02-028521-8.
Досвід нової теорії музики, ясно викладеної відповідно до непорушними
принципами гармонії / пров. з лат. Н. А. Алмазова - www.bibliothecaclassica.org/drupal/?q=almazova - Санкт-Петербург Ріс. акад. наук, С.-Петерб. науч.
центр, вид-во Нестор-Історія, 2007. - ISBN 978-598187-202-0. (Переклад Tentamen
novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae (Tractatus
de musica) - math.dartmouth.edu / ~ euler/pages/E033.html - Petropol.: Typ. Acad. Sci.,
1739. )
6.1. Праці Ейлера в Інтернеті

Книги Леонарда Ейлера в інтернет-бібліотеці - www.mccme.ru / free-books / djvu /
eiler / index.htm МЦНМО. архіві - www.webcitation.org/618VJnkcO з 23 серпня 2011
першоджерела.

Книги Леонарда Ейлера в інтернет-бібліотеці math.ru www.math.ru/lib/author/?n=0&page=1&o_by=author&o=0. архіві www.webcitation.org/618VKONbx з першоджерела 23 серпня 2011.


Статті Ейлера на arxiv.org - arxiv.org/find/math/1/au: Euler_L/0/1/0/all/0/1.
830 робіт Ейлера в оригіналі, з них 115 доступні в англ. перекладі math.dartmouth.edu / ~ euler / enestrom.php? topic = avail (Англ.) . Фотогалерея www.webcitation.org/618VLnWQ1 з першоджерела 23 серпня 2011.
Література













Артемьева Т. В. Леонард Ейлер як філософ www.ideashistory.org.ru/pdfs/07euler.pdf / / Філософія в Петербурзької академії наук
XVIII століття - СПб. , 1999. - 182 с.
Башмакова І. Г., Юшкевич О. П. Леонард Ейлер / / Історико-математичні
дослідження. - М .: ГІТТЛ, 1954. - № 7. - С. 453-512.
Белл Е. Т. Творці математики - www.math.ru / lib / book / djvu / istoria / bell.djvu - М
.: Освіта, 1979.
Гіндікін С. Р. Розповіді фізиків і математиків - www.mccme.ru / free-books / gindikin
/ index.html - 3-е изд., расш. - М .: МЦНМО, 2001. - 465 с. - ISBN 5-900916-83-9.
Делоне Б. Н. Леонард Ейлер - kvant.mccme.ru/1974/05/leonard_ejler.htm / / Квант. 1974. - № 5.
Котек У. В. Леонард Ейлер - М .: Учпедгиз, 1961.
До 250-річчя від дня народження Л. Ейлера - Збірник. - Вид-во АН СРСР, 1958.
o Бур'ян А. Смерть Леонарда Ейлера. - mikv1.narod.ru/text/Buria1958.htm С.
605-607.
Літопис Російської Академії наук - М .: Наука, 2000. - Т. 1: 1724-1802. - ISBN 5-02024880-0.
Математика XVIII сторіччя - ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm / За редакцією А.
П. Юшкевича - М .: Наука, 1972. - Т. 3. - (Історія математики в 3-х томах).
Полякова Т. С. Леонард Ейлер і математичну освіту у Росії - КомКніга, 2007. - 184
с. - ISBN 978-5-484-00775-2.
Прудников В. Є. Російські педагоги-математики XVIII-XIX століть - 1956.
Розвиток ідей Леонарда Ейлера і сучасна наука. СБ статей - М .: Наука, 1988. - 525
с. - ISBN 5-02-000002-7.
А. П. Юшкевич Історія математики в Росії - М .: Наука, 1968.
http://znaimo.com.ua