Математическая игра «Пенальти». Решения. 29 декабря 2011

Математическая игра «Пенальти». Решения. 29 декабря 2011 года
1. Сколько существует пятизначных чисел, в которых есть и чётные, и нечётные цифры? (84375. Из
общего количества пятизначных чисел 9104 (на первом месте – любая из 9 ненулевых цифр,
на остальных четырёх местах – любая цифра) вычтем количество чисел только с чётными
цифрами (454) и только с нечётными цифрами (55).)
2. Треугольник разрезали на два треугольника. При каком наибольшем k среди шести углов этих двух
треугольников может оказаться k одинаковых? (4. Пример на 4 – равнобедренный прямоугольный треугольник, поделенный на два равнобедренных прямоугольных: четыре угла по 45.
Допустим, что нашлись пять равных углов. Тогда в одном из треугольников равны все три угла, т.е. все они, а с ними и два угла другого треугольника равны 60. Но тогда оба эти треугольника – равносторонние, а при разрезании не могут получиться два равносторонних треугольника.)
3. Вертикали (слева направо) и горизонтали (снизу вверх) шахматной доски занумерованы числами от
1 до 8, при этом клетка с координатами (1; 1) – чёрная. В каждую клетку вписано произведение её
координат. Найдите сумму чисел, написанных в белых клетках. (640=2(1+3+5+7)(2+4+6+8), т.к.
это выражение равно сумме 32 чисел, каждое из которых соответствует ровно одной белой
клетке, а каждой белой клетке соответствует своё произведение, причём у половины слагаемых первое число в каждом произведении равно первой координате клетки, а второе – второй координате.)
4. В математическом кружке 5 непятиклассников, 6 нешестиклассников и 7 несемиклассников. Сколько всего человек могло заниматься в этом кружке? (7, 8 или 9. Пусть в кружке A пятиклассников, В шестиклассников, С семиклассников и D учащихся других классов. Тогда B+C+D=5,
A+C+D=6 и A+B+D=7, где A, B, C, D – целые неотрицательные числа. Сложив эти три уравнения, получим, что 2(A+B+C)+3D=2(A+B+C+D)+D=18, откуда D – чётное неотрицательное число, не превышающее 18:3=6. Значение D=6 невозможно в силу ограничения «5 непятиклассников». Перебрав возможные варианты числа D (0, 2, 4), получим, что количество учащихся
в кружке (A+B+C+D) может принимать значения 9, 8 или 7 соответственно, причём каждый
из этих вариантов реализуется соответствующим распределением учащихся по классам.)
5. Найдите сумму цифр числа, получаемого умножением 2008 на число, состоящее из 2008 единиц.
(2035=22+31+12004+83. Произведение данных чисел равно 223111…10888 (в числе 2004 единицы).)
6. В единичном круге хорды АВ и СD пересекаются в точке Е под прямым углом. Найдите сумму
квадратов отрезков АЕ, ВЕ, СЕ, DЕ. (4. Проведём диаметр АF и хорды АС, АD,
CF и ВD. Разберём одно из возможных положений точек (см.рис.), остальные
случаи разбираются аналогично. Так как  AED – прямой, то он равен
 ACF. Но  ADС=  AFС, следовательно, в треугольниках АDЕ и АFC
 САF=  DAЕ. Поэтому дуга СF равна дуге ВD, а следовательно, СF=ВD.
Пользуясь теоремой Пифагора, получим, что DЕ2+ВЕ2=СF2 (1), АЕ2+СЕ2=АС2
(2)
и
АС2+СF2=АF2
(3).
Из
(1),
(2)
и
(3)
получаем:
2
2
2
2
2
2
DЕ +ВЕ +АЕ +СЕ =АF =2 =4.)
7. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр, в котором для любого натурального n,
не превышающего количества цифр, сумма первых n цифр будет делиться на n. (9784205. Пусть Sn
–
сумма
первых
n
цифр,
тогда
S88
и
в
силу
оценки
28=0+1+2+3+4+5+6+7S82+3+4+5+6+7+8+9=44 может принимать одно из двух значений (32 и
40). Если S8=32, то S7=28, S6=24, т.е. седьмая и восьмая цифры равны 4, что противоречит
условию. Если S8=40, то S7=35, S6=30, т.е. седьмая и восьмая цифры равны 5, что противоречит условию. Т.о., в числе не более 7 цифр. Наибольшее число строится естественным образом подбором на каждом шаге до пятого наибольшей цифры, удовлетворяющей условию. На
шестом шаге выбор цифры 6 даст только шестизначное число, выбор же
цифры 0 даст семизначное число.)
8. Каждую сторону квадрата разделили на n равных частей и через каждую точку деления провели по две прямые (через вершины – по одной), параллельные диагоналям квадрата. На сколько частей все проведённые прямые разбили квадрат?
(2n∙(n+1)=2n2+2n. Считаем сторону квадрата равной n, тогда к краю примы-
кает 4n равнобедренных треугольника площадью 0,25, а внутри количество квадратиков,
имеющих площадь 0,5, равно (n2-4n∙0,25):0,5=2∙(n2-n). Тогда всего будет 4n+2∙(n2-n)= 2n2+2n
частей.)
9. Найдите квадрат числа 3  2 2  1 . (2. ( 3  2 2 1) 2  ( (1  2 ) 2 1) 2  (1  2 1) 2  2 )
3 4 7
10. В таблице 33 расставляются по одному все целые числа от 1 до 9. Каково наибольшее 2 1 6
количество сумм в парах чисел в соседних (по стороне) клетках, которые могут равнять- 9 8 5
ся простым числам? Приведите ответ и пример таблицы. (11 сумм, например, при расстановке, как на рисунке, - во всех парах, кроме (1, 8). Все 12 пар дать простые суммы не могут, т.к. это были бы только нечётные числа, являющиеся суммами пар чётных и нечётных
чисел. Это возможно только при расстановке 5 нечётных и 4 чётных чисел в шахматном порядке, тогда в центре стояло бы нечётное число, которое соседствовало бы с 2, 4, 6, 8. Но четырёх подряд идущих нечётных простых чисел не бывает, т.к. среди них было бы число,
кратное 3. В случае самого числа 3=2+1 у нас будет число 8+1=9 – составное.)
11. Найдите наименьшее натуральное n такое, что все дроби
1
2
3
2007
несократимы.
,
,
,...,
n3 n4 n5
n  2009
(2009. Представив знаменатели в виде (n+2)+1, …, (n+2)+ 2007, заметим, что все дроби будут
несократимыми тогда и только тогда, когда число n+2 взаимно просто с каждым из чисел 1,
…, 2007. Наименьшим из таких чисел n+2 будет наименьшее простое число, большее 2007, то
есть 2011, откуда n = 2009. Все числа, меньшие 2011, имеют простые делители, меньшие 2007,
а для каждого такого простого делителя среди чисел от 1 до 2007 найдется делящееся на него
число.)
12. Найдите углы равнобедренного треугольника, в котором биссектриса и высота, проведённые из одной
вершины, отличаются по длине в два раза. (20, 20,
140. Пусть АН – высота, АЕ – биссектриса, тогда
в прямоугольном треугольнике АНЕ гипотенуза
АЕ вдвое длиннее катета АН, значит, АЕН=30, а
НАЕ=60. Это возможно только в случае, если
высота АН расположена вне треугольника. Тогда 30=ЕАС+ЕСА=3, где 2=20 – угол
при основании данного равнобедренного треугольника.)
13. Для каждой клетки шахматной доски допускается либо провести распил по одной
из двух её диагоналей, либо провести два распила по обеим её диагоналям, либо
не распиливать клетку вообще. Какое наибольшее количество распилов можно
сделать, чтобы доска не распалась на отдельные части? (49. Если рассмотреть
граф частей, где вершины – части распиленной доски, то рёбра – это перегородки между клетками (их всего 112). Для сохранения связности надо иметь
не более 112+1=113 вершин-частей, т.к. минимальное количество рёбер будет в дереве, в котором рёбер на 1 меньше, чем вершин. Значит, количество частей увеличилось не более чем
на 113-64=49, т.е. было не более 49 распилов. Пример – на рисунке.)
14. Используя каждую из девяти ненулевых цифр ровно 1 раз, составьте три трёхзначных числа, в
каждом из которых можно расставить знаки некоторых из четырёх арифметических действий так,
чтобы в результате получился 0. Приведите пример чисел с расстановкой знаков. (954, 871 и 632, т.к. 9-5-4=8-7-1=6:3-2=0)
15. В треугольнике ABC С=45. Найдите все положения точки N на
плоскости такие, что ANB=90 и NB=NC. (Указать, какое отношение
к треугольнику АВС имеют эти положения точки N.) (Точка N – либо
центр О описанной окружности треугольника АВС, либо основание высоты ВН. Точка N должна лежать одновременно на серединном перпендикуляре к отрезку ВС и на окружности с диаметром АВ, но прямая может пересекать окружность максимум в двух
точках, и это будут точки О и Н.)
16. Сколько одновременно верных утверждений может быть среди следующих четырёх утверждений:
n33, n39, n327, n381? (0, 1, 2, 3 или 4, например, соответственно в случаях, когда n не делится
на 3 и когда n равно 3 3 , 3 9 , 3 27 , 3 81 )