ЕН.02 Элементы математической логики (новое окно)
advertisement
1 ПАСПОРТ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ЕН.02
«ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ»
1.1 Область применения программы
Программа
учебной
дисциплины
является
частью
основной
профессиональной образовательной программы в соответствии с ФГОС по
специальности СПО 230401 Информационные системы (по отраслям).
Программа
учебной
дисциплины
может
быть
использована
в
дополнительном профессиональном образовании (в программах повышения
квалификации и переподготовки) и профессиональной подготовке.
1.2 Место дисциплины в структуре основной профессиональной
образовательной
программы:
дисциплина
ЕН.02
«Элементы
математической логики» входит гуманитарный и социально-экономический
цикл.
Дисциплина «Элементы математической логики» является логической
основой понимания сущности доказательств и их логического строения,
изучения аксиоматических математических теорий из разных областей
математики, а также теоретической основой логической составляющей
обучения
математике.
математической
Основные положения
логики»
закладывают
дисциплины
фундамент
для
«Элементы
понимания
дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», «Основы
архитектуры, устройство и функционирование вычислительных систем».
1.3 Цели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения
дисциплины
Главная стратегическая цель ОПОП по специальности СПО 230401
Информационные системы (по отраслям):
− закрепление
направления,
статуса
надежно
престижного
поставляющего
и
конкурентоспособного
высококвалифицированные,
обладающие необходимыми компетенциями, востребованные на рынке труда
кадры.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
уметь:
− формулировать задачи логического характера и применять средства
математической логики для их решения;
знать:
− основные принципы математической логики, теории множеств и
теории алгоритмов;
− формулы алгебры высказываний;
− методы минимизации алгебраических преобразований;
− основы языка и алгебры предикатов.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
владеть:
− способностью и готовностью к изучению дальнейших понятий и
теорий, разработанных в современной математической логике, а также к
оценке
степени
адекватности
предлагаемого
аппарата
к
решению
прикладных задач.
В результате освоения дисциплины у обучающихся по базовой
подготовке формируются общие компетенции (ОК):
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей
профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность
и качество.
ОК 3. Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения
в нестандартных ситуациях.
ОК 4. Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой
для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития.
ОК 5. Использовать
информационно-коммуникационные
технологии
для совершенствования профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение,
3
эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Ставить
цели,
мотивировать
деятельность
подчиненных,
организовывать и контролировать их работу с принятием на себя
ответственности за результат выполнения заданий.
ОК 8. Самостоятельно
определять
задачи
профессионального
и
личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать
повышение квалификации.
ОК 9. Быть
готовым
к
смене
технологий
в
профессиональной
деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением
полученных профессиональных знаний (для юношей).
Содержание дисциплины должно быть ориентировано на подготовку
обучающихся по базовой подготовке к освоению профессиональных модулей
ОПОП по специальности 230401 Информационные системы (по отраслям):
(базовой подготовки) и овладению профессиональными компетенциями
(ПК):
ПК 1.1. Собирать
данные
для
анализа
использования
и
функционирования информационной системы, участвовать в составлении
отчетной документации, принимать участие в разработке проектной
документации на модификацию информационной системы.
ПК 1.2. Взаимодействовать
со
специалистами
смежного
профиля
при разработке методов, средств и технологий применения объектов
профессиональной деятельности.
ПК 1.4. Участвовать
в
экспериментальном
тестировании
информационной системы на этапе опытной эксплуатации, фиксировать
выявленные
ошибки
кодирования
в
разрабатываемых
модулях
информационной системы.
ПК 2.3. Применять
методики
тестирования
разрабатываемых
приложений.
ПК 3.5. Осуществлять администрирование баз данных в рамках своей
4
компетенции.
При изучении дисциплины «Элементы математической логики» внимание студента будет обращено на её прикладной характер, на то, где и
когда изучаемые теоретические положения и практические навыки могут
быть использованы в будущей практической деятельности.
1.4 Рекомендуемое количество часов на освоение программы
дисциплины:
− максимальной учебной нагрузки обучающегося 102 часа в том числе:
обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 68 часов, в том
числе
практических
занятий
20
часов;
самостоятельной
работы
обучающегося 34 часа.
В
процессе
изучения
дисциплины
предполагается
проведение
практических занятий для закрепления теоретических знаний, освоения
методологии решения задач математической логики; тематика практических
занятий учитывает специфику образовательного учреждения.
С целью закрепления и систематизации знаний, формирования
самостоятельного мышления в программе предусмотрены часы для
самостоятельной работы студентов. Результаты самостоятельной работы
представляются в следующих формах: сообщение, доклад, индивидуальное
домашнее задание.
5
2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
2.1 Объем учебной дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы
Объем
часов
Распределение
по семестрам
2
2
2
Максимальная учебная нагрузка (всего)
102
Обязательная аудиторная учебная нагрузка
68
(всего)
в том числе:
теоретические занятия
48
2
практические занятия
20
2
Самостоятельная работа студента (всего)
34
2
в том числе:
расчетно – графические работы
индивидуальные работы
домашняя работа
Итоговая аттестация в соответствии с учебным планом по специальности.
Рекомендовано проводить итоговую аттестацию по дисциплине в форме
экзамена.
6
2.2. Тематический план и содержание учебной дисциплины «Элементы математической логики»
Наименование
разделов и тем
1
Введение
Содержание учебного материала, лабораторные и практические работы,
самостоятельная работа обучающихся, курсовая работ (проект)
(если предусмотрены)
2
Введение в дисциплину «Элементы математической логики»
Цели изучения дисциплины «Основы математической логики». Совокупность
дисциплин и математический аппарат, составляющих «Математическую логику».
Взаимосвязь с другими дисциплинами. Виды математической логики. Основные
понятия математической логики. Применение математической логики при
решении
профессиональных
задач.
Перспективы
развития
методов
математической логики для выпуска информационной продукции.
Самостоятельная работа обучающихся «Работа с конспектом»
Объем часов
Уровень
освоения
3
4
2
1
2
Раздел 1.
Алгебра высказываний
Высказывания и высказывательные формы. Отрицание высказываний.
Тема 1.1
Логические операции над Конъюнкция и дизъюнкция. Союзы языка и логические операции (Язык и логика).
Импликанция, эквиваленция, сумма по модулю два, штрих Шеффера, стрелка
высказываниями.
Пирса. Таблицы истинности. Основные логические связки. Формулы алгебры
высказываний. Равносильность.
Формулы алгебры высказываний. Составление таблиц истинности для формул.
Тема 1. 2
Формулы
алгебры Классификация формул алгебры логики. Равносильные преобразования.
Упрощение формул. Закон двойственности в алгебре логики. Множества
высказываний.
истинности. Полные функции алгебры логики
Практические занятия №1_________________________________________________
Составление таблиц истинности. Равносильные преобразования.
Упрощение формул логики
Практические занятия №2_________________________________________________
Приведение формул к совершенным нормальным формам по таблицам истинности
Самостоятельная работа обучающихся «Работа с конспектом»
Конъюнктивная нормальная форма. Дизъюнктивная нормальная форма.
Тема 1.3
Составление формул по заданным таблицам истинности. Понятие нормальных
Нормальные
формы для формул алгебры форм. Приведение формул к совершенным нормальным формам с помощью
равносильных преобразований. Упрощение формул логики до минимальной ДНФ.
высказываний.
7
4
3
4
3
1
2
4
4
2
Наименование
разделов и тем
Содержание учебного материала, лабораторные и практические работы,
Объем часов
самостоятельная работа обучающихся, курсовая работ (проект)
(если предусмотрены)
1
2
3
Практические занятия №3
2
Приведение формул к совершенным нормальным формам.
Упрощение формул логики до минимальной ДНФ.
Самостоятельная работа обучающихся «Работа с конспектом»
4
Прямая и обратная теоремы. Необходимые и достаточные условия. Необходимые и
4
Тема 1.4
достаточные условия.
Приложения
алгебры высказываний к Практические занятия № 4
1
логико-математической
Решение логических задач
практике.
Самостоятельная работа обучающихся «Работа с конспектом»
4
Раздел 2
Булевы функции
Общие понятия теории множеств. Операции над множествами и их свойства.
4
Тема 2.1
Классификация множеств. Мощность множеств. Кортежи и декартово
Множества,
произведение множеств. Представление множеств в виде диаграмм Эйлера-Венна.
отношения, функции.
Круги Эйлера. Алгебра Буля. Принцип двойственности в алгебре множеств.
Бинарные отношения и их свойства. Соответствия между множествами.
Отображения. Функции. Теоретико–множественные операции и их связь с
логическими операциями.
Практические занятия № 5
2
Действия над множествами. Мощность конечного множества
Самостоятельная работа обучающихся «Работа с конспектом»
4
Булевы функции. Выражение булевых функций через дизъюнкцию, конъюнкцию и
4
Тема 2.2
Булевы функции от одного, отрицание. Канонический многочлен Жегалкина. Важнейшие замкнутые классы.
двух аргументов и от n Практические занятия №6
2
аргументов.
Функции алгебры логики._________________________________________________ _____________
Практические занятия №7
2
Представление Булевых функций в виде многочлена Жегалкина.
Контрольная работа по теме «Множества»
Самостоятельная работа обучающихся «Работа с конспектом»
4
Теорема Поста. Приложение функций алгебры логики к анализу и синтезу
4
Тема 2.3
релейно-контактных схем. Декартово произведение множеств.
Арифметическое
пространство n измерений
Практические занятия № 8 Классы Поста.
1
8
Уровень
освоения
4
1
2
3
__________
2
Наименование
разделов и тем
1
Раздел 4.
Тема 4.1
Операции
высказываниями
над
Тема 4.2
Основные понятия
связанные с предикатами.
Тема 4.3
Кванторные
операции над предикатами.
Тема 4.4
Применение
логики
предикатов
логико-математической
практике.
Раздел 5.
Тема 5. 1
Задачи и алгоритмы
Тема 5.2
Нормальный
Маркова.
Тьюринга
к
алгоритм
Машина
Содержание учебного материала, лабораторные и практические работы,
самостоятельная работа обучающихся, курсовая работ (проект)
(если предусмотрены)
2
Самостоятельная работа обучающихся «Работа с конспектом»
Алгебра высказываний. Релейно-контактные схемы. Логика предикатов.
Составные высказывания. Исчисление высказываний. Релейно-контактные схемы
для взысканий.
Практические занятия № 9
Приложение алгебры логики: релейно-контактные схемы.
Решение задач.
Самостоятельная работа обучающихся «Работа с конспектом»
Предикаты и высказывательные формы. Множество истинности предиката.
Равносильность и следование предикатов. Логические операции над предикатами.
Практические занятия № 10
Решение задач.
Самостоятельная работа обучающихся «Работа с конспектом»
Кванторы. Отрицание предложений с кванторами. Численные кванторы.
Практические занятия № 11
Кванторные операции.
Самостоятельная работа обучающихся «Работа с конспектом»
Запись на языке логики предикатов различных предложений. Строение
математических теорем. Дедуктивные и индуктивные умозаключения. Принцип
математической индукции в предикатной форме.
Практические занятия № 12 Применение логики предикатов
Самостоятельная работа обучающихся «Работа с конспектом»
Элементы теории алгоритмов
Понятие алгоритма. Неформальное определение алгоритма. Свойства алгоритма.
Практические занятия № 13
Массовая и индивидуальная задача.
Составление алгоритмов. Различные подходы к формализации понятия алгоритма.
Неформальное описание машины Тьюринга. Внешний алфавит состояний,
функциональная схема, принцип работы. Вычислимые по Тьюрингу функции,
основная гипотеза теории алгоритмов. Нормальные алгоритмы Маркова. Принцип
нормализации Маркова.
9
Объем часов
Уровень
освоения
3
2
4
4
2
2
2
2
3
1
2
4
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
4
2
Наименование
разделов и тем
1
Содержание учебного материала, лабораторные и практические работы,
самостоятельная работа обучающихся, курсовая работ (проект)
(если предусмотрены)
2
Практические занятия № 14
Конструирование машин Тьюринга. Вычислимые по Тьюрингу функции.
Самостоятельная работа обучающихся «Работа с конспектом»
Итого
Для характеристики уровня освоения учебного материала используются следующие обозначения:
1. – ознакомительный (узнавание ранее изученных объектов, свойств);
2. – репродуктивный (выполнение деятельности по образцу, инструкции или под руководством)
3. – продуктивный (планирование и самостоятельное выполнение деятельности, решение проблемных задач)
10
Объем часов
Уровень
освоения
3
1
4
2
102
3. УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ
3.1
Требования
к
минимальному
материально-техническому
обеспечению
Реализация учебной дисциплины требует наличия: учебного кабинета,
офисные программы, цифровые обучающие программы, программы ведения
учета и контроля, справочно - правовые системы, программы выхода в
Интернет.
Оборудование учебного кабинета: Компьютеры, сканер, принтер,
мебель, интерактивная доска, проектор, огнетушитель, локальная сеть.
Технические средства обучения: интерактивная доска, проектор,
компьютер.
3.2 Информационное обеспечение обучения
Перечень
рекомендуемых
учебных
изданий,
дополнительной
литературы
Основная литература:
1. Канцедал, С.А. Дискретная : учебное пособие / С.А. Канцедал. - М. :
ФОРУМ: ИНФРА-М, 2011. - 224 с.
2. Малыхин, В.И. Высшая математика : учебное пособие / В.И.
Малыхин. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ИНФРА-М, 2008.
Дополнительная литература:
1. Елисеенко, И.Л. Математическая логика : учеб.-метод. комплекс / И.Л.
Елисеенко, Г.Ю. Дмух. - Владивосток : Изд-во ДВГТУ, 2008. - 142 с.
2. Москинова, Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера
в примерах и упражнениях : учебное пособие / Г.И. Москинова. - М. : Логос,
2004. - 240 с.
3. Спирина, М.С. Дискретная математика : учебник / М.С. Спирина, П.А.
Спирин. - 8-е изд. стер. - М. : Академия, 2012. - 368 с.
11
4. Судоплатов, С.В. Дискретная математика : учебник / С.В. Судоплатов,
Е.В. Овчинникова. - 2-е изд. перераб. - М. : ИНФРА-М, 2007. - 256 с.
5. Турецкий, В.Я. Математика и информатика : учебное пособие / В.Я.
Турецкий. - 3-е изд. - М. : ИНФРА-М, 2000. - 560 с.
6. Успенский, В.А. Вводный курс математической логики : учебное
пособие / В.А. Успенский, Н.К. Верещагин, В.Е. Плиско. - 2-е изд. - М. :
ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 128 с.
Электронные ресурсы
1. http://window.edu.ru/resource/893/76893
Агарева,
О.Ю.
Математическая логика и теория алгоритмов : учебное пособие / О.Ю.
Агарева, Ю.В. Селиванов. - М.: МАТИ, 2011. - 80 с.
2. http://window.edu.ru/resource/224/46224
Сергиевская
И.М.
Математическая логика и теория алгоритмов : учебное пособие / И.М.
Сергиевская. - Самара: ПГАТИ, 2004. - 59 с.
3. http://window.edu.ru/resource/528/19528
Стенюшкина,
В.А.
Математическая логика и теория алгоритмов : учебное пособие / В.А.
Стенюшина. - Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. – 106 с.
12
4.
КОНТРОЛЬ
И
ОЦЕНКА
РЕЗУЛЬТАТОВ
ОСВОЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ
Контроль и оценка результатов освоения дисциплины осуществляется
преподавателем
в
процессе
проведения
практических
занятий
и
лабораторных работ, тестирования, а также выполнения обучающимися
индивидуальных заданий и контрольных работ.
Результаты обучения
(освоенные умения, усвоенные знания)
Формы и методы контроля и оценки
результатов обучения
уметь:
- решать прикладные задачи в области Оценка результата выполнения практических
профессиональной деятельности;
заданий
знать:
- значение математической логики в
профессиональной деятельности и при
освоении
профессиональной
образовательной программы;
- основные логические методы решения
прикладных
задач
в
области
профессиональной деятельности;
основные
понятия
и
методы
математической
логики,
дискретной
математики, линейной алгебры, теории
множеств, теории графов;
13
Экспертная оценка преподавателем защиты
рефератов
Устный опрос
Тестирование
Оценка результата выполнения практических
заданий
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
Филиал ДВФУ в г.Дальнереченске
ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА
по дисциплине «Элементы математической логики»
230401 Информационные системы (по отраслям)
Форма подготовки (очная)
г. Дальнереченск
2011
14
Тесты для определения минимального уровня освоения программ
Вариант №1
1) Какое множество соответствует данной диаграмме Венна:
Ответы:
А. X Y Z
Б. X Y X Z
U
Х
У
В. X Z Y
Г. X Y
2) Пусть даны следующие множества:
U={1,2,3,4,5}; X={1,5}; Y={1,2,4}; Z={2,5}
Найти множество: X Y Z
Ответы:
А. {1,2,4,5}; Б. {1,2,5};
В. {1,4,5};
Г. {1,2,4}
3) Пусть А= «дует ветер»
В= «идет дождь»
Представить логической формулой следующее высказывание: «неверно,
что ветер дует
тогда и только тогда, когда нет дождя»
Ответы:
А. Б. ( ) В. ( ) Г. ( )
4) Какая логическая функция трех переменных представлена булевой
функцией в виде СДНФ?
А. F X 1 , X 2 , X 3 x1 x 2 x 3 x1 x2 x 3 x1 x 2 x3 x1 x2 x 3 x1 x 2
Б. F X 1 , X 2 , X 3 x1 x 2 x 3 x1 x 2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x 3 x1 x2 x3
В. F X 1 , X 2 , X 3 x1 x2 x 3 x1 x2 x1 x1 x 2 x 3 x1 x 3 x 2 x3
Г. F X 1 , X 2 , X 3 x1 x 2 x1 x2 x 2 x3 x2 x 3 x1 x 3
5) На каких оценках логическая функция
принимает, значение равное 1:
Ответы:
f x, y, z yz xy xz x y z
А. 1,1,1, 1,0,1, 0,1,1, 1,1,0, 1,0,0 ;
Б. 1,0,1, 0,0,1, 0,1,1, 1,1,0, 1,0,0 ;
В. 1,1,1, 1,0,1, 0,1,1, 1,0,0, 0,0,0 ;
Г. 1,1,1, 1,0,1, 0,0,1, 1,1,0, 1,0,0 .
Вариант №2.
1. Какое множество соответствует данной диаграмме Венна:
Ответы:
А. X Y
Б. X Y X Z
U
Х
15
У
В. X Z Y
Г. X Y
2. Пусть даны следующие множества:
U={1,2,3,4,5}; X={1,5}; Y={1,2,4}; Z={2,5}
Найти множество: X Y X Z
Ответы:
А. {1,2,4,5}; Б. {1,5};
В. {1,2,5};
Г. {2,5}
3. Пусть С= «Сегодня ясно»
R= «Сегодня идет дождь»
S= «Сегодня идет снег»
Представить логической формулой следующее высказывание: «Если
сегодня ясно, то сегодня не идет дождь и не идет снег»
Ответы:
А. С R S Б. C R S В. R S C Г. C ( R S )
4. Булева функция обращается в нуль только на наборах: (0;0;0), (0;1;0),
(1;1;0). Тогда СКНФ:
Б. F X , Y , Z ( X Y Z )X Y Z X Y Z
А. F X , Y , Z ( X Y Z ) X Y Z X Y Z
В. F X , Y , Z XYZ X Y Z X Y Z
Г. F X , Y , Z X Y Z X Y Z XY Z
5. На каких оценках логическая функция
принимает, значение равное 0:
Ответы:
f x, y, z xy yz xz x y z
А. 1,1,1, 1,0,1, 0,1,1, 1,1,0, 1,0,0 ;
Б. 1,0,1, 0,0,1, 0,1,1, 1,1,0, 1,0,0 ;
В. 1,1,1, 1,0,1, 0,1,1, 1,0,0, 0,0,0 ;
Г. 1,1,1, 1,0,1, 0,0,1, 1,1,0, 1,0,0 .
Вариант №3
− Какое множество соответствует данной диаграмме Венна:
Y
Ответы:
А. X Y
Б. X Y X Z
В. X Y Z
X
Z
Г. X Y
2. Пусть даны следующие множества:
U={1,2,3,4,5}; X={1,5}; Y={1,2,4}; Z={2,5}
Найти множество: X Z Y
Ответы:
А. {1,2,5}; Б. {1,2,4};
В. {1,2,4,5};
Г. {3,5}
16
3. Пусть А= «дует ветер»
В= «идет дождь»
Представить логической формулой
«неверно, что если идет дождь, то дует ветер»
следующее
высказывание:
Ответы:
А. Б. ( ) В. ( ) Г. ( )
4. Какая логическая функция трех переменных представлена булевой
функцией в виде СДНФ?
А. F X , Y , Z X Y Z X Y Z X Y X Z X YZ
Б. F X , Y , Z X YZ X Y Z X Y X XYZ XYZ
В. F X , Y , Z X Y Z X Y Z X Y X Y Z XYZ
Г. F X , Y , Z XYZ X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z
5. На каких оценках логическая функция
принимает, значение равное 1:
Ответы:
f x, y, z xz yz x y xyz
А. 1,1,1, 1,0,1, 0,1,1, 1,1,0, 1,0,0 ;
Б. 1,0,1, 0,0,1, 0,1,1, 1,1,0, 1,0,0 ;
В. 1,1,1, 1,0,1, 0,1,1, 1,0,0, 0,0,0 ;
Г. 1,1,1, 1,0,1, 0,0,1, 1,1,0, 1,0,0 .
Вариант №4.
1. Какое множество соответствует данной диаграмме Венна:
Ответы:
А. X Y
Б. X Y Z
В. X Y Z
Y
X
Z
Г. X Y
2. Пусть даны следующие множества:
U={1,2,3,4,5}; X={1,5}; Y={1,2,4}; Z={2,5}
Найти множество: (X \ Z) U (Y \ Z)
Ответы:
1. {1,4}; 2. {1,2,4}; 3. {1,2, 4,5}; 4. {1,5}
3. Пусть X= «Допоздна работаешь с компьютером»
Y= «Пьешь много кофе»
Z= «Утром встаешь с головной болью»
U= «Утром встаешь в дурном расположении духа»
Представить логической формулой следующее высказывание: «Утром
встаешь в дурном расположении духа или с головной болью только тогда,
когда допоздна работаешь с компьютером или пьешь много кофе»
Ответы:
А. Z Y X U ; Б. Z U X Y ; В. Z U X Y ;
Г. Z U X Y
17
4. Булева функция обращается в нуль только на наборах: (0;1;0), (1;1;1),
(1;0;1). Тогда СКНФ:
А. F X , Y , Z ( X Y Z ) X Y Z X Y Z
Б. F X , Y , Z X Y Z XYZ X Y Z
В. F X , Y , Z ( X Y Z ) X Y Z X Y Z
Г. F X , Y , Z X Y Z X Y Z X Y Z
5.На каких оценках логическая функция f x, y, z xy yz xz xz y
принимает, значение равное 0:
Ответы:
А.
Б.
В.
Г.
1,1,1, 1,0,1, 0,1,1, 1,1,0, 1,0,0 ;
1,0,1, 0,0,1, 0,1,1, 1,1,0, 1,0,0 ;
1,1,1, 1,0,1, 0,1,1, 1,0,0, 0,0,0 ;
1,1,1, 1,0,1, 0,0,1, 1,1,0, 1,0,0 .
Вариант №5
1. Какое множество соответствует данной диаграмме Венна:
Ответы:
А. X Y Z
Б. X Y X Z
U
Х
У
В. X Z Y
Г. X Y
2. Пусть даны следующие множества:
U={1,2,3,4,5}; X={1,5}; Y={1,2,4}; Z={2,5}
Найти множество: ( ) ( )
Ответы:
А. {1,5}; Б. {1,4};
В. {1,2,5};
Г. {1,2,4,5}
3.Пусть X= «Допоздна работаешь с компьютером»
Y= «Пьешь много кофе»
Z= «Утром встаешь с головной болью»
U= «Утром встаешь в дурном расположении духа»
Представить логической формулой следующее высказывание: «Если
допоздна работаешь с компьютером и при этом пьешь много кофе, то утром
просыпаешься в дурном расположении духа или с головной болью»
Ответы:
А. X Y ( U ) ; Б.
Г. X Y Z U .
X Y Z U ; В. X Y Z U ;
4. Булева функция обращается в единицу только на наборах: (0;0;0),
(1;0;0),. (1;0;1), (0;0;1) Тогда СДНФ имеет вид:
А. F X , Y , Z XYZ X YZ X Y Z XY Z
В. F X , Y , Z ( X Y Z )X Y Z X Y Z X Y Z
Б. F X , Y , Z ( X Y Z ) X Y Z X Y Z X Y Z
Г. F X , Y , Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z
18
5. На каких оценках логическая функция
принимает, значение равное 1:
Ответы:
А.
Б.
В.
Г.
f x, y, z y z x y xz xyz
1,1,1, 1,0,1, 0,1,1, 1,1,0, 1,0,0 ;
1,0,1, 0,0,1, 0,1,1, 1,1,0, 1,0,0 ;
1,1,1, 1,0,1, 0,1,1, 1,0,0, 0,0,0 ;
1,1,1, 1,0,1, 0,0,1, 1,1,0, 1,0,0 .
Вариант №6.
1. Какое множество соответствует данной диаграмме Венна:
Ответы:
А. X \ Z Y \ Z
Б. X Y Z
В. X Y Z
Y
X
Z
Г. X Y
2. Пусть даны следующие множества:
U={1,2,3,4,5}; X={1,5}; Y={1,2,4}; Z={2,5}
Найти множество:
Ответы:
1. {2,3,4,5}; 2. {3};
3. {3,5};
4. {2,3,4}
3. Пусть С= «Сегодня ясно»
R= «Сегодня идет дождь»
Y= «Вчера было пасмурно»
Представить логической формулой следующее высказывание: «Если
вчера было пасмурно, то сегодня идет дождь или сегодня ясно»
Ответы:
А. Y R C Б. Y R C В. Y R C Г. R C Y
4. Булева функция обращается в нуль только на наборах: (1;1;0), (1;0;0),
(0;0;1). Тогда СКНФ имеет вид:
А. F X , Y , Z XY Z X Y Z X Y Z
Б. F X , Y , Z ( X Y Z ) X Y Z X Y Z
В. F X , Y , Z X Y Z X YZ XY Z
Г. F X , Y , Z ( X Y Z ) X Y Z X Y Z
5. На каких оценках логическая функция
принимает, значение равное 0:
Ответы:
А.
Б.
В.
Г.
1,1,1, 1,0,1, 0,1,1, 1,1,0, 1,0,0 ;
1,0,1, 0,0,1, 0,1,1, 1,1,0, 1,0,0 ;
1,1,1, 1,0,1, 0,1,1, 1,0,0, 0,0,0 ;
1,1,1, 1,0,1, 0,0,1, 1,1,0, 1,0,0 .
19
f x, y, z yz x y xz x y z
Итоговые тестовые задания
Задание 1
Вопрос:
Определить истинность составного высказывания:
«(2 х 2 = 4 или 3 х 3 = 10) и (2 х 2 = 5 или 3 х 3 = 9)»
Выберите один из 5 вариантов ответа:
1) не ложно и не истинно
2) ложно
3) истинно
4) не ложно
5) не истинно
Задание 2
Вопрос:
Высказывание А - «Джон фон Нейман - архитектор ЭМВ»;
высказывание В - «Диагонали прямоугольника равны». Конъюнкцией этих
высказываний является предложение ...
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) «Джон фон Нейман - архитектор ЭВМ, и диагонали прямоугольника
равны»
2) «Если Джон фон Нейман - архитектор ЭВМ, то диагонали
прямоугольника равны»
3) «Джон фон Нейман - архитектор ЭВМ, или диагонали
прямоугольника равны»
4) «Джон фон Нейман - архитектор ЭВМ тогда и только тогда, когда
диагонали прямоугольника равны»
Задание 3
Вопрос:
Высказывание А - «Принтер - это устройтсво вывода информации»
высказывание В - «Две параллельные прямые не имеют общих точек».
Дизъюнкцией этих высказываний является предложение ...
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) «Принтер - это устройтсво вывода информации или две параллельные
прямые не имеют общих точек».
2) «Принтер - это устройтсво вывода информации и две параллельные
прямые не имеют общих точек».
3) «Если принтер - это устройтсво вывода информации, то две
параллельные прямые не имеют общих точек».
20
4) «Принтер - это устройтсво вывода информации тогда и только тогда,
когда две параллельные прямые не имеют общих точек».
Задание 4
Вопрос:
Какова таблица истинности логической функции
F = A&В
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1)
2)
3)
4)
Задание 5
Вопрос:
Определить истинность составного высказывания:
«(2 х 2 = 4 и 3 х 3 = 10) или (2 х 2 = 5 и 3 х 3 = 9)»
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) истинно
2) ложно
3) не истинно и не ложно
4) не ложно
Задание 6
Вопрос:
Высказывание А - «Принтер - это устройтсво вывода информации»;
высказывание В - «Две параллельные прямые не имеют общих точек».
Импликацией этих высказываний является предложение ...
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) «Принтер - это устройтсво вывода информации или две параллельные
прямые не имеют общих точек».
21
2) «Принтер - это устройтсво вывода информации и две параллельные
прямые не имеют общих точек».
3) «Если принтер - это устройтсво вывода информации, то две
параллельные прямые не имеют общих точек».
4) «Принтер - это устройтсво вывода информации тогда и только тогда,
когда две параллельные прямые не имеют общих точек».
Задание 7
Вопрос:
Какая из записей будет верной …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) {3,7,9,11} = {1,7,9,3}
2) {3,7,9} {1,3,5,9}
3) {3,7} {1,3,5,7}
4) {3,5} {1,3,7,9}
Задание 8
Вопрос:
Пусть множества M=(8;15), N=(9,20) - представляют собой интервалы
числовой оси,
тогда множество K=M U N, как числовой промежуток будет равно...
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) K=[8, 20]
2) K=(8, 20)
3) K=(9, 20)
4) K=(8, 15)
Задание 9
Вопрос:
Заданы множества А={2,3,4,5} и D={3,4,5}. Верным для них будет
утверждение:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) Множество А - подмножество множества D
2) Множество D - подмножество множества A
3) Множество А и множество D равны
4) Множество А - множество-степень множества D
Задание 10
Вопрос:
Если отношение задано неравенством: 3x-4y<0, то данному отношению
принадлежит следующая пара чисел.
22
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) (0;1)
2) (3;1)
3) (2;0)
4) (1;0)
Задание 11
Вопрос:
На факультете учатся студенты, имеющие домашний персональный
компьютер и студенты, не имеющие домашнего персонального компьютера.
Пусть А - множество всех студентов факультета; В - множество студентов
факультета, имеющих домашний персональный компьютер. Тогда разностью
А\В этих множеств будет ...
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) множество студентов факультета, не имеющих домашнего
персонального компьютера
2) множество всех студентов факультета
3) множество студентов факультета, имеющих домашний персональный
компьютер
4) пустое множество
Задание 12
Вопрос:
Пусть A есть отрезок [1, 3], B - отрезок [2, 4]; тогда
Выберите один из 5 вариантов ответа:
1) объединением будет отрезок [1, 4], пересечением - отрезок
разностью A\B - полуинтервал [1, 2), B\A - полуинтервал (3, 4]
2) объединением будет отрезок [2, 3], пересечением - отрезок
разностью A\B - полуинтервал [3, 4), B\A - полуинтервал (1, 2]
3) объединением будет отрезок [1, 4], пересечением - отрезок
разностью A\B - полуинтервал (3, 4], B\A - полуинтервал [1, 2)
4) объединением будет отрезок [1, 3], пересечением - отрезок
разностью A\B - полуинтервал [1, 2), B\A - полуинтервал (3, 4]
5) объединением будет отрезок [2, 3], пересечением - отрезок
разностью A\B - полуинтервал [1, 2), B\A - полуинтервал (3, 4]
[2, 3],
[1, 4],
[2, 3],
[2, 4],
[1, 4],
Задание 13
Вопрос:
Если А - множество четных натуральных чисел, а В={11, 22, 33, 44, 55,
66, 77}, то количество элементов множества А ∩ В равно ...
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 7
2) 3
3) 5
4) 4
23
Задание 14
Вопрос:
Какие из следующих предложений не являются высказываниями?
Выберите один из 3 вариантов ответа:
1) Треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1.
2) Студент группы 21П Ковылкинского филиала МГУ им. Н.П. Огарева
3) Москва - столица СССР
Задание 15
Вопрос:
Двойное отрицание логической переменной равно:
Выберите один из 3 вариантов ответа:
1) 1
2) исходной переменной
3) обратной переменной
Задание 16
Вопрос:
Объединение двух высказываний в одно с помощью союза «и»
называется:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) инверсия
2) дизъюнкция
3) импликация
4) конъюнкция
Задание 17
Вопрос:
Чему равно значение логического выражения (1v1)&(1v0) ?
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 1
2) 1 и 0
3) 0 и 1
4) 0
Задание 18
Вопрос:
Объединение двух высказываний
«если...,то...» называется:
в
Выберите один из 4 вариантов ответа:
24
одно
с
помощью
оборота
1) конъюнкция
2) дизъюнкция
3) импликация
4) инверсия
Задание 19
Вопрос:
Логической операцией не является:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) логическое деление
2) логическое умножение
3) логическое сложение
4) логическое отрицание
Задание 20
Вопрос:
У какой из логических функций следующая таблица истинности:
А
0
1
0
1
Б
0
0
1
1
В
0
1
1
1
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) инверсия
2) конъюнкция
3) дизъюнкция
4) импликация
Задание 21
Вопрос:
Высказывание А ↔В истинно, тогда и только тогда, когда
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) А истинно, а В ложно
2) А и В совпадают
3) А ложно, а В истинно
4) А и В истинны
Задание 22
Вопрос:
25
У какой из логических функций следующая таблица истинности:
А Б В
0 0 1
1 0 0
0 1 1
1 1 1
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) инверсия
2) конъюнкция
3) дизъюнкция
4) импликация
Задание 23
Вопрос:
Приведенное ниже высказывание истинно, тогда и только тогда, когда
оба высказывания А и В истинны.
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1)
2)
3)
4) А →В
Задание 24
Вопрос:
Высказывание А →В ложно тогда и только тогда, когда …
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) А истинно, а В ложно
2) А и В совпадают
3) А ложно, а В истинно
4) А и В истинны
Задание 25
Вопрос:
Определите, какому закону алгебры логики соответствует логическое
тождество
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) сочетательный закон
26
2) закон идемпотенции
3) переместительный закон
4) распределительный закон
Задание 26
Вопрос:
Записать в символической форме:
«Если а - четное число, в - нечетное число, то их произведение делится
на 2»
Выберите один из 3 вариантов ответа:
1) А∨ В→С
2) АВ→С
3) А→ВС
Задание 27
Вопрос:
С помощью какой связки можно записать любую формулу алгебры
высказываний?
Выберите один из 3 вариантов ответа:
1) с помощью дизъюнкции
2) с помощью конъюнкции
3) с помощью штриха Шеффера
Задание 28
Вопрос:
Число элементарных конъюнкций в СДНФ булевой функции равно
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) числу строк в таблице истинности
2) числу нулей в таблице истинности
3) числу единиц в таблице истинности
4) числу аргументов функции
Задание 29
Вопрос:
Число элементарных конъюнкций в СКНФ булевой функции равно
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) числу строк в таблице истинности
2) числу нулей в таблице истинности
3) числу единиц в таблице истинности
4) числу аргументов функции
27
Задание 30
Вопрос:
Число строк в таблице истинности булевой функции четырех аргументов
равно
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 8
2) 16
3) 32
4) 64
Задание 31
Вопрос:
Если множество истинности Тp предиката Р(х) совпадает с множеством
Х, на котором он задан (Тp= Х), то такой предикат называют
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) тождественно истинным
2) тождественно ложным
3) тождественно равным
4) тождественно не равным
Задание 32
Вопрос:
Если множество истинности предиката Р(х) пусто, то предикат называют
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) тождественно истинным
2) тождественно ложным
3) тождественно равным
4) тождественно не равным
Задание 33
Вопрос:
Высказывания «для всех х» (для любого х, для каждого х) называется
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) квантором всеобщности и обозначается ∀ х
2) квантором существования и обозначается ∃ x
3) квантором всеобщности и обозначается ∃ x
4) квантором существования и обозначается ∀ х
28
Задание 34
Вопрос:
Высказывание «существует х» (для некоторых х, хотя бы для одного х,
найдется такое х) называется
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) квантором всеобщности и обозначается ∀ х
2) квантором существования и обозначается ∃ x
3) квантором всеобщности и обозначается ∃ x
4) квантором существования и обозначается ∀ х
Задание 35
Вопрос:
Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению ¬(¬А^В)
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) А V¬В
2) ¬АVВ
3) В ^¬А
4) А ^¬В
Задание 36
Вопрос:
Какое логическое выражение равносильно выражению ¬(¬АVВ)V¬С?
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) (А^¬В) V¬С
2) ¬АVВV¬С
3) АV¬ВV¬С
4) (¬А^В)V¬С
Задание 37
Вопрос:
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение
соответствует F?
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) ¬ X v ¬ Y v ¬ Z
2) X ^ ¬ Y ^ ¬ Z
3) X v Y v Z
4) X ^ Y ^ Z
29
Задание 38
Вопрос:
Как будет выглядеть логическое выражение в упрощенном
виде:
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 1
2)
3)
4)
Задание 39
Вопрос:
Определите, какому закону алгебры логики соответствует логическое
тождество
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) сочетательный закон
2) переместительный закон
3) распределительный закон
4) закон идемпотенции
Задание 40
Вопрос:
Запишите на языке алгебры логики высказывание: «Эта зима нехолодная
и снежная»
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) А и Б
2) А
3) ¬ (А v Б)
4) ¬ А и Б
30
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ВАРИАНТАМ
Вариант №1
1. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя
высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:
а) Если дует ветер, то идет дождь.
б) Ветер дует тогда и только тогда, когда идет дождь.
Указать таблицу истинности для каждого высказывания.
2. Максимально упростите выражение , воспользовавшись законами
логики. Затем с помощью таблиц истинности сравните ваше упрощенное
выражение с исходным.
a c a b b c a b b c
3. Найти СДНФ и СКНФ логической функции трех
переменных, заданной в таблице:
4. Пусть f x1 , x2 , x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3
Найдите минимальную ДНФ методом сочетания индексов.
5. Дано множество Х= 3,4,5,6,7,8,9. Доказать, что следующее
отношение есть отношение эквивалентности и построить
соответствующие разбиения множества Х: xy , если x y
делится на 2.
Х
Y
Z
f
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
Вариант №2
1. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя
высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:
а) Если идет дождь, то дует ветер.
б) Неверно, что ветер дует тогда и только тогда, когда нет
дождя.
Указать таблицу истинности для каждого высказывания.
2. Максимально упростите выражение, воспользовавшись законами
логики. Затем с помощью таблиц истинности сравните ваше упрощенное
выражение с исходным.
c b d c b c d c b d
3. Найти СДНФ и СКНФ логической функции трех переменных,
заданной в таблице:
31
Х
Y
Z
f
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
4. Пусть f x1 , x2 , x3 x1 x2 x 3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3
Найдите минимальную ДНФ методом сочетания
индексов.
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
5. Дано множество Х= 5,4,3,3,4,5. Доказать, что следующее
отношение есть отношение эквивалентности и построить соответствующие
разбиения множества Х: xy , если xy 0 .
Вариант №3
1. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя
высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:
а) Утром встаешь в дурном расположении духа или с головной болью
только тогда, когда допоздна работаешь с компьютером или пьешь много
кофе.
2. Максимально упростите выражение, воспользовавшись законами
логики. Затем с помощью таблиц истинности сравните ваше упрощенное
выражение с исходным.
a c a b b c a b b c
3. Найти СДНФ и СКНФ логической функции трех
переменных, заданной в таблице:
4. Пусть f x1 , x2 , x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3
Найдите минимальную ДНФ методом сочетания индексов.
5. Дано множество Х= 3,4,5,6,7,8,9. Исследовать на
множестве Х отношение xy , если x y делится на 3. Если
следующее отношение есть отношение эквивалентности, то
построить соответствующие разбиения множества Х.
Х Y Z
f
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
Вариант №4
1. Записать составные высказывания в виде формул, употребляя
высказывательные переменные для обозначения простых высказываний:
а) Неверно, что если идет дождь, то дует ветер.
б) Если сегодня ясно, то сегодня не идет дождь и не идет снег.
2. Максимально упростите выражение, воспользовавшись законами
логики. Затем с помощью таблиц истинности сравните ваше упрощенное
выражение с исходным.
c b d c b c d c b d
3. Найти СДНФ и СКНФ логической функции трех переменных,
заданной в таблице:
32
Х
Y
Z
f
0
0
0
1
4. Пусть f x1 , x2 , x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x 3 x1 x2 x3
Найдите минимальную ДНФ методом сочетания индексов.
5. Дано множество Х= 4,3,2,1,0,1,2,3. Исследовать на
множестве Х отношение xy , если xy 0 . Если следующее
отношение есть отношение эквивалентности, то построить
соответствующие разбиения множества Х.
33
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Математическая логика: понятие, история развития.
2. Высказывания.
3. Предикаты.
4. Квантор общности.
5. Квантор существования.
6. Логические операции: отрицание.
7. Логические операции: конъюнкция.
8. Логические операции: дизъюнкция.
9. Логические операции: импликация.
10. Логические операции: эквиваленция.
Вопросы к экзамену по дисциплине «Элементы математической логики»
1. Высказывания и высказывательные формы.
2. Логические формулы. Логические операции.
3. Таблицы истинности логических операций.
4. Алгебра логики. Логические операции. Законы алгебры логики.
5. Тождественно истинные и тождественно ложные формулы.
6. Булевы функции. Способы задания функций.
7. Таблицы истинности основных логических операций.
8. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы (ДНФ, КНФ).
Алгоритм приведения функции к ДНФ и КНФ.
9. Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
(СДНФ, СКНФ). Алгоритм приведения функции к СДНФ и СКНФ.
10.Тупиковая, сокращенная и минимальная ДНФ. Методы нахождения
сокращенной и минимальной ДНФ.
11.Схемы из функциональных элементов.
12.Логическое
следование
формул.
Правильные
аргументы.
13.Способы проверки правильности аргумента.
34
и
неправильные
14.Правила вывода.
15.Предикаты. Классификация предикатов.
16.Формулы логики предикатов. Равносильные преобразования формул.
17.Операции над предикатами (логические операции, кванторы).
18.Предваренная нормальная форма.
35
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
Филиал ДВФУ в г.Дальнереченске
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
по дисциплине «Элементы математической логики»
230401 Информационные системы (по отраслям)
Форма подготовки (очная)
г. Дальнереченск
2011
36
Методические указания к практическим занятиям
Комплект
практических
работ
по
дисциплине
«Элементы
математической логики» предназначен для студентов филиала ДВФУ,
обучающихся по специальности 230401 «Информационные системы (по
отраслям)». Включенные в практические работы задачи стимулируют
исследовательскую и творческую деятельность, развивает познавательные
интересы, помогают не только глубже понять математику, но и научиться
применять полученные знания на практике. Каждая практическая работа
содержат план занятия, краткие теоретические сведения, вопросы для
самопроверки по теоретической части материала, образцы решения задач,
задания для самостоятельного выполнения.
Содержание практических работ позволяет:
- освоить практические приемы составления таблиц истинности для
формул алгебры логики, практические приемы выполнения равносильных
преобразований формул алгебры логики и логики предикатов;
- научиться решать логические задачи методами алгебры логики, решать
задачи на РКС (релейно-контактные схемы);
- применять средства языка логики предикатов для записи и анализа
математических предложений;
- проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
- применять математические методы для решения профессиональных
задач;
- овладеть техникой равносильных преобразований логических формул,
методами распознавания тождественно истинных формул и равносильных
формул, навыками решения основных задач математической логики и
методами их решения.
Ход работы:
- познакомиться с теоретическим материалом;
- сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих
тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры);
37
- ответить на контрольные вопросы;
- в тетрадях для практических работ выполнить задания, которые
указаны в работе;
- защита практической работы.
Критерии оценивания практических работ.
За полностью выполненную практическую работу ставится «зачет».
Если какие-либо задания не выполнены или выполнены неверно, то студент
получает от преподавателя указания для выполнения этого задания.
Практическая работа №1
Тема: Составление таблиц истинности. Равносильные преобразования.
Упрощение формул логики.
Цель работы: Знать основные понятия алгебры высказываний, законы
алгебры Буля, уметь составлять таблицы истинности для высказываний,
преобразовывать формулы с помощью равносильных преобразований,
решать булевы уравнения.
Ход работы: Повторить краткие теоретические сведения и разобрать
задачи с решениями.
1. Высказывания и операции над ними.
Математическая логика – это раздел математики, посвященный анализу
методов рассуждений, при этом в первую очередь исследуются формы
рассуждений,
а
не
их
содержание,
т.е.
исследуется
формализация
рассуждений? Это разновидность формальной логики, т.е. науки, которая
изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.
Основное
неопределяемое
понятие
математической
логики
это
высказывание. Под высказыванием понимают предложение, которое может
принимать только два значения «истина» или «ложь». Обозначаются
высказывания малыми латинскими буквами: a, b, ,…,х,…. или большими
латинскими буквами A, B, C…
38
В математической логике не рассматривается смысл высказываний,
определяется только их логическое значение – «истина» или «ложь».
Известному немецкому математику и логику Эрнесту Шредеру пришло в
голову предложить в качестве знака для обозначения ложного суждения
цифру 0, что, конечно, привело к обозначению истины цифрой 1.
Исчисление высказываний – вступительный раздел математической
логики,
в
котором
рассматриваются
логические
операции
над
высказываниями.
Предикат – логическая функция от n переменных, которая принимает
значения истинности или ложности.
Исчисление предикатов – раздел математической логики, объектом
которого
является
дальнейшее
изучение
и
обобщение
исчисления
высказываний.
Теория булевых алгебр (булевых функций) положена в основу точных
методов анализа и синтеза в теории переключательных схем при
проектировании компьютерных систем.
Примеры.
1. «Река Кола впадает в Кольский залив» – высказывание (истинное).
2. «Число32 кратно 3» – высказывание (ложное).
3. «Может быть, сегодня пойдет снег» – не высказывание.
4. «5х – 9 = 7» – не высказывание (неопределенное высказывание или
высказывательная форма).
С помощью простых высказываний можно составлять более сложные,
соединяя простые высказывания союзами «и», «или», связками «не»,
«следует» и др. Операции над высказываниями можно описывать при
помощи некоторого математического аппарата.
Основные логические операции над высказываниями.
Отрицанием высказывания х называется высказывание, которое истинно
тогда и только тогда, когда высказывание х ложно. Отрицание обозначается
x или х (читается: «не х»).
39
Логические операции можно задавать при помощи таблиц истинности,
показывающих соответствие значений истинности высказываний. Для
высказываний x и x эта таблица имеет вид:
х
x
1
0
0
1
Конъюнкцией двух высказываний х и y называется высказывание,
истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания х и y.
Конъюнкция обозначается: х y, или х & y (читается: «х и y»). Таблица
истинности для х y имеет вид:
х
y
хy
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
Дизъюнкцией двух высказываний х и y называется высказывание, ложное
тогда и только тогда, когда оба высказывания х и y ложны. Дизъюнкция
обозначается х y (или x+y) (читается: «х или y»). Таблица истинности для х
y имеет вид:
х
y
хy
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
Импликацией двух высказываний х и y называется высказывание, ложное
тогда и только тогда, когда высказывание х истинно, а y – ложно.
Импликация обозначается: х y (читается: «х влечет y» или «из х следует
y»). Высказывание х называется посылкой импликации, а высказывание y –
следствием. Таблица истинности для х y имеет вид:
Эквиваленцией
х
y
хy
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
(эквивалентностью)
двух
высказываний
х
и
y
называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности
высказываний х и y совпадают. Эквиваленция обозначается: х y, или х y
40
(читается: «х эквивалентно y» или «х тогда и только тогда, когда y»). Таблица
истинности для х y имеет вид:
х
y
хy
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Алгебра Буля.
Множество высказываний с введенными для них логическими
операциями дизъюнкции, конъюнкции и отрицания основными законами
этих действий называется алгеброй Буля. Алгебра Буля - исторически
первый раздел математической логики, разработанный ирландским логиком
и математиком Дж. Булем (George Boole (1815—1864) - английский
математик и логик. Профессор математики Королевского колледжа Корка).
В середине XIX в. Буль применил алгебраические методы для решения
логических
задач
и
сформулировал
на
языке
фундаментальные законы мышления
Законы алгебры Буля.
Коммутативные законы:
1. x y y x;
2. x y y x;
Ассоциативные законы:
1. x (y z) (x y) z;
2. x (y z) (x y) z;
Дистрибутивные законы:
1. x (y z) (x y) (x z);
2. x (y z) (x y) (x z);
Идемпотентные законы:
1. x x x;
2. x x x;
Законы логического сложения и умножения с 0 и 1:
1.
2.
3.
4.
x 0 0;
x 0 x;
x 1 x;
x 1 1;
Законы операции «черта»:
41
алгебры
некоторые
1.
2.
3.
4.
5.
x x;
x 0 x;
x 1 1;
x x 0;
x x 1;
Законы Де Моргана (Augustus de Morgan (1806- 1871) - шотландский
математик и логик; профессор математики в Университетском колледже
Лондона):
1. x y x y ;
2. x y x y .
Сложением по модулю два (альтернативной дизъюнкцией, логи́ческим
сложе́нием, исключа́ющим «ИЛИ», строгой дизъюнкцией) двух
высказываний х и y называется высказывание, истинное тогда и только
тогда, когда оба высказывания х и yпринимают разные значения.
Дизъюнкция обозначается х y (читается: «или х, или y»). Таблица
истинности для х y имеет вид:
х
y
хy
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
Стрелка Пирса – это отрицание дизъюнкции.
Стрелка Пирса обозначается X ↓ Y. Читается «ни X, ни Y». Введена в
рассмотрение Чарльзом Пирсом (Сharles Peirce) в 1880-1881 г.г. Таблица
истинности для стрелки Пирса имеет вид:
х
y
хy
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
Штрих Шеффера – это отрицание конъюнкции.
Введена в рассмотрение Генри Шеффером в 1913 г. (в отдельных
источниках именуется как Пунктир Чулкова)
Штрих Шеффера обозначается x|y , задаётся следующей таблицей
истинности:
х
y
x|y
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
42
Формулы алгебры логики.
Формулами алгебры логики называются выражения, полученные из
переменных x, y,…
посредством применения логических операций:
отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции, а также
сами переменные, принимающие значения истинности высказываний x, y,….
Если в формулу алгебры логики вместо переменных x, y,… подставить
конкретные высказывания, то получится высказывание, имеющее логическое
значение «1» или «0».
Пример.
Высказывание x: «Волга впадает в Каспийское море» – истинное (x = 1),
высказывание y: «Число 16 кратно 3» – ложное (y = 0), тогда формула А = x
y будет иметь логическое значение «1»: А =1 (см. табл. истинности для х y).
На основе таблиц истинности основных логических операций можно
составлять таблицы истинности для различных формул алгебры логики.
Две формулы алгебры логики называются равносильными или
эквивалентными, если они принимают одинаковые логические значения на
любом наборе значений входящих в формулы переменных (элементарных
высказываний). Равносильность формул будем обозначать знаком «».
Равносильность логических формул можно установить при помощи их
таблиц истинности.
Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли
равносильными формулы x ( x y ) и x x y .
Решение. Составим таблицы истинности для каждой из формул А и В.
x
y
x
y
xy
x (x y)
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
x
y
x
xy
x y
x x y
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
Ответ: данные формулы являются равносильными.
43
Другой способ доказательства равносильности логических формул – их
упрощение с использованием равносильных преобразований.
2. Выражения одних логических операций через другие:
x y x y;
x y x y ;
x y (x y) (y x);
x y x y .
Для упрощения записи формул принят ряд соглашений. Скобки можно
опускать, придерживаясь следующего порядка действий: Сначала выполняем
действия в скобках, затем отрицание, затем выполняется конъюнкция. Если
над формулой стоит знак отрицания, то скобки тоже опускаются.
Пример. Упростить логическую формулу: x y x ( x y ) .
Решение. Используем основные равносильности.
x y x ( y x)
xyxxyx
x y x x x y x y .
Ответ: x y.
Образец решения примера
3. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:
x y | z и x y x z
Решение: Составим таблицы истинности для каждого высказывания.
x
y
z
y|z
xz
x y | z x y
x y x z
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
Значения x и y в пятом и восьмом столбцах не совпадают.
Вывод: данные высказывания не являются эквивалентными.
Контрольные вопросы:
1.
2.
3.
4.
Что понимают в математической логике под высказыванием?
Какие действия выполняются над высказываниями?
Что называют алгеброй Буля?
Законы алгебры Буля.
44
1
0
0
0
0
0
0
0
Для закрепления теоретического материала и получения прочных
знаний решить примеры.
1 вариант
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
( A B) B A
_______
2. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:
x y x z и
x y z
3. Решить булево уравнение:
z x z
( y x ) x ( y z)
2 вариант
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
_______
( A B)
A A B
2. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:
x y z и ( x y) x z
3. Решить булево уравнение:
z y z x x y
3 вариант
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
_______
( A B ) A A B
2. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:
x y z и ( x y) x z
3. Решить булево уравнение:
z y z x x y
4 вариант
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
z y z x
2. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:
_______
( A B)
A
и A B
45
3. Решить булево уравнение:
z y z x x y
5 вариант
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
x y z x
2. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:
( A B) B A и
_______
A B B A
3. Решить булево уравнение:
z y z x x y
6 вариант
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
x y z y
2. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:
( x y) x z и z y z x
3. Решить булево уравнение:
z y z
( y x ) x y
7 вариант
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
A B B A
2. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:
x y z и ( x y) x z
3. Решить булево уравнение:
z y z
( y x ) z y
8 вариант
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
z x y x
2. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:
( A B) B A и
_______
A B B A
46
3. Решить булево уравнение:
z x z
( y x ) y
9 вариант
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
A B A A
2. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:
x y x z
и x y z
3. Решить булево уравнение:
x y z x =1
10 вариант
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
x y z x
2. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:
( A B) B A и
_______
A B B A
3. Решить булево уравнение:
A B B A =0
11 вариант
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
A B B A
2. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:
x y z и ( x y) x z
3. Решить булево уравнение:
( A B ) B A =0
_______
12 вариант
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
z x y x
2. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:
( A B) B A и
_______
A B B A
47
3. Решить булево уравнение:
z y z
( y x ) x y
13 вариант
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
x y z x
2. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:
( A B) B A и A A B B
_______
3. Решить булево уравнение:
z y z
( y x ) x y
14 вариант
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
x y x z
2. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:
( A B) B A и
_______
A B B A
3. Решить булево уравнение:
z y z
(z x ) x z
15 вариант
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
( x y) x z
2. Являются ли эквивалентными следующие высказывания:
( A B) B A и A B A B
_______
3. Решить булево уравнение:
z y z
( y x ) z
48
Практическая работа №2
Тема: Приведение формул к совершенным нормальным формам по
таблицам истинности.
Цель работы: Знать, что такое ДНФ и КНФ, уметь приводить формулы
алгебры логики к СДНФ и СКНФ и минимизировать их с помощью законов
алгебры логики.
Ход работы: Повторить краткие теоретические сведения и разобрать
задачи с решениями.
Тождественно-истинные и тождественно-ложные формулы.
Формула называется тождественно-истинной (тавтологией), если для
любых наборов переменных она принимает значение И.
Формула называется тождественно тождественно-ложной, если для
любых наборов переменных она принимает значение Л.
В алгебре высказываний используют
две нормальные формы:
дизъюнктивную и конъюнктивную нормальные формы формулы (ДНФ и
КНФ).
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция
простых конъюнкций.
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) формулы есть формула,
равносильная исходной формуле логики высказываний и записанная в виде
конъюнкции элементарных дизъюнкций переменных.
Каждая формула, не равная тождественно Л, может быть приведена
СДНФ, которая является единственной с точностью до перестановки
дизъюнктивных членов.
Каждая формула, не равная тождественно И, может быть приведена к
СКНФ, которая является единственной с точностью до перестановки
конъюнктивных членов.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы (СДНФ) это
равносильная
ей
формула,
представляющая
элементарных конъюнкций, обладающая свойствами:
49
собой
дизъюнкцию
1. Каждое логическое слагаемое формулы содержит все высказывания,
входящие в формулу.
2. Все логические слагаемые формулы различны.
3. Ни одно логическое слагаемое не содержит высказывание и его
отрицание.
4. Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одно и то же
высказывание дважды.
Алгоритм получения СКНФ по таблице истинности:
- отметить те строки, в последнем столбце которых стоят 0;
- выписать
для
каждой
отмеченной
строки
дизъюнкцию
всех
переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в
данной строке =0, то в дизъюнкцию включают саму эту переменную, если =1,
то ее отрицание;
- все полученные дизъюнкции связать в конъюнкцию.
Образцы решения
x
Построить таблицу истинности для высказывания:
y y z ,
построить СНДФ, СКНФ, найти минимальную ДНФ.
Решение.
Строим
таблицу
истинности-
таблицу,
с
помощью
которой
устанавливается истинностное значение сложного высказывания при данных
значениях входящих в него простых высказываний.
x
y
z
y
x y
yz
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
По таблице составляем дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ).
ДНФ в булевой логике - нормальная форма, в которой булева формула имеет
вид дизъюнкции нескольких конъюнктов.
50
Алгоритм получения СДНФ по таблице истинности:
1. Отметить те строки, в последнем столбце которых стоят 1.
2. Выписать для каждой отмеченной строки конъюнкцию всех
переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в
данной строке =1, то в конъюнкцию включают саму эту переменную, если
=0, то ее отрицание.
3. Все полученные конъюнкции связать в дизъюнкцию.
Выбираем в таблице строки, в которых булева функция принимает
значение 1. В данном случае – это 2-ая, 3-ая, 4-ая, 6-ая и 7-ая строки.
Для каждой строки составляем конъюнкцию: если значение переменной
равно 0. то берем ее отрицание, а если 1, то берем саму переменную. Затем
составляем дизъюнкцию полученных конъюнкций:
f x, y, z ( x y z) ( x y z ) ( x y z ) ( x y z) ( x y z)
Выбираем в таблице строки, в которых булева функция принимает
значение 0. В данном случае – это 1-ая, 5-ая, и 8-ая строки:
f x, y, z ( x y z ) ( x y z ) ( x y z)
ДНФ называется минимальной, если она содержит наименьшее число
букв среди всех ДНФ ей равносильных.
Метод
Квайна
основывается
на
применении
двух
основных
соотношений.
Соотношение склеивания:
a b a b b ; a b a b b
Соотношение поглощения:
Используя соотношение склеивания, получаем:
(x y z ) (x y z ) = y z ,
( x y z ) ( x y z) = x y .
Отсюда,
( x y z ) ( x y z ) ( x y z ) ( x y z ) =( y z ) ( x y )
ДНФ.
51
- сокращенная
Контрольные вопросы:
1. Что такое ДНФ?
2. Чем отличается ДНФ от СДНФ?
3. Как составить ДНФ по таблице истинности?
3. Для закрепления теоретического материала и получения прочных
знаний решить примеры.
Построить таблицу истинности, найти СНДФ, найти минимальную ДНФ
для высказывания:
1 вариант
1. z y z x
_______
2. ( A B ) A A B
3. z y z x
2 вариант
_______
1. ( A B ) A A B
2. x y z ( x y) x z
3. z y z x
3 вариант
1. ( x y) x z
2. ( A B) B A A B A B
_______
3. z y z ( y x )
4 вариант
_______
1. ( A B) B A
2 x y x z x y z
3
z x z
( y x )
5 вариант
1 x y z y
2. ( x y) x z z y z x
3. z y z ( y x )
1 x y z x
6 вариант
2. ( A B) B A A B B A
_______
3. z y z x
52
7 вариант
1. z x y x
2. ( A B) B A A B B A
_______
3. z x z ( y x )
8 вариант
1.
A B B A
2. x y z ( x y) x z
3. z y z ( y x )
9 вариант
1 . x y z x
2. ( A B) B A A B B A
_______
3.
A B B A
10 вариант
2. x y x z x y z
1. A B A A
3. x y z x
1.
11 вариант
z x y x
2. ( A B) B A A B B A
_______
3. z y z ( y x )
12 вариант
1.
A B B A
2. x y z ( x y) x z
3. ( A B) B A
_______
1. x y x z
13 вариант
2. ( A B) B A A B B A
_______
3. z y z ( z x )
1. x y z x
14 вариант
2. ( A B) B A A A B B
_______
3. z y z ( y x )
53
15 вариант
1 ( A B) A A B
_______
2. x y z ( x y) x z
3. z y z x
Практическая работа №3
Тема: Решение логических задач.
Цель работы: Уметь решать задачи, используя формул алгебры логики.
Ход работы: Разобрать задачи с решениями.
Равносильны ли высказывания:
1. a b и a b
2. bc a и b c a
3. a b и b a
Исходя из разговорной практики, мы знаем, что, имея высказывания А и
В, можно построить высказывания: не А (неверно, что А); А и В; А или В;
если А, то В (из А следует В); А только и только тогда, когда В
(А
эквивалентно В, А тождественно В)
Эти высказывания, в отличие от элементарных, естественно назвать
сложными, поскольку они уже наделены структурой. Однако они так же, как
и простые, могут принимать только два возможных значения: И либо Л.
Среди следующих высказываний укажите составные; выделите в них
простые, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью логических
операций каждое составное высказывание:
1. «Пришла весна, и грачи прилетели».
Решение задачи:
Обозначим через A-«пришла весна»; а через B- «грачи прилетели».
Тогда высказывание С - «Пришла весна, и грачи прилетели» запишем так:
С= А B.
Ответ: С= А B.
2. «Число 6 делится на 2 и число 6 делится на 3».
3. «Неверно, что 4 делится на 3». Обозначим через a простое
высказывание «4 делится на 3». Представьте первое высказывание в виде
54
4. Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
5. Земля имеет форму шара.
6. На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя и
писали самостоятельную работу.
7. Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3.
8. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа
делится на 3.
9. Число 376 четное и трехзначное.
10. 1) «Летом я поеду в деревню или в туристическую поездку».
2) «Летом я поеду в деревню или в туристическую поездку, или в
санаторий».
3) «Если летом я поеду в деревню, то я не поеду в туристическую
поездку».
4) «Если летом я не поеду в деревню или в санаторий, то я поеду в
туристическую поездку».
5) ««Если летом я поеду в деревню или в санаторий, то я не поеду в
туристическую поездку».
Решить задачи средствами алгебры логики.
1. В процессе составления расписания уроков учителя высказали свои
пожелания. Учитель русского языка хочет проводить первый или второй
урок, учитель математики – первый или третий, а учитель физкультуры –
второй или третий урок.
Сколько существует возможных вариантов расписания и каковы они?
Решение.
Введем обозначения: А – 1-й урок русского языка, В – 2-й урок русского
языка,
A - 1-й урок математики, С – 3-й урок математики,
B - 2-й урок
физкультуры, C - 3-й урок физкультуры. Составим логическую формулу,
опираясь на условие задачи: (АvВ) & ( A v C) & ( B v C ).
Таблица истинности для нее будет иметь вид:
55
Ответ. Анализируя таблицу, приходим к выводу, что расписание может быть
представлено в двух вариантах:
1 урок математика
1 урок русский язык
2 урок русский язык или
2 урок физкультура
3 урок физкультура
3 урок математика.
2. Только один из подозреваемых участвовал в преступлении. Известно,
что если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров
участвовал; если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал. Кто
участвовал в преступлении?
3. Аня, Вика и Сергей решили пойти в кино. Учитель, хорошо знавший
ребят, высказал предложения: Аня пойдет в кино только тогда, когда пойдут
Вика и Сергей; Аня и Сергей пойдут в кино вместе или же оба останутся
дома; чтобы Сергей пошел в кино, необходимо, чтобы пошла Вика. Когда
ребята пошли в кино, оказалось, что учитель немного ошибся: из трех его
утверждений истинными оказались только два. Кто из ребят пошел в кино?
4. Намечаются экскурсии в три города А, В и С. Руководитель фирмы
сказал: «Неверно, что если будет экскурсия в город В, то не будет экскурсии
в город С. Если будет экскурсия в город С, то не будет экскурсии в город А.»
В какие города будет проводиться экскурсия?
56
Практическая работа №4
Тема: Действия над множествами.
Цель работы: Знать, что понимают под множеством, уметь выполнять
действия над множествами и знать законы действий над множествами.
Ход работы: Повторить краткие теоретические сведения и разобрать
задачи с решениями.
1. Множество. Способы задания множеств
Одним из основных исходных понятий математики является понятие
множества и его элементов. Множество состоит из элементов. Множества
обозначаются большими латинскими буквами: A; B; C..., а их элементы малыми буквами: a,b,c,…
Если a является элементом множества A или, что, тоже самое, a
принадлежит множеству A, то применяют запись aA; в противном случае
пишут aA.
Два множества A и B равны (A=B), если они состоят из одних и тех же
элементов. Если множества A и B не равны, то применяется запись A B.
Множество,
содержащее
конечное
число
элементов,
называется
конечным, в противном случае множество называется бесконечным.
Конечное множество, содержащее n элементов, называется n-множеством.
Множество,
не
содержащее
элементов,
называется
пустым
и
обозначается . Предположим, что все множества, которые будут
рассмотрены в этой главе, являются подмножествами некоторого множества
U, называемого универсальным множеством.
а
б
Рисунок 1
57
Если каждый элемент а множества В, аВ, является элементом
множества А, аА, то В называется подмножеством множества А (см. рис. 1,
а). Этот факт записывается с помощью знака включения
следующим
образом: ВА.
Свойства включения:
1. А А.
2. Если А В и ВС, то АС (см. рис. 1, б).
3. Из двух включений ВА и А В следует, что А=В.
Принято считать, что пустое множество является подмножеством
любого множества.
Если В А и при этом ВА, то этому соответствует запись В А и В
называется собственным подмножеством А. В решении примера все
множества, кроме последнего, являются собственными подмножествами
множества А.
Для описания множества A, состоящего из элементов a1,a2,...,an,...
обычно применяется запись A={a1,a2,...,an,...}, причём порядок элементов в
фигурных
скобках
не
имеет
значения;
обычно
он
определяется
соображениями наглядности.
Пример.
В записи множества первых n натуральных чисел Nn={1,2,...,n} удобно
располагать числа в возрастающем порядке, хотя при этом надо иметь в виду,
что
N3 ={1,2,3}={2,1,3}={3,2,1}.
Другой способ задания множества состоит в описании свойств,
однозначно определяющих принадлежность элементов данному множеству.
Такому способу задания множества соответствует запись:
A ={a/a обладает свойством P(a)}.
Пример.
Множество чётных чисел M может быть задано так:
58
M={i / i - целое число, которое делится на 2 без остатка}.
В случае описания множества с помощью некоторого свойства
необходимо следить за тем, чтобы каждый элемент был чётко определён.
Так, например, недостаточно чётким является определение множества А как
множества слов русского языка, если нет ссылки на один из толковых
словарей.
Возможно также рекурсивное задание множества, при котором
осуществляется последовательное описание элементов через предыдущие.
Например, множество натуральных чисел рекурсивно можно задать так:
N={i / если целое iN, то i+1N, i 1}.
2. Операции над множествами. Законы действий над множествами
Объединением двух множеств А и В называется множество вида:
AB ={a / a A или a B}(см. рис. 2, а).
Пересечением двух множеств А и В называется множество вида:
AB={a / a A и a B} (см. рис. 2, б).
Если множества А и В не имеют общих элементов, то AB=.
а
б
Рисунок 2
Свойства операций объединения и пересечения:
1. AB = ВА, AB = ВА (коммутативность).
2. (AB)С = A(BС), (AB)С = A(BС) (ассоциативность).
Объединение и пересечение связаны законами дистрибутивности:
A(BC)= (AB) (AС);
A(BC)= (AB) (AС).
По свойству 3 операции включения следует равенство правой и левой
частей доказываемого равенства.
59
Для операции объединения множеств нейтральным является пустое
множество , а для операции пересечения множеств - универсальное
множество U.
Разность множеств А и В определяется следующим образом:
A\B ={a / aA и aB} (см. рис. 3, а).
а
б
Рисунок 3
Разность не обладает свойством коммутативности; эта операция также
не является и ассоциативной.
Пользуясь понятием универсального множества, можно определить
дополнение A к множеству А, как разность вида: A = U \ A (см. рис. 3, б).
Пример.
Пусть в качестве универсального множества выступает множество
целых чисел Z и пусть А - это множество всех чётных чисел. Тогда A - это
множество всех нечётных чисел.
Операции объединения, пересечения и дополнения множеств связаны
между собой законами де Моргана:
A B A B ,
A B A B .
Если a A B , то a AB. Это значит, что или a A , или a B ,
т.е. a A B . Следовательно, A B A B .
С другой стороны, если a A B , то или a A , или a B . Это значит,
что a A B , т.е. a A B . Таким образом, A B A B .
Из этих двух включений следует первый закон де Моргана.
Второй закон доказывается аналогичным образом.
60
Образцы решения задач
1. Найти A B; A B; A B; B A; A B. A 7;8;9; B 7;8;10
Решение:
A B 7;8;9 7;8;10 7;8;9;10
A B 7;8;9 7;8;10 7;8
A B 7;8;9 7;8;10 7;7 ; 7;8 ; 7;10 ; 8;7 ; 8;8 ; 8;10 ; 9;7 ; 9;8 ; 9;10
B A 7;8;10 7;8;9 7;7 ; 7;8 ; 7;9 ; 8;7 ; 8;8 ; 8;10 ; 10;7 ; 10;8 ; 10;9
A B 7;8;9
7;8;10 9.
2. Доказать равенство и записать двойственное ему:
( A B)( B C )(C A) ABC AB AC BC
Решение:
Преобразуем левую часть:
( A B)( B C )( B A) AB C ( B A) AB AB CB CA
ABC AB AC BC
Таким образом, левая часть равна правой части, т.е. равенство верно.
Для того чтобы составить равенство, двойственное данному, пользуемся
принципом двойственности. Заменим в данном равенстве знак на и
наоборот. Чтобы не поменялся порядок действий, по другому поставим
скобки.
Получим двойственное равенство:
AB BC CA A B C A B A C B C
Контрольные вопросы:
1. Что понимают под множеством?
2. Способы задания множеств.
3. Какое множество называют пустым? Универсальным?
4. Действия над множествами.
5. Законы действий над множествами.
61
Задание 1
1 вариант
1. Найти A B; A B; A B; B A; A B. A 4;6;8; B 6;10;14
2. Доказать равенство и записать двойственное ему:
A B B C C D AC BC BD
3.Даны множества M, P, T. Каким будет множество S ( M P ) \ T , если
M {3; 7;8; 6; 0};
P {x | x R; 0 x 6};
T {x | x R; 3 x 7} .
Найдите его. Изобразите его с помощью кругов Эйлера.
2 вариант
1. Найти A B; A B; A B; B A; A B. A a; o; b; B 1;2;3
2. Доказать равенство и записать двойственное ему:
A AB BC A B A C
3. Даны множества M, P, T. Каким будет множество S ( M P ) \ T , если
M {2; 3;0;1;3;5};
P {x | x R; 3 x 3};
T {0;1;2;3;4;6} .
Найдите его. Изобразите его с помощью кругов Эйлера.
3 вариант
1. Найти A B; A B; A B; B A; A B. A a; b; c; B d ; e; f
2. Доказать равенство и записать двойственное ему:
AC BC CD ( A C )( B C )(C D)
3. Даны множества M, P, T. Каким будет множество S ( M P) \ T , если
M {x | x N ; 5 x 5};
P {x | x R; x (1;3]};
T {x | x R;5 x 7}
4 вариант
1. Найти A B; A B; A B; B A; A B. A {3,7,11, d}, B {7,11, d},
2. Доказать равенство и записать двойственное ему:
A B B C C D AC BC BD
3. Даны множества M, P, T. Каким будет множество S ( M P ) \ T , если
M {3; 7;8; 6; 0};
P {x | x R; 0 x 6};
T {x | x R; 3 x 7} .
Найдите его. Изобразите его с помощью кругов Эйлера.
62
5 вариант
1. Найти A B; A B; A B; B A; A B. A 3,4, o , B 1,3,4, i, o
2. Доказать равенство и записать двойственное ему:
A B B C C D AC BC BD
3. Даны множества M, P, T. Каким будет множество S ( M P ) \ T , если
M {3; 7;8; 6; 0};
P {x | x R; 0 x 6};
T {x | x R; 3 x 7} .
Найдите его. Изобразите его с помощью кругов Эйлера.
6 вариант
1. Найти A B; A B; A B; B A; A B. A 4;6;8; B 2, a
2. Доказать равенство и записать двойственное ему:
A B B C C D AC BC BD
3. Даны множества M, P, T. Каким будет множество S ( M P ) \ T , если
M {3; 7;8; 6; 0};
P {x | x R; 0 x 6};
T {x | x R; 3 x 7} .
Найдите его. Изобразите его с помощью кругов Эйлера.
7 вариант
1. Найти A B; A B; A B; B A; A B. A 6, t ,5; B 6;10;14
2. Доказать равенство и записать двойственное ему:
A B B C C D AC BC BD
3.Даны множества M, P, T. Каким будет множество S ( M P ) \ T , если
M {3;5;8;6;10};
P {x | x R;3 x 6};
T {x | x R;3 x 7} .
Найдите его. Изобразите его с помощью кругов Эйлера.
8 вариант
1. Найти A B; A B; A B; B A; A B. A 4;6;8; B 10, h
2. Доказать равенство и записать двойственное ему:
A B B C C D AC BC BD
3. Даны множества M, P, T. Каким будет множество S ( M P ) \ T , если
M {1;4;5;6};
P {x | x R;0 x 6};
T {x | x R;3 x 7} .
Найдите его. Изобразите его с помощью кругов Эйлера.
63
9 вариант
1. Найти A B; A B; A B; B A; A B. A 10, h; B 6;10;14
2. Доказать равенство и записать двойственное ему:
AC BC BD A B B C C D
3. Даны множества M, P, T. Каким будет множество S ( M P ) \ T , если
M {3;7;8;6;0};
P {x | x R;0 x 6};
T {x | x R;4 x 7} .
Найдите его. Изобразите его с помощью кругов Эйлера.
10 вариант
1. Найти A B; A B; A B; B A; A B. A 4;6;8; B 10, h
2. Доказать равенство и записать двойственное ему:
A B B C C D AC BC BD
3. Даны множества M, P, T. Каким будет множество S ( M P ) \ T , если
M {3; 7;8; 6; 0};
P {x | x R; 0 x 6};
T {x | x R; 3 x 7} .
Найдите его. Изобразите его с помощью кругов Эйлера.
Задание 2
Заданы множества А, В, С. Какие из утверждений будут верными?
a) Множества A и C не содержат одинаковых элементов.
b) Множества A и C равны ( A C ).
c) Множества В и C равны ( B C ).
d) Множество А является подмножеством множества В. ( A B )
e) Множество С является подмножеством множества А. (C A )
f) Множество С является подмножеством множества B. (C B )
g) Пустое множество является подмножеством множества А.
i) Множество А конечно.
j) Множество В является бесконечным.
k) Множество В является подмножеством пустого множества/
Вариант 0
Вариант 1
Вариант 2
A = {1,2,a,b} , B = {2,a} , C = {a,1,2,b}.
A = {2,3,4, f } , B = {3,4} , C = {4,3}.
A = {7,9,a} , B = {a,9,7} , C = {7,8,9,a,b}.
64
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
A = {5,6,t} , B = {4,5,6,e,t} , C = {6,t,5}.
A = {3,4,o} , B = {1,3,4,i,o} , C = {o,1,3,i,4}.
A = {9,10,h,l} , B = {h,l,9,10} , C = {10,h}.
A = {3,6,9,u} , B = {6,u,9} , C = {6,u,3,9}.
A = {6,8,10} , B = {4,6,8,10, k} , C = {8,6, k,4,10}.
A 5,5,t, B 5,5,t, C 5, k,t,5.
A 1,t, r, B 2,1,0,t, r, C t,1, r.
A 3,7,11,d, B 7,11,d, C 11,d,7.
Задание 3
Расположите множества: A B , A \ B , AB C , A/(B C) , в таком
порядке, чтобы каждое из них являлось подмножеством предыдущего
множества.
Вариант 1
Заданы произвольные множества А, В, С. Расположите множества: AB
C , A \ B , A B , A , в таком порядке, чтобы каждое из них было
подмножеством следующего за ним.
Вариант 2
Заданы произвольные множества А, В, С.
Расположите множества: B C , C \ A ,C \ (A B) , A B C , в таком
порядке, чтобы каждое из них включало в себя предыдущее множество.
Вариант 3
Заданы произвольные множества А, В, С.
Расположите множества: C , B C , A B C , A C в таком порядке,
чтобы каждое из них включало в себя множество, следующее за ним.
Вариант 4
Заданы произвольные множества А, В, С.
Расположите множества: A B , AB C , A B C , A (B C) , в
таком порядке, чтобы каждое из них было подмножеством предыдущего
множества.
Вариант 5
Заданы произвольные множества А, В, С.
65
Расположите множества: A B , A B C , A B C , A (B C) , в
таком порядке, чтобы каждое из них являлось подмножеством следующего за
ним.
Вариант 6
Заданы произвольные множества А, В, С.
Расположите множества: AB , AB , A B C , A , в таком порядке,
чтобы каждое из них содержало предыдущее множество.
Вариант 7
Заданы произвольные множества А, В, С.
Расположите множества: B C , B \ (A C) , B , AB C , в таком
порядке, чтобы каждое из них содержало множество, следующее за ним.
Вариант 8
Заданы произвольные множества А, В, С.
Расположите множества: B C , AB C , B C ,C (B \ A) , в таком
порядке, чтобы каждое из них являлось подмножеством предыдущего
множества.
Вариант 9
Заданы произвольные множества А, В, С.
Расположите множества: AB , A B C , A B C , A B , в таком
порядке, чтобы каждое из них было подмножеством следующего за ним.
Вариант 10
Заданы произвольные множества А, В, С.
Расположите множества: AB , B , A B C , B (A \ C) , в таком
порядке, чтобы каждое из них включало в себя предыдущее множество.
Задание 4
Заданы множества А, В.
Найдите: AB , A B , A \ B , B \ A, A, B , A \ ,\ B .
Вариант 0
Вариант 1
Вариант 2
A 1,2,4,5, k,l, B 2,3,4,5,l,m.
A 3,t,o,4,5, B 2,3,5,o, p.
A 5,6,8, y,u, r, B 6,7,8, y,m, r.
66
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
A 1,2,3, f ,h, B 0,1,2,3, f ,l.
A 3,2,0,1, j, k, B 1,0,1,2, k, p.
A 4,6,8,10,m,n, B 1,4,7,10,m, r.
A 2,3,6,7,i, y, B 3,4,5,6,i, y, x.
A a,b,c,3,6,9, B b,c,d,6,7,8.
A x, y, z,2,3,4, B 3,4,5, s,t, y.
A a,2,d,3, k,5, B 1,d,2,a,4,m.
A 5,2,2,w,o, B 8,5,2,0,o, p.
Задание 5
Принято обозначать:
N – множество натуральных чисел;
Q – множество рациональных чисел;
Z – множество целых чисел;
R – множество действительных чисел.
Тогда верным утверждением будут…
Вариант 0
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
a) 2.1N , b) 2.7 Q , c) 5Z , d) 7 R .
a) 6N , b) 2.3Q, c) 3 Z , d) R .
a) 2N , b) 5 Q, c) 7 Z , d) 8 R .
a)1.9N , b) 5,6Q, c) 0.7 Z , d) 3 R .
a) 7 N , b) Q, c) 3 Z , d) 4R .
a) 3N , b) 11Q , c) 15Z , d) 7 R .
а) 4,3N ; b)3.14Q , c) 15Z , d) 9 R .
a) 7 N , b) 5.17Q, c) 2.5Z , d) 3R .
a)8N , b) 16 Q, c) 2Z , d) 11R .
a) 7.2N , b) 13 Q, c) 6,5Z, d) 25 R .
a) 9 N , b)12.
Практическая работа №5
Тема: Мощность конечного множества.
Цель работы: Уметь решать задачи с помощью кругов Эйлера.
Ход работы: Повторить краткие теоретические сведения и разобрать
задачи с решениями.
Множество А называют подмножеством множества В, если любой
элемент множества В является элементом множества В.
Графически это выглядит, так как показано на рисунке 4.
67
Рисунок 4
Можно дать другое определение равных множеств. Два множества
называются равными, если они являются взаимными подмножествами.
Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию
1. Объединение множеств А и В изображено на рисунке 5:
Рисунок 5
2. Пресечение двух множеств А и В изображено на рисунке 6:
Рисунок 6
В
любой
имеющей
смысл
задаче
обычно
рассматриваются
подмножества некоторого «наибольшего» множества U, которое называют
универсальным множеством. Универсальное множество - это самое большее
множество, содержащее в себе все множества, рассматриваемые в задаче.
Множество
всех
элементов
универсального
множества
U,
не
принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до U и
обозначается Ā, как на рисунке 7.
Мощностью
конечного
множества
элементов.
68
называется
количество
его
Рисунок 7
Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в
множестве А.
Из определения следуют свойства:
m (A) + m (Ā) = m (E)
А = В => m(A) = m(B)
Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения:
M ( A B )=m (A) + m (В) – m (А∩В)
m ( A B C ) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) - m (А∩С) – m (В∩С) –
m (А∩В∩С).
Решение задач с помощью кругов Эйлера
Этот способ решать задачи придумал в XVIII в. великий Леонард Эйлер.
Задача.
В олимпиаде по математике приняло участие 40 учащихся, им было
предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по
тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18
человек, по тригонометрии – 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7
человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не
решили 3 человека. Сколько учащихся решили все задачи? Сколько
учащихся решили только две задачи? Сколько учащихся решили только одну
задачу?
Решение.
Запишем коротко условие и покажем решение:
m (Е) = 40; m (А) = 20; m (В) = 18; m (С) = 18; m (А∩В) = 7; m (А∩С) =
8; m (В∩С) = 9;
m (АВС) = 3 => m (АВС) = 40 – 3 = 37
69
Изобразим множества А, В, С на рисунке 8.
Рисунок 8
где К1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;
К2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и
геометрии;
К3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;
К4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и
тригонометрии;
К5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;
К6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по
геометрии и тригонометрии;
К7 – множество всех учеников, решивших только задачу по
тригонометрии;
К8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.
Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить
вычисления:
m (К5) = m (А∩В∩С)= m (АВС) - m (А) - m (В) - m (С) + m (А∩В) + m
(А∩С) + m (В∩С).
m (К5) = 37-20-18-18+7+8+9=5.
m (К2) = m (А∩В) - m (К5) = 7-5=2.
m (К4) = m (А∩С) - m (К5) = 8-5=3.
m (К6) = m (В∩С) - m (К5) = 9-5=4.
m (К1) = m (А) - m (К2) - m (К4) - m (К5) = 20-2-3-5=10.
m (К3) = m (В) - m (К2) - m (К6) - m (К5) = 18-2-4-5=7.
70
m (К7) = m (С) - m (К4) - m (К6) - m (К5) = 18-3-4-5 =6.
m (К2) + m (К4) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только
две задачи.
m (К1) + m (К3) + m (К7) = 10+7+6=23 – число учеников решивших
только одну задачу.
Ответ: 5 учеников решили три задачи; 9 учеников решили только по две
задачи; 23 ученика решили только по одной задаче.
Решить задачи:
Задача №1
В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из
видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми
тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15
учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом –
9 учеников. Сколько учеников пользуется только одним видом транспорта?
Задача №2
Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере,
одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут
книги в школьной библиотеке, 20 – в районной.
Сколько шестиклассников: являются читателями обеих библиотек; не
являются читателями районной библиотеки; не являются читателями
школьной библиотеки; являются читателями только районной библиотеки;
являются читателями только школьной библиотеки?
Задача №3
Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 - в Италии, 6 - в
Англии; в Англии и Италии - 5; в Англии и Франции - 6; во всех трех странах
- 5 сотрудников.
Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме
работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из
названных стран?
71
Задача №4
В трёх группах 70студентов. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32
поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 студентов из хора, в
хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и
драмкружок и хор. Сколько студентов не поют в хоре, не увлекаются
спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько студентов заняты только
спортом?
Задача №5
Часть жителей нашего дома выписывают только газету «Комсомольская
правда», часть – только газету «Известия», а часть – и ту, и другую газету.
Сколько процентов жителей дома выписывают обе газеты, если на газету
«Комсомольская правда» из них подписаны 85%, а на «Известия» – 75%?
Задача №6
Первую или вторую контрольные работы по математике успешно
написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью –
32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.
Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?
Задача №7
В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих.
11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть
нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6
нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и
полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак»
вратарей?
Задача №8
В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35
холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и
холодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли
среди них посетитель, не купивший ничего?
72
Практическая работа №6
Тема: Функции алгебры логики.
Цель работы: Знать формулы алгебры логики, уметь решать задачи.
Ход работы: Повторить краткие теоретические сведения и разобрать
задачи с решениями.
Булевы функции.
Рассмотрим логические переменные x1, x2, …, xn, принимающие только
два значения: «1» или «0».
Булевой функцией f (x1, x2, …, xn) называется произвольная функция,
аргументами которой являются логические переменные и принимающая
только одно из двух значений: «1» или «0».
Количество булевых функций одного аргумента равно 2 2 = 4, это
функции:
f1(x) = 0, f2(x) =1, f3 (x) = x и f4(x) = x .
Булевых функций двух аргументов всего 24 = 16, а количество булевых
n
2
функций n аргументов равно 2 .
Всякой формуле алгебры логики, составленной из элементарных
высказываний x1, x2, …, xn соответствует булева функция f (x1, x2, …, xn),
аргументы которой принимают значения истинности соответствующих
элементарных высказываний: «1» или «0». Две равносильные формулы
алгебры логики определяют одну и ту же булеву функцию, т.к. значения
истинности этих формул совпадают для одинаковых значений входящих в
них переменных. Для булевых функций можно составлять таблицы значений
– всякую булеву функцию n аргументов можно задать таблицей из 2n строк.
Например, таблица значений некоторых функций 2-х аргументов,
соответствующих основным логическим операциям (отрицание одного
аргумента, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция) выглядит
так:
x1
x2
x1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
x1 x2
1
0
0
0
73
x1 x2
1
1
1
0
x 1 x2
1
0
1
1
x1 x2
1
0
0
1
Значение булевой функции f (x1, x2) при известных значениях аргументов
устанавливается по строке таблицы, соответствующей заданным значениям
x1 и x2. Например, для функции f (x1, x2) = x1 x2 значение f (1, 0) = 0, а
значение f (1, 1) = 1.
Каждой
релейно-контактной
схеме
(РКС),
составленной
из
переключателей x1, x2, …, xn, можно поставить в соответствие булеву
функцию, называемую ее функцией проводимости:
1, если РКС замкнута,
f ( x1, x2 ,...., xn )
0, если РКС разомкнута .
Функция проводимости РКС задается при помощи формулы логики,
соответствующей этой РКС. Например, РКС, изображенная на рисунке 9,
имеет функцию проводимости f ( x, y) (( x y) y) ( x y) x y x .
Рисунок 9
Таблица значений функции проводимости РКС имеет вид:
х
y
f(x, y)
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
Любая функция n переменных может быть представлена многочленом
(полиномом) Жегалкина и это представление единственно.
Образцы решения:
Записать булеву функцию в виде многочлена Жегалкина. Определить
является ли функция линейной. ( x y ) z x `
Решение:
Преобразуем равенство, используя формулы алгебры логики.
74
( x y ) z x ` ( xy x y ) z x 1
( xy x y ) z x 1 ( xy x y ) 1
xyz xyx xy xz x x yz yx y xy x
y 1 xz y 1 xy xy xz y 1 z y x
y 1 xyz xz xz yz z x 1 xyz yz z x 1
Функция не является линейной, т.к. многочлен Жегалкина содержит
конъюнкции переменных.
Ответ:
функция
не
является
линейной;
многочлен
Жегалкина,
соответствующий данной функции:
f x; y; z xyz yz z x 1
Для закрепления теоретического материала и получения прочных
знаний решить примеры.
1. Построить функцию, двойственную данной: а в
Ответ: а)а
б )а в
в )а в
г )а в
2. К какому из классов Поста принадлежит функция х у
Ответы: а) Р0
б) Р1 в) S
г) ни к какому
3. Построить функцию, двойственную данной: а в
Ответ: а)а
б )а в
в )а в
г )а в
4. К какому из классов Поста принадлежит функция х у
Ответы: а) Р0
б) Р1 в) S
г) ни к какому
5. Построить функцию, двойственную данной: а
Ответ: а)а
б )а в
в )а в
г )а в
6. К какому из классов Поста принадлежит функция ху
Ответы: а) Р0
б) Р1 в) S
г) ни к какому
7. Построить функцию, двойственную данной: х
Ответ: а)а
б )а в
в )а в
г )а в
8. К какому из классов Поста принадлежит функция х
Ответы: а) Р0
б) Р1 в) S
г) ни к какому
75
Практическая работа №7
Тема: Представление Булевых функций в виде многочлена Жегалкина.
Цель работы: Уметь представлять булеву функцию, заданную таблицей
или формулой, в виде многочлена Жегалкина, используя преобразования
выражений
по законам алгебры логики, определять, является ли данная
функция линейной.
Ход работы: Повторить краткие теоретические сведения и разобрать
задачи с решениями.
Многочлены алгебры логики строятся по аналогии с обычными
многочленами.
Умножение
заменяем
конъюнкцией,
а
сложение
альтернативной дизъюнкцией (сложением по модулю два).
Многочленом
Жегалкина
называется
альтернативная
каждый член которой представляет собой конъюнкцию
дизъюнкция,
переменных или
переменные, или 1. Любая функция может быть представлена многочленом
(полиномом) Жегалкина и это представление единственно. Функция является
линейной, если многочлен Жегалкина не содержит конъюнкции переменных.
Образцы решения:
Записать
булеву
функцию
f x, y, z ( x y ) z x
в
виде
многочлена Жегалкина. Определить является ли функция линейной.
Решение: Преобразуем равенство, используя формулы алгебры логики.
( x y ) z x ` ( xy x y ) z x 1
( xy x y ) z x 1 ( xy x y ) 1
xyz xyx xy xz x x yz yx y xy x
y 1 xz y 1 xy xy xz y 1 z y x
y 1 xyz xz xz yz z x 1 xyz yz z x 1
Функция не является линейной, т.к. многочлен Жегалкина содержит
конъюнкции переменных.
Ответ:
функция
не
является
линейной;
соответствующий данной функции:
f x; y; z xyz yz z x 1
76
многочлен
Жегалкина,
Контрольные вопросы:
1. Определение многочлена Жегалкина.
2. Какой многочлен Жегалкина называется линейным?
Для закрепления теоретического материала и получения прочных
знаний решить примеры.
1. Проверить правильность формул, используя таблицы истинности:
х = х 1 ; х x 0; x y ху х y ; x y ху х 1 ; x y х y 1;
x y ху х y 1 ; x y ху 1 .
2. Выбрать правило исключения альтернативной дизъюнкции а в :
Ответы: а)ав ав б)ав ав в)а в г)а в
3. Найти среди многочленов Жегалкина линейный:
Ответы: а) ху х 1
б) х у
в) ху 1
г) ху х
4. 1 вариант
1. Представить функцию
f x, y.z х у z
в виде многочлена
Жегалкина, используя формулы алгебры логики. Определить, является ли
функция линейной.
2. Построить таблицу истинности для функции f x, y.z ху ( z x) ,
найти СДНФ, упростить ее. Построить контактную схему, реализующую эту
функцию. Представить функцию в виде многочлена Жегалкина.
2 вариант
1. Представить функцию
f x, y.z х у x z
в виде многочлена
Жегалкина, используя формулы алгебры логики. Определить, является ли
функция линейной.
2. Построить таблицу истинности для функции f x, y.z х у z ,
найти СДНФ, упростить ее. Построить контактную схему, реализующую эту
функцию. Представить функцию в виде многочлена Жегалкина.
Представить в виде многочлена Жегалкина f x, y.z х у x z ,
построить контактную схему, реализующую эту функцию.
77
3 вариант
1. Представить функцию
f x, y.z х у z
в виде многочлена
Жегалкина, используя формулы алгебры логики. Определить, является ли
функция линейной.
2. Построить таблицу истинности для функции f x, y.z х у z ,
найти СДНФ, упростить ее. Построить контактную схему, реализующую эту
функцию. Представить функцию в виде многочлена Жегалкина.
4 вариант
1. Представить функцию
f x, y.z х у z
в виде многочлена
Жегалкина, используя формулы алгебры логики. Определить, является ли
функция линейной.
2. Построить таблицу истинности для функции f x, y.z х у z , найти
СДНФ.
Построить
контактную
схему,
реализующую
эту
функцию.
Представить функцию в виде многочлена Жегалкина.
5 вариант
1. Представить функцию
f x, y.z y z xy
в виде многочлена
Жегалкина, используя формулы алгебры логики. Определить, является ли
функция линейной.
2. Построить таблицу истинности для функции f x, y.z xz х у ,
найти СДНФ, упростить ее. Построить контактную схему, реализующую эту
функцию. Представить функцию в виде многочлена Жегалкина.
Практическая работа №8
Тема: Классы Поста.
Цель
работы:
Знать
определения
классов
Поста,
теорему
о
функциональной полноте системы булевых функций, уметь определять к
какому классу Поста относится данная булева функция.
Ход работы: Повторить краткие теоретические сведения и разобрать
задачи с решениями.
78
Американский математик Эмиль Пост ввёл в рассмотрение следующие
замкнутые классы булевых функций:
- функции, сохраняющие константу 0 или 1;
- самодвойственные функции;
- монотонные функции;
- линейные функция.
Им было доказано, что любой замкнутый класс булевых функций, не
совпадающий с , целиком содержится в одном из этих пяти так называемых
предполных классов, но при этом ни один из пяти не содержится целиком в
объединении четырёх других. Таким образом, критерий Поста для полноты
системы сводится к выяснению, не содержится ли вся эта система целиком в
одном из предполных классов. Если для каждого класса в системе найдётся
функция, не входящая в него, то такая система будет полной, и с помощью
входящих в неё функций можно будет получить любую другую булеву
функцию. Пост доказал, что множество замкнутых классов булевых функций
- счётное множество.
Заметим, что существуют функции, не входящие ни в один из классов
Поста. Любая такая функция сама по себе образует полную систему. В
качестве примеров можно назвать штрих Шеффера или стрелку Пирса.
Для того чтобы записать полную систему функций надо проверить
имеющиеся функции по всем яти классам Поста, а уже недостающую
функцию записать исходя из теоремы, чтобы система булевых функций была
полной, надо, чтобы в ней существовали:
- хотя бы одна функция, не сохраняющая 0.
- хотя бы одна функция, не сохраняющая 1.
- хотя бы одна нелинейная функция.
- хотя бы одна немонотонная функция.
- хотя бы одна несамодвойственная функция.
Важнейшие замкнутые классы:
1. Класс функций, сохраняющих константу 0.
79
Обозначим через T0
класс всех булевых
функций
f(x1,x2,...,xn),
сохраняющих константу 0, то есть функций, для которых выполнено
равенство f(0,0,...,0)=0. Очевидно, что функции 0, x, x1 x2, x1 x2, x1 x2
принадлежат классу T0, а функции 1, x , x1 x2 в него не входят.
Поскольку таблица для функций f(x1,x2,...,xn) из класса T0 в первой строке
n
n
содержит фиксированное значение 0, то в T0 попадает 2 2 1 1 2 2
2
функций, т.е. ровно половина всех булевых функций.
Покажем, что T0 - замкнутый класс. Так как он содержит тождественную
функцию, то для обоснования его замкнутости достаточно показать, что
функция Ф=f(f1,...,fm) принадлежит классу T0, если только f, f1,..., fm
принадлежат этому классу.
Ф(0,0,...,0)= f(f1(0,0,...,0),...,fm(0,0,...,0))= f(0,0,...,0)=0.
2. Класс функций, сохраняющих константу 1
Обозначим через T1
класс всех булевых
функций
f(x1,x2,...,xn),
сохраняющих константу 1, то есть функций, для которых выполнено
равенство f(1,1,...,1)=1. Этому классу принадлежат функции 1, x, x1 x2, x1
x2, x1 x2 и не принадлежат функции 1, x , x1x2.
Покажем, что класс T1 состоит из функций, двойственных функциям из
класса T0 (говорят, что класс T1 двойственен классу T0).
Пусть
f(x1,x2,...,xn)
принадлежит
T1,
т.е.
выполняется
равенство
f(1,1,...,1)=1. Тогда, воспользовавшись определением двойственной функции,
получим: f(0,0,...,0)= f ( 0 , 0 ,..., 0 )= f (1,1,...,1)=0. Это значит, что f(x1,x2,...,xn)
принадлежит классу T0.
Из взаимной двойственности классов T0 и T1 следует, что T1 также
является замкнутым классом и что он содержит столько же булевых
функций, что и класс T0.
3. Класс самодвойственных функций.
Класс S включает в себя все самодвойственные функции, то есть такие
функции, для которых выполняется равенство: f(x1,x2,...,xn)=f*(x1,x2,...,xn).
80
Очевидно, что функции x и x самодвойственные. Менее тривиальным
примером самодвойственной функции является функция h(x1,x2,x3)=x1x2 x1x3
x2x3. Покажем, что это действительно так.
Составим двойственную к h функцию h * и преобразуем ее:
h*(x1,x2,x3) = (x1x2) & (x1x3) & (x2x3) = (x1x2x3) & (x2x3) = x1x2 x1x3
x2x3 = h(x1,x2,x3).
Для
самодвойственной
функции
имеет
место
тождество:
f ( x1 ,..., xn ) f(x1,...,xn); иначе говоря, на наборах (1,...,n) и ( 1 , ... , n ) ,
которые
называются
противоположными,
самодвойственная
функция
принимает противоположные значения.
Отсюда
следует,
что
самодвойственная
функция
полностью
определяется своими значениями на первой половине строк, которых для n
переменных будет
1 n
2 . Поэтому число самодвойственных функций,
2
зависящих от переменных x1,...,xn, равно
1 n
2
22
n
22 .
Докажем, что класс S замкнут. Поскольку он содержит тождественную
функцию,
достаточно
показать,
что
функция
Ф=f(f1,...,fm)
является
самодвойственной, если функции f, f1,..., fm самодвойственны. Последнее
устанавливается непосредственно:
Ф*= f*(f1*,...,fm*)= f*(f1,...,fm)= f(f1,...,fm)= Ф.
4. Класс монотонных функций.
~
Для двух наборов ~ =(1,...,n) и =(1,..., n), выполнено отношение
~
предшествования ~ , если 11, ..., nn и хотя бы в одной координате
i выполнено условие i < i.
Пример. (0, 1, 0, 1) (1, 1, 0, 1), а наборы (0, 1) и (1, 0) не сравнимы.
Очевидно,
что
отношение
предшествования
рефлексивно,
антисимметрично, транзитивно и представляет собой, таким образом,
отношение частичного порядка на множестве Bn=BB...B.
81
Функция f(x1,...,xn) называется монотонной, если для любых двух
~
~
~
наборов ~ и таких, что ~ , имеет место неравенство: f( ~ )f( ).
Например, функции 0, 1, x, x1x2, x1 x2 монотонные, а функции x , x1 x2,
x1x2 монотонными не являются.
Обозначим через M множество всех монотонных функций. Покажем, что
класс монотонных функций замкнут. Поскольку тождественная функция
принадлежит множеству M, то достаточно показать, что функция Ф=f(f1,...,fm)
является монотонной, если функции f, f1,..., fm монотонны.
~
Пусть ~ и - два набора длины n значений переменных x1,...,xn, причем
~
~ . Так как функции f1,..., fm монотонны, то выполняются соотношения
~
fi( ~ )fi( ) при 1 i m, , поэтому набор (f1( ~ ),..., fm( ~ )) предшествует
~
~
набору (f1( ),..., fm( )) или эти наборы равны.
В обоих случаях в силу монотонности функции f справедливо
неравенство:
~
~
f (f1( ~ ),..., fm( ~ )) f (f1( ),..., fm( )),
~
откуда следует, что Ф ( ~ ) Ф ( ), т.е. Ф - функция монотонная.
~
Наборы ~ и называются соседними по i-й координате, если
~
~ =(1,..., i-1, i, i+1,... n),
= (1,..., i-1, i , i+1,... n).
Класс L линейных функций
Он содержит функции 0, 1, x, x , x1x2 и не содержит функций x1x2 и
x1 x2. Выше было показано, что этот класс также замкнут.
f
T0
T1
S
M
L
0
1
x
+
+
-
+
+
-
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
-
x
x1&x2
x 1 x 2
82
Таблица не содержит двух одинаковых столбцов. Это
хорошо
иллюстрирует тот факт, что замкнутые классы T0, T1, S, M и L попарно
различны (знак “+” здесь показывает, что функция содержится в классе, а “-”
обозначает обратную ситуацию).
Система функций {f1, f2,..., fk} называется функционально полной, если
любая булева функция может быть записана в виде формулы через функции
этой системы.
Теорема Поста - одна из центральных теорем в теории булевых функций,
устанавливающая необходимое и достаточное условие для того, чтобы
некоторый набор булевых функций обладал достаточной выразительностью,
чтобы представить любую булеву функцию. Впервые сформулирована
американским математиком Эмилем Постом
Теорема о функциональной полноте. Для того чтобы система функций P
была полной, необходимо и достаточно, чтобы она целиком не содержалась
ни в одном из пяти замкнутых классов T0, T1, S, M и L.
Каждая функция из P2 может быть выражена при помощи полинома по
модулю 2.
Таким образом, существует целый ряд полных систем. Каждая из них
может быть принята за множество элементарных функций. Какая из систем
является более удобной, зависит от характера рассматриваемой задачи.
Очевидно, что одну и ту же булеву функцию можно представить в виде
различных логических формул.
Пример.
x | y = x y = x & y = (xy) x ~ y ...
Следовательно, множество всех формул можно разбить на классы
эквивалентности таким образом, что все формулы, входящие в один класс,
соответствуют одной и той же булевой функции; поэтому если функции,
соответствующие некоторым формулам, равны, то сами эти формулы
называют эквивалентными. Запись = означает, что формулы и
эквивалентны.
83
Контрольные вопросы:
1. Какие существуют классы Поста?
2. Определения функций, принадлежащих различным классам Поста.
Задания
Определить к каким классам Поста относятся булевы функции:
1 вариант
1. x y x z
2. z x z ( y x )
1. x y z
2 вариант
2. z y z x
1. x y z
2.
3 вариант
z y z x
1. z y z x
4 вариант
2. z y z x
1. x y z x
5 вариант
2. z y z x
1. x y z y
6 вариант
2. ( x y) x z
7 вариант
1. ( x y) x z
2. z y z ( y x )
1. z x y x
8 вариант
2. z x z ( y x )
1. x y z
9 вариант
3. x y z x
1. x y z x
10 вариант
3. x y z
84
11 вариант
1. x y z
2. ( x y) x z
12 вариант
z x y x
1.
2. z y z ( y x )
13 вариант
1. x y z x
2. z y z ( y x )
14 вариант
1. x y x z
2. z y z ( z x )
15 вариант
1. ( x y) x z
2. z y z ( y x )
Практическая работа №9
Тема: Приложение алгебры логики: релейно-контактные схемы.
Цель работы: Знать законы алгебры Буля, уметь составлять РКС для
высказываний, записывать высказывания по данным РКС.
Ход работы: Повторить краткие теоретические сведения и разобрать
задачи с решениями.
1. Краткие теоретические сведения.
Релейно-контактной схемой (РКС) или переключательной схемой
называется
схематическое
изображение
устройства,
состоящего
из
следующих элементов:
- переключателей (контактов, реле, ламп и др.);
- соединительных проводников;
- входов-выходов (полюсов РКС).
Рассмотрим простейшую РКС, содержащую один переключатель Р. Если
переключателю Р поставить в соответствие высказывание х: «Переключатель
Р замкнут», то истинному значению х (х = 1) будет соответствовать
замкнутое состояние переключателя, при котором РКС проводит ток, т.е.
85
импульс, поступающий на вход, может быть снят на выходе. Значению х = 0
будет соответствовать разомкнутое состояние РКС (ток не проводится).
Каждой РКС, состоящей из нескольких переключателей, можно поставить в
соответствие высказывание, выраженное некоторой формулой А, таким
образом, что истинному значению формулы (А = 1) будет соответствовать
замкнутое состояние РКС, а значению А = 0 – разомкнутое состояние.
Примеры таких соответствий приведены в таблице.
Таблица - Простейшие РКС и соответствующие им формулы логики.
РКС
Формула
Переключатель х:
Простейшее
высказывание: х
Переключатель
x
Отрицание
простейшего
высказывания:
x
Последовательное соединение:
(схема замкнута, когда
оба переключателя замкнуты)
Конъюнкция
высказываний:
xy
x 1,
x y 1
y 1,
x 0,
x y0
y 0.
Дизъюнкция
высказываний:
xy
x 0,
x y0
y 0,
x 1,
x y 1
y 1.
xx
xx 0
xx
xx 1
Параллельное соединение:
(схема разомкнута, когда
оба переключателя разомкнуты)
Значения
х = 1, если
переключатель замкнут;
х = 0, если
переключатель
разомкнут
x = 0, если
переключатель замкнут;
x = 1, если
переключатель
разомкнут
Схема, которая всегда разомкнута
Схема, которая всегда замкнута
86
Из простейших РКС путем их последовательного и параллельного
соединения могут быть построены более сложные переключательные схемы.
Доказано,
преобразована
что
к
любая
виду,
формула
содержащему
алгебры
логики
только
может
операции
быть
отрицания,
конъюнкции и дизъюнкции. Это позволяет изображать логические формулы
при помощи РКС, а РКС задавать формулами.
Например, согласно формулам основных равносильностей
xy xy и
следовательно,
логическим
x y (x y) (y x),
операциям
импликации
и
эквиваленции
соответствуют РКС, изображенные на рисунке.
Используя
равносильные
преобразования
логической
формулы,
соответствующей некоторой РКС, можно упростить РКС, т.е. привести ее к
виду, содержащему меньшее число переключателей.
Образец решения
Пример.
Упростить РКС, изображенную на рисунке.
Решение.
Запишем
соответствующую
РКС
формулу,
используя
простейших РКС и соответствующих им формул логики:
A (( x y) y) ( x y) x
Упростим формулу, используя основные равносильности:
(( x y) y) ( x y) x (( x y) ( y y)) ( x y) x
87
таблицу
(( x y) 1) ( x y) x ( x y) ( x y) x
( x y ( x y)) x ( x y x) ( x y y) x
(1 y) ( x y) x ((1 x ) y) x ( x y) x
( x x) ( y x) 0 ( y x) y x .
Таким
образом,
A y x.
Построим
РКС,
соответствующую
упрощенной формуле (см. рисунок).
Контрольные вопросы:
1. Что называется релейно-контактной схемой.
2. Простейшие РКС и соответствующие им формулы логики.
Задания
1. Задать
релейно-контактной
схемой
формулу,
соответствующие
таблице истинности:
x
1
1
1
1
0
0
0
0
2. Задать
z x z
формулу
y
1
0
1
0
1
0
1
0
алгебры
z
1
1
0
0
1
1
0
0
логики
1
1
0
0
0
1
0
1
релейно-контактной
схемой:
( y x ) x ( y z)
3. Записать формулу алгебры
логики, соответствующую данной
релейно-контактной схеме, упростить ее, если это возможно и нарисовать
новую схему по упрощенной формуле.
4. Придумать задания аналогичные 1,2,3 и выполнить их.
88
ВНЕАУДИТОРНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №1
Тема: Решение задач по теме: Применение логики высказываний к
переключательным схемам.
Цель
работы:
научиться
решать
задачи
на
указанную
тему,
осуществлять подбор необходимой литературы, вычленять из нее главное,
систематизировать
имеющийся
материал;
углубить
знания,
умения,
студентов по изучаемой теме.
Общие указания
к выполнению работы: решить задачи по теме
«Применение логики высказываний к переключательным схемам»
Задана функция f от нечетких переменных. Упростить эту нечеткую
функцию.
1. f(a,b) = a (a b),
2. f(a,b) =( a a b b ) ( a b b ) ( a b b ).
3. f(a,b) = (a b) (a b b ) (a a b),
4. f(a,b,c) =( a b c ) ( a c) ( a c) b,
5. f(a,b,c) =( [a b) (a c]) (b c)) b,
6. f(a,b) =(a b) (a c) (b c) b,
7. f(a,b,c) =( a b c ) (a c) (a c ) b,
8. f(a,b) =( a b) (a b b ) (a a b),
9. f(a,b,c) =( a a b b ) (a b b ) ( a b b ),
10. f(a,b) =a (a b) ( a b b).
Форма отчетности и контроля: задача с решением, защита, оценка.
ВНЕАУДИТОРНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №2
Тема: Решение задач на тему: Приведение формул логики высказываний
к виду ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ.
Цель
работы:
научиться
решать
задачи
на
указанную
тему,
осуществлять подбор необходимой литературы, вычленять из нее главное,
систематизировать
имеющийся
материал;
студентов по изучаемой теме.
89
углубить
знания,
умения,
Общие указания к выполнению работы: решить задачи по теме
«Приведение формул логики высказываний к виду ДНФ, КНФ, СДНФ,
СКНФ».
Задана формула . От формулы перейти к эквивалентной ей формуле
так, чтобы формула
не содержала связок «→»
и «↔». Исходя из
истинностных таблиц доказать, что форулы и равносильны (логически
эквивалентны). Для формулы найти СКНФ и СДНФ.
1.
= p q.
6. p ( p q).
2.
= p q.
7.
3.
= p (q r ).
8. ( p q) r.
4.
= p (q r ).
9. ( p q) r.
5.
= p ( p q).
( p q) q.
10. ( p q) ( p r ).
Форма отчетности и контроля: задача с решение, защита, оценка.
ВНЕАУДИТОРНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №3
Тема: Решение задач на тему: Предикаты, кванторы
Цель
работы:
научиться
решать
задачи
на
указанную
тему,
осуществлять подбор необходимой литературы, вычленять из нее главное,
систематизировать
имеющийся
материал;
углубить
знания,
умения,
студентов по изучаемой теме.
Общие указания к выполнению работы: Решить задачи на тему:
Предикаты, кванторы
Предикат
P( x1 , x2 , x3 ) задан своей называющей формой. Найти область
истинности предиката.
1. P( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 x2 x3 ) , ( x1 , x2 , x3 ) A3 ,
где А = {1,2,3,4}.
2. P( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 x2 x3 ) , ( x1 , x2 , x3 ) A3 ,
где А = {1,2,3,4}.
3. P( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 x2 x3 ) , ( x1 , x2 , x3 ) A3 ,
где А = {1,2,3,4}.
90
4. P( x1 , x2 , x3 ) = (( x1 x2 ) : x3 ) ), ( x1 , x2 , x3 ) A3 ,
где А = {1,2,3,4}.
5. P( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 x2 x3 ) , ( x1 , x2 , x3 ) A3 ,
где А = {1,2,3,4}.
6. P( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 x2 x3 ) , ( x1 , x2 , x3 ) A3 ,
где А = {1,2,3,4}.
7. P( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 x2 x3 ) , ( x1 , x2 , x3 ) A3 ,
где А = {1,2,3,4}.
8. P( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 : ( x2 x3 )) , ( x1 , x2 , x3 ) A3 ,
где А = {1,2,3,4}.
9. P( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 x2 x3 ) , ( x1 , x2 , x3 ) A3 ,
где А = {1,2,3,4}.
10. P( x1 , x2 , x3 ) = (( x1 x2 ) : x3 ) , ( x1 , x2 , x3 ) A3 ,
где А = {1,2,3,4}.
Форма отчетности и контроля: задача с решение, защита, оценка.
ВНЕАУДИТОРНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №4
Тема: Подготовка сообщения по теме: Применение логики предикатов к
анализу рассуждений.
Цель
работы:
научиться
осуществлять
подбор
необходимой
литературы, вычленять из нее главное, систематизировать имеющийся
материал.
Общие указания к выполнению работы: Подготовить сообщения по
теме: Применение логики предикатов к анализу рассуждений.
Форма отчетности и контроля: сообщение, защита, оценка.
ВНЕАУДИТОРНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №5
Тема: Решение задач по теме: Модель данной сигнатуры
Цель
работы:
научиться
решать
задачи
на
указанную
тему,
осуществлять подбор необходимой литературы, вычленять из нее главное,
91
систематизировать
имеющийся
материал;
углубить
знания,
умения,
студентов по изучаемой теме.
Общие указания к выполнению работы: Решить задачи по теме:
Модель
данной
сигнатуры.
Пользуясь
определением
примитивно
рекурсивной функции, показать, что числовая функция f примитивно
рекурсивной.
1. f ( x) x a,
2. f ( x) x y,
3. f ( x) x 2 ,
4. f ( x, y ) xy,
5. f ( x) 3x ,
6. f ( x, y ) x y ,
7. f ( x) x !
8. f ( x, y ) | x y |,
9. f ( x) 2 x ,
10. f ( x, y) y x .
Форма отчетности и контроля: задача с решение, защита, оценка.
ВНЕАУДИТОРНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №7
Тема: Написание Расчетно-графической работы на тему: Интерпретация
формулы в модели.
3.Цель
работы:
научиться
осуществлять
подбор
необходимой
литературы, вычленять из нее главное, систематизировать имеющийся
материал.
Общие указания к выполнению работы: Написать Расчетнографической работы на тему: Интерпретация формулы в модели.
Форма отчетности и контроля: расчетно-графическая работа, защита,
оценка.
92
