Математическая шкатулка

Муниципальное казенное образовательное учреждение
Хабазинская средняя общеобразовательная школа
Математическая шкатулка.
Пособие для внеклассных занятий по математике в 5-6 классах.
(задания стимулирующее познавательный интерес)
Работа выполнена в текстовом редакторе WORD.
Выполнила учитель математики Кремлева Татьяна Алексеевна
ХАБАЗИНО 2013
1
Содержание
Предисловие…………………………………………………………….3
Занятие1…………………………………………………………………4
1. Как возникло слово « математика»………………………….4
2.Считаем устно………………………………………………….4
3. Стихотворная страничка…………………………………….. .5
4.Биографическая миниатюра…………………………………...6
5. Игра. Угадывание чисел……………………………………..8
Занятие 2……………………………………………………………….10
1. Приёмы устного счёта……………………………………….10
2. Задачи-шутки………………………………………………...10
3.Задача - сказка об Иване-царевиче и Кащее
бессмертном, умевшем считать только до десяти……………12
4. Стихотворная страничка (задача в стихах)…………...........15
5. Решение олимпиадных задач………………………………..16
Занятие 3……………………………………………………………….17
1.Устный счёт…………………………………………………...17
2. Задачи со спичками………………………………………….17
3. Биографическая миниатюра………………………………....20
4. Сказки и старинные истории……………………………….22
5. Конкурс «цифры в пословицах и поговорках»……………..23
Рекомендуемая литература.………………………………………….24
2
Предисловие.
Данное пособие отражает опыт авторов и многих учителей; материал собран из
разных источников и использовался при проведении внеклассной работы по
математике.
Данное пособие адресовано в первую очередь учителям математики ,
стремящимся привить обучающимся 5-6 классов интерес к одному из основных
предметов, а это зависит прежде всего от качества учебной работы на уроке и
детально продуманной системы внеурочной и кружковой работы.
Каждое занятие рассчитано на 1,5-2 часа, каждое из которых включает один из
разделов:
-приёмы устного счёта;
-рассказ на математическую тему;
-решение задач повышенной трудности;
-игру;
-занимательные задачи, стихи;
-биографические миниатюры.
Все задачи снабжены пояснениями, решениями , ответами.
Книга полезна детям и родителям.
3
ЗАНЯТИЕ 1.
1. Как возникло слово « математика».
Слово «математика» возникло в Древней Греции примерно в Vв. До н.э.
Происходит оно от слова «матема» - « учение», « знания, полученные через
размышления».
Древние греки знали четыре «матемы»:




учение о числах (арифметика);
теорию музыки (гармонию);
учение о фигурах и измерениях (геометрию);
астрономию и астрологию.
В древнегреческой науке существовало два направления. Представители первого
из них, возглавляемые Пифагором, считали знания предназначенные только для
посвящённых. Никто не имел права делиться своими открытиями с
посторонними. Последователи этого направления назывались акузматиками
(акузма – священное изречение). Второе направление возглавил Гиппас
Метапонтский. Последователи Гиппаса. Напротив, считали,что математика
доступна всем, кто способен к продуктивным размышлениям. Они называли себя
математиками. Победило второе направление.
2.Считаем устно.
1. Выразите число 1000 с помощью арифметических действий:
а) тринадцатью пятёрками;
б) шестью тройками.
О т в е т:
а) 5∙5∙5∙5+5∙5∙5+5∙5∙5+5∙5∙5=1000
б) ((5+5)∙5+(5+5)∙5)∙(5+5)+5-5+5-5):5=100∙10=1000
2. найдите сумму всех натуральных чисел:
а) от 1 до 100;
б) то1 до 200.
Р е ш е н и е.
а) 1+2+3+4+…+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51)=101∙50=5050;
4
б) 1+2+3+…+198+199+200= (1+200)+(2+199)+…+(100+101)=201∙100=20100.
3. Разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и
одно яблоко осталось в корзине.
Р е ш е н и е. Один человек берет яблоко вместе с корзиной.
4. Портной имеет кусок сукна в 16 метров, от которого он отрезает ежедневно по 2
метра. По истечении скольких дней он отрежет последний кусок?
Ре ш е н и е.
Если этот вопрос задан быстро и отвечающий не имеет времени на
размышление, то часто можно услышать неправильный ответ: по истечении 8 дней.
На самом деле последний кусок будет отрезан по истечении 7 дней
3. Стихотворная страничка.
Арифметические знаки.
Как нет на свете без ножек столов,
Как нет на свете без рожек козлов,
Котов без усов и без панцирей раков,
Так нет в арифметике действий без знаков.
☼☼☼☼☼
Я добрый знак соединения
И том моё предназначение.
Я для сложения гожусь ,
И этим я горжусь.
( плюс)
☼☼☼☼☼
Его вам надо пригласить,
Чтоб равных чисел ряд сложить.
Для облегчения сложения
Есть знак отличный –
5
(умноженье).
☼☼☼☼☼
Не со зла он отнимает,
Просто долг свой выполняет.
Отнимать большой мастак
Этот всем знакомый знак.
(минус)
☼☼☼☼☼
Не всё в этом действии гладко,
То - целиком, а то - с остатком.
В несколько раз уменьшение,
Выполнит знак вам (деления).
Б. Кордемский, А.Ахато.
4.Биографическая миниатюра.
Пифагор (ок,570г.-ок.500г. до н.э.)
Крепкого телосложения юношу, судьи одной из первых в истории Олимпиад, не
хотели допускать к спортивным состязаниям, так как он не вышел ростом. Но он
не только стал участником Олимпиады, но и победил всех противников. Такова
легенда... Этот юноша был Пифагор-знаменитый математик.
Вся его жизнь-легенда, точнее, наслоение многих легенд. Он родился на острове
Самос, у берегов Малой Азии. Всего пять километров водной глади отделяло этот
остров от большой земли. Совсем юным Пифагор покинул родину. Он прошёл по
дорогам Египта, 12 лет жил в Вавилоне, где слушал речи жрецов, открывших
перед ним тайны астрономии и астрологии, затем несколько лет- в Италии. Уже в
зрелом возрасте Пифагор переселяется в Сицилию и там, в Кротоне, создаёт
6
удивительную школу, которую назовут пифагорейской.
Они были трудолюбивы и аскетичны - Пифагор и его ученики.
Вот заповеди пифагорейцев.
•Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться.
• Не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать.
• Не пренебрегай здоровьем своего тела.
• Приучайся жить просто и без роскоши.
• Прежде чем лечь спать, проанализируй свои поступки за день.
Трудно сказать, какие научные идеи принадлежали Пифагору, какие- его
воспитанникам. Но рассказывают, что Пифагор, доказав свою знаменитую
теорему, отблагодарил богов, принеся им в жертву 100 быков.
Пифагор не записал своего учения. Оно известно лишь в пересказах Аристотеля и
Платона. Греческий учёный Гераклит утверждал, что Пифагор ученее всех
современников, однако порицал его за склонность к магии. Дело в том, что числа
для пифагорейцев были наполнены мистическим содержанием, они преклонялись
перед гармонией чисел.
Чётные числа, допускавшие раздвоение, казались пифагорейцам более
разумными, олицетворяли некое положительное начало. Число 4, например,
олицетворяло у пифагорейцев здоровье, гармонию, разумность. Мистика цифр и
чисел сохранилась и до наших дней. Так, число 13-"чертова дюжина", 3 и 12"счастливые» числа, 666-"число зверя, дьявола".
Пифагор был не только математиком, но и философом. Ему принадлежит немало
великих догадок. Вот почему люди помнят его уже две с половиной тысячи лет, а
среди знаменитых олимпийских чемпионов Пифагор наиболее знаменит, - ему
выпало счастье победить не только соперника, но и время.
Теорема Пифагора доказана более чем 100 способами. И хотя изучают её в
8-м классе, понять её может и пятиклассник. Приведём наиболее простое
геометрическое доказательство этой теоремы: площадь квадрата, построенного
на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей
квадратов, построенных на его катетах.
Нарисуем два равных квадрата, стороны которых равны (а+b)- сумме двух
катетов(сторон, образующих прямой угол) прямоугольного треугольника
(Рис.1).Затем в полученных квадратах выполним построения (Рис.2,Рис.3)
Рис 1.
Рис.2
рис.3.
7
Все заштрихованные на рис.2,3 фигуры - квадраты со сторонами, равными
катетам(рис.2) и гипотенузе (рис.3) нашего треугольника. Очевидно, что сумма
площадей заштрихованных квадратов на рис.2 равна площади заштрихованного
квадрата на рис.3, а, именно, площади квадрата со стороной (а+b) за вычетом
четырёх площадей равных между собой треугольников.
Итак, теорема Пифагора доказана.
Необычное начинается с этой теоремы.
Теорема Пифагора(без доказательства) встречается ещё в вавилонских текстах,
написанных за 1200 лет до Пифагора. Она была известна в Китае и Индии. Одно
из древнейших доказательств теоремы Пифагора, очень громоздкое и трудное,
дано Евклидом. О прямоугольном треугольнике со сторонами 3,4,5 единиц длины
за 200 лет до н.э. знали и египтяне, считая его магическим. Числа 3,4,5 обладают и
другими интересными свойствами. Например,33+43+53 = 63.
5. Игра. Угадывание чисел
О каком угадывании идет речь?
Конечно, дело, в сущности, сводится не к отгадке, а к решению некоторой
задачи. Желающему предлагают задумать число и этого числа у него не
спрашивают. Взамен этого предлагают задумавшему произвести над
задуманным им числом разные с виду совсем произвольные действия и сказать
"угадывающему", что в результате получилось. "Угадчик" получает, таким
образом, в руки конец нити, по которой разматывает весь клубок и добирается
до начала.
Задаваемые в остроумной и забавной форме, которую каждый играющий
может придумать по своему вкусу, задачи эти представляют очень хорошее и
полезное развлечение для всех играющих. Они развивают навыки в быстром
устном счете и развивают их постепенно, так как можно задумывать малые и
большие числа, смотря по желанию и силам участвующих в игре лиц.
Теоретические основания подобных задач настолько просты, что мы даем их
сжато и коротко. Впрочем, если "доказательства" в нашем изложении кому-либо
окажутся не по силам, то он может их смело опустить, а пусть разберется только
в самой задаче. Разобравшись, он, почти, наверное, сам дойдет до объяснения
каждой задачи.
Обращаем внимание на то, что здесь в большинстве случаев даются только
сравнительно сухие остовы задач. Читателю предоставляется самая широкая
возможность каждое условие подобной задачи украсить плодами собственной
выдумки и фантазии или приноровить к известному случаю.
1. Угадать число
8
Возьмем числа от 1 до 12 и расположим их по кругу (смотри рисунок). Можно
смело взяться угадать задуманное кем-либо число из этого круга.
Можно, очевидно, для той же цели взять часы и предложить угадать
задуманный кем-либо час.
Можно также пользоваться домино, очками лоте и т. д. Как же угадать
задуманное число?
Пусть кто-либо задумает про себя любое из чисел круга. Затем укажите ему
сами любое число на этом круге и прибавьте про себя к этому числу 12 (т. е.
наивысшее число круга). Вы получите некоторое число, и это число вы скажете
громко. Пусть потом задумавший считает про себя от задуманного им числа,
притрагиваясь сначала к указанному вами числу, а потом к каждому
следующему числу по кругу, идя в обратном порядке, и пусть считает до
сказанного вами громко числа. Когда он досчитает до него, последовательно
притрагиваясь к числам, то остановится как раз на задуманном им числе или
часе.
Пусть, например, кто-либо задумал на круге 5, а вы указываете, например, 9,
прибавляете к нему про себя 12 и получите 21. Затем говорите громко
задумавшему:
- Считайте про себя, начиная от задуманного вами числа, до 21, но, начиная
счет, притроньтесь сначала к 9, потом к 8, потом к 7 и т. д., идя по кругу в
обратном порядке, когда, же досчитаете до 21, то скажите это число громко и
остановитесь.
Задумавший исполнит сказанное ему, и когда досчитает до 21, то, как раз сам
укажет задуманное им число 5.
Можно обставить эту задачу еще таинственнее, например, так.
9
Кто-нибудь задумывает какое-нибудь число (например, 5). Вы берете,
например, число 9, прибавляете к нему мысленно 12, получаете 21 и говорите
задумавшему:
- Теперь я буду стучать карандашом (или пальцем), и при каждом стуке вы
прибавляете про себя к задуманному вами числу по единице. Но, когда
досчитаете до 21, скажите громко: "21".
Затем стучите по 9, по 8, по 7 и т. д. ..., по 12, по 11 и т. д. ... Задумавший
число в это время про себя будет считать 5, 6, 7 и т. д., но когда скажет громко:
"21", то окажется, что вы стучите как раз по задуманному им числу.
- Вы задумали число 5!- говорите вы ему.
- Совершенно верно!- ответит вам задумавший, дивясь, как вы могли узнать
это, если он сам не знает, в чем разгадка этого будто бы фокуса.
Р е ш е н и е. "Фокуса" здесь, конечно, нет, а есть только правильный
математический расчет.
Чтобы от 5 прийти к 9, нужно считать так: 5, 6, 7, 8, 9. Значит, от 9 до 5 нужно
пройти через те же числа 9, 8, 7, 6, 5, только считая их в обратном порядке. Если,
указывая на 9, мы скажем "пять", затем, указывая на 8, скажем "шесть" и т. д., то,
придя к задуманному числу 5, скажем "девять". Если затем идти по кругу в том
же направлении и присчитать к "девяти" еще 12 последовательных чисел круга,
то опять приходим к тому же числу 5. Дело сводится, следовательно, к счету по
кругу в обратном направлении от указанного числа 9 до 9 + 12, т. е. до 21.
Если, наоборот, задумано 9, а указано 5, то от 9 до 5, считая в прямом
направлении по кругу (по порядку возрастания чисел), получаем: 9, 10, 11, 12,
12+1, 12 + 2, 12 + 3, 12 + 4, 12 + 5, т.е. 17. Следовательно, начиная с 5, можно
прийти к задуманному числу 9, идя в обратном направлении и отсчитывая те же
5 + 12 = 17 чисел.
Занятие 2
1. Приёмы устного счёта.
1) Умножение на двузначное число.
Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного
выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на
однозначное число.
10
Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и
выполняют действие. Например: 6∙28=28∙6= (20+8)∙6=120+48=168
Выполнить умножение: 5∙46=46∙5=(40+6)∙5=200+30=230 и т.д.
2) Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из
них на десятки и единицы. Например:
29∙12=29∙(10+2)=29∙10+29∙2=290+58= 348
41∙16=41∙10+41∙6 = 410+246 =656
(или 41∙16=16∙41 = 16∙40+16∙1=640+16=656
Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором
они выражены меньшими числами.
2. Задачи-шутки
1) В комнате четыре угла. В каждом углу сидит кошка. Напротив каждой
кошки по три кошки. На хвосте каждой кошки по одной кошке. Сколько же
всего кошек в комнате?
Р е ш е н и е. Иной, пожалуй, начнет вычислять так: 4 кошки в углах, по 3
кошки против каждой - это еще 12 кошек, да на хвосте каждой кошки по кошке,
значит, еще 16 кошек. Всего, значит, 32 кошки. Пожалуй, по-своему, он будет и
прав... Но еще более прав будет тот, кто сразу сообразит, что в комнате
находится всего-навсего четыре кошки. Ни более, ни менее.
2) Два молодых казака, оба лихие наездники, часто бились между собою об
заклад, кто кого перегонит. Не раз то тот, то другой был победителем, наконец,
это им надоело.
- Вот что,- сказал Григорий,- давай спорить наоборот. Пусть заклад достанется
тому, ней конь придет в назначенное место вторым, а не первым.
- Ладно!- ответил Михаил.
Казаки выехали на своих конях в степь. Зрителей собралось множество: всем
хотелось посмотреть на такую диковинку. Один старый казак начал считать,
хлопая в ладоши:
- Раз!.. Два!.. Три!..
Спорщики, конечно, ни с места. Зрители стали смеяться, судить да рядить и
порешили, что такой спор: невозможен и что спорщики простоят на месте, как
говорится, до скончания века. Тут к толпе подошел седой старик, видавший на
своем веку разные виды.
11
-В чем дело?- спрашивает он.
Ему сказали.
-Эге ж!- говорит старик,- вот я им сейчас шепну такое слово, что поскачут, как
ошпаренные...
И действительно... подошел старик к казакам, сказал им что-то, и через
полминуты казаки уже неслись по степи во всю прыть, стараясь непременно
обогнать друг друга, но заклад все, же выигрывал тот, чья лошадь приходила
второй.
Что сказал старик?
Р е ш е н и е. Старик шепнул казакам: "Пересядьте". Те поняли, мигом
пересели каждый на лошадь своего противника, и каждый погнал теперь во всю
прыть чужую лошадь, на которой он сидел, чтобы собственная его лошадь
пришла второй.
3) Число 666 увеличить в полтора раза, не производя над ним никаких
арифметических действий.
Р е ш е н и е. Написать это число, а затем повернуть бумажку "вверх ногами"
(на 180°). Получится 999.
3. Задача - сказка об Иване-царевиче и кащее бессмертном,
умевшем считать только до десяти.
Из этой сказки мы приведем только отрывки. Сказка очень занимательна, но нас
интересуют возникающие в ней математические задачи.
"В некотором царстве, в некотором государстве жил-был Иван-царевич. У него
было три сестры: одна Марья-царевна, другая Ольга-царевна, третья Анна-царевна.
Отец и мать у них померли.
Отдал Иван-царевич сестер своих замуж за царей медного, серебряного и
золотого царств, остался один. Целый год жил без сестер, и сделалось ему скучно.
Решил он идти искать сестриц, проведать их".
Далее сказка рассказывает, как повстречал Иван-царевич Елену Прекрасную, как
полюбили они друг друга, как похитил ее Кащей Бессмертный и решил сделать
женой своей. Отказалась Елена Прекрасная быть женой Кащея, и в злобе превратил
он ее в тонкую белую березку.
12
"Иван-царевич собрал воинов и поехал искать свою любимую. Долго
странствовал он, пока приехал к избушке бабы-яги. Рассказал он ей, куда и зачем
путь держит. Баба-Яга давно враждовала с Кащеем, согласилась она помочь Ивануцаревичу:
- Чтобы снять чары Кащеевы, нужно собрать у ворот его дворца царей трех
царств: медного, серебряного и золотого. Ровно в полночь должны они и ты вместе
с ними произнести волшебное слово. Тогда чары спадут и Кащей бессилен будет
что-либо сделать.
Черный ворон подслушал этот разговор бабы-яги с Иваном-царевичем и
рассказал обо всем Кащею.
Прощаясь с Иваном-царевичем, дала ему баба-яга волшебное кольцо.
- Оно приведет к Кащею. А коль нужно будет тебе, Иван-царевич, какой запор
отпереть или замкнуть накрепко, проси кольцо о том. Мигом исполнит.
Кащей Бессмертный подстерег Ивана-царевича, схватил его и бросил вместе с
воинами в глубокое одземелье.
- Не видать тебе, Ивашка, Елены Прекрасной, ак ушей своих".
Далее в сказке следует описание подземелья. В квадратной пещере было 8
погребов, расположенных вдоль стен (мы изобразили их условно на рис. 1 в виде
маленьких квадратиков).
рис.1
Погреба сообщались между собой, а все подземелье, имевшее один выход,
накрепко запиралось семью замками. Всех воинов вместе с Иваном царевичем было
24, и Кащей разместил их в 8 погребах поровну. Каждый вечер приходил он в
подземелье, издевался над Иваном-царевичем и пересчитывал своих пленников.
Считать Кащей умел только до десяти, поэтому он проверял число узников,
находящихся в трех погребах вдоль каждой стены подземелья, находил всюду 9
человек и успокаивался.
Трудности не сломили Ивана-царевича. С помощью волшебного кольца отпер он
все семь запоров и отправил трех своих воинов гонцами к царям медного,
серебряного и золотого царств. А чтобы Кащей ничего не заподозрил, Иван13
царевич рассадил оставшихся воинов по погребам иначе, сохранив вдоль каждой
стены подземелья по 9 человек.
Как всегда, вечером пришел Кащей, поворчал, что воины не сидят спокойно на
месте. Пересчитал их вдоль каждой стены и ничего не заподозрил.
Спустя некоторое время гонцы добрались до царей медного, серебряного и
золотого царств, рассказали им всю историю и вместе с ними вернулись в
подземелье Кащеева дворца.
Как раз в этот момент Кащей решил осмотреть подземелье. Иван-царевич
рассадил всех своих воинов и трех прибывших царей так, что опять в погребах
вдоль каждой стены сидело по 9 человек. И опять ему удалось обмануть Кащея.
После этого в сказке повествуется, как ровно в полночь три царя вместе с
Иваном-царевичем подошли к воротам Кащеева дворца и произнесли волшебное
слово, как спали чары с Елены Прекрасной, как удалось им всем выбраться из
Кащеева царства и, наконец, о свадьбе Ивана-царевича и Елены Прекрасной.
Сказка кончилась, но остался вопрос: как рассаживал узников Иван-царевич?
Р е ш е н и е. В первом случае в пещере остался 21 человек. Рассадить их с
соблюдением условия, чтобы вдоль каждой стены находилось 9 человек, можно
многими способами. Один из них показан на рис. 2.
рис.2
Во втором случае требуется рассадить 27 человек. Одно из возможных решений
представлено на рис. 3.
рис.3
14
4. Стихотворная страничка (задача в стихах).
Задача о пропавшей цифре.
Как то цифре скучно стало.
Из числа она сбежала.
Число четырёхзначное
Уменьшилось, заплакало.
-Я наибольшим было
Из всех моих коллег.
Теперь мне всё не мило,
Покинет нас успех.
Вернуть её старайтесь.
Ведь с ней, прошу учесть,
Хоть были все вы разные,
Делилось я на шесть.
- Вернись, мы очень просим,Сказала цифра восемь.
-Мы извелись совсем,Сказала цифра семь.
И убедить сумела
Беглянку цифра девять.
И снова счастливо число.
Все цифры снова дома. Но…
Но мы –то так и не узнали
Какая цифра убегала.
О.Панишева.
Ответ: 6.
15
5. Решение олимпиадных задач.
1). Из книги выпало несколько листов. Первая страница выпавших листов
имеет номер 213,а номер последней изображается теми же цифрами, но в ином
порядке. Сколько листов выпало из книги?
Ответ: 50 листов.
Р е ш е н и е. номер следующей страницы книги 313. Следовательно число
выпавшей части 313-213=100, выпавшая часть составляет 100:2=50(листов).
2). Между некоторыми цифрами 12345 поставь знаки действий и скобки так,
чтобы получилось 1.
Ответ: (1+23):4-5=1
3) Врач прописал Кате 3 таблетки, указав, что каждую таблетку надо
принимать через 20 минут. На какое время хватит этих таблеток?
Ответ: на 40 минут.
4) Нарисуй фигуру (рис.1) не отрывая кончик карандаша от бумаги и не
проводя один и тот же отрезок дважды.
Ответ: один из возможных ответов. Рис.2
Рис1.
Рис.2
Занятие 3.
1.Устный счёт.
Какой цифрой оканчиваются:
а) сумма 26∙27∙28∙29+51∙52∙53∙54;
б) разность 41∙43∙45∙47-37∙39∙41∙42;
16
в) произведение всех натуральных чисел от7до 81 включительно;
г) сумма всех трёхзначных чисел?
Р е ш е н и е.
а) перемножив только единицы, фиксируя, в частности, только последние цифры
произведений: 6∙7
2∙8 6∙9 4
получим, что каждое оканчивается
цифрой 4, поэтому сумма оканчивается цифрой 8;
б) произведя аналогичные действия, находим, что первое произведение
(очевидно, больше, чем второе) оканчивается цифрой 5, второе-цифрой6. Вычитая
6 из 15. Получаем 9, поэтому разность оканчивается цифрой 9.
в) нулём, так как среди множителей есть 0.
г) в сумме 100+101+102+…+997+998+999 всего 999-99=900 чисел или
450равновеликих пар (100+999)+(101+998)+…
450 оканчивается нулём, поэтому и сумма всех трёхзначных чисел (450∙1099)
тоже оканчивается нулём.
2. Задачи со спичками
Запаситесь коробкой спичек. С их помощью вы всегда можете придумать ряд
забавных и остроумных задач, развивающих сообразительность и смышленость.
Вот для примера некоторые простейшие из них.
1). Три
Положено пять спичек (рис. 1). Прибавить к ним еще пять спичек так, чтобы
получилось три.
Рис. 1
Р е ш н и е. Спички прикладываются так, как показано на рис. 2. Образуется
слово: три.
Рис. 2
17
2). Рак
Спичечный рак ползет вверх (рис. 3). Переложить три спички так, чтобы он
пополз вниз.
Рис.3
Решение. Рис. 4.
Рис. 4
3). Храм
Этот греческий храм (рис. 5) построен из одиннадцати спичек. Требуется
переложить четыре спички так, чтобы получилось пятнадцать квадратов.
Рис. 5
Решение. Рис. 6.
Рис. 6
4). Ключ
Из десяти спичек сделан ключ (рис. 7), Переложить в нем четыре спички так,
чтобы получилось три квадрата.
18
Рис. 7
Решение. Рис. 8.
Рис. 8
18. Лампа
В лампе, составленной из двенадцати спичек (рис. 9), переложить три спички
так, чтобы получилось пять равных треугольников.
Рис. 9
Решение. Рис. 10.
Рис. 10
5). Топор
19
Переложив четыре спички, превратить топор (рис. 11) в три равных
треугольника.
Рис. 11
Решение. Рис. 12.
Рис. 12
3. Биографическая миниатюра.
НЬЮТОН (Newton), Исаак
25 декабря 1642 г. (4 января 1643 г. по новому стилю) –
31 марта 1727 г.
Английский математик, физик, алхимик и историк Исаак
Ньютон родился в местечке Вулсторп в Линкольншире в
семье фермера. Отец Ньютона умер незадолго до его
рождения; мать вскоре вышла вторично замуж за священника
из соседнего городка и переехала к нему, оставив сына с
бабушкой в Вулсторпе. Душевным надломом в детстве
некоторые
исследователи
объясняют
болезненную
нелюдимость и желчность Ньютона, проявившиеся
впоследствии в отношениях с окружающими.
В 12 лет Ньютон начал учиться в Грантемской школе, в 1661 г. поступил в
колледж св. Троицы (Тринити-колледж) Кембриджского университета в качестве
субсайзера (так назывались бедные студенты, выполнявшие для заработка
обязанности слуг в колледже), где его учителем был известный математик
И.Барроу. Окончив университет, Ньютон в 1665 г. получил учёную степень
бакалавра. В 1665-1667 гг., во время эпидемии чумы, он находился в своей
родной деревне Вулсторп; эти годы были наиболее продуктивными в научном
20
творчестве Ньютона. Здесь у него сложились в основном те идеи, которые
привели его к созданию дифференциального и интегрального исчислений, к
изобретению зеркального телескопа (собственноручно изготовленного им в
1668 г.), открытию закона всемирного тяготения, здесь он провёл и опыты над
разложением света.
В 1668 г. Ньютону была присвоена степень магистра, а в 1669 г. Барроу передал
ему физико-математическую кафедру, которую Ньютон занимал до 1701 г. В
1671 г. Ньютон построил второй зеркальный телескоп – больших размеров и
лучшего качества. Демонстрация телескопа произвела сильное впечатление на
современников, и вскоре после этого, в январе 1672 г., Ньютон был избран
членом Лондонского королевского общества (в 1703 г. он стал его президентом).
В том же году он представил Обществу свои исследования по новой теории света
и цветов, вызвавшие острую полемику с Робертом Гуком (присущий Ньютону
патологический страх перед публичными дискуссиями привел к тому, что он
опубликовал подготовленную в те годы «Оптику» лишь через 30 лет, после
смерти Гука). Ньютону принадлежат обоснованные тончайшими экспериментами
представления о монохроматических световых лучах и периодичности их
свойств, лежащие в основе физической оптики.
В те же годы Ньютон разрабатывал основы математического анализа, о чем стало
широко известно из переписки европейских ученых, хотя сам Ньютон не
опубликовал тогда по этому поводу ни одной строчки: первая публикация
Ньютона об основах анализа была напечатана лишь в 1704 г., а более полное
руководство – посмертно (1736).
В 1687 г. Ньютон опубликовал свой грандиозный труд «Математические начала
натуральной философии» (кратко – «Начала»), положивший начало не только
рациональной механике, но и всему математическому естествознанию. «Начала»
содержали законы динамики, закон всемирного тяготения с эффективными
приложениями к движению небесных тел, истоки учения о движении и
сопротивлении жидкостей и газов, включая акустику.
В 1695 г. Ньютон получил должность смотрителя Монетного двора (этому,
очевидно, способствовало то, что Ньютон в 1670–1680-х годах активно
интересовался алхимией и трансмутацией металлов). Ньютону было поручено
руководство перечеканкой всей английской монеты. Ему удалось привести в
порядок расстроенное монетное дело Англии, за что он получил в 1699 г.
пожизненное высокооплачиваемое звание директора Монетного двора. В том же
году Ньютон избран иностранным членом Парижской АН. В 1705 г. за научные
труды королева Анна возвела его в рыцарское звание. В последние годы жизни
Ньютон много времени посвящал теологии и античной и библейской истории.
Похоронен Ньютон в английском национальном пантеоне – Вестминстерском
аббатстве.
21
4. Сказки и старинные истории
1). Сколько воды в бочке?
В одной сказке хозяин, нанимая работника, предложил ему следующее
испытание:
- Вот тебе бочка, наполни ее водой ровно наполовину, ни больше, ни меньше.
Но смотри, палкой, веревкой или чем-либо другим для измерения не пользуйся.
Работник справился с заданием. Как он это сделал?
Р е ш е н и е. Если вода в бочке налита ровно до половины, то, наклонив бочку
так, чтобы уровень воды пришелся как раз у края бочки, мы увидим, что высшая
точка дна находится также на уровне воды (рис. 1, а). Это случится потому, что
плоскость, проведенная через диаметрально противоположные точки верхней и
нижней окружностей бочки, делит ее на две равные части. Если вода налита
менее чем до половины, то при таком же наклонении бочки из воды должна
выступить часть дна (рис. 1, б). Наконец, если воды в бочке более половины, то
при наклонении дно окажется под водой (рис. 1, в).
2. Два пастуха
Сошлись два пастуха, Иван и Петр. Иван и говорит Петру: "Отдай-ка ты мне
одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!" А Петр ему
отвечает: "Нет! Лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!"
Сколько же было у каждого овец?
Р е ш е н и е. Задача старинная и многим известная.
Ясно, что овец больше у первого пастуха, у Ивана. Но на сколько у него
больше, чем у Петра?
Если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-либо другому, то станет ли у
обоих пастухов овец поровну? Нет, потому что поровну у них было бы только в
том случае, если бы эту овцу получил Петр. Значит, если Иван отдаст одну овцу
не Петру, а третьему лицу, то у него все-таки будет больше овец, чем у Петра, но
на сколько больше? Ясно, что на одну овцу, потому что если прибавить теперь к
22
стаду Петра одну овцу, то у обоих станет поровну. Отсюда следует, что пока
Иван не отдаст никому ни одной своей овцы, то у него в стаде на две овцы
больше, чем у Петра.
Теперь примемся за второго пастуха, за Петра. У него, как мы нашли, на две
овцы меньше, чем, у Ивана. Значит, если Петр отдаст, скажем, одну свою овцу
не Ивану, а кому-либо иному, то тогда у Ивана будет на три овцы больше, чем у
Петра. Но пусть эту овцу получит именно Иван, а не третье лицо. Ясно, что
тогда у него будет на четыре овцы больше, чем осталось у Петра.
Но задача говорит, что у Ивана, в этом случае будет ровно вдвое больше овец,
чем у Петра. Стало быть, четыре и есть именно то число овец, которое останется
у Петра, если он отдаст одну овцу Ивану, у которого получится восемь овец. А
до предполагаемой отдачи, значит, у Ивана было 7, а у Петра 5 овец.
5. Конкурс «цифры в пословицах и поговорках».
Назовите пословицы и поговорки, в которых встречаются цифры.
Вот несколько примеров:
Хвастуну цена – три копейки.
Не узнавай друга в три дня – узнавай в три года.
Два часа собирался, два часа умывался, один час утирался, сутки одевался.
Как две капли воды.
Одна голова – хорошо, а две – лучше.
От горшка два вершка.
Без четырех углов изба не рубится.
Без троицы дом не строится, без четырёх углов изба не становится.
Пятерым просторно, а двоим тесно.
Пять раз прощают, а шестой бьют.
23
Рекомендуемая литература.
1.Генкин С.А., Интенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические
кружки: Пособие для внеклассной работы. – Киров:АСА,1994.
2.Игнатьев Е.И. В царстве смекалки.-М.:Наука,1978.
3. Панишева О.В. Математика в стихах. – Волгоград: учитель 2013.
4. Перельман Я.И. 30простыхприемов устного умножения.- М.: Учпедгиз,1962.
5.Русанов В.Н. Математические олимпиады младших школьников: КН. для
учителя.- М.: Просвещение,1990.
6. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика /под ред. О.Г.Хинн.М.:АСТ-ЛТД, 1997.
24