АНАЛИЗ СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕОРДИНАРНЫМИ ПОТОКАМИ И БЛОКИРОВКАМИ Ю. И. Митрофанов, Е. С. Рогачко, Е. П. Станкевич Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, Саратов, Россия Пусть N – сеть массового обслуживания с непрерывным временем, неординарными потоками и блокировками переходов требований. Сеть содержит L систем массового обслуживания S i , i 1,, L , и H требований одного класса. Вероятности перехода требований между системами сети определяются маршрутной матрицей (ij ) , i, j 1,, L , где ij – вероятность того, что требование после обслуживания в системе S i поступает в систему S j . Система S i , i 1,, L , включает H одинаковых обслуживающих приборов. Предполагается, что длительности обслуживания требований в системе S i имеют экспоненциальное распределение с параметром i , 0 i 1 , i 1,, L (данные ограничения на значения i не влияют на общность полученных результатов); число требований, обслуживание которых завершается одновременно в этой системе, определяется биномиальным распределением с параметром i . Состояние сети N определяется вектором s ( si ) , i 1,, L , где si – число требований, находящихся в системе S i . Множество состояний сети обозначим X . Изменение состояния сети происходит вследствие переходов между системами групп требований. Если в результате переходов групп требований будет сформировано состояние сети, для которого выполняется условие s M , где M ( M i ) , i 1,, L , – заданное ограничение на число требований в системах обслуживания, то переходы групп требований блокируются. Из описания структуры и алгоритмов функционирования сети N непосредственно следует, что ее эволюция может быть описана цепью Маркова ˆ с непрерывным временем и множеством состояний X . Интенсивность перехода сети из состояния s в состояние s ' обозначим qss ' . Рассмотрим переход из состояния s в состояние s ' , обусловленный тем, что d i требований покинули систему S i , a i требований поступили в систему S i и bi требований оставались в системе S i . Таким образом, можно записать s b d и s' b a , где b (b1 ,...,bL ) – вектор оставшихся требований, а d ( d1 ,..., d L ) и a ( a1 ,...,a L ) – векторы, представляющие соответственно уходящие и поступающие требования. Все векторы d и a далее будем называть векторами перемещений. Соответствующая интенсивность перехода для этого частного перехода между состояниями s и s ' обозна1 чается qda ,b . Алгоритм перехода сети N из состояния s в состояние s ' более подробно описан в работе [1]. Обозначим через X b подмножество состояний множества X для некоторого фиксированного b и введем в рассмотрение определенную на множестве X b цепь Маркова ̂b с непрерывным временем и интенсивностями перехода qda,b , ограниченными на X . Пусть X b,m , m 1,..., hb , – неприводимые множества в X b по отношению к цепи Маркова ̂b . Назовем X b локальным множеством, а X b,m – локальным подмножеством состояний. Состояние s может быть элементом различных локальных множеств X b , это делает возможным переходы из одного локального множества состояний в другое, так как в общем случае для b b' X b X b' . Для многих классов сетей обслуживания интенсивности перехода могут быть представлены в виде произведения двух функций: qda,b ud ,b d vda,b . Здесь функция u() отображает характеристики обслуживания, то есть дисциплины и интенсивности обслуживания в системах обслуживания, а функция v() – характеристики маршрутизации, то есть маршрутные вероятности и вероятности блокировки переходов требований между системами обслуживания. Часто функция u() может быть выражена через произвольные заданные функции () , () и () в следующем виде: s d d , (1) s где функция () предполагается строго положительной на X , а функции () и () – неотрицательными. Предположим, что для любого фиксированного b , для которого ud , s Xb , Xb hb X b, m m 1 и для m {1,...,hb } следующая система уравнений имеет единственное положительное решение { yd ,b | b d X b, m } с точностью до постоянного множителя: (2) yd ,b vda,b ya ,bvad ,b , b d X b, m . a d a d Определим на множестве X цепь ̂ с непрерывным временем и интенсивностями перехода w(,) , которые удовлетворяют следующим соотношениям: 2 для любых b, m 1,...,hb и b d , b a X b, m wda,b ya ,b , wad ,b yd ,b иначе wda,b 0. Цепь ̂ строго обратима, так как yd ,b wda,b ya ,b wad ,b . Обозначим через стационарное распределение цепи ̂ , тогда для стационарной вероятности состояния сети справедливо выражение [2] s G s s , s X , (3) где G – нормализующая константа. Если функция u() имеет мультипликативную форму, в которой каждый множитель ui ,() связан с соответствующей системой массового обслуживания, то [2, 3] L L i , ( si d i ) i , d i ud , s ui ,( d i , si ) . i 1 i 1 i , si Здесь функция ui ,() отображает характеристики обслуживания в системе S i , может зависеть от числа требований, находящихся только в системе S i , и имеет вид si ui ,( d , s ) id i 1 i si d i . i i di Тогда функция обслуживания u() удовлетворяет (1), если положить b i 1 1 i , b b ! i 1 i i L s i 1 1 s , i 1 si ! i L (4) L 1 . d ! i 1 i Функция, отображающая характеристики маршрутизации, может быть представлена в виде [2] (5) vda,b da da,b , d где () – маршрутные вероятности переходов между системами групп требований, а () – функция блокировки. Рассмотрим сначала случай, когда в сети N блокировок переходов требований не производится, в этом случае da,b 1 для всех d , a и b . 3 Пусть существует положительное решение y d уравнений группового трафика (6) yd da ya ad . a d a d Тогда для всех b таких, что b d X , решением системы (2) является yd , b yd . Если существует функция () такая, что для всех b , m и всех b d , b a X b, m то () b d yd , b a ya в (3) определяется равенством (7) s s , s X . При независимой маршрутизации требований в сети N с блокировками и без блокировок переходов требований маршрутные вероятности переходов групп требований имеют вид [2] da L d ij ij , d ij D i 1 i1 ,, d iL j 1 L di d где L L D dij , i, j 1,, L : dij 0, dij 0, если ij 0, dij di , dij a j , j 1 i 1 d ij представляет число требований, осуществляющих переход из системы S i в систему S j . Здесь учитываются все возможные переходы требований между системами обслуживания в сети. Если существует положительное решение j , j 1,, L , маршрутных уравнений L j iij , i 1 то решение уравнений группового трафика (6) L yd id i , (8) i 1 и функция L b d ibi d i i 1 удовлетворяет (7). Вероятности () , входящие в соотношение (3), тогда определяются выражением L s isi , s X . i 1 4 Теперь рассмотрим случай, когда для каждой системы массового обслуживания задано максимальное число требований, которым разрешено находиться в системе, например, для системы S i должно быть si M i , 1 i L ; при этом функция vda , b имеет вид (5) с da,b 1 (b a M ) . Здесь M ( M 1 ,, M L ) , а 1 ( A) обозначает индикатор события A , т. е. 1 ( A) 1 , если событие A имеет место, и 1 ( A) 0 в противном случае. Таким образом, проверка условия возможности перехода групп требований производится для всех систем, но в случае невыполнения этого условия хотя бы для одной системы обслуживания запрещаются переходы всех групп выходящих требований, требования возвращаются в свои исходные системы и начинают обслуживаться повторно. Предположим, что групповая маршрутизация является обратимой, т. е. решение y() системы уравнений группового трафика (6) удовлетворяет равенству yd da ya ad . Тогда yd ,b yd 1 (b d M ) (9) является решением (2) и с () , удовлетворяющей (7), s в (3) определяется равенством s s , s M . (10) Теорема. Для сети N с блокировками стационарное распределение имеет вид s i 1 i s 1 ( si M i ) i 1 si ! i L s: s X &s M s i 1 i s ! , s X . i 1 i i L Доказательство. Подставляя (8) в (9), имеем L yd ,b id i 1(bi di M i ) . i 1 Учитывая, что s b d и s b a , получим yd , b ya ,b s b i 1 (bi d i M i ) i 1i i i 1 ( si M i ) i 1 i L a L s b i i i 1 ( b a M ) 1 ( s M ) i 1 i i 1 i i i i i i L si 1 ( si M i ) i 1 i L s . i i 1i 1 ( si M i ) L L d Тогда из отношения (7) следует, что L s i 1isi 1 ( si M i ) . С учетом выражений (4) и (10) равенство (3) примет вид 5 s i 1 i s G 1( si M i ) , s X , i 1 si ! i L где 1 s L 1 i G i . s: s X i 1 si ! i &sM СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Митрофанов Ю. И., Рогачко Е. С., Станкевич Е. П. Анализ неоднородных сетей массового обслуживания с групповыми переходами требований // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 3. С. 41–46. 2. Boucherie R. J., Dijk N. M. Product forms for queueing networks with statedependent multiple job transitions // Advances in Applied Probability. 1991. V. 23, № 1. P. 152–187. 3. Henderson W., Taylor P. G. Product form in networks of queues with batch arrivals and batch services // Queueing Systems. 1990. V. 6. P. 71–88. 6