mitrophanov-yi_rogachko-es_stankevich-ep

АНАЛИЗ СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
С НЕОРДИНАРНЫМИ ПОТОКАМИ И БЛОКИРОВКАМИ
Ю. И. Митрофанов, Е. С. Рогачко, Е. П. Станкевич
Саратовский государственный университет
имени Н.Г. Чернышевского, Саратов, Россия
Пусть N – сеть массового обслуживания с непрерывным временем,
неординарными потоками и блокировками переходов требований. Сеть содержит L систем массового обслуживания S i , i  1,, L , и H требований
одного класса. Вероятности перехода требований между системами сети
определяются маршрутной матрицей   (ij ) , i, j  1,, L , где ij – вероятность того, что требование после обслуживания в системе S i поступает в
систему S j . Система S i , i  1,, L , включает H одинаковых обслуживающих приборов. Предполагается, что длительности обслуживания требований в системе S i имеют экспоненциальное распределение с параметром
i , 0  i  1 , i  1,, L (данные ограничения на значения i не влияют на
общность полученных результатов); число требований, обслуживание которых завершается одновременно в этой системе, определяется биномиальным распределением с параметром  i . Состояние сети N определяется
вектором s  ( si ) , i  1,, L , где si – число требований, находящихся в системе S i . Множество состояний сети обозначим X . Изменение состояния
сети происходит вследствие переходов между системами групп требований. Если в результате переходов групп требований будет сформировано
состояние сети, для которого выполняется условие s  M , где M  ( M i ) ,
i  1,, L , – заданное ограничение на число требований в системах обслуживания, то переходы групп требований блокируются.
Из описания структуры и алгоритмов функционирования сети N
непосредственно следует, что ее эволюция может быть описана цепью
Маркова ˆ с непрерывным временем и множеством состояний X . Интенсивность перехода сети из состояния s в состояние s ' обозначим qss ' . Рассмотрим переход из состояния s в состояние s ' , обусловленный тем, что
d i требований покинули систему S i , a i требований поступили в систему
S i и bi требований оставались в системе S i . Таким образом, можно записать s  b  d и s'  b  a , где b  (b1 ,...,bL ) – вектор оставшихся требований, а d  ( d1 ,..., d L ) и a  ( a1 ,...,a L ) – векторы, представляющие соответственно уходящие и поступающие требования. Все векторы d и a далее
будем называть векторами перемещений. Соответствующая интенсивность
перехода для этого частного перехода между состояниями s и s ' обозна1
чается qda ,b . Алгоритм перехода сети N из состояния s в состояние s ' более подробно описан в работе [1].
Обозначим через X b подмножество состояний множества X для некоторого фиксированного b и введем в рассмотрение определенную на
множестве X b цепь Маркова ̂b с непрерывным временем и интенсивностями перехода qda,b , ограниченными на X . Пусть X b,m , m  1,..., hb , – неприводимые множества в X b по отношению к цепи Маркова ̂b . Назовем
X b локальным множеством, а X b,m – локальным подмножеством состояний. Состояние s может быть элементом различных локальных множеств
X b , это делает возможным переходы из одного локального множества состояний в другое, так как в общем случае для b  b' X b  X b'   .
Для многих классов сетей обслуживания интенсивности перехода
могут быть представлены в виде произведения двух функций:
qda,b  ud ,b  d vda,b .
Здесь функция u() отображает характеристики обслуживания, то есть дисциплины и интенсивности обслуживания в системах обслуживания, а
функция v() – характеристики маршрутизации, то есть маршрутные вероятности и вероятности блокировки переходов требований между системами обслуживания. Часто функция u() может быть выражена через произвольные заданные функции () ,  () и  () в следующем виде:
s  d  d
,
(1)
s
где функция  () предполагается строго положительной на X , а функции
() и  () – неотрицательными.
Предположим, что для любого фиксированного b , для которого
ud , s 
Xb  , Xb 
hb
 X b, m
m 1
и для m {1,...,hb } следующая система уравнений
имеет единственное положительное решение { yd ,b | b  d  X b, m } с точностью до постоянного множителя:
(2)
yd ,b  vda,b   ya ,bvad ,b , b  d  X b, m .
a d
a d
Определим на множестве X цепь ̂ с непрерывным временем и интенсивностями перехода w(,) , которые удовлетворяют следующим соотношениям:
2
 для любых b, m  1,...,hb и b  d , b  a  X b, m

wda,b ya ,b


,

wad ,b yd ,b

 иначе

wda,b  0.

Цепь ̂ строго обратима, так как
yd ,b wda,b  ya ,b wad ,b .
Обозначим через  стационарное распределение цепи ̂ , тогда для
стационарной вероятности состояния сети справедливо выражение [2]
 s  G s s , s  X ,
(3)
где G – нормализующая константа.
Если функция u() имеет мультипликативную форму, в которой каждый множитель ui ,() связан с соответствующей системой массового обслуживания, то [2, 3]
L
L 
i , ( si  d i )  i , d i
ud , s   ui ,( d i , si )  
.

i 1
i 1
i , si
Здесь функция ui ,() отображает характеристики обслуживания в системе
S i , может зависеть от числа требований, находящихся только в системе S i ,
и имеет вид
 si 
ui ,( d , s )    id i 1  i si  d i .
i i
 di 
Тогда функция обслуживания u() удовлетворяет (1), если положить
b
i
1  1  i 
 ,
b   
b
!

i 1 i 
i 
L
s
i
1 1
 s     ,
i 1 si !  i 
L
(4)
L
1
.
d
!
i 1 i
Функция, отображающая характеристики маршрутизации, может
быть представлена в виде [2]
(5)
vda,b  da da,b ,
d  
где  () – маршрутные вероятности переходов между системами групп требований, а  () – функция блокировки.
Рассмотрим сначала случай, когда в сети N блокировок переходов
требований не производится, в этом случае  da,b  1 для всех d , a и b .
3
Пусть существует положительное решение y d уравнений группового трафика
(6)
yd  da   ya ad .
a d
a d
Тогда для всех b таких, что b  d  X , решением системы (2) является
yd , b  yd .
Если существует функция () такая, что для всех b , m и всех
b  d , b  a  X b, m
то  ()
b  d yd
,

b  a ya
в (3) определяется равенством
(7)
 s  s , s  X .
При независимой маршрутизации требований в сети N с блокировками и без блокировок переходов требований маршрутные вероятности
переходов групп требований имеют вид [2]
 da 
 L d ij
 ij ,
d ij D i 1  i1 ,, d iL  j 1
L

di
   d
где
L
L


D  dij , i, j  1,, L : dij  0, dij  0, если ij  0,  dij  di ,  dij  a j  ,
j 1
i 1


d ij представляет число требований, осуществляющих переход из системы
S i в систему S j . Здесь учитываются все возможные переходы требований
между системами обслуживания в сети.
Если существует положительное решение  j , j  1,, L , маршрутных уравнений
L
 j   iij ,
i 1
то решение уравнений группового трафика (6)
L
yd   id i ,
(8)
i 1
и функция
L
b  d   ibi  d i
i 1
удовлетворяет (7). Вероятности  () , входящие в соотношение (3), тогда
определяются выражением
L
 s   isi , s  X .
i 1
4
Теперь рассмотрим случай, когда для каждой системы массового обслуживания задано максимальное число требований, которым разрешено
находиться в системе, например, для системы S i должно быть si  M i ,
1  i  L ; при этом функция vda , b имеет вид (5) с
 da,b  1 (b  a  M ) .
Здесь M  ( M 1 ,, M L ) , а 1 ( A) обозначает индикатор события A , т. е.
1 ( A)  1 , если событие A имеет место, и 1 ( A)  0 в противном случае. Таким образом, проверка условия возможности перехода групп требований
производится для всех систем, но в случае невыполнения этого условия
хотя бы для одной системы обслуживания запрещаются переходы всех
групп выходящих требований, требования возвращаются в свои исходные
системы и начинают обслуживаться повторно.
Предположим, что групповая маршрутизация является обратимой,
т. е. решение y() системы уравнений группового трафика (6) удовлетворяет равенству
yd da  ya ad .
Тогда
yd ,b  yd 1 (b  d  M )
(9)
является решением (2) и с () , удовлетворяющей (7),  s в (3) определяется
равенством
 s  s , s  M .
(10)
Теорема. Для сети N с блокировками стационарное распределение
имеет вид
s
i
1  i 
 s     1 ( si  M i )
i 1 si ! i 
L

s: s X
&s M
s
i
1  i 
 s !   , s  X .
i 1 i  i 
L
Доказательство. Подставляя (8) в (9), имеем
L
yd ,b   id i 1(bi  di  M i ) .
i 1
Учитывая, что s  b  d и s  b  a , получим
yd , b
ya ,b
s b
 i 1 (bi  d i  M i )  i 1i i i 1 ( si  M i )

i 1 i
 L a
 L s b

i
i
i


1
(
b

a

M
)

1
(
s

M
)
i 1 i
i 1 i
i
i
i
i
i
L
 si 1 ( si  M i )

i 1 i
 L s
.
i

i 1i 1 ( si  M i )
L
L
d
Тогда из отношения (7) следует, что
L
s   i 1isi 1 ( si  M i ) .
С учетом выражений (4) и (10) равенство (3) примет вид
5
s
i
1  i 
 s  G    1( si  M i ) , s  X ,
i 1 si ! i 
L
где
1

s 
L 1   i 

G      i   .
 s: s X i 1 si ! i  
 &sM

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Митрофанов Ю. И., Рогачко Е. С., Станкевич Е. П. Анализ неоднородных сетей массового обслуживания с групповыми переходами требований // Изв. Сарат. ун-та.
Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 3. С. 41–46.
2. Boucherie R. J., Dijk N. M. Product forms for queueing networks with statedependent multiple job transitions // Advances in Applied Probability. 1991. V. 23, № 1.
P. 152–187.
3. Henderson W., Taylor P. G. Product form in networks of queues with batch arrivals
and batch services // Queueing Systems. 1990. V. 6. P. 71–88.
6