ВОПРОСЫ для подготовки к экзамену по математике за II семестр

ВОПРОСЫ
для подготовки к экзамену по математике
за II семестр
1. Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей.
2. Пределы числовых последовательностей. Теорема о единственности предела. Теорема о
переходе к пределу в неравенстве. Теорема о двух милиционерах. Ограниченность
сходящейся последовательности.
3. Бесконечно
малые
последовательности.
Арифметические
действия
над
последовательностями. Теоремы о пределах суммы, произведения и отношения
сходящихся последовательностей.
4. Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми.
5. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число e.
6. Принцип компактности. Признак сходимости Больцано-Коши для последовательностей.
7. Предельная точка. Два определения предела функции в точке, теорема об их
эквивалентности. Признак сходимости Больцано-Коши.
8. Замечательные пределы.
9. Односторонние пределы. Теорема об эквивалентности существования предела функции и
существования односторонних ее пределов.
10. Ограниченные функции. Достаточные условия ограниченности функций в окрестности
точки.
11. Бесконечно малые функции и их свойства. Теорема о связи предела функции с пределом
бесконечно малой.
12. Теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного функций. Теорема о двух
милиционерах.
13. Сравнение бесконечно малых. Основные эквивалентности. Теорема об эквивалентных
бесконечно малых.
14. Непрерывность функции в точке и на множестве. Классификация точек разрыва.
15. Теорема о сумме, разности, произведении и частном непрерывных функций. Теорема о
непрерывности сложной функции.
16. Теорема об обращении непрерывной функции в нуль. Теорема о промежуточных
значениях непрерывной функции.
17. Теорема об ограниченности непрерывной функции. Теорема о наименьшем и наибольшем
значениях непрерывной функции.
18. Монотонные функции. Обратные функции. Теорема о существовании и непрерывности
обратной функции.
19. Определение производной. Физический и геометрический смысл производной.
Касательная к графику функции: определение и уравнение.
20. Формула для приращения функции. Непрерывность функции, имеющей производную.
21. Производные основных элементарных функций.
22. Теорема о производной обратной функции.
23. Алгебраические правила вычисления производных. Производная сложной функции.
24. Дифференциал функции. Связь между дифференцируемостью и существованием
производной. Формулы и правила дифференцирования. Приближенные вычисления с
помощью дифференциалов.
25. Понятие экстремума. Теорема Ферма о производной в точке экстремума. Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа.
26. Теорема Коши. Правило Лопиталя-Бернулли. Раскрытие неопределенностей с помощью
правила Лопиталя-Бернулли.
27. Достаточные условия монотонности функции на интервале. Необходимые и достаточные
условия экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции.
28. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Асимптоты. Исследование функций
и построение графиков.
29. Производные высших порядков. Формула Тейлора для многочленов. Формула Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано. Применения формулы Тейлора.