Построение ортогонального разложения хаотического процесса

ISBN 978-5-7262-1375-0. НЕЙРОИНФОРМАТИКА – 2011. Часть 1
А.С. ШЕЛУДЬКО, В.И. ШИРЯЕВ
Южно-Уральский государственный университет, Челябинск
[email protected]
ПОСТРОЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ХАОТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
Решается задача прогнозирования хаотических временных рядов. Для
построения модели в условиях малого числа доступных наблюдений
предлагается использовать разложение по системе ортогональных процессов, заданных хаотическими отображениями на единичном интервале.
Представлены результаты прогнозирования временного ряда продаж топлива, приведено сравнение с авторегрессионными моделями скользящего
среднего.
Ключевые слова: хаотический процесс, прогнозирование, короткий временной ряд, разделение сигналов, ортогональное разложение
Введение
Задача построения моделей хаотических процессов имеет множество
приложений в технических, информационных и экономических системах:
восстановление модели внешних возмущений на управляемый объект [1],
определение структуры приемного устройства для информации, передаваемой с помощью хаотических колебаний [2], уточнение краткосрочных
прогнозов временных рядов [3]. В настоящее время много работ в моделировании хаотических процессов посвящено реконструкции динамических систем по экспериментальным данным с помощью универсальных
моделей, а также с помощью нейронных сетей [4]. Однако в некоторых
прикладных задачах их использование затруднено и требует уточнения
модели и применения специально адаптированных численных методов.
В реальных ситуациях возникают трудности, связанные с тем, что модель процесса приходится строить по единственной реализации малой
длины. В этом случае вероятностный подход оказывается ненадежным
[5]. В такой постановке задача имеет место не только при моделировании
непосредственно коротких временных рядов. Часто процессы сложной
природы не удается описать одной глобальной моделью на длинном временном интервале. В этом случае модель необходимо строить или уточнять локально на коротких участках. В условиях коротких выборок возУДК 004.032.26(06) Нейронные сети
44
ISBN 978-5-7262-1375-0. НЕЙРОИНФОРМАТИКА – 2011. Часть 1
можно использование методов декомпозиции сигнала на составляющие
[6], но эффективность их применения для решения задачи прогнозирования зависит от того, насколько адекватно построены модели для отдельных компонентов разложения.
Работа продолжает выполненные ранее исследования авторов [7, 8].
Постановка задачи и предположения
Определим класс временных процессов yk , k  1, 2,..., N , для которых
решается задача моделирования:
1. Процесс является одномерным.
2. Процесс является хаотическим, при этом показатель Херста H  0, 5
и индекс фрактальности   0,5 [9].
3. Доступно малое число наблюдений N  50 .
Для построения модели временного процесса, удовлетворяющего перечисленным условиям, предлагается использовать разложение
m
yk  a0   ai xik  k , k  1, 2,..., N ,
(1)
i 1
по системе процессов, заданных хаотическими отображениями,
xik 1  fi  xik , i  , k  0,1,..., N  1 , i  1, 2,..., m ,
(2)
i

1,
2,...,
m
где функции f i ,
определены на единичном интервале, то есть
fi : 0,1  0,1 .
Таким образом, возникает задача распознавания вида функций f i ,
i  1, 2,..., m и разделения хаотических сигналов на фоне аддитивной помехи  k [2, 10]. При этом желательно, чтобы процессы xik , i  1, 2,..., m на
имеющемся участке измерений были ортогональными.
В том случае, если за процессом yk действительно стоит детерминированный сигнал, образованный линейной комбинацией хаотических
процессов, можно надеяться на то, что построенная модель позволит получить более точный прогноз будущих значений yk 1 , yk 2 ,... , чем при использовании линейных стохастических моделей. При этом, получив при
некотором числе слагаемых m аппроксимацию yˆ k исходного ряда yk ,
необходимо всегда контролировать остаток
ek  yk  yˆ k , k  1, 2,..., N
(3)
на наличие в нем других детерминированных составляющих, либо соглаУДК 004.032.26(06) Нейронные сети
45
ISBN 978-5-7262-1375-0. НЕЙРОИНФОРМАТИКА – 2011. Часть 1
шаться на то, что больше построенную модель нельзя уточнить и считать
ek случайной помехой. Стоит заметить, что при очень малом числе N
любой из этих выводов будет необоснованным.
Алгоритм построения разложения
Предлагаемый алгоритм основан на последовательном введении в разложение новых слагаемых.
1. Фиксируется число слагаемых m .
2. Параметры 1 и x10 отображения f1 определяются из решения оптимизационной задачи [11]
max c  yk , x1k  ,
(4)
1 , x10
где c ,  – корреляция между временными процессами. Для нахождения
коэффициента разложения a1 применяется корреляционный метод, основанный на предположении о том, что система процессов (2) является ортогональной:
N
aˆ1 
  x1k  x1  yk  y 
k 1
N
  x1k  x1 
,
(5)
2
k 1
где y , x1 – средние значения процессов.
3. Пусть уже найдено i  1 составляющих разложения. Тогда для нового компонента параметры  i и xi 0 отображения f i определяются из решения оптимизационной задачи
max c  ek , xik  ,
(6)
i , xi 0
УДК 004.032.26(06) Нейронные сети
46
ISBN 978-5-7262-1375-0. НЕЙРОИНФОРМАТИКА – 2011. Часть 1
где остаток
i 1
ek  yk   aˆ j x jk , k  1, 2,..., N .
j 1
(7)
Оценка соответствующего коэффициента разложения находится по
формуле:
N
aˆi 
  xik  xi  ek  e 
k 1
N
  xik  xi 
,
(8)
2
k 1
где e , xi – средние значения.
4. Когда получены все m составляющих разложения, находится оценка свободного коэффициента:
m
aˆ0  y   aˆi xi .
(9)
i 1
5. Малая длина рядов N может привести к тому, что при численной
реализации процессы xik , i  1, 2,..., m могут незначительно коррелировать между собой, и оценки, найденные по формулам (5), (8) и (9) будут
смещенными. Для того чтобы уточнить их, проводится дополнительное
оценивание коэффициентов с помощью фильтра Калмана. Для этого рассмотрим вектор коэффициентов разложения a   a0 a1 ... am  как вектор состояния αk в модели процесса и измерений, возникающей из уравнения (1)
k  k 1 , yk  Gk k  k , k  1, 2,..., N ,
(10)
где Gk  1 x1k
... xmk  – матрица измерений, элементы которой уже
найдены. Применив процедуру фильтрации Калмана для линейной системы (10) и получив оценки вектора состояния ˆ k , k  1, 2,..., N , за новые
оценки коэффициентов разложения можно принять aˆi  ˆ iN , i  0,1,..., m .
В работе [8] проведено сравнение корреляционного метода, фильтра Калмана и гарантированного оценивания для нахождения коэффициентов
разложения в условиях малого числа доступных наблюдений.
Для решения задач (4) и (6) наряду с методами глобальной оптимизации [12] возможно использование нейронных сетей [7].
УДК 004.032.26(06) Нейронные сети
47
ISBN 978-5-7262-1375-0. НЕЙРОИНФОРМАТИКА – 2011. Часть 1
Прогнозирование продаж топлива
Рассмотрим приложение описанного подхода на примере временного
ряда продаж топлива. В целях краткосрочного прогнозирования решается
задача построения модели хаотической компоненты ряда, для которой
индекса фрактальности   0,72 . Для разложения (1) будем использовать
процессы, заданные логистическими отображениями
xik 1  i xik 1  xik  , k  0,1,..., N  1 , i  1, 2,..., m ,
(11)
хаотические решения которых возникают при 0  xi 0  1 ,   i  4 , где
  3,57. В работе [13] для непрерывно дифференцируемых функций
доказана возможность разложения с использованием логистических уравнений.
Для построения модели использовалось 20 точек. В результате получено разложение на m  2 слагаемых:
yk  351  998x1k  380 x2k .
(12)
Параметры и начальные условия логистических отображений (11):
1  3,900 , x10  0, 29 ,  2  3,902 , x20  0, 27 . С помощью модели (12)
построен прогноз на 5 шагов (рис. 1). Относительная ошибка аппроксимации составила  А  10,5% , ошибка прогнозирования  П  20, 0% . В качестве еще одной меры близости реального процесса и модельного можно
использовать автокорреляционную функцию (АКФ), ошибка аппроксимации которой в данном случае составила  АКФ  6,0% (рис. 2).
Рис. 1. Прогноз, полученный с помощью нелинейной модели
УДК 004.032.26(06) Нейронные сети
48
ISBN 978-5-7262-1375-0. НЕЙРОИНФОРМАТИКА – 2011. Часть 1
Рис. 2. Аппроксимация АКФ
Стандартным инструментом прогнозирования подобных временных
рядов являются эконометрические модели [14]. В классе авторегрессионных моделей скользящего среднего (АРСС) для данного ряда наиболее
близким к оптимальному оказался процесс АРСС с параметрами (2,1):
yk  0, 21yk 1  0, 25 yk 2  k  0,92k 1
(13)
При этом  А  14, 4% ,  П  39, 6% (рис. 3),  АКФ  5, 2% (рис. 4).
Таким образом, для данного временного ряда нелинейная модель (12)
дает ошибку прогнозирования в 2 раза меньше, чем при использовании
модели АРСС (13), несмотря на то, что ошибка аппроксимации АКФ во
втором случае оказалась меньше.
Рис. 3. Прогноз, полученный с помощью модели АРСС(2,1)
УДК 004.032.26(06) Нейронные сети
49
ISBN 978-5-7262-1375-0. НЕЙРОИНФОРМАТИКА – 2011. Часть 1
Рис. 4. Аппроксимация АКФ
Заключение
Рассмотрен подход к построению модели хаотического процесса по
малому числу наблюдений. Представлен алгоритм нахождения разложения по системе ортогональных процессов, заданных хаотическими отображениями. Предложенный метод позволил получить более точный прогноз временного ряда продаж топлива, чем использование модели АРСС.
Список литературы
Калюжный Д.А., Нечаев Ю.И., Петров О.Н. Анализ и прогноз ситуации при выборе условий безопасной посадки летательных аппаратов корабельного базирования // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2008. № 8. C. 65–72.
Тратас Ю.Г. Применение методов статистической теории связи к задачам приема хаотических колебаний // Успехи современной радиоэлектроники. 1998. № 11. С. 57–80.
Ширяев В.И. Финансовые рынки. Нейронные сети, хаос и нелинейная
динамика. М.: Либроком, 2009. 232 с.
Яковлев В.Л., Яковлева Г.Л. Лисицкий Л.А. Модели детерминированного хаоса в задаче прогнозирования тенденций финансовых рынков и их
нейросетевая реализация // Информационные технологии. 2000. № 2.
С.46–52.
УДК 004.032.26(06) Нейронные сети
50
ISBN 978-5-7262-1375-0. НЕЙРОИНФОРМАТИКА – 2011. Часть 1
Фурсов В.А. Согласованная идентификация управляемого объекта по
малому числу наблюдений // Мехатроника, автоматизация, управления.
2010. № 3. С. 2–8.
Medio A. Chaotic dynamics. Theory and applications to economics. Cambridge, 1993. 344 p.
Кожихова Н.А., Ширяев В.И. Нейронные сети и задачи прогнозирования хаотических временных рядов // Нейроинформатика-2010. М: МИФИ,
2010. Т. 2. С. 122–130.
Sheludko A.S., Shiryaev V.I. Using chaotic maps as a basis for time series
decomposition // Труды международной конференции MMSED-2010. М.:
Ленанд, 2010. С. 288–291.
Дубовиков М.М., Крянев А.В., Старченко Н.В. Размерность минимального покрытия и локальный анализ фрактальных временных рядов //
Вестник РУДН. 2004. Т. 3, № 1. С. 81–95.
Андреев Ю.В., Дмитриев А.С., Ефремова Е.В. Разделение хаотических
сигналов при наличии шума // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46, №
12. С. 1460–1470.
Kennedy M.P., Rovatti R., Setti G. Chaotic electronics in telecommunications. Boca Raton: CRC Press, 2000. 464 p.
Елсаков С.М., Ширяев В.И. О многоэкстремальности в задачах оценивания систем детерминированного хаоса // Вестник ЮУрГУ. Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. 2009. № 3. С. 37–41.
Тюкин И.Ю., Терехов В.А. Адаптация в нелинейных динамических
системах. М.: ЛКИ. 2008. 384 с.
Чураков Е.П. Прогнозирование эконометрических временных рядов.
М.: Финансы и статистика. 2008. 208 с.
УДК 004.032.26(06) Нейронные сети
51