РАЗДЕЛ 3 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ ТЕМА 3.2. Магнитные цепи и их расчет Магнитная цепь

РАЗДЕЛ 3 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
ТЕМА 3.2. Магнитные цепи и их расчет
Магнитная цепь
Часть электротехнического устройства, отдельные участки которого выполнены из
ферромагнитных материалов, по которым замыкается магнитный поток, называется магнитной
цепью. Примером простой магнитной цепи может служить сердечник кольцевой катушки (см. рис.
3.3, а). Магнитные цепи трансформаторов, электрических машин и других аппаратов и приборов
имеют более сложную форму.
Магнитная цепь, которая выполнена из
одного материала и по всей длине имеет
одинаковое сечение, называется однородной
(см.рис. 3.3, а).
Неоднородная магнитная цепь состоит из
нескольких
однородных
участков,
отличающихся
длиной,
сечением
и
материалом. Наиболее часто встречаются
магнитные
цепи,
в
которых
кроме
ферромагнитных
участков
имеются
воздушные зазоры. Неоднородная цепь, изображенная на рис. 3.9, а имеет 3 участка, одним из
которых является воздушный
зазор.
Магнитные
цепи,
как
и
электрические,
бывают
неразветвленными (рис. 3.9, а) и
разветвленными (рис 3.9, б).
Характерной
особенностью
неразветвленной
магнитной
цепи
является неизменный
магнитный поток Ф во всех
участках цепи (рис. 3.9, а).
Для разветвленной цепи характерно то, что алгебраическая сумма магнитных потоков в точке
разветвления равна нулю, т. е. Ф  0 — первый закон Кирхгофа для магнитной цепи. Для
разветвленной цепи (рис. 3.9, б) можно записать Ф-Ф1- Ф2=0 или Ф=Ф1+Ф2
Разветвленные магнитные цепи бывают симметричными и несимметричными. На рис. 3.9, б
изображена симметричная цепь, так как левая и правая ее части имеют одинаковые размеры и
выполнены из одного материала.
Магнитный поток в сердечнике кольцевой катушки (рис. 3.3, а) определяется выражением:
IW
Ф  BS  0  r HS  0  r
S или иначе:
l
IW
Ф
(3.19)
l
0  r S
где IW- намагничивающая сила или магнитное напряжение Um; l и S - параметры сердечника; =RM
l
 Rm — магнитное сопротивление сердечника. Тогда
0  r S
U
Ф  m (3.20)
Rm
Выражение (3.20) — математическая запись закона Ома для магнитной цепи.
Для неоднородной, неразветвленной магнитной цепи, изображенной на рис. 3.9, а магнитный
поток, созданный в магнитной цепи двумя обмотками по закону Ома, определяется:
I1W1  I 2W2
(3.21)
l1
l2
l3


0  r S1 0  r S 2 0  r S3
где IW — намагничивающая сила (ампер-витки) или магнитное напряжение Um.
Между ампер-витками обеих обмоток стоит знак «+» (3.21), если обмотки включены согласно, т. е.
создают магнитные потоки в сердечнике одного направления, или знак «-», если они включены
встречно, т. е. создают магнитные потоки в сердечнике, направленные в противоположные
стороны. Знаменатель выражения (3.21) представляет собой сумму магнитных сопротивлений
однородных участков магнитной цепи (рис. 3.9, а). Очевидно, самым большим будет
сопротивление воздушного зазора, так как магнитная проницаемость его r во много раз меньше
магнитной проницаемости ферромагнитных участков, которые обычно выполняются из магнитномягких материалов. Закон Ома для расчета магнитных цепей, практически не используется, так
как магнитная цепь нелинейна, т. е. магнитное сопротивление ферромагнитных участков цепи
зависит от намагничивающей силы.
Закон Ома решает качественную задачу расчета магнитной цепи, т. е. задачу зависимости одних
величин от других.
Расчет магнитных цепей
Для расчета магнитных цепей можно воспользоваться законом полного тока. При этом решается
одна из двух задач.
1. Прямая задача, в которой по заданному магнитному потоку Ф в магнитной цепи
определяют намагничивающую силу IW.
2. Обратная задача, в которой по заданной намагничивающей силе IW определяют
магнитный поток Ф.
Ф
Для однородной магнитной цепи прямая задача решается в следующей последовательности:
а)
по заданному магнитному потоку и габаритам цепи определяют магнитную
Ф
индукцию B  ;
S
б)
по кривой намагничивания материала сердечника определяют напряженность Н по
вычисленной индукции В;
в)
по
закону
полного
тока
определяют
намагничивающую
силу
IW=Hl,
где S — сечение магнитопровода; l — длина средней линии магнитопровода.
Обратная задача для однородной цепи решается в обратной последовательности, т. е.:
IW
а)
по закону полного тока определяют напряженность поля магнитной цепи H 
;
l
б)
по кривой намагничивания материала сердечника определяют магнитную индукцию В по
вычисленному значению напряженности Н;
в)
определяют магнитный поток цепи Ф = BS.
Для неоднородной неразветвленной магнитной цепи (см. рис. 3.9, а) прямая задача решается в
следующей последовательности:
а)
по заданному магнитному потоку Ф, который для всех участков неразветвленной цепи
имеет одинаковое значение, определяют магнитную индукцию В каждого однородного
участка
Ф
Ф
Ф
B1  ; B2 
; B3 
S1
S2
S3
где S — площадь сечения участка. Для прямоугольного сечения (рис. 3.9, a) S=aв; для
d 2
круглого сечения (рис. 3.3, а) S 
4
Если задана магнитная индукция какого-либо участка Byч, то находят магнитный поток
этого участка Фуч=BучSуч, который для всех участков неразветвленной цепи имеет
одинаковое значение. Затем определяют магнитную индукцию остальных участков, как
показано выше;
б)
по кривым намагничивания материалов (Приложения 5, 6) определяют напряженности
ферромагнитных участков H1 и Н2. Напряженность в воздушном зазоре вычисляют по
B
выражению H 3  3 ;
0
в)
определив длину средней линии каждого участка, по закону полного тока (второй закон
Кирхгофа для магнитной цепи), вычисляют намагничивающую силу рассчитываемой
магнитной цепи IW  H1l1  H 2l2  H 3l3 , или ток I, или витки W.
Пример 3.1
Определить число витков обмотки, расположенной на сердечнике из электротехнической
листовой стали, размеры которого указаны на рис. 3.10 в см, если по обмотке проходит ток I= 5 А,
который создает в магнитной цепи магнитный поток Ф=43,2-10-4 Вб.
Решение.
Магнитная цепь состоит из трех однородных участков сечением:
S1  6 102  6 102  36 104 м2 (6см  6 102 м)
S2  8 102  6 102  42 104 м2 (8см  8 102 м)
S3  S1  36 104 м 2 (воздушный зазаор)
1.
По заданному магнитному потоку определяется магнитная
индукция в каждом однородном участке:
Ф 43,2 104
B1 

 1,2Тл
S1
36 104
B2 
Ф 43,2 104

 0,9Тл
S2
48 104
Ф 43,2 104

 1,2Тл
S3
36 104
3. По кривой намагничивания для листовой электротехнической стали
(Приложение 6) определяем напряженности первого H1=1000 А/м и второго
Н2=500
А/м
участков.
B3
1,2

 1 106 А / м
Напряженность в воздушном зазоре H 3 
7
0 4 10
4. Составляем уравнение по закону полного тока для магнитной
цепи IW  H1l1  H 2l2  H 3l3 , из которого определяем искомое число витков
обмотки
H1l1  H 2l2  H 3l3 1000  0,545  500  0,17  106  0,5 102
W

 1126витков
I
5
где длина средней линии каждого участка:
l1  20  3  9  3  19,5  54,5см  0,545м
l2  4  9  4  17см  0,17 м
l3  0,5см  0,5 10 2 м
Обратная задача расчета неоднородной неразветвленной магнитной цепи —
определение магнитного потока по заданной намагничивающей силе, может
быть решена методом последовательных приближений. Для этого задаются
несколькими значениями магнитного потока и для каждого из них решают
прямую задачу расчета магнитной цепи. По результатам расчетов намагничивающих сил для разных магнитных потоков строят кривую зависимости
Ф  f (IW ) по которой и определяют искомый магнитный поток Фиск по
заданной намагничивающей силе (ампер-виткам) IWзад (рис. 3.11).
B3 
Пример 3.2
Расчет симметричной разветвленной магнитной цепи (прямая задача) рассмотрим на примере 3.2.
Пример 3.2. На среднем стержне Ш-образного симметричного сердечника, выполненного из
электротехнической стали Э-21 (1311), расположена обмотка с числом витков W=515 (рис. 3.12).
Якорь А этой разветвленной магнитной цепи выполнен из стали Э-42 (1512). Между якорем А и
сердечником находится воздушный зазор l3 = 0,2 мм. Размеры магнитной цепи на рис. 3.12 даны в
миллиметрах.
Определить величину тока в обмотке, расположенной на среднем стержне, при котором в якоре А
создается магнитная индукция ВА=1,2 Тл.
Решение. Разделим магнитную цепь по оси
симметрии (ОО`) на две равные части. Каждая
часть
рассчитывается
отдельно,
как
неразветвленная неоднородная магнитная цепь.
Магнитный поток Ф в каждой части
определяется по заданной магнитной индукции в
якоре
Ф  ВА S А  1,2  56 104  6,7 104 Вб , где
S А  7 102  8 102  56 104 м2 .
В каждой части (половине) вычисленный
магнитный поток замыкается через якорь, Шобразный участок магнитопровода и два
воздушных зазора.
1. По вычисленному потоку Ф определяем магнитную индукцию в однородных участках:
Ф 67,2 104
на участке l1  В1 

 1,4Тл
S1
48 104
где S1  6 102  8 102  48 104 м 2 ;
на участке l2  В2 
Ф 67,2 104

 1,2Тл
S2
56 104
где S2  7 102  8 102  56 104 м2 ;
в зазоре бокового стержня В32  В2  1,2Тл
в зазоре среднего стержня В31  В1  1,4Тл
в якоре ВА  1,2Тл
2. Напряженность магнитного поля для ферромагнитных участков (Приложение 5):
НА=540А/м, Н1=1580А/м, H2=840А/м
Напряженность в воздушных зазорах:
В
1,4
H 31  31 
 1,1 106 А / м
0 4 107
В
1,2
H 32  32 
 0,95 106 А / м
7
0 4 10
3. Величину тока определяем из уравнения, составленного по закону плотного тока:
H l  H1l1  H 2l2  ( H 31  H 32 )l3
I AA

W
540 18,5 102  1580 17,5 102  840  29 102  (1,1  0,95) 106  2 104

 2А ,
515
где длина средней линии каждого участка: l A  35  115  35  185 мм  18,5 102 м ,
l3  0,2 мм  0,2 104 м , l1  280  70  35  175 мм  17,5 102 м (длинной зазора пренебрегаем),
l2  175  115  290 мм  29 102 м (длинной зазора пренебрегаем).
Таким образом, индукцию ВА=1,2 Тл в якоре разветвленной магнитной цепи (рис. 3.12) создает
ток I=2 А.