НИУ ВШЭ Магистратура, 1 курс 2012

НИУ ВШЭ
Магистратура, 1 курс 2012-2013 уч. год
Инструментальные методы микроэкономического анализа
Занятие 3.
Темы: N-мерное пространство: элементы топологии n-мерного вещественного
пространства, геометрия множеств n-мерного вещественного пространства;
Сведение оптимизационной задачи в пространстве R2 при наличии условия к задаче
безусловной оптимизации относительно одной переменной.
Задание 1.
(а) Верно ли, что любое множество неизбежно имеет внутренние точки? Если да, то
докажите, если нет, то приведите контрпример.
(б) Рассмотрите следующие множества:
1) S  x  S : 0  x1  1, x2  0,
~
~
2) S  x  S : 0  x  1 .


Верно ли, что любая точка каждого множества является внутренней?
Задание 2.
(а) Верно ли, что любое множество неизбежно имеет граничные точки?
(б) Верно ли, что все граничные точки множества должны принадлежать множеству?
(в) Рассмотрите следующее множество: S  x  S : x  1/ n, n  N, где N - множество
натуральных чисел. Есть ли у данного множества граничные точки? Если да, то
определите, принадлежат ли они множеству.
Задание 3.
(а) Верно ли, что любое множество, которое не является открытым, является замкнутым?
(б) Верно ли, что любое множество, которое не является замкнутым, является открытым?
(в) Рассмотрите множество S  B0,1  x  x1 , x2  : x  1, x1  0. Является ли данное
множество открытым? Является ли данное множество замкнутым?
Задание 4.
Для каждого из приведенных ниже множеств определите, являются ли они открытыми,
замкнутыми, ни открытыми, ни замкнутыми, ограниченными, выпуклыми.
1) S  x, y  : 1  x  1, y  0;
4) S  x, y  : x  0 или y  0;
2) S  x, y  : 1  x  1, y  0;
5) S  x, y  : x  y  1
3) S  x, y  : x  y  1 ;
Задание 5.
Рассмотрите следующие последовательности:
НИУ ВШЭ
Магистратура, 1 курс 2012-2013 уч. год
Инструментальные методы микроэкономического анализа
1)
xk   k ; k,
2)
xk   cos k ; sin k  ,

2
  1k 1 
3) x k   
; k ,
 2 2 
2
4)
xk    1k  1 ;  1k  1  ,

k
k
где k  N . Для каждой из последовательностей определите, имеет ли она предел при
k   , ограниченной, не ограниченной.
Задание 6.
Сводя оптимизационную задачу к задаче безусловной оптимизации, найдите максимум
функции f x  при условии p1 x1  p2 x2  m , где p1 , p2  0, m  0 , если
1) f x   x11 x2 2 ,
2) f x  2 x1  x2 .
Проиллюстрируйте решение графически.