Метрика и норма

Линейные пространства.
Понятие линейного пространства относится к числу самых основных в математике. Оно
будет играть важную роль.
Определение линейного пространства
Непустое множество L элементов х,у,z,... называется линейным пространством если
оно удовлетворяет следующим условиям.
1. Для любых двух элементов х,у из L однозначно определен третий элемент z
из L, называемый их суммой и обозначаемый х+у , причем
 х+у = у+х,
 х+(у+z) = (х+у)+z,
 в L существует такой элемент 0, что х+0 = х для всех х из L
(существование нуля),
 для каждого х из L существует такой элемент –х, что х+(-х) = 0
(существование противоположного элемента).
2. Для любого числа ά и любого элемента х из L определен элемент άх из L
(произведение элемента х на число ά), причем
 Ά(β)х = (άβ)х,
 1х = х,
 (ά+β) = άх+βх,
 ά(х+у) = άх+άу.
Некоторые примеры линейных пространств.
1.
Прямая линия R1,т.е. совокупность действительных чисел, с обычными
арифметическими операциями сложения и умножения.
2. Совокупность всевозможных систем n действительных чисел х = (х1,х2,…, хn),
где сложение и умножение на число определяются формулами (х1,х2,…, хn) + (у1,у2,…,уn)
=(х1+ у1,х2+ у2,…, хn+ уn), ά (х1,х2,…, хn)= (ά х1, ά х2,…, ά хn), оно называется действительным
n-мерным пространством.
Линейный функционал.
Числовую функцию f, определенную на некотором линейном пространстве L, называют
линейным функционалом. Функционал f называют аддитивным, если f(х+у) = f(х)+f(у)
для всех х из L; он называется однородным, если f(ά х) = ά f(х) (ά -произвольное число).
Функционал f, определенный в комплексном линейном пространстве, называется
сопряжено-однородным, если f(ά х) = βf(х), где β-число, комплексно сопряженное ά.
Аддитивный однородный функционал называется линейным функционалом. Аддитивный
сопряжено-однородный функционал называется сопряжено-линейным, а иногда
полулинейным.
Определение и примеры нормированных пространств.
Пусть L – линейное пространство. Однородно-выпуклый функционал p, определенный на
L, называется нормой, если он удовлетворяет следующим дополнительным условиям:
p(х)=0, только при х=0, p(άх)=| ά | p(х) для всех ά. Таким образом мы можем сказать, что
нормой в L называется функционал, удовлетворяющий следующим трем условиям:



p(х) ≥ 0, причем p(х)=0 только при х=0,
p(х+у) ≥ p(х)+p(у), х,у из L,
p(άх) = | ά | p(х), каково бы ни было число ά.
Линейное пространство L, в котором задана некоторая норма, называется
нормированным пространством. Норма элемента х из L обозначается ||х||.
Всякое нормированное пространство становится метрическим пространством, если ввести
в нем расстояние p(х,у) = ||х - у||.
Справедливость аксиом метрического пространства тотчас же вытекают из свойств
нормы. Полное нормированное пространство называется банаховым или, короче, Впространством.
Примеры нормированных пространств.
1. Прямая линия R1 становится нормированным пространством, если для всякого числа х
из R1 положить ||х||= |х|.
2. Если в действительном n-мерном пространстве Rn с элементами х = (х1,х2,…, хn)
положить ||х|| =
 xk2 , то все аксиомы нормы будут выполнены. Формула p(х,у) = ||х-у|| =
( хk  yk ) 2 определяет в Rn метрику.
Метрика и норма
Если бы мы ограничивались точками на прямой, плоскости или в трехмерном
пpостpанстве, то интуитивно все было бы понятно. Однако теперь точками мы называем
элементы векторных пpостpанств. Что же вкладывается в понятие расстояния между
ними? Поскольку плоскость -- это частный случай векторного пpостpанства, то и под
расстоянием между точками векторного пpостpанства мы будем понимать нечто
аналогичное расстоянию между точками на плоскости. Во-первых, расстояние есть
неотрицательное число. Во-вторых, оно зависит от взаимного расположения точек и не
зависит от их положения относительно нуля. В-третьих, неважно, как мы измеряем
расстояние: от первой точки ко второй или наоборот. В-четвертых, если точки совпадают,
то расстояние между ними равно нулю. И, наконец, если мы рассматриваем расстояния
между тремя точками, то любое из них не превышает суммы двух других (длина стороны
треугольника не превышает суммы длин двух других сторон). Вот такими же свойствами
мы наделим и расстояние между точками любого векторного пpостpанства или даже
просто произвольного множества (ведь на плоскости расстояние между двумя точками
имеет смысл и тогда, когда мы рассматриваем лишь какую-то ее часть, а не всю целиком).
Формально все, что было сказано, запишется так. Пусть
. Поставим каждой паре
такое, что для любых
и
1.
, если
2.
,
3.
из
и
-- произвольное множество и
в соответствие неотрицательное число
,
справедливо
,
,
4.
.
Очевидно, что
есть функция (отображение), определенная на любой паpе векторов
из со значениями в числах (в
). Определенная так функция называется метрикой на
, а само , снабженное метрикой (или, как говорят, пара
), -- метрическим
пространством. Чтобы некоторое множество стало метрическим пространством на нем
необходимо ввести метрику и только. При этом оно, естественно, не становится
векторным пpостpанством, ибо на нем еще не определены сложение элементов и
умножение их на число. В том случае, когда мы работаем с векторным пpостpанством ,
можно воспользоваться тем, что у нас уже есть одна выделенная точка , и ввести более
сильное понятие нормы вектора, что есть, по сути, расстояние от элемента до .
Поскольку здесь предполагается наличие некоторого правила, ставящего в соответствие
каждой точке из вещественное число, которое мы называем расстоянием до точки ,
мы имеем функцию (отображение), отображающую в
. Для обозначения нормы
используется специальный значок
. Норма вектора обозначается
. Запишем
определение нормы формально для более общего комплексного случая. Пусть -векторное пpостpанство и
. Нормой вектора
числовая функция
, определенная на
выполняются условия:
называется неотрицательная
, такая, что для любых
1.
2.
3.
4.
,
(неравенство треугольника).
и
Заменой элемента на
и последующим переобозначением легко получить и
другие варианты неравенства треугольника. Все их можно записать в виде следующих
неравенств:
Линейное пpостpанство, снабженное нормой ( или паpа
), называется
ноpмиpованным векторным пpостpанством. Если для каждой точки известно ее
расстояние до нуля (норма), то легко условиться и о том, как измерять расстояния между
точками из
, т.е. получить метрику. Для этого расстоянием между двумя точками
и
можно считать норму их разности
Данное выше определение нормы не задает нам ее единственным образом. Часто для
одного и того же векторного пpостpанства можно ввести несколько норм. Получающиеся
при этом ноpмиpованные пpостpанства считаются разными.
1. Линейное пpостpанство
становится ноpмиpованным, если нормой
считать его модуль
корректно.
элемента
. Очевидно, что такое определение нормы в
2. В пpостpанстве
норму вектора
можно ввести многими
способами. Наиболее часто используются следующие нормы:
1. октаэдpическая норма, или норма
:
2. сферическая (евклидова) норма, или норма
3. нормы
случаи норм
, где -- натуральное число (нормы
:
,
-- частные
):
4. кубическая норма, или норма
:
3. Наглядное представление об этих нормах дает множество элементов
, для
которых
, или так называемая единичная сфера. В плоском случае, т.е. для
, единичная сфера для разных норм показана на рис.
Рисунок: Вид единичной сферы на
4.
для разных норм.
Наиболее важными являются векторные пpостpанства, элементы которых есть
функции (т.е. функции будут в этом случае точками или векторами данного
пpостpанства). Рассмотрим множество
определенных на отрезке
функции
и
. Пусть
, считая, что для всех
вещественных функций,
и
. Определим новые
Иначе говоря, значение суммы функций в точке
равно сумме значений функций-
слагаемых в той же точке. Аналогично для
. Аксиомы векторного
пpостpанства, очевидно, выполняются. Как правило, столь общие линейные
пpостpанства функций не pассматpивают, а изучают подмножества , которые в
свою очередь также образуют линейные пpостpанства, напpимеp, пpостpанство
непpеpывных функций, определенных на
, или пpостpанство
функций, обладающих ограниченными непpеpывными производными.
Функциональные линейные пpостpанства, как правило, бесконечномеpны. Эти
пpостpанства также можно сделать ноpмиpованным, если построить для них
соответствующую норму. Так,
pавномеpной нормой
часто снабжается так называемой
Очевидно, что это бесконечномерный аналог нормы
норма -- норма
:
. Другая возможная
Существуют и иные варианты норм. Равномерной норме можно дать наглядную
интеpпpетацию. Пусть
и
-- множество функций, таких, что
. Тогда все
из
, для всех
должны ``укладываться'' в полосу
относительно оси абсцисс.
Рисунок: Колебания функций
; а функции
, для которых
, должны происходить в полосе
, расстояние которых от функции не превышает
), изменяются только в полосе
Если
-- множество функций
не превышает
, т.е.
(т.е.
.
, для которых расстояние от заданной функции
, то все изменения
должны быть
заключены в полосе шириной
, охватывающей функцию . Для нормы
не так, поскольку ограничиваться будет лишь интеграл, а значения функции в
отдельных точках могут этому ограничению не удовлетворять. Ограничение
, таким образом, более сильное, нежели
второе, но не наоборот.
, и из первого следует
И в двумерном и трехмерном случаях мы можем использовать векторное произведение
для вычисления дистанции от точки P до прямой L, заданной точками P1 и P2.
Двумерный случай сводится к трехмерному подстановкой z=0.
это
Основное наблюдение, которое мы должны сделать - это заметить факт, что величина
векторного произведения двух 3-мерных векторов равна площади параллелограма,
построенного на них.
Однако эта площадь также равна произведению основания на высоту параллелограмма, а
длина высоты - искомая дистанция d(P,L). Пусть vL=P0P1=(P1-P0) и w=P0P=(P-P0) как
показано на рисунке:
Тогда |vLЧ w| = Area( parallelogram(vL,w) ) = |vL| d(P,L) что дает простую формулу:
где uL = vL / |vL|
единичный вектор направления L. Если мы хотим вычислить расстояние от большого
числа точек точек до фиксированной прямой, то наиболее рациональным будет
предварительно вычислить uL.
Для 2D случая при P=(x,y,0), векторное произведение будет:
и формула для расстояния:
Мы не ставили знак абсолютной величины при числителе, так как часто полезно такое
расстояние, со знаком, показывающим расположение точки по отношению к прямой. Если
же взять модуль этого выражения, то получим расстояние в обычном смысле слова.
Прямая, заданная уравнением.
В двумерном пространстве часто встречаются ситуации, когда прямую L задана
уравнением f(x,y) = ax+by+c = 0. Для любой точки P=(x,y) расстояние d(P,L) может быть
получено прямо из уравнения.
Я дам просто формулу, доказательство ее можно найти в любом учебнике
(ax+by+c)
d(P,L) = ------------------------КОРЕНЬ( a2+b2 )
Если же мы предварительно нормализуем уравнение: разделим его коэффициенты на
КОРЕНЬ( a2+b2 ), тогда знаменатель будет равен 1, и получится очень эффективная
формула
требующая всего 2 операции произведения и 2 сложения для каждой точки. Если же
требуется просто сравнить расстояния, то нормализация не нужна, так как знаменатель
будет одинаковый для рассматриваемых точек.
Параметризованная прямая
Для вычисления расстояния d(P,L) (в любом n-мерном пространстве) от произвольной
точки P до прямой L, заданной параметрическим уравнением, положим P(b) - основание
перпендикуляра, опущенного из P на L. Пусть параметрическое уравнение прямойs:
P(t)=P0 + t (P1-P0). Тогда вектор P0P(b) является проекцией вектора P0P на отрезок P0P1,
как показано на рисунке:
Применив vL=(P1-P0) и w=(P-P0), мы получаем
таким образом:
где uL - единичный вектор направления L.
Такой путь вычисления имеет то преимущество, что он работает в n-мерном пространстве
и, кроме того, дает нам основание перпендикуляра P(b). В трехмерном пространстве он
также эффективен, как и векторное произведение. Но в двумерном, где P(b) не нужна,
особенно при большом количестве точек и одной линии, более удобен предыдущий
способ, использующий другое уравнение прямой.
В пространстве непрерывных функций на
(действительном или
комплексном) норму можно ввести, например, следующими способами:
,
.
Отметим теперь следующий важный факт. В любом линейном нормированном
пространстве можно ввести метрику следующим образом:
При этом выполнение первой аксиомы метрического пространства следует из
первой аксиомы нормированного пространства. Выполнение второй аксиомы
также очевидно:
.
Наконец, выполнение третьей аксиомы метрического пространства следует из
неравенства Минковского:
Итак, любое линейное нормированное пространство можно сделать
метрическим пространством указанным выше естественным способом (так,
указанные нами нормы в пространстве непрерывных функций порождают
соответственно равномерную и среднеквадратичную метрику, т.е. порождают
пространства
и
соответственно). Обратное утверждение, вообще
говоря, неверно: не в любом метрическом пространстве можно ввести норму,
поскольку понятие нормы вводится лишь в линейном пространстве, а
метрическое пространство может не быть наделено линейной структурой.
Однако, если метрическое пространство наделено линейной структурой
(является линейным пространством), то его всегда можно сделать
нормированным, введя норму
Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать исключительно линейные
нормированные пространства, причем всюду (в случае необходимости) будем
подразумевать, что пространство снабжено естественной (индуцированной)
метрикой
.
Пусть теперь
- некоторая последовательность элементов линейного
нормированного пространства L, а - некоторый фиксированный элемент L.
Для каждого номера n найдем
последовательность
Определение. Элемент
. Тем самым получим числовую
.
линейного нормированного пространства L называется
пределом последовательности элементов
(или
, если
).
Обозначение:
(если необходимо, то указывают, по какой норме
рассматривается предел).
Если последовательность
имеет предел, то она называется сходящейся
(по норме данного пространства), в противном случае - расходящейся.
Пример. Рассмотрим последовательность функций
. Функция
в пространстве
является ее пределом, т.к.
при
Однако в пространстве
эта же самая последовательность расходится.
Действительно, допустим, что
в равномерной метрике. Тогда
При каждом фиксированном
,
очевидно,
,
и, следовательно,
, т.е.
Но
.
Итак,
. Однако такая функция
непрерывной на
не является
, т.е. вообще не принадлежит рассматриваемому
пространству. Таким образом, в
имеет.
данная последовательность предела не
.
Как видим, одна и та же последовательность может иметь предел в одной
метрике и не иметь в другой.
Если последовательность имеет предел, то этот предел единственен. В самом
деле, пусть
и
. Тогда
.
При
правая часть стремится к нулю, следовательно, левая часть также
стремится к нулю. Но
- константа, поэтому
=0, а значит,
.
Определение предела последовательности элементов нормированного
пространства основано на понятии предела числовой последовательности.
Используя определение предела числовой последовательности, "расшифруем"
более подробно понятие предела в нормированном пространстве.
Элемент
линейного нормированного пространства L является пределом
последовательности элементов
, если для любого (сколь угодно малого)
найдется номер N, такой, что для всех номеров n, больших N, выполнено
неравенство
. Или, в символьной записи,
Рассмотрим теперь понятие фундаментальной последовательности, тесно
связанные с понятием предела.
Определение. Последовательность элементов
пространства называется фундаментальной, если
линейного нормированного
Очевидно, что любая сходящаяся последовательность фундаментальна: если
, то
тогда
номеров
.
для всех
что и доказывает фундаментальность последовательности
Из курса анализа известен критерий Коши: числовая последовательность
сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна. Иными словами,
пространство R устроено так, что в нем не только из сходимости следует
фундаментальность, но и наоборот. Однако не любое линейное нормированное
пространство устроено таким образом: например, в пространстве рациональных
чисел Q (с обычными линейными операциями и нормой
)
фундаментальная последовательность может расходиться (такая ситуация имеет
место, если пределом последовательности рациональных чисел является число
иррациональное).
Определение. Линейное нормированное пространство называется полным, если
в нем любая фундаментальная последовательность сходится.
Полное линейное нормированное пространство называют также банаховым
пространством (по имени выдающегося польско-украинского математика
Стефана Банаха (1892-1945)).
Пространства R и C - банаховы, а пространство Q - нет.
Рассмотренное выше пространство
- банахово. В самом деле, пусть
- фундаментальная последовательность в
Тогда (
.
Тогда для любого
фиксированного
, причем номер N не зависит от x. По
критерию Коши равномерной сходимости это означает равномерную
сходимость последовательности
.
Переходя в неравенстве
к пределу при
, получим:
, откуда следует, что
, что означает сходимость
последовательности
к
по норме
. Таким образом, пространство
- полное, а значит - банахово.
Любопытно, что пространство
полным не является. В качестве примера
рассмотрим в
последовательность
.
Предположим, что некоторая непрерывная функция f(x) является пределом этой
последовательности в метрике
.
Очевидно,
,а
следовательно, если
метрике
сходится к f(x) в метрике
, то сходится и в
. Однако, на отрезке [0, 1] рассматриваемая последовательность
совпадает с рассмотренной выше последовательностью
пределом в
и имеет своим
функцию, тождественно равную нулю. Аналогично, f(x)
является пределом
в
, а поскольку
на [1, 2], то и предел
этой последовательности в
тождественно равен 1. В силу единственности
предела, получаем, что
на [0, 1] и
на [1, 2] и при этом f(x)
непрерывна на [0, 2]. Очевидно, таких функций не существует. Следовательно,
последовательность
в
расходится. Вместе с тем
при n, m > N. Выбирая для произвольного фиксированного
убеждаемся в фундаментальности данной последовательности в
номер
,
.
Построенный пример легко обобщается с отрезка [0, 2] на произвольный
отрезок [a, b]. Итак, пространство
неполно.