УДК 537.84 О ПЕРЕХОДЕ К СТОКСОВОМУ ТЕЧЕНИЮ В

УДК 537.84
О ПЕРЕХОДЕ К СТОКСОВОМУ ТЕЧЕНИЮ В КАНАЛАХ
В.В. Серебряков
Представлены результаты расчётов трёхмерного МГД-течения в неоднородном
магнитном поле при конечных значениях параметра МГД-взаимодействия. Определена область
перехода от инерционного к стоксовому режиму течения.
трёхмерное МГД-течение, инерционный режим, электроизоляционные стенки, неоднородное
магнитное поле
ВВЕДЕНИЕ
Движение электропроводной жидкости в магнитном поле описывается
системой магнитогидродинамических (МГД) уравнений, содержащих уравнение
Максвелла для электромагнитного поля, закон Ома и уравнение Навье-Стокса,
которое можно записать в виде:
 
  

(1)
N 1 (V)V  ( p / N )  Ha 2  2V  j  ( Be  Rm Bi ) .
Уравнение (1) содержит три безразмерных параметра: N  B02 L / V0 параметр МГД-взаимодействия, Ha   /  B0 L - число Гартмана и Rm   0V0 L магнитное число Рейнольдса, определяемых по характерным значениям скорости
( V 0 ), магнитного поля ( B0 ) и геометрического размера ( L ). Параметр N
показывает отношение электромагнитных и инерционных сил, число Ha отношение электромагнитных и вязкостных, Rm характеризует влияние
индуцированного магнитного поля.
Если индуцированным магнитным полем можно пренебречь ( Rm  1 ), то
течение происходит под воздействием внешнего поля (безындукционный режим).
В сильных магнитных полях значение параметра МГД-взаимодействия N может
быть достаточно большим, чтобы пренебречь членом в левой части уравнения (1),
что существенно упрощает (линеаризует) задачу. Полученное при таком
допущении уравнение (1) описывает стоксов (безынерционный) режим течения.
Переход к безынерционному режиму течения должен зависеть от
конкретных условий, при которых происходит МГД-течение, в связи с чем
существенно его рассмотрение именно для данного случая. Этот вопрос возникает
ввиду возможного применения жидкометаллических сред в системах теплосъема
термоядерной энергетической установки. Одной из основных проблем,
возникающих при использовании таких сред, является их прокачивание в сильных
магнитных полях, характерных для термоядерного реактора с магнитным
удержанием плазмы. Конкретная оценка гидравлических потерь в проточном
тракте и их минимизация возможны только при правильной идентификации
режима течения.
На рис. 1 показаны граничные значения параметра МГД-взаимодействия
N(Ha), разделяющие стоксов (линейный) и нелинейный режимы течения,
полученные экспериментально [1 - 5] для различных типов течений, а также
области характерных значений чисел N и Ha для проектов жидкометаллических
бланкетов термоядерных реакторов с магнитным удержанием плазмы [6 - 8]. Как
видно из рис. 1, МГД-течения в этих установках, особенно в гибридном опытном
термоядерном реакторе (ОТР), должны быть инерционными, и экстраполяция
результатов, полученных в результате решения линеаризованного уравнения (1), в
область значений N и Ha, характерных для бланкетных режимов течений, должна
производиться с большой осторожностью.
Рис.1. Величина критического значения параметра МГД-взаимодействия,
полученного в различных экспериментах и области типичных значений
и в различных проектах жидкометаллических бланкетов
В
данной
работе
проведено
исследование
нелинейных
магнитогидродинамических течений в каналах при воздействии сильных
магнитных полей и их перехода в безынерционный (стоксов) режим.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО
ТЕЧЕНИЯ
Рассмотрено
течение
электропроводной
жидкости
в
канале
прямоугольного сечения при воздействии неоднородного магнитного поля,
изменяющегося вдоль течения.
Внешнее магнитное поле представлялось линейно возрастающей функцией
x  x0 ,
1,

(2)
B( x)  Bz ( x)  1  ( x  x0 ) /( x1  x0 ), x0  x  x1 ,
2,
x  x1 .

В таком случае можно учесть трехмерные эффекты в рамках модели
усреднения по высоте канала [9 - 10].
Задача формулировалась в виде системы уравнений (3)-(6) для
переменных: завихренность (ω), функция тока (ψ), функция электрического тока
(χ):
1     w 
1   2  2 
 dc  dB
 2  2   c 

 
, (3)


2 
N  y x x y  Ha  x
x dx y dx
y 
 2  2

  ,
x 2 y 2
(4)
 2   2   dB


0,
(5)
y dx
x 2 y 2
B( x)
c  c( x) 
.
(6)
Ha  
Выражение (6) для коэффициента трения на стенке, перпендикулярной
«рабочей» составляющей магнитного поля, содержит число Гартмана Ha и
параметр λ=h/a, определяющий геометрию канала (h и a соответственно высота
и ширина канала).
Решение системы уравнений (3)-(6) производилось в области,
определённой границами 0  x  x2 , 0  y  0,5 ; значение x 2 варьировалось в
зависимости от режима течения для обеспечения на выходе практически
развитого течения. На нижней границе задавались условия симметрии:

(7)
 y 0   y 0 
 0,
y y 0
на твёрдой боковой стенке
 y 0,5  0,5 ,
(8)
для функции электрического тока для электроизоляционной стенки
 y 0,5  0 .
( 9)
На выходной границе использовались «мягкие» граничные условия,
полученные аппроксимацией выражений:





0.
(10)
x x2
x x2 x x2
РЕЗУЛЬТАТЫ
Поставленная задача была решена численно. Расчеты производились при
значениях числа Ha=100; 500; 1000; 2000; N варьировалось от единицы до 107.
Полагалось λ=0,1 и dB/dx =1 в области неоднородности магнитного поля.
Ясно, что предлагаемые для определения границы применимости
безынерционного приближения соотношения типа N  Ha  (где α изменяется в
довольно широких пределах) [11] оставляют значительную неопределенность в
идентификации областей существования различных режимов течения и мало что
дают с практической точки зрения.
С другой стороны, результаты расчетов показывают, что эта
неопределенность отражает и сущность реального процесса, так как сама
переходная область от одного типа течения к другому значительно растянута по
диапазону изменения характеризующих течение параметров. Особенно плавно
осуществляется этот переход по локальным характеристикам течения (рис. 2, 3).
Рис. 2. Линии тока жидкости ψ=const при Ha=2000
Рис. 3. Величина прогиба профиля скорости течения жидкости на оси канала
При малых N, в отличие от стоксова режима, нет симметрии течения
относительно сечения, проходящего через середину области неоднородности
магнитного поля. Максимальный прогиб в профиле скорости с уменьшением N
смещается вниз по течению. Граница смены режимов течения по его локальным
характеристикам резко не идентифицирована.
Более определенно можно разделить области инерционного и
безынерционного режимов течения по интегральным характеристикам, например
по общему перепаду давления. Очевидно, что при стоксовом (линейном) режиме
течения должна исчезнуть зависимость перепада давления от параметра МГДвзаимодействия. Рис. 4 иллюстрирует этот эффект. В рассмотренном диапазоне
значений числа Ha граница смены режимов течения расположена при значениях
числа Рейнольдса порядка 103.
Рис. 4. Зависимость безразмерного перепада давления от N: 1-Ha=500;
2-Ha=1000; 3-Ha=2000. Пунктиром показана область перехода из инерционного
в безынерционный режим
В качестве первого приближения можно принять, что при Ha=102-103
граничные N и Ha связаны зависимостью N~Ha2 с коэффициентом
пропорциональности Re 1  10 3 .
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Глухих В.А., Тананаев А.В., Кириллов И.Р. Магнитная гидродинамика в
ядерной энергетике.-М., 1987.-264с.
2. Гринберг Г.К., Каудзе М.Л., Лиелаусис О.А. Исследование местных
МГД-сопротивлений на натриевом контуре со сверхпроводящим магнитом
//Магнитная гидродинамика.-1985.-№1.-С. 121-126.
3. Аитов Т.Н., Тананаев А.В., Чудов А.В., Шматенко В.А. Гидравлика
жидкометаллического бланкета термоядерного реактора-токамака //Тезисы
докладов 4-й Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных
реакторов. -М.,1986.-С.341-342.
4. Аитов Т.Н., Калютик А.И., Тананаев А.В., Чудов А.В., Шматенко В.А.
К проблеме Стокса в магнитной гидродинамике //XII Рижское совещание по
магнитной гидродинамике.-Рига,1987.-Т.1-С.159-162.
5. Боченинский В.П., Тананаев А.В., Яковлев В.В. Экспериментальное
исследование течения электропроводной жидкости в изогнутых каналах круглого
сечения в сильном магнитном поле // Магнитная гидродинамика.- 1977.- №4.С.61-65.
6. Smith D.L. Overview of the blanket comparison and selection study/ D.L.
Smith D.L. // Fusion technology (USA).-№8. -1985.-P.10-44.
7. Baker C.C Tokamak Power System Studies-FY 1985/Argone National
Laboratory Report, ANL/FPP-85-2.-1985.
8. Муравьев Е.В., Орлов В.В., Хрипунов В.И. Жидкометаллическое
охлаждение гибридного реактора-токамака //Вопросы атомной науки и техники.
Сер. Термоядерный синтез. - Вып.4.-1985.-С.24-28.
9. Лаврентьев И.В. МГД-процессы при конечных магнитных числах
Рейнольдса: дисс…докт. физ.-мат. наук: 01.02.05-Механика жидкостей газа и
плазмы /Ленинградский политехнический институт; И.В. Лаврентьев.-Л., 1984.247с.
10. Серебряков В.В. Cтоксово течение в прямоугольном канале с
изоляционными стенками в неоднородном магнитном поле //Известия КГТУ.2007.-№12.-С.166-174.
11. Walker J. S. Laminar Duct Flows in Strong Magnetic Fields /J.S. Walker
//Single- and Multi- Phase Flows in an Electromagnetic Fields: Energy, Metallurgical
and Solar Applications/New-York, 1985.- P.496-515.
ON TRANSITION TO STOKES FLOW IN CHANNELS
V.V. Serebryakov
The mathematical model and the results of calculations of three-dimensional MHD-flow in nonuniform magnetic field with finite values of MHD interaction parameter are presented. It is shown the
transition to the Stokes flow in channel.
three-dimensional MHD-flow, inertial regime, non-conducting walls, non-uniform magnetic field