09-02-01_Lineinoe_neravenstvo_s_odnim_neizvestnym

Тема 2. Линейные неравенства
В этой теме Вы научитесь решать линейные неравенства с двумя неизвестными и
вычислять точки максимума и минимума линейной функции на выпуклом
многоугольнике. В качестве практического применения будет рассмотрена одна типовая
задача из экономики.
09-02-01. Линейное неравенство с одним неизвестным
Теория
1.1. Линейные неравенства с одним неизвестным рассматривались в седьмом классе.
Каждое линейное неравенство имеет один из следующих видов:
ax  b  0 ;
ax  b  0 ;
ax  b  0 ;
ax  b  0 
где x — неизвестная, a и b –фиксированные числа.
Напомним, что число x0 называется решением неравенства ax  b  0 , если верно
неравенство ax0  b  0 . Аналогично определяется решение линейного неравенства
любого другого вида.
Два неравенства называются равносильными, если они имеют одно и то же множество
решений.
Решить неравенство — это значит найти множество всех его решений.
Напомним на примерах, как решать линейные неравенства.
Пример 1. Решим неравенство 5x  3  0 .
Прибавим к обеим частям неравенства выражение 5x и получим равносильное
неравенство:
5x  3  5x  5x
Приведем подобные в левой части и получим равносильное неравенство 3  5x
Разделим обе части неравенства на положительное число 5 и получим равносильное
3
неравенство  x
5
Переставим местами левую и правую части неравенства, изменив при этом и знак
3
неравенства. Получим равносильное неравенство x  
5
Удовлетворяющие этому неравенству значения x на числовой прямой заполняют
бесконечный промежуток, который обозначают  53   .
Ответ:  53   .
Возможна и другая форма ответа: x  35 
Пример 2. Решим неравенство 6x  7  4x  2 .
Выполним преобразования: 6x  7  4x  4x  4x  2 ;
9
2 x  7  2 2 x  7  7  2  7 2 x  9 x   
2
9
Ответ:   2  .
Пример 3. Решим неравенство 2x  5  0 .
Выполним преобразования: 2x  5  5  5 ; (2 x)    12  ; x   52 .
Ответ:   52  .
Пример 4. Решим неравенство x  2  x  3 .
Неравенство равносильно неравенству x  x  3  2 или 0  x  1 . Это неравенство
становится верным при подстановке вместо x любого значения. Поэтому ответом
является множество всех действительных чисел.
Ответ: R .
1.2.* Разберем решение неравенства с параметром.
Пример 5. При каждом значении a решить неравенство (a  2) x  2a  1 .
Решение. Рассмотрим три возможных случая, связанных со знаками коэффициента
при x .
Первый случай. Пусть a  2  0 , то есть a  2 . Тогда при делении обеих частей
неравенства (a  2) x  2a  1 на (a  1) знак неравенства не изменяется, а поэтому данное
неравенство равносильно неравенству x  2aa21 . Следовательно, в этом случае ответом
является промежуток   2aa21  .
Второй случай. Пусть a  2  0 , то есть a  2 . Тогда при делении обеих частей
неравенства (a  2) x  2a  1 на ( a  2) знак неравенства изменяется на противоположный,
а поэтому данное неравенство равносильно неравенству x  2aa21 . Следовательно, в этом
случае ответом является промежуток
 2aa21  .
Третий случай. Пусть a  2  0 , то есть a  2 . Подставляя значение a  2 , получим,
что данное неравенство имеет вид 0  x  5 . Полученное неравенство решений не имеет, а
поэтому в этом случае ответом является пустое множество  .
Окончательный ответ в этом примере можно записать следующим образом.
Ответ:   2aa21  при a  2 ; при a  2 решений нет;  2aa21   при a  2 .
1.3.** Разберем решение следующей задачи с параметром.
Пример 6. Найти, при каких значениях параметра a множество решений неравенства
(a  1) x  3a  2 содержит отрезок [1;2].
Решение. Рассмотрим три возможных случая, связанных со знаками коэффициента
при x .
Первый случай. Пусть a 1  0 , то есть a  1 . Тогда x  3aa12 , а поэтому множество
решений неравенства можно записать в виде   3aa12  . Этот бесконечный промежуток
содержит отрезок [1;2] при условии 3aa12  2 . Так как в рассматриваемом случае a 1  0 ,
то последнее неравенство равносильно неравенству 3a  2  2a  2 или a  0 . Выбирая из
a  0 значения a  1 , получаем a  1 . Следовательно, все числа a  1 нужно выписать в
ответ.
Второй случай. Пусть a 1  0 , то есть a  1 . Тогда x  3aa12 , а поэтому множество
решений неравенства можно записать в виде
 3aa12   .
Этот бесконечный промежуток
содержит отрезок [1;2] при условии 3aa12  1 . Так как в рассматриваемом случае a 1  0 ,
то последнее неравенство равносильно неравенству 3a  2  a 1 , 2a  1, a  12 . Выбирая
из a  12 значения a  1 , получаем 12  a  1 . Следовательно, все числа 12  a  1 нужно
выписать в ответ.
Третий случай. Пусть a  1 . Тогда неравенство имеет вид 0  x  1 , и его решениями
являются все действительные числа. Поэтому a  1 нужно выписать в ответ.
Окончательным ответом в этом примере является объединение множеств (1) ,  12 1 ,
{1}, найденных в каждом из трех случаев.
Ответ:  12   .
1.4. Вспомним, что решения линейного неравенства можно представить
геометрически. Разберем это на примере.
Неравенство 32 x  2  0 .
Рассмотрим функцию y  32 x  2 . Ее графиком служит прямая, пересекающая ось Oy
в точке (02) , а ось Ox - – в точке
 43  0
(рисунок 2).
Функция y  32 x  2 принимает неотрицательные значения справа от точки
4
3
и
поэтому решения неравенства x  2  0 составляют множество    .
1.5. Чтобы решить систему линейных неравенств с одним неизвестным, надо решить
каждое неравенство системы в отдельности, а затем взять пересечения полученных
множеств решений.
Пример 7. Множеством решений неравенства 7 x  2  0 является промежуток  72   ,
3
2
4
3
так как данное неравенство равносильно неравенству x  72 .
Множеством решений неравенства 5x  1  3 является промежуток   52  , так как это
неравенство равносильно неравенству x  52 .
Следовательно, множеством решений системы неравенств:
7 x  2  0

5 x  1  3
является отрезок  72  52  , который можно получить, пересекая промежуток
промежутком   52  .
Контрольные вопросы
 72  
с
1. Что называется решением неравенства с одним неизвестным?
2. Какие линейные неравенства с одним неизвестным называются равносильными?
3. Что значит решить неравенство?
4. Какие преобразования неравенств Вы знаете?
5. Как графически представить решения неравенства ax  b  0 , если a  0 ?
6.* Как графически представить решения неравенства ax  b  0 , если a  0 ?
7. Как можно решить систему линейных неравенств с одним неизвестным?
Задачи и упражнения
1. Решить неравенство:
а) 4x 13  0 ; б) 0 3 x  2  0 ;
в) 1 6  2 8 x  0 ; г) 5x  6  7 x 11 ;
д) 2( x  3)  4( x  1)  5( x  2)  x  4 ;
е)  x  2( x  1)  3( x  2)    100( x  99)  99 100 101 .
2. При каждом значении параметра решите неравенство относительно неизвестного
x:
а)  px  p  1 ; б)  (2k  1)  k  2 ;
в)  ax  (a  1) x ; г)  (a 2  a) x  2a  1 ;
д)  (k 2  1) x  kx  1 ; е)  ax  1 .
3.** Найдите, при каких значениях параметра a множество решений неравенства
(2a  2) x  5a  6 содержит полуинтервал [2;3).
4.** Найдите, при каких значения параметра a любое решение неравенства
удовлетворяет неравенству  x  2 .
5.* Найдите, при каком значении b система
4 x  b  2 x  13
имеет единственное решение.

5 x  7  b
6.** Решите систему неравенств:
 x  2
 2 x  1  5
а) 
б) 
3x  5  2 x  6
5  2 x  18  4 x
Ответы и указания
Задача 1. Решите неравенство:
е)  x  2( x  1)  3( x  2)    100( x  99)  99 100 101 .
Указание. Используя формулы сумм
n
n(n  1) n 2 n(n  1)(2n  1)
k

и k 


2
6
k 1
k 1
левую часть неравенства преобразуем следующим образом:
x  2( x  1)  3( x  2)  … 100( x  99) 
 x  (1  2  … 100)  (1 2  2  3  … 99 100) 
100 101
 x
 (12  22  … 992 )  (1  2  … 99) 
2
100 101 99 100 199 99 100
100 101 99 100 101
 x


 x


2
6
2
2
3
В итоге неравенство принимает вид x  1002101  991003 101  99 100cdot101 , откуда
1
2 x  33  99 , x  132 .
Задача 2. При каждом значении параметра решите неравенство относительно
неизвестного x :
а)  px  p  1 ; б)  (2k  1)  k  2 ;
в)  ax  (a  1) x ; г)  (a 2  a) x  2a  1 ;
д)  (k 2  1) x  kx  1 ; е)  ax  1 .
 



Указание. а) ( p  0)  ( x  R) ; ( p  0)  x  1  1p  ; ( p  0)  x  1  1p  ;
б)  k  12   ( x  R) ;  k  12    x  2kk21  ;  k  12    x  2kk21  ;
г) (a  0)  (нет решений); (a  1)  ( x  R) ;

(a  (01))  x 
2 a 1
a2 a
 ; (a  ( 0)  (1)   x 
2 a 1
a2 a
;
д) k 2  k  1  0 для всех k  R ;
е) (a  0)  ( x  0) ; (a  0)  ( x  0 или x  a ) ; (a  0)  ( x  a или x  0) .
Задача 3  . Найдите, при каких значениях параметра a множество решений
неравенства (2a  2) x  5a  6 содержит полуинтервал [2 3) .
Указание. При a  1 множество решений неравенства совпадает с R , поэтому
содержит полуинтервал [2 3) ;
при a  1 множество решений неравенства   52aa62  , и содержит полуинтервал [2 3) ,
когда
5a 6
2a2
 3 , то есть при a  (1 0] ;
при a  1 множество решений неравенства  52aa62   , и содержит полуинтервал [2 3) ,
когда 52aa 62  2 , то есть при a  (2] ;
Задача 4  . Найдите, при каких значения параметра a любое решение неравенства
(a  3) x  a  1 удовлетворяет неравенству  x  2 .
Указание. При a  3 множество решений неравенства пусто;
при a  3 множество решений неравенства имеет вид  aa13   , и содержится в
множестве (2]  [2) , когда
a 1
a 3
 2 , то есть при a  (3 5] ;
при a  3 множество решений неравенства имеет вид
множестве (2]  [2) , когда
a 1
a 3
  aa13  ,
и содержится в
 2 , но при a  3 это не выполняется.

Задача 5 . Найдите, при каком значении b система
4x  b  2x  13 5x  7  bимеетединственноерешение
Указание. Пересечение множеств
только тогда, когда
7 b
5
  132b 
и  75b  содержит единственную точку
 132b .
Задача 6  . Решите систему неравенств:
а)  x  2 3x  5  2 x  6 б )  2 x  1  5 5  2 x  18  4 x
Указание. Решение каждого из неравенств системы изобразить на отдельной числовой
прямой, а затем находить пересечение. В итоге должны получиться следующие ответы:
а) ( 21) ;
б)   12   3 132  .