Вопросы по курсу «Дифференциальные уравнения»,

Вопросы по курсу «Дифференциальные уравнения»,
1-ый семестр 2013-2014 уч. года.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
1.
2.
Поле направлений диф. уравнения 1-го порядка. Изоклины. Приближенное построение
решений.
Теорема Арцела.
Ломаные Эйлера.
Теорема Пеано.
Теорема Пикара для ограниченного множества.
Доказательство теоремы Пикара с помощью принципа сжатых отображений.
Теорема Пикара для неограниченного множества.
Выводы из теоремы Пикара. Лемма Гронуолла.
Продолжение решения за промежуток Пикара. Теорема Винтнера.
Интеграл уравнения и его свойства.
Неполные уравнения.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные уравнения.
Линейные уравнения.
Уравнение Бернулли. Уравнение Риккати.
Уравнение в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель.
Уравнения, не разрешенные относительно производной. Метод введения параметра.
Уравнения Лагранжа и Клеро.
Линейная зависимость и независимость функций. Формула Остроградского-Лиувилля.
Линейные однородные уравнения n–го порядка. Фундаментальная система решений.
Линейные неоднородные уравнения n–го порядка. Теорема о структуре. Метод вариации
произвольных постоянных.
Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Построение фундаментальной системы решений.
Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод
неопределённых коэффициентов.
Метод Коши построения частного решения линейного неоднородного уравнения.
Уравнение Эйлера.
Нелинейные уравнения n-го порядка. Методы понижения порядка.
Дополнительные вопросы.
Для уравнений 1-го порядка:
а) формы записи уравнения;
б) формы записи решения;
в) определения решения, общего решения, частного решения, особого решения, решения в
форме Коши, общего интеграла, интеграла, интегральной кривой;
г) постановка задачи Коши.
Для уравнений n-го порядка:
а) формы записи уравнения;
б) формы записи решения;
в) определения решения, общего решения, частного решения, особого решения, решения в
форме Коши, общего интеграла, интегральной кривой, первого интеграла, промежуточного
интеграла к-го порядка; фундаментальная система решений;
г) постановка задачи Коши;
д) постановка краевой задачи для уравнения 2-го порядка.
1.
2.
3.
Литература.
Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу диф. уравнений.
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных диф. уравнений.