09-05-05_v

Тема 5. Числовые функции и некоторые кривые
В этой теме Вы продолжите изучение функциональной зависимости. Будут рассмотрены
основные способы задания числовых функций: табличный, формульный, графический и
некоторые основные классы функций: монотонные, четные, нечетные.
§5. Окружность и эллипс
5.1. Несколько раз в качестве примеров мы записывали уравнение njpsfmnqrh в
прямоугольной системе координат. Напомним, как это делается.
Пример 1. Запишем уравнение окружности с центром F (1 2) и радиусом r  2 .
Возьмем на окружности произвольную точку A , и координаты точки A обозначим
(a b) (рисунок 1). Применяя формулу расстояния между точками получим
AF 2  (a  (1))2  (b  2)2 
Так как AF  r , то
(a  1)2  (b  2)2  22
Заменяя букву a на букву x , букву b на букву y , получаем уравнение
( x  1)2  ( y  2))2  22
Решениями этого уравнения являются только такие пары чисел ( x y ) , для которых
точка M ( x y ) лежит на окружности с указанными центром и радиусом.
Раскрывая скобки, перенося все слагаемые в левую часть и приводя подобные,
получим уравнение
x 2  y 2  2 x  4 y  1  0
5.2. Рассмотрим, как получить уравнение окружности в общем случае.
Пусть центр окружности F имеет координаты ( x0  y0 ) , а радиус окружности равен r .
Возьмем на окружности произвольную точку A( x y ) (рисунок 2). Применяя формулу для
вычисления расстояния от точки F до точки A , будем иметь
( x  x0 )2  ( y  y0 )2  r
Возведем обе части этого равенства в квадрат, получим равенство
( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  r 2 
Обратно, если координаты некоторой точки A( x y ) удовлетворяют этому равенству,
то
OA  ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  r 2  r
Следовательно, точка A лежит на данной окружности.
Таким образом, мы установили, что равенству ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  r 2 удовлетворяют
те и только те точки координатной плоскости, которые лежат на окружности радиуса r с
центром в точке ( x0  y0 ) . Поэтому говорят, что уравнение
( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  r 2
является уравнением окружности радиуса r с центром в точке ( x0  y0 ) .
5.3.* Любое уравнение вида
x 2  y 2  ax  by  c  0
где a , b , c — фиксированные числа, задает в координатной плоскости либо пустое
множество, либо точку, либо окружность. Доказательство этого результата lnfmn
получить методом выделения полного квадрата.
Пример 2. Рассмотрим уравнение
x 2  y 2  6 x  4 y  18  0
Запишем его в виде
( x 2  2  3x  32 )  ( y 2  2  2 y  22 )  32  22  18  0
( x  3)2  ( y  2)2  5  0
( x  3)2  ( y  2)2  5
Это уравнение равносильно начальному. Так как квадрат любого числа
неотрицателен, то при любых значениях x и y левая часть последнего уравнения
неотрицательна, а значит это уравнение не имеет решений.
В данном примере уравнение задает пустое множество.
Пример 3. Рассмотрим уравнение
1
x 2  y 2  x  y   0
2
Запишем его в виде
2
2
1 
1

 x     y    0
2 
2

Из последней записи видно, что равенство возможно только тогда, когда x  12  0 ,
y  12  0 .
В данном примере уравнение задает единственную точку  12  12  .
5.4.** В этом пункте разберем следующую задачу.
Пример 4. Даны точки A(1 3) и B(3 1) . Найдем множество всех точек M
координатной плоскости таких, что
Решение. Пусть точка M имеет координаты ( x y ) . Тогда
AM 2  ( x  1)2  ( y  3)2 
BM 2  ( x  3)2  ( y  1)2
и
AM 2  BM 2  ( x  1)2  ( y  3)2  ( x  3)2  ( y  1)2  2 x 2  4 x  2 y 2  4 y  20
Так как по условию AM 2  BM 2  66 , то получаем уравнение
2 x 2  4 x  2 y 2  4 y  20  66
x 2  2 x  y 2  2 y  23
x 2  2 x  1  y 2  2 y  1  25
( x  1)2  ( y  1)2  52
В результате преобразований получаем уравнение окружности с центром (-1;1) и
радиусом 5.
5.5.** Окружность ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  r 2 можно получить из окружности x 2  y 2  r 2
параллельным переносом на вектор n  ( x0  y0 ) .
Доказательство аналогично тому, которое было приведено для параболы в пункте 2.5.
5.6.* Мы несколько раз говорили об эллипсе. Например, при изображении множества
решений уравнения 3x 2  4 y 2  12 получается эллипс, как на рисунке 3.
Эллипс можно определить как множество всех точек плоскости, сумма расстояний от
которых до двух фиксированных точек A и B равна заданному числу. Точки A и B
лежат на большой оси эллипса на равном расстоянии от его центра симметрии. Точки A и
B называются фокусами эллипса.
Для получения координат точек A и B в нашем примере сначала найдем координаты
точек пересечения эллипса 3x 2  4 y 2  12 с осями координат.
Подставляя в уравнение эллипса y  0 , получим 3x 2  12 , откуда x1  2 , x2  2 .
Следовательно, M ( 2 0) , K (2 0) .
Подставляя в уравнение эллипса x  0 , получим 4 y 2  12 , откуда y1   3 ; y2  3 .
Следовательно, N (0  3) ; L (0 3) .
Пусть точка A имеет координаты (  a 0) . Тогда  AB  2a ,  AM  2  a ,  BM  2  a ,
а поэтому  AM    BM  4 . Следовательно, сумма расстояний от любой точки эллипса до
точек A и B должна быть равной 4. В частности AN  BN  2 AN  4 , откуда AN  2 . По
теореме Пифагора из треугольника AON находим a  AN 2  NO2  4  3  1 . Поэтому
точки A и B имеют координаты: A(1 0) и B(1 0) .
Найденные точки A и B называются фокусами эллипса 3x 2  4 y 2  12 .
Убедимся на примерах, что сумма расстояний от любой точки P эллипса
2
3x  4 y 2  12 до ее фокусов A и B равна 4. Например, если P  1 23  , то AP  32 ,
BP 
 32 
2
 22  52 , и AP  BP  4 . Если P

3
2

21
4
 — другая точка эллипса 3x
2
 4 y 2  12 ,
то
2
2

121 11
 3   21
AP    1  
 0  
 
16
4
2   4

2
2
25 5
 3   21 
BP    1  
 
 
16 4
2   4 
и
11 5
  4
4 4
5.7.** Рассмотрим точки A(a 0) и B(a 0) координатной плоскости, где a  0 , и
число m  a . Покажем, что множество всех точек M ( x y ) таких, что AM  BM  2m ,
совпадает с множеством решений уравнения
x2
y2

 1
m2 m2  a 2
Необходимые рассуждения разберем на конкретном примере, когда a  1 , m  2 .
Итак, пусть A(1 0) , B  (1 0) и M ( x y ) . Запишем расстояния MA и MB :
AP  BP 
MA  ( x  1) 2  y 2  MB  ( x  1) 2  y 2 
По условию MA  MB  4 , откуда получаем уравнение
( x  1)2  y 2  ( x  1)2  y 2  4
Так как обе части этого уравнения положительны, то можно обе части возвести в
квадрат с сохранением равносильности:
( x 2  1)  y 2  ( x  1) 2  y 2  2 ( x  1)2  y 2 
 ( x  1) 2  y 2  16
7  x 2  y 2  ( x  1) 2  y 2  ( x  1) 2  y 2 
Отсюда следует, что должно выполняться условие 7  x 2  y 2  0 . Возводя обе части в
квадрат, получаем:
(7  x2  y 2 )2  (( x  1)2  y 2 )(( x  1)2  y 2 )
Выполним преобразования:
(7  x2  y 2 )2  ( x2  y 2  1  2 x)( x 2  y 2  1  2 x)
( x 2  y 2  7)2  ( x 2  y 2  1)2  (2 x)2 
( x 2  y  1)2  ( x 2  y 2  7)2  4 x 2  0
( x 2  y  1  x 2  y 2  7)( x 2  y  1  x 2  y 2  7)  4 x 2  0
8  (2 x 2  2 y 2  6)  4 x 2  0
4 x 2  4 y 2  12  x 2  0
3x 2  4 y 2  12
x2 y 2

 1
4 3
Из последнего уравнения следует, что любое его решение ( x y ) удовлетворяет
неравенствам  x  2 ,  y  3 , а поэтому выполняется условие x 2  y 2  7 . Так как с учетом
этого условия все проделанные преобразования сохраняли равносильность, то множество
решений начального уравнения
( x  1) 2  y 2  ( x  1) 2  y 2  4 совпадает с множеством
2
решений уравнения x4  y3 , что и требовалось доказать.
5.8.* Эллипс можно получить из окружности сжатием. Это можно наблюдать, если на
резиновой пластинке нарисовать окружность, а затем сжать пластинку с двух сторон.
Правда, из-за сложности физического процесса деформации эллипс может получиться
лишь приближенно. Мы рассмотрим идеальную модель сжатия, как преобразование
сжатия к оси Ox .
Пример 5. Докажем, что при сжатии вдоль оси Oy с коэффициентом k  12
2
окружность x 2  y 2  1 преобразуется в эллипс x 2  4 y 2  1 .
Пусть точка M ( x0  y0 ) лежит на окружности x 2  y 2  1 и в результате сжатия
переходит в точку M1 (a b) .
По определению сжатия имеем равенства a  x0 , b  12 y0 , откуда x0  a , y0  2b .
Поэтому 1  x02  y02  a 2  (2b) 2 . Следовательно, при сжатии с коэффициентом k  12
каждая точка окружности x 2  y 2  1 переходит в некоторую точку эллипса x 2  4 y 2  1 .
Покажем, что в результате рассматриваемого сжатия получаются все точки эллипса
2
x  4 y 2  1 . Пусть K ( m n) — любая точка эллипса x 2  4 y 2  1 , тогда m 2  4n 2  1 . При
сжатии в точку K переходит точка M с координатами x0  m , y0  2n , причем
x02  y02  m 2  4n 2  1 . Следовательно, найдена точка окружности x 2  y 2  1, которая при
сжатии переходит в точку K .
Тем самым полностью доказано, что при сжатии с коэффициентом k  12 окружность
x 2  y 2  1 переходит в эллипс x 2  4 y 2  1 .
5.9.** Рассмотрим уравнение вида
ax 2  by 2  cx  dy  e  0
где a , b , c , d , e — фиксированные числа, причем a  0 и b  0 . Любое такое уравнение
задает в координатной плоскости либо пустое множество, либо точку, либо окружность,
либо эллипс.
Как и в пункте 2.3, доказательство этого результата опирается на метод выделения
полных квадратов.
Пример 6. Рассмотрим уравнение
4 x 2  9 y 2  8 x  36 y  31  0
Запишем его в виде
4( x 2  2 x  1)  4  9( y 2  4 y  4)  36  31  0
4( x  1)2  9( y  2)2  9
Пусть окружность задана уравнением 4 x 2  4 y 2  9 (рисунок 4).
Сжатие к оси Ox с коэффициентом k  23 переводит эту окружность в эллипс с
уравнением 4 x 2  9 y 2  9 (рисунок 5). Параллельный перенос на вектор n  (12)
переводит эллипс 4 x 2  9 y 2  9 в эллипс, уравнение которого 4( x  1)2  9( y  2)2  9 .
Таким образом, в результате приведенных преобразований плоскости получен эллипс,
уравнение которого совпадает с начальным уравнением.
Контрольные вопросы
1. Запишите формулу расстояния между точками.
2. Запишите общий вид уравнения окружности.
3. Как по уравнению окружности находить координаты ее центра и радиус?
4. Приведите пример уравнения эллипса.
5.* Определите эллипс как геометрическое место точек.
6.* Что такое фокусы эллипса?
7.* Какое преобразование плоскости называют сжатием к оси Ox ?
8.* Докажите, что при сжатии к оси Ox окружности x 2  y 2  r 2 получается эллипс.
Задачи и упражнения
1. Какие из точек (1;2), (3;4), (- 4;3), (0;5), (5;-1) лежат на окружности, заданной
уравнением x 2  y 2  25 ?
2. На окружности, заданной уравнением x 2  y 2  169 , найдите точки:
а) с абсциссой 5; б) с ординатой -12;
в) пересечения с осью абсцисс;
г) пересечения с осью ординат;
д) пересечения с прямой y  x .
3.* Даны точки A(2 0) и B(2 6) . Найдите уравнение окружности, диаметром
которой является отрезок AB .
4. Даны точки A(11) и B (4 3) . Составьте уравнение окружности с центром в
точке B , проходящей через точку A .
5. Составьте уравнение окружности с центром (-3;4), проходящей через начало
системы координат.
6.* Найдите радиус и центр окружности, заданной уравнением x 2  8x  y 2  8 y  7  0 .
x 2  y 2  6 x  8 y  0 . Найдите точку, диаметрально
7.** На окружности
противоположную точке (0;0).
8.* Найдите точки пересечения двух окружностей
x 2  y 2  8x  8 y  8  0
x 2  y 2  8 x  8 y  8  0
9.** Составьте уравнение окружности с центром в точке (1;2), касающейся прямой
y  x.
10.** Найдите уравнения касательных к окружности ( x  1)2  ( y  2)2  1 ,
проведенных из начала системы координат.
11. Найдите уравнение окружности, в которую перейдет окружность
( x  1)2  ( y  1)2  4 при параллельном переносе на вектор n  (1 2) .
12. Найдите вектор n  ( a b) , при помощи которого окружность ( x  1)2  ( y  1)2  1
можно совместить с окружностью ( x  2)2  ( y  1)2  1 параллельным переносом.
13.* Найдите уравнение эллипса вида ax 2  by 2  c , проходящего через точки
A(2 2) , b(3 1) .
14.* Найдите координаты фокусов эллипса:
а) 5x 2  9 y 2  45 ; б) 15 x 2  16 y 2  360 ;
в) 4 x 2  y 2  4 ; г) 25x 2  16 y 2  400 .
15.** Найдите уравнение множества всех точек M таких, что MA  MB  l , если:
а) A(3 0) , B (3 0) , l  10 ;
б) A(04) , B (0 4) , l  12 .
16.** Найдите уравнение множества всех точек M таких, что расстояние от точки M
до точки A(01) в два раза меньше расстояния от точки M до прямой y  4 .
17. Найдите уравнение эллипса, в который преобразуется окружность x 2  y 2  4 при
сжатии к оси Ox с коэффициентом k  12 .
18. При каком значении a уравнение 3x 2  5 y 2  6 x  10 y  a  0 определяет
единственную точку?
19.** Найдите шесть различных решений уравнения x 2  2 y 2  3z 2 в целых числах
( x y z ) , наибольший общий делитель которых равен 1.
20.** Найдите координаты фокусов эллипса:
а) 25 x 2  16 y 2  50 x  96 y  231  0 ;
б) 4 x 2  y 2  4 x  4 y  1  0 .
21. ** Докажите, что эллипсы x 2  2 y 2  3 и ( x  1)2  2( y  2)2  4 подобны.
22.** Определим касательную к эллипсу как прямую, имеющую с эллипсом
единственную общую точку. Найдите уравнения касательных к эллипсу
3( x  5)2  4( y  2)2 , проведенных из начала системы координат.
Ответы и указания
Задача 5  . Даны точки A(2 0) и B(2 6) . Найдите уравнение окружности, диаметром
которой является отрезок AB .
Указание. Центром O окружности является середина отрезка AB . Поэтому по формулам
координат середины отрезка получаем O (0 3) . Радиус окружности можно вычислить как
длину отрезка AO . В результате r  22  32  13 , и уравнение окружности имеет вид
x 2  ( y  3)2  13 .
Задача 7  . На окружности x 2  y 2  6 x  8 y  0 найдите точку, диаметрально
противоположную точке (0 0) .
Указание. Воспользоваться тем, что центр окружности является серединой диаметра.
Ответ: (6 8) .
Задача 9  . Составьте уравнение окружности с центром в точке (1 2) , касающейся
прямой y  x .
Указание. Первый способ. Касательная к окружности определяется как прямая, имеющая с
окружностью единственную общую точку. Поэтому окружность с уравнением
( x  1)2  ( y  2)2  r 2 касается прямой y  x тогда и только тогда, когда уравнение
( x  1)2  ( y  2)2  r 2 имеет единственное решение, что соответствует тому, что
дискриминант равен нулю.
Второй способ. Окружность с центром O и радиусом r касается прямой l тогда и только
тогда, когда расстояние от точки O до прямой l равно r . Поэтому в заданной задаче
r
1 2
12 12

1
2
, и окружность имеет уравнение 2( x  1)2  2( y  2)2  1 .
Задача 13  . Найдите уравнение эллипса вида ax 2  by 2  c , проходящего через точки
A(2 2) , B (3 1) .
Указание. При подстановке координат заданных точек в уравнение эллипса получаем
систему из двух линейных уравнений 4a  4b  c и 9a  b  c с тремя неизвестными.
Выражая a и b через c , получаем a  323 c , b  325 c . В итоге при c  32 получаем
уравнение искомого эллипса: 3x 2  5 y 2  32 .
Задача 14  . Найдите координаты фокусов эллипса:
а) 5x 2  9 y 2  45 ; б) 15 x 2  16 y 2  360 ;
в) 4 x 2  y 2  4 ; г) 25x 2  16 y 2  400 .
Указание. Прочитайте п. 5.6  . В пункте показано, что по уравнению эллипса с осями,
расположенными на осях координат, можно найти точки M и K пересечения с осью Ox
и точки N и L пересечения с осью Oy . При условии MK  NL фокусы A и B можно
искать как точки с координатами (  a 0) и (a 0) , используя равенство MA  MB  LA  LB .
При условии MK  NL фокусы A и B следует искать как точки с координатами (0 b) и
(0 b) , также используя равенство MA  MB  LA  LB .
Задача 16  . Найдите уравнение множества всех точек M таких, что расстояние от
точки M до точки A(01) в два раза меньше расстояния от точки M до прямой
y  4 .
Указание. Пусть точка M имеет координаты ( x0  y0 ) . Тогда условие задачи эквивалентно
равенству  y0  4  2 x02  ( y0  1)2 .
Задача 19  . Найдите шесть различных решений в целых числах уравнения x 2  2 y 2  3z 2 ,
наибольший общий делитель которых равен 1.
Указание. Уравнение можно привести к виду u 2  2v 2  3 , где u  xz , v  yz . Рациональное
решение u  1 , v  1 нового уравнения находится без труда. Все остальные рациональные
решения (u v) можно искать как точки пересечения прямых вида v  1  mn (u  1) с
эллипсом u 2  2v 2  3 , где m и n — целые числа. В итоге получаем бесконечное
2
2
2
 2 m2
множество рациональных решений вида u  2 mn242mnm2 n , v  n n22 mn
. Полагая
 2 m2
x  2m2  4mn  n 2 , y  n2  2mn  2m2 , z  n 2  2m 2 , при целых m и n получаем
бесконечное множество целочисленных решений заданного уравнения, из которых
нетрудно подобрать шесть, с наибольшим общим делителем, равным 1.
Задача 21  . Докажите, что эллипсы
x 2  2 y 2  3 и ( x  1)2  2( y  2)2  4
подобны.
Указание. Гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом k  23 переводит
эллипс с уравнением x 2  2 y 2  3 в эллипс с уравнением x 2  2 y 2  4 , который равен
второму заданному эллипсу.