ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания к типовому расчету “Матрицы и линейные преобразования” Для студентов направления 080100 “Экономика” Составители: С. В. Степанова, Е. Ю. Тараник, А. П. Качмазова ВЛАДИКАВКАЗ 2013 0 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра математики ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания к типовому расчету “Матрицы и линейные преобразования” Для студентов направления 080100 “Экономика” Составители: С. В. Степанова, Е. Ю. Тараник, А. П. Качмазова Допущено редакционно-издательским советом Северо-Кавказского горно-металлургического института (государственного технологического университета) в качестве учебного пособия для студентов экономических специальностей ВЛАДИКАВКАЗ 2013 1 УДК 512.64 ББК 22.143 С79 Рецензент: канд. физико-математических наук, доцент СКГМИ (ГТУ) Вазиева Л. Т. С79 Линейная алгебра: Методические указания к типовому расчету «Матрицы и линейные преобразования». Для студентов направления 080100 «Экономика» / Сост. С. В. Степанова, Е. Ю. Тараник, А. П. Качмазова; Северо-Кавказский горнометаллургический институт (государственный технологический университет). – Владикавказ: Северо-Кавказский горнометаллургический институт (государственный технологический университет). Изд-во «Терек», 2013. – 40 c. Данное пособие состоит из двух частей. В I части даны 25 вариантов индивидуальных заданий по теме «Матрицы и линейные преобразования» для самостоятельного решения, каждый из которых содержит 7 задач. Во II части приводится подробное решение типовых задач с необходимыми разъяснениями и теоретическими сведениями. Типовой расчет выполняется на отдельных листах. В установленный срок типовой расчет сдается студентом на проверку преподавателю, а затем защищается. УДК 512.64 ББК 22.143 Редактор: Иванченко Н. К. Компьютерная верстка: Крыжановская И. В. Составление: Северо-Кавказский горнометаллургический институт (государственный технологический университет), 2013 Степанова С. В., Тараник Е. Ю., Качмазова А. П., составление 2013 Подписано в печать 5.11.13. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура “Таймс”. Печать на ризографе. Усл.п.л.2,33. Тираж 25 экз. Заказ №_____ Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет). Изд-во “Терек”. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии СК ГТУ (ГТУ). 362021, г. Владикавказ, ул. Николаева, 44. 2 Теоретические вопросы 1. Сложение матриц и умножение матрицы на число. 2. Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений. 3. Ранг матрицы. Связь его размерности с рангом матрицы. 4. Теорема Кронекера-Капелли. 5. Фундаментальная система решений однородной системы. 6. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем. 7. Умножение матриц. 8. Невырожденные квадратные матрицы. 9. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. 10. Решение матричных уравнений вида АХ = В. 11. Определители и их свойства. 12. Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядка. 13. Формула разложения определителя по строкам и столбцам. 14. Применение определителей: 1) критерий невырожденности квадратной матрицы; 2) нахождение ранга матрицы; 3) критерий существования ненулевых решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными, состоящей из n уравнений; 4) нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формуле Крамера; 5) нахождение обратной матрицы. 3 МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Задание № 1 Для данной матрицы А вычислить: а) А3; б) ААт - АтА. Задание № 2 Вычислить определитель матрицы. Задание № 3 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера. Задание № 4 Найти различными способами матрицу А-1, обратную матрице А и проверить выполнение условия А А-1 = Е. Задание №5 Решить матричное уравнение. Задание № 6 При каких значениях параметра m строки матрицы будут линейно зависимы? Задание № 7 Найти размерность пространства решений и фундаментальный набор решений системы однородных линейных уравнений. 4 ВАРИАНТ № 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 3 1 4 а) А = 2 5 3 5 4 0 2 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 2 0 0 2 3 1 0 0 1 1 1 3 4 0 1 2 б) А = 5 5 2 0 -х1 + 3х2 + 2х3 = -4, х2 - 2х3 = -3, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 20; 3 4 0 А= 5 1 2 5 2 0 24 1 5 0 21 1 Х 3 5 4 = 5 5 10 2 4 2 12 10 14 1 3 6 2 13 2 А = 2 7 2 7 12 1 9 31 55 m 3х1 - х2 + 3 х3 +2 х4 +5 х5 = 0, 5 х1 - 3х2 + 2х3+3 х4 +4 х5 = 0, х1 - 3х2 - 5х3 7 х5 = 0, 7 х1 - 5х2 + х3 + 4 х4 + х5 = 0. 5 ВАРИАНТ № 2 1. 2. 3. 5 3 4 а) А = 2 5 1 5 5 3 0 0 0 0 3 2 0 0 2 0 2 3 3 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 5 б) А = 2 1 4 2 3 2 -х1 + 3х2 + 2х3 = 0, 2 х2 - 4х3 = -8, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 26; 4. 2 5 3 А = 5 4 3 3 2 3 5. 5 4 5 31 16 27 Х= 4 2 1 11 8 12 4 3 4 0 19 34 6. 1 1 1 4 1 2 1 m А= 5 3 12 45 3 2 6 23 7. -х1 +3х2 + 3 х3 +4 х4 + 5 х5 = 0, 6 х1 + 2х2 + 2х3 + х4 = 0, - х1 + х2 + х3 +2х4 +3 х5 = 0, 11 х1 +3х2 + 3 х3 + х4 - х5 = 0. 6 ВАРИАНТ № 3 1. 4 1 3 б) А = 4 0 5 2 3 5 0 1 3 а) А = 4 2 4 3 4 0 3 1 3 16 8 2 2 20 20 19 2. 3. 4. 5. 6. 7. 2 2 3 6 4 0 0 0 2 1 0 0 0 2 3 -х1 + 3х2 + 2х3 = 4, 3х2 - 6х3 = -15, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 32; 0 3 3 А = 2 2 3 3 3 3 3 3 1 21 14 5 Х 3 1 1 0 7 12 1 0 1 3 11 9 = 1 9 А= 3 1 2 12 3 1 4 1 15 m 2 3 1 0 х1 + х2 - 3 х3 - х5 = 0, х1 - х2 + 2х3 - х4 = 0, 4 х1 - 2х2 + 6х3 + 3х4 - 4 х5 = 0, 2х1 + 4х2 -2х3 + 4 х4 - 7х5 = 0. 7 ВАРИАНТ № 4 1. 2. 3. 4 2 5 а) А = 3 2 5 4 4 2 13 4 17 3 3 0 1 3 3 0 11 20 0 2 1 3 0 0 0 0 2 3 0 0 0 -х1 + 3х2 + 2х3 = 8, 4х2 - 8х3 = -24, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 38; 4. 4 1 4 А = 1 2 4 1 2 2 5. 5 5 4 Х= 5 1 1 3 2 0 6. 1 1 2 9 3 2 4 20 А= 8 6 13 61 0 3 1 m 7. 2 5 3 б) А = 0 5 5 4 5 1 15 25 35 5 16 6 4 7 8 х1 + 2х2 + 3 х3 -2 х4 + х5 = 0, 3 х1 +6х2 + 5х3- 4 х4 +3 х5 = 0, х1 + 2х2 +7х3 -4 х4 +5 х5 = 0, 2 х1 + 4х2 +2 х3 -3 х4 +3 х5 = 0. 8 ВАРИАНТ № 5 1. 5 3 2 а) А = 1 4 1 3 1 5 1 2 2 3 2 0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 0 0 0 0 2 2 3 0 0 0 0 0 3 3 0 0 0 1 3 2 3 5 б) А = 3 3 1 0 4 2 -х1 + 3х2 + 2х3 = 12, 5х2 - 10х3 = -35, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 44; 1 0 0 А = 0 1 0 0 1 1 1 2 1 23 11 15 Х 4 3 3 = 17 21 18 5 3 5 32 17 23 А= 1 1 6 0 3 4 21 3 3 1 11 3 0 8 27 m 9х1 +7х2 + 5 х3 + 6 х4 + 9 х5 = 0, 8 х1 + 4х2 + 2 х4 + 3 х5 = 0, 5 х1 +3х2 + х3 + 2 х4 + 3 х5 = 0, 7 х1 + 5х2 +3 х3 + 4 х4 + 6 х5 = 0. 9 ВАРИАНТ № 6 1. 2. 5 1 4 а) А = 1 5 5 5 3 3 0 0 0 0 3 3 3 1 1 1 0 0 2 0 3 3 2 0 0 0 0 0 0 1 1 3. 1 4 5 б) А = 0 4 1 1 4 3 -х1 + 3х2 + 2х3 = 16, 6 х2 - 12х3 = -48, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 50; 4. 4 1 4 А = 4 5 5 5 3 3 5. 2 1 2 Х= 5 2 4 3 4 3 6. 1 2 11 3 1 1 2 0 А= 4 6 24 5 3 0 m 3 7. 17 13 2 43 12 19 36 14 2 х1 - 4 х2 - 4 х3 + х4 - 3 х5 = 0, х1 +7х2 + 6х3 - 2 х4 +6 х5 = 0, 9х1 + 8х2 +4х3 - 3 х4 +9 х5 = 0, 7 х1 + 5х2 +2 х3 - 2 х4 +6х5 = 0. 10 ВАРИАНТ № 7 1. 2 3 2 3 1 1 2. 3. 4. 5. 6. 7. 4 1 1 б) А = 4 0 1 1 3 1 1 2 3 а) А = 5 2 5 4 5 1 5 17 12 13 2 2 0 13 12 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 -х1 + 3х2 + 2х3 = 20, 7 х2 -14х3 = -63, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 56; 3 2 0 А = 0 3 3 0 0 2 2 1 2 9 10 9 Х 1 5 1 = 10 6 10 3 5 5 10 44 30 1 3 1 6 2 7 1 15 А= 2 7 2 14 5 17 m 33 6х1 + х2 - 3 х3 +9х4 +5 х5 = 0, 6 х1 + 5х2 - 3х3+9 х4 +7 х5 = 0, 2х1 + 4х2 - х3 + 3 х4 +2 х5 = 0, 4 х1 + 7х2 -2 х3 + 6 х4 + 5 х5 = 0. 11 ВАРИАНТ № 8 1. 2. 3. 5 2 1 а) А = 5 3 2 2 0 0 14 19 17 7 1 3 0 3 3 3 7 12 3 1 1 3 1 0 0 0 2 1 0 0 0 -х1 + 3х2 + 2х3 = 24, 8х2 - 16х3 = -80, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 62; 4. 3 3 3 А= 5 1 2 1 4 3 5. 3 2 5 Х= 5 4 5 5 1 1 6. 1 2 3 8 0 1 2 m А= 5 7 11 27 2 3 5 12 7. 2 0 4 б) А = 3 4 2 5 2 3 28 14 12 2 8 8 20 1 13 5х1 + 6 х2 +х3 +10 х4 +7 х5 = 0, 5 х1 + х2 + 2х3+5 х4 +4 х5 = 0, 4 х1 +3х2 + х3 +7 х4 +5 х5 = 0, 3х1 + 2х2 + х3 + 4 х4 + 3 х5 = 0. 12 ВАРИАНТ № 9 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 5 1 3 б) А = 3 2 4 4 1 4 4 2 3 а) А = 1 3 5 2 3 0 2 1 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 3 3 3 0 0 2 1 3 -х1 + 3х2 + 2х3 = 28, 9 х2 - 18х3 = -99, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 68; 0 1 2 А= 1 1 1 3 0 3 5 5 3 7 21 9 Х 1 2 4 = 7 4 4 5 5 4 6 33 20 1 2 4 3 2 5 9 3 А= 2 1 4 2 2 12 18 m 13х1 - 4 х2 - х3 - 4 х4 -6 х5 = 0, 11 х1 - 2х2 + х3- 2 х4 - 3 х5 = 0, 5 х1 +4х2 + 7х3 + 4 х4 +6 х5 = 0, 7 х1 + 2х2 + 5х3 + 2 х4 + 3 х5 = 0. 13 ВАРИАНТ № 10 1. 2. 3. 5 5 2 а) А = 1 4 2 0 4 4 0 0 0 0 0 1 1 3 3 2 0 0 1 1 0 3 3 0 0 0 3 2 0 0 0 -х1 + 3х2 + 2х3 = -4, 3 х1 +х2 - 2х3 = 24, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 8; 4. 0 1 1 А = 1 2 2 2 5 3 5. 0 3 1 Х= 0 0 3 2 0 5 6. 1 1 3 1 3 2 9 2 А= 4 2 11 3 1 2 m 1 7. 2 2 2 б) А = 2 0 3 5 1 2 17 3 2 0 6 15 27 6 0 15х1 +2х2 + 4 х3 -3 х4 +9 х5 = 0, 3 х1 + 20х2 + 5х3-2 х4 +6 х5 = 0, 3 х1 + 6х2 + 2х3 - х4 +3 х5 = 0, 9х1 + 4х2 -3 х3 - 2 х4 + 6 х5 = 0. 14 ВАРИАНТ № 11 1 5 3 б) А = 4 5 1 5 2 2 3 2 4 1.а) А = 2 0 4 5 3 5 3 3 2 18 19 1 0 4 14 18 2. 3. 4. 5. 6. 7. 0 0 1 1 0 0 0 0 3 3 0 0 0 1 2 -х1 + 3х2 + 2х3 = -4, х1 + х2 - 2х3 = 4, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 16; 1 2 2 А = 2 3 2 2 2 2 5 0 3 0 25 29 Х 3 5 4 = 10 0 6 4 1 5 21 21 52 1 2 1 5 1 3 1 7 А= 2 6 2 15 11 31 m 76 6х1 + 5 х2 + 7 х3 +5 х4 +3 х5 = 0, 14 х1 +5х2 + 3х3+ 9 х4 - х5 = 0, 4 х1 + 5х2 + 8х3 + 4 х4 +5 х5 = 0, 8х1 + 5х2 + 4х3 + 7 х4 + 2 х5 = 0. 15 ВАРИАНТ № 12 1. 5 5 3 а) А = 3 0 4 4 0 3 1 3 3 0 2. 3. 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 0 0 2 2 1 0 0 0 1 1 -х1 + 3х2 + 2х3 = 0, х1 +2 х2 - 4х3 = 3, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 22; 4. 2 1 4 А = 5 4 4 4 3 5 5. 2 4 0 Х= 2 2 2 3 4 2 6. 1 1 1 2 3 2 А= 5 6 6 2 3 m 7. 2 1 0 б) А = 2 1 4 5 0 0 10 22 16 24 12 4 17 35 28 1 0 4 2 5х1 + 7 х2 + 4 х3 +6 х4 +6 х5 = 0, 15х1 + 30х2 + 7х3+8 х4 +3 х5 = 0, 9х1 +6х2 + 5х3 + 8 х4 +9 х5 = 0, 6 х1 + 9х2 +3 х3 + 4 х4 + 3 х5 = 0. 16 ВАРИАНТ № 13 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 4 3 5 а) А = 3 5 5 2 3 1 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 1 3 1 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 5 3 б) А = 1 2 2 3 1 3 -х1 + 3х2 + 2х3 = 4, х1 + 3х2 - 6х3 = 0, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 28; 4 1 2 А = 3 3 1 2 2 2 5 1 3 13 8 40 Х 1 5 2 = 0 5 8 5 4 5 10 11 31 1 3 3 9 2 5 2 16 А= 1 0 2 4 6 24 m 63 х1 + х2 + 3 х3 - 2 х4 +3 х5 2 х1 +2х2 + 4х3 - х4 + 3 х5 3 х1 + 3х2 +5х3-2 х4 +3 х5 2 х1 + 2х2 +8 х3 - 3 х4 +9 х5 = 0, = 0, = 0, = 0. 17 ВАРИАНТ № 14 1. 2 3 3 б) А = 4 3 5 4 4 5 4 5 0 а) А = 5 3 1 2 2 3 13 18 2 1 3 9 11 1 3 0 2. 3. 5 16 1 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 -х1 + 3х2 + 2х3 = 12, х1 + 5х2 - 10х3 = -12, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 40; 4. 3 2 3 А = 0 3 3 1 0 1 5. 2 1 1 20 22 2 Х 2 1 3 = 30 27 7 4 5 2 0 12 20 6. 1 2 1 3 3 7 5 3 А= 1 1 0 2 9 20 14 m 7. 2х1 +3 х2 + х3 -6 х4 +9 х5 = 0, х1 - 2х3+2 х4 +3 х5 = 0, 2 х1 + х2 +4х3 +2 х4 +3 х5 = 0, 3 х1 +2х2 +5 х3 + 4 х4 + 6х5 = 0. 18 ВАРИАНТ № 15 1. 0 0 0 0 2 2 1 2 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2. 0 3 3 1 1 3. 1 -х1 + 3х2 + 2х3 = 16, х1 + 6х2 - 12х3 = 8, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 42; 4. 2 4 3 А = 2 3 4 2 4 2 5. 1 1 2 Х= 2 3 1 3 2 4 6. 1 2 17 3 2 5 40 7 А= 3 8 60 10 1 3 m 3 7. 4 1 3 б) А = 3 4 4 3 1 2 2 0 2 а) А = 4 2 1 3 4 0 6 1 1 8 13 4 4 1 10 х1 + 2 х2 + х3 - 3 х4 +2 х5 = 0, 2 х1 + х2 + х3+ х4 - 3 х5 = 0, х1 + х2 + 2х3 +2 х4 -2 х5 = 0, 2 х1 + 3х2 - 5 х3 - 17 х4 + 10х5 = 0. 19 ВАРИАНТ № 16 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1 2 2 а) А = 2 2 1 1 0 3 3 2 3 1 2 2 0 0 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 3 2 3 0 4 б) А = 2 0 0 5 2 2 -х1 + 3х2 + 2х3 = 16, х1 +6 х2 - 12х3 = -21, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 46; 4 2 5 А = 1 3 2 3 2 2 2 4 0 Х= 0 2 5 1 4 4 А= 24 2 6 10 26 17 38 9 31 1 2 11 3 1 1 4 1 6 9 47 13 3 2 m 2 2х1 + 3 х2 + 7 х3 + х4 +2 х5 = 0, х1 + 2х2 + 3х3+2 х4 +4 х5 = 0, 3 х1 + 2х2 + х3 +2 х4 +4 х5 = 0, 4 х1 +3х2 +2 х3 + 3 х4 + 6 х5 = 0. 20 ВАРИАНТ № 17 1. 2. 3. 5 5 4 а) А = 5 4 5 2 5 4 3 3 2 2 2 3 0 0 0 0 3 3 3 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 2 1 0 5 1 б) А = 0 1 2 0 2 4 -х1 + 3х2 + 2х3 = 20, х1 + 7х2 - 14х3 = -32, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 52; 4. 0 1 0 А = 1 1 0 3 0 3 5. 1 5 2 7 49 4 Х 3 4 2 = 13 26 3 0 4 3 4 7 10 6. 1 3 7 2 9 22 51 m А= 3 7 16 1 3 10 24 1 7. 2х1 - х2 + 3 х3 + 4 х4 - х5 = 0, х1 + 2х2 - 3х3 + х4 + 2 х5 = 0, 5 х1 - 5х2 +12х3 + 11 х4 - 5 х5 = 0, х1 - 3х2 + 6 х3 + 3 х4 - 3х5 = 0. 21 ВАРИАНТ № 18 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 5 0 2 а) А = 4 1 3 5 5 0 0 0 0 0 2 1 2 0 3 1 0 0 2 2 3 2 3 0 0 0 0 3 0 0 0 2 4 3 б) А = 0 3 4 2 4 5 -х1 + 3х2 + 2х3 = 24, х1 +8х2 - 16х3 = -45, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 58; 2 0 2 А = 2 3 0 2 3 5 3 0 3 Х = 0 2 5 1 1 1 А= 21 0 27 28 15 29 5 7 3 1 2 13 2 3 7 47 8 4 9 57 9 1 3 m 1 3х1 + х2 - 2х3 + х4 - х5 = 0, 2х1 - х2 + 7х3-3 х4 +5 х5 = 0, х1 + 3х2 - 2х3 + 5 х4-7 х5 = 0, 3 х1 - 2х2 +7 х3 - 5 х4 + 8х5 = 0. 22 ВАРИАНТ № 19 1. 2. 0 2 0 а) А = 5 3 1 2 4 5 1 0 1 2 2 2 0 0 0 0 2 3 2 0 0 9 18 3 1 3 2 3 16 12 4 3. 2 4 1 б) А = 3 2 3 5 1 4 -х1 + 3х2 + 2х3 = 28, х1 + 9х2 - 18х3 = -60, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 64; 4. 4 3 0 А = 1 5 2 2 2 2 5. 3 4 5 4 12 7 Х 1 1 1 = 20 24 20 4 2 1 25 11 16 6. 1 2 1 0 3 5 3 1 А= 3 9 0 2 7 19 m 3 7. х1 + 2 х2 - 3 х3 +2 х4 = 0, х1 - х2 - 3х3- 4 х4 -3 х5 = 0, 2х1 + 3х2 + х3 - 5 х4 +2 х5 = 0, х1 - 2х2 - 2 х3 - 3 х4 - 5 х5 = 0. 23 ВАРИАНТ № 20 1. 0 3 3 а) А = 2 2 0 0 2 3 0 0 2. 0 0 2 0 2 1 3 2 2 1 8 3 2 1 3. 0 0 1 5 2 б) А = 0 3 3 0 4 2 3 4 7 2 2 7 7 -х1 + 3х2 + 2х3 = 0, 3 х1 + 2х2 - 4х3 = 31, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 14; 4. 1 4 0 А = 3 4 4 0 4 1 5. 5 3 2 Х= 5 1 3 4 1 1 6. 1 3 13 2 1 4 19 5 А= 3 10 44 8 3 3 m 1 7. 18 23 20 9 21 38 2 15 23 х1 - 2 х2 + 3 х3 -4 х4 +2 х5 х1 + 2х2 - х3 - х5 х1 - х2 + 2х3 - 3 х4 х2 - х3 + х4 - 2 х5 = 0, = 0, = 0, = 0. 24 ВАРИАНТ № 21 1. 5 3 1 а) А = 4 4 2 5 4 3 0 2 0 2 2 0 2. 3. 4. 0 0 5 4 5 б) А = 3 1 0 3 5 3 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 1 3 0 0 2 3 3 -х1 + 3х2 + 2х3 = -4, 2х1 + х2 - 2х3 = 13, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 12; 5 4 3 А = 2 2 1 3 3 3 11 16 5 4 2 5 5. Х 5 1 1 28 29 22 1 4 5 14 18 18 = 6. 7. 1 3 А= 2 13 2 7 2 5 19 1 2 11 3 18 78 m 2х1 + 3 х2 +5 х3 - 4 х4 + х5 = 0, х1 - х2 + 2х3+ 3 х4 +5 х5 = 0, 3х1 + 7х2 + 8х3 - 11 х4 - 3 х5 = 0, 2 х1 + 3х2 +5 х3 - 4 х4 + х5 = 0. 25 ВАРИАНТ № 22 2 4 4 1. а) А = 2 1 5 2 1 3 2. 3. 4. 5. 6. 7. 0 0 0 0 0 0 2 0 3 3 0 3 1 0 0 1 3 0 0 0 1 2 1 0 0 1 2 3 б) А = 3 4 1 1 3 2 -х1 + 3х2 + 2х3 = 0, 2 х1 +2х2 - 4х3 = 16, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 18; 3 2 3 А = 3 3 5 2 4 1 4 0 1 Х= 1 4 4 1 2 4 13 25 1 4 5 4 26 25 8 1 2 3 0 1 3 5 2 А= 4 10 15 2 1 1 3 m х1 - 2 х2 + х3 - х4 + х5 2 х1 +х2 - х3+ 2 х4 -3 х5 3 х1 - 2х2 - х3 + х4 - 2 х5 2 х1 - 5х2 + х3 - 2х4 + 2 х5 = 0, = 0, = 0, = 0. 26 ВАРИАНТ № 23 1. 5 2 3 а) А = 4 3 3 0 0 5 1 0 2 2 2. 3. 1 1 16 7 2 2 0 б) А = 1 2 4 2 0 1 2 16 0 3 3 7 11 0 0 0 1 3 0 0 0 2 2 -х1 + 3х2 + 2х3 = 4, 2 х1 + 3х2 - 6х3 = 17, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 24; 4. 3 1 1 А = 4 1 3 1 0 1 5. 0 4 5 15 11 39 Х 5 4 1 = 0 11 21 1 3 4 7 17 34 6. 1 1 6 0 3 8 32 m А= 3 5 23 1 1 301 3 1 7. 2х1 + х2 - х3 - х4 + х5 = 0, х1 - х2 + х3+ х4 - 2 х5 = 0, 3х1 + 3х2 - 3х3 - 3 х4 + 4 х5 = 0, 4х1 + 5х2 - 5 х3 - 5 х4 + 7 х5 = 0. 27 ВАРИАНТ № 24 1. 2 5 2 б) А = 1 3 5 2 5 3 1 2 2 а) А = 4 5 3 2 3 2 10 1 0 1 3 12 0 3 1 1 2. 3. 12 4 0 3 2 3 3 0 0 0 2 2 0 0 0 -х1 + 3х2 + 2х3 = 8, 2 х1 +4х2 - 8х3 = 16, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 30; 4. 4 4 3 А = 1 2 1 0 5 2 5. 3 0 1 Х = 5 1 1 1 3 4 6. 1 2 8 1 2 3 11 4 А= 5 8 29 10 2 3 m 2 7. 16 18 2 11 19 9 5 8 29 2х1 - 2 х2 + х3 - х4 + х5 = 0, х1 + 2х2 - х3+ х4 -2 х5 = 0, 4х1 - 10х2 + 5х3 -5 х4 +7 х5 = 0, 2 х1 - 14х2 +7 х3 - 7 х4 + 11 х5 = 0. 28 ВАРИАНТ № 25 1. 2 2 0 0 0 2 0 0 2. 3. 4. 0 3 1 б) А = 3 2 5 3 42 1 5 1 0 а) А = 0 5 5 2 3 1 0 0 0 0 1 1 3 0 0 0 0 3 0 0 3 2 3 -х1 + 3х2 + 2х3 = 12, 2 х1 +5х2 - 10х3 = 13, 4 х1 - 3х2 + 5 х3 = 36; 0 3 2 А = 2 2 1 0 0 3 4 16 2 2 2 14 5. Х 4 2 2 = 20 10 10 0 3 3 8 12 4 6. 7. 1 2 7 1 3 18 48 m А= 1 1 0 2 3 7 23 1 х1 + 3х2 + 2 х3 - 2 х4 +5 х5 = 0, х1 - 2х2 + х3 - х4 +4 х5 = 0, х1 - 4х2 + х3 + х4 - х5 = 0, 3 х1 - 3х2 + 4 х3 - 2 х4 - х5 = 0. 29 РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА Задание 1 3 T T Для данной матрицы вычислить: а) ; б) . 5 5 2 3 3 4 а) 4 1 2 ; б) 5 2 2 . 0 2 0 5 4 2 Решение а) Последовательно находим 5 5 2 5 5 2 4 1 2 4 1 2 0 2 0 0 2 0 5 5 2 2 5 0 5 5 2 4 5 0 5 2 2 1 5 2 4 5 1 4 2 0 4 1 1 2 2 4 5 1 2 2 0 0 5 2 4 0 0 0 2 2 1 0 2 0 5 2 2 0 0 2 33 2 21 24 13 18 ; 8 2 4 5 173 26 161 33 2 21 5 2 24 13 18 4 1 2 172 25 94 . 8 2 4 0 2 0 48 26 36 3 2 3 5 5 б) Так как 3 2 4 , то 4 2 2 T 30 3 3 4 3 5 5 34 17 11 5 2 2 3 2 4 17 33 37 , 5 4 2 4 2 2 11 37 45 T 3 5 5 3 3 4 59 21 32 3 2 4 5 2 2 21 29 0 , 4 2 2 5 4 2 32 0 24 T 34 59 17 21 11 32 25 4 17 21 33 29 37 0 4 4 11 32 37 0 45 24 43 37 173 26 161 25 4 3 T T Ответ: а) 172 25 94 ; б) 4 4 48 26 36 43 37 T T 43 37 . 21 43 37 . 21 Задание 2 0 0 0 1 0 0 0 2 0 Вычислить определитель матрицы 0 1 3 2 0 2 0 2 3 2 0 Решение 0 0 0 1 0 0 0 2 0 1 3 0 2 0 2 0 2 3 2 0 0 0 0 0 1 1 1 3 0 25 0 0 1 1 2 0 2 0 0 2 3 2 0 0 31 0 1 0. 0 0 1 1 1 4 0 1 3 2 0 2 0 18 4 0 0 4 18 . 2 3 2 Ответ: 18. Задание 3 Решить систему линейных уравнений пол правилу Крамера x1 3x2 2 x3 4, 3x1 3x2 6 x3 36, 4 x 3x 5 x 20. 2 3 1 Решение 1 3 4 4 3 2 3 6 15 72 18 24 45 18 156. 3 5 3 2 1 36 3 6 60 216 360 120 540 72 1248. 20 3 5 1 2 3 4 1 3 3 4 x1 4 2 36 6 180 120 96 288 60 120 624. 20 5 3 4 3 36 60 36 432 48 180 108 0. 3 20 1 1248 624 0 8 x2 2 4 x3 3 0 156 156 156 ; ; . Ответ: X 8;4;0 . 32 Задание 4 Найти различными способами матрицу 1 , обратную данной матрице и проверить выполнение условия 1 . 2 1 0 2 2 5 1 5 1 Решение I способ. Для получения обратной матрицы образуем расши- ренную матрицу и воспользуемся тем, что ~ 1 2 1 0 1 0 0 0 9 2 1 0 2 : 2 2 5 0 1 0 ~ 0 8 3 0 1 2 ~ 1 5 1 0 0 1 1 5 1 0 0 1 0 9 2 1 1 2 0 1 0 0 1 8 43 9 43 2 43 ~ 0 43 2 0 3 2 1 5 ~ 0 1 0 3 43 2 43 10 43 ~ 1 1 2 0 1 2 0 0 1 0 0 23 43 1 43 5 43 1 0 0 23 43 1 43 5 43 ~ 0 1 0 3 43 2 43 10 43 1 . 0 0 1 8 43 9 43 2 43 Итак, 23 43 1 43 5 43 23 1 5 1 1 3 43 2 43 10 43 или 1 3 2 10 . 43 8 43 9 43 2 43 9 2 8 Проверкой убеждаемся, что 33 2 1 0 23 1 5 43 0 0 1 0 0 1 1 2 2 5 3 2 10 0 43 0 0 1 0 . 1 5 1 43 8 9 2 43 0 0 43 0 0 1 1 1 II способ. Воспользуемся формулой 2 матрица, присоединенная к . Так как 2 1 2 5 1 5 1 2 5 1 0 1 0 5 2 5 1 1 2 0 1 1 2 0 2 5 1 T , где 1 0 2 5 43 , то 5 1 2 2 1 5 23 3 8 2 1 1 2 9 1 5 , 5 10 2 2 1 2 2 то 23 3 8 23 1 5 1 1 1 1 2 9 3 2 10 . 43 43 9 2 5 10 2 8 23 1 5 1 1 Ответ: 3 2 10 . 43 9 2 8 T Задание 5 Решить матричное уравнение 4 1 3 2 14 16 10 5 1 3 1 X 7 3 0 3 3 12 18 34 Решение I способ решения состоит в нахождении (одним из способов) матрицы и решении уравнения AX B по формуле X A1B . Найдем обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы: 4 1 3 A 1 3 1 36 3 27 3 15 3 0 3 3 0 1 0 1 3 1 3 3 3 3 1 1 1 3 3 4 3 3 3 4 3 1 1 1 3 4 3 4 1 , 3 0 9 6 9 1 3 3 3 0 , 8 7 13 1 3 9 6 9 9 3 8 1 1 3 3 3 6 3 7 . 15 15 7 13 8 9 3 13 T 1 Тогда 9 3 8 2 14 16 15 60 15 1 4 1 1 1 X 6 3 7 7 10 5 30 30 45 2 2 3 15 15 0 0 75 0 0 5 9 3 13 3 12 18 1 II способ решения основан на эквивалентности A B ~ E A B : 4 1 3 2 14 16 0 13 7 26 26 4 A B 1 3 1 7 10 5 ~ 1 3 1 7 10 5 ~ 3 0 3 3 12 18 0 9 6 18 18 3 35 0 0 5 3 0 0 25 3 0 0 1 0 0 5 ~ 1 0 1 1 4 6 ~1 0 0 1 4 1 ~ 0 1 2 3 2 2 1 3 0 1 0 2 2 3 1 0 0 1 4 1 ~ 0 1 0 2 2 3 E A1B . 0 0 1 0 0 5 4 1 1 Поэтому X 2 2 3 . 0 0 5 4 1 1 Ответ: X 2 2 3 . 0 0 5 Задание 6 При каких значениях параметра m строки матрицы будут линейно независимы? 1 3 3 1 9 0 1 4 A 1 6 18 1 2 2 m 1 Решение Строки (столбцы) квадратной матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда ее определитель равен 0. Для удобства поменяем местами последние два столбца матрицы (это влияет лишь на знак определителя) и приведем ее к ступенчатому виду: 36 1 3 1 3 1 3 1 3 0 9 0 1 1 6 1 4 1 6 1 18 ~ 0 3 2 15 ~ 2 2 1 m 0 8 3 m 6 3 1 3 1 3 1 3 1 1 6 0 1 1 6 0 1 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 11 m 42 0 0 0 m 9 . ~ ~ Так как определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению диагональных элементов, то A m 9 , и строки матрицы линейно зависимы при A 0 , т. е. при m 9 . Ответ: m 9 . Задание 7 Найти размерность пространства решений и фундаментальный набор решений системы однородных линейных уравнений. x1 2 x 1 3x1 4 x1 3x2 6 x3 x2 3x3 3x4 4 x4 3x5 0, x5 0, 4 x2 8 x3 7 x4 4 x5 0, 7 x2 14 x3 10 x4 7 x5 0. Решение Опуская в расширенной матрице (нулевой) столбец свободных членов, решаем систему методом Гаусса: 37 3 3 1 3 6 3 3 1 3 6 2 1 3 4 1 0 5 9 2 5 3 4 8 7 4 ~ 0 5 10 2 5 ~ 4 7 14 10 7 0 5 10 2 5 1 9 2 15 2 0 5 2 9 2 ~ 0 0 1 0 0 1 0 92 1 5 2 1 9 2 0 0 9 2 . ~ 0 0 0 5 2 0 1 5 2 0 1 0 0 0 0 0 Переходя к системе уравнений, получим: 9 9 x1 2 x2 2 x5 0, 5 5 x2 x4 x5 0, 2 2 x 0 . 3 Выражая базисные переменные через свободные, имеем 9 9 x1 2 x2 2 x5 , 5 5 x4 x2 x5 , 2 2 x3 0. Откуда 9 5 5 9 X общ x2 x5 ; x2 ;0; x2 x5 ; x5 , 2 2 2 2 где x2 , x5 R . 38 Таким образом, размерность пространства решений исходной системы равна двум. Базис этого пространства (ФНР) можно найти, 5 9 ;1;0; ;0 , а 2 2 например, так. При x2 1 , x5 0 получаем X 1 9 2 5 2 при x2 0 , x5 1 находим X 2 ;0;0; ;1 . Векторы X1 , X 2 образуют фундаментальный набор решений исходной системы. Ответ: Размерность пространства решений равна двум. Фундаментальный набор решений: 5 9 X 2 ;0;0; ;1 . 2 2 39 5 9 X 1 ;1;0; ;0 , 2 2 Литература 1. Красс М. С. Основы математики и её приложения в экономическом образовании. 5 изд., испр. и доп. М.: ДЕЛО, 2006. 2. Красс М. С. Математика для экономических специальностей: Учебник. 4 изд., испр. М.: ДЕЛО, 2003. 3. Бабайцев В. А., Гисин В. Б. Сборник задач по курсу “Математика в экономике”. Ч. 1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование. В 3 ч. М.: Финансы и статистика; Ифра – М, 2010. 40