Задания 7 класса

Школьный этап олимпиады по математике в 7 классе.
Задание 1 (3 балла)
Квадрат числа состоит из цифр 0, 2, 3, 5. Найти его.
Задание 2 (2 балла)
Вася может получить число 100, используя десять семерок, скобки и знаки арифметических
действий:
100 = (77 : 7 — 7 : 7) · (77 : 7 — 7 : 7)
Улучшите его результат, используя меньшее число семерок, и получите число 100.
Задание 3 (3 балла)
Произведение первой цифры числа на оставшуюся часть равно 57, а произведение последней
цифры числа на оставшуюся часть равно 105. Найти это число.
Задание 4 (3 балла)
100 мышей за 100 дней съедают 200 кг крупы. Сколько зерна съедят 10 мышей за 10 дней?
Задание 5 (4 балла)
В XIX-XX веках Россией правили 6 царей династии Романовых. Вот их имена и отчества по
алфавиту: Александр Александрович, Александр Николаевич, Александр Павлович, Николай
Александрович, Николай Павлович, Павел Петрович. Один раз после брата правил брат, во всех
остальных случаях после отца - сын. Как известно, последнего русского царя, погибшего в
Екатеринбурге в 1918 году, звали Николаем. Найдите порядок правления этих царей.
Задание 6 (5 баллов)
Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что каждый из них
любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое. Сначала Белоснежка
попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто
любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит
фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых?
Задание 7 (5 баллов)
Странный дворник работает только по вторникам, пятницам и нечетным числам. Какое
наибольшее число дней подряд он может работать?
Задание 8 (5 баллов)
От моста поплыли: пловец против течения и мяч по течению. Через треть часа пловец вспомнил о
мяче и сразу поплыл за ним. Догнал он его в 2 км от моста. Какова скорость течения реки?
Решения
Задание 1
3025=552.
Задание 2
(77 — 7) : 7 · (77 — 7) : 7 = 100
(777 — 77) : 7 = 100
Задание 3
157
Задание 4
100 мышей за 100 дней – 200 кг
100 мышей за 10 дней – 20 кг
10 мышей за 10 дней – 2 кг
Задание 5
Ответ : Павел Петрович, Александр Павлович, Николай Павлович, Александр Николаевич,
Александр Александрович, Николай Александрович.
Решение :
В списке нет царя по имени Петр, следовательно, Павел Петрович был первый из этих царей.
Других Павлов нет, следовательно, братья Александр Павлович и Николай Павлович правили
сразу после Павла Петровича, сменив на троне один другого. Таким образом, последний царь был
Николай Александрович (других Николаев нет). Александр Николаевич не мог править после
последнего царя, значит, он унаследовал трон после Николая Павловича, который, следовательно,
правил после своего брата Александра Павловича. Тогда наследником Александра Николаевича и
отцом Николая Александровича мог быть только Александр Александрович.
Задание 6
Из условия задачи ясно, что правдивые гномы могут любить только сливочное мороженое, а
лживые — только шоколадное или фруктовое. Именно поэтому все гномы сказали, что любят
сливочное. Заполним табличку — отметим, что должны говорить правдивые и лживые гномы, в
зависимости от того, какой сорт им нравится.
Правдивый — любит только сливочное, признает это, а про остальные сорта говорит, что не
любит. Лживый гном, который любит шоколадное мороженое, скажет «нет» в ответ на второй
вопрос, и «да» — в ответ на третий. Если же лживый гном любит фруктовое, то он ответит «да» на
вопрос про шоколадное, и «нет» — про фруктовое.
Сливочное
Шоколадное
Фруктовое
Любит
да
нет
нет
Говорит
да
нет
нет
Любит
нет
да
нет
Говорит
да
нет
да
Любит
нет
нет
да
Говорит
да
да
нет
Правдивый
Лживый
Лживый
Из третьего столбца мы видим, что в любви к фруктовому мог признаться только лжец, который
любит шоколадное мороженое. Причем такой среди гномов — всего один. А из второго столбца
мы видим, что отрицают любовь к шоколадному мороженому все правдивые гномы и лжецы,
которые любят шоколад. Но таких лжецов, как мы уже узнали, всего один. Поэтому на второй
вопрос ответили «нет» все правдивые гномы и один лжец. То есть правдивых гномов — половина
минус один.
Задание 7
Дворник может работать 6 дней подряд. Например, 29 октября (понедельник), 30 октября
(вторник), 31 октября (среда), 1 ноября (четверг), 2 ноября (пятница), 3 ноября (суббота). Теперь
докажем, что дворник не может работать 7 или большее число дней подряд. Рассмотрим
семидневный рабочий промежуток. В него обязательно входят среда, четверг, суббота,
воскресенье и понедельник. Значит, они выпадают на нечетные числа. Если рабочий четверг шел
сразу за рабочей средой, то обязательно среда — последний нечетный день месяца (29 или 31
число), а четверг — первый день следующего месяца. Тогда минувшее и предстоящее
воскресенья выпадают на четные числа, то есть дворник в них не может работать. Противоречие.
Значит, рабочая среда шла до рабочего четверга, а потому в рассматриваемом промежутке были
следующие подряд идущие рабочие дни: четверг (нечетное число), пятница, суббота (нечетное
число), воскресенье (нечетное число), понедельник (нечетное число), вторник, среда (нечетное
число). Этот вариант тоже не подходит, так как трех подряд идущих нечетных дней (суббота,
воскресенье и понедельник) быть не может.
Задание 8
Скорость течения - 3 км/ч. Решение. Скорость удаления пловца и мяча равна скорости сближения
пловца и мяча и равна собственной скорости пловца. Удаление и сближение пловца и
мяча происходило на одно и то же расстояние и с одной и той же скоростью, значит
время движения пловца туда и обратно одинаково. Следовательно, мяч, плывший со скоростью
течения, проплыл два километра за 40 минут, т. е. скорость течения равна 3 км/ч.