Направленность программы: «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»

Направленность программы:
«Дифференциальные уравнения, динамические системы
и оптимальное управление»
5.1. Жорданова форма матрицы. Эрмитовы и унитарные матрицы, их
жорданова структура. Пространства Rn, Сn. Эрмитово скалярное произведение.
Эрмитова норма вектора и матрицы. Квадратичные и эрмитовы формы.
Критерий Сильвестра.
5.2. Метрические пространства. Полнота. Принцип сжимающих
отображений. Предкомпакты, компакты. Критерий компактности в С.
5.3. Банахово пространство. Линейный ограниченный оператор, его норма,
резольвента, спектр, интегральная формула Коши - Рисса. Теорема Банаха об
обратном операторе. Понятие о компактных операторах.
5.4. Гильбертово пространство. Теорема Рисса об общем виде линейного
непрерывного функционала. Пространство Соболева Н к.
5.5. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений
(ОДУ). Локальная теорема существования и единственности. Приведение
дифференциального уравнения n-го порядка к нормальной системе ОДУ.
Непрерывная зависимость решения от начальных данных.
5.6.Линейная однородная система ОДУ х = A(t)x . Матрица Коши U(t).
Формула для матрицы Коши в случае А= const.
5.7.Линейная неоднородная система ОДУ х = A(t)x  f (t ) . Метод вариации
постоянных. Формула Лиувилля.
5.8.Фазовое пространство автономной системы х = f(t) . Фазовые кривые,
фазовый портрет. Фазовый портрет стенных часов. Понятие о предельных
циклах, автоколебаниях.
5.9. Устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость. Теорема
Ляпунова от устойчивости по первому приближению. Критерий Рауса - Гурвица.
5.10.Ортогональные системы функций. Примеры полных ортогональных
систем. Разложение в ряд Фурье по полной ортогональной системе.
5.11.Гамма-функция Эйлера. Функции Бесселя. Свойства ортогональности
функций Бесселя.
5.12.Линейные интегральные уравнения. Классификация. Метод резольвент
для уравнения Вольтерра второго рода. Альтернатива Фредгольма для уравнения
Фредгольма второго рода.
5.13.Предмет математической физики. Основные этапы развития.
5.14.Классификация линейных уравнений с частными производными (УЧП)
второго порядка. Основные примеры линейных УЧП: уравнение колебаний,
уравнение теплопроводности, стационарное уравнение. Постановка некоторых
краевых задач. Основные методы решения.
5.15.Решение задач о колебаниях конечной струны и о радиальных
колебаниях круглой мембраны методом Фурье.
5.16.Преобразования Фурье, интеграл Фурье. Задача Коши для одномерного
уравнения теплопроводности. Парадокс бесконечной скорости распространения
тепла. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности.
5.17.Фундаментальное решение уравнения Лапласа (случаи n=2, n=3).
Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом функций Грина
(схема'метода).
5.18.Понятие о производной Фреше. Строгая
Формулировка задачи оптимального управления.
дифференцируемость.
5.19.Функция Лагранжа задачи оптимального управления. Обобщенный
метод Лагранжа.
Основная литература
1. В.Н.Феодосьев. Сопротивление материалов. – М.: Изд-во МГТУ им.
Баумана, 2007. – 588 с.
2. Александров А.В. и др. Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа,
2009. – 559 с.
3. Бутенин Н.В. Курс теоретической механики: в 2 т. / Н.В. Бутенин. – СПб:
Лань, 2008. – 729 с.
4. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные
уравнения. 4изд. М.,: Физматлит.,2005.
5. Романовский Р. К., Троценко Г. А., Алексенко Н. В. Метод функционалов
Ляпунова
для
почти
периодических
систем
функциональнодифференциальных уравнений. Омск, Изд-во ОмГТУ, 2007.
6. Романовский Р. К., Воробьева Е. В., Стратилатова Е. Н., Метод Римана для
гиперболических систем. Новосибирск: Наука, 2007.
7. Романовский Р.К., Степанов В.Н. Лекции по уравнениям математической
физики. Омск: изд. ОмГТУ, 2005.
8. Романовский Р.К., Стратилатова Е. Н. Элементы теории устойчивости.
Омск: изд. ОмГТУ 2009.
9. Романовский Р.К. Лекции по уравнениям математической физики.
Уравнения колебаний и диффузии. Омск: изд. ОмГТУ, 2004.
10.Кривошапко, С.Н. Сопротивление материалов [ Электронный ресурс]:
Лекции, семинары, расчётно-графические работы /С.Н.Кривошапко. –
М.:Юрайт-издат, 2012. – 413 с. (гриф).
11.Кривошапко, С.Н. Строительная механика: лекции, семинары, расчётнографические работы [Текст]: учеб.пособие для вузов на направлениям
подгот. и специальностям в обл. техники и технологии / С.Н.Кривошапко.
– М.: Высш.шк., 2008. – 390 с.
12.Балакин П.Д. Динамика машин: учебное пособие. – Омск: Изд-во ОмГТУ,
2006. – 317 с.
13. Дерягин Р.В. Вибрации машин и способы их снижения: учебное пособие
по машиностроительным специальностям. – Волгоград: Изд-во ВоГТУ,
2005. – 107 с. (гриф).
14. Ильин, М.М. Теория колебаний [Текст]: учеб. Для вузов по направлению
подгот. дипломир специалистов в обл. машиностроения и приборостроения
/ М.М.Ильин, К.С.Колесников, Ю.С.Саратов; под ред. К.С.Колесникова. –
2-е изд., стер. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003. – 271 с.
Дополнительная литература:
1. Яблонский А.А.. Курс теоретической механики. В 2 т. / А.А Яблонский. –
М.: Интеграл Пресс, 1988. – 603 с.
2. Николаи Е.Л.. Теоретическая механика. Т.2. Динамика. М.: Изд-во техникотеоретической литературы, 1957. – 484 с.
3. Геронимус Я.Л.. Теоретическая механика (очерки об основных
положениях).- М.: Наука, 1973.- 512 с.
4. Халфман Р.Л.. Динамика. – М.: Наука, 1972. – 568 с.
5. Теория механизмов и машин /К.В.Фролов, С.А. Попов и др. - М.: Высшая
школа, 1978. – 496 с.
6. Козловский М.З.. Динамика машин. – Л.: Машиностроение, 1989. – 263 с.
7. Бабанов И.М.. Теория колебаний. – М.: Наука, 1965. – 559 с.
8. Бессонов А.П.. Основы динамики механизмов с переменной массой звеньев.
– М.: Наука, 1967. – 279 с.
9. Вульфсон И.И.. Динамические расчеты цикловых механизмов. – Л.:
Машиностроение, 1976. – 281 с.
10.Кожевников С.Н.. Динамика машин с упругими звеньями. – Киев: Изд-во
АН УССР, 1961. – 160 с.
11.Пановко Я.Г.. Введение в теорию механических колебаний. – М.: Наука,
1971. – 239 с.
12.Яблонский А.А.. Курс теории колебаний. – М.: Высшая школа, 1976. – 248 с.
13.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. – М.: Наука, 1988.
– 712 с.
14.Варданян Г.С. и др. Сопротивление материалов. – М.: Изд-во ассоциации
строительных вузов, 1995. - 568 с.
15.Соболев С. Л. Избранные труды.т.1 Уравнения математической физики.
Новосибирск: Изд-во института математики, 2003.
16.Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные
уравнения. М.: Наука, 1998.
17.Понтрягин А.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,
1974.
18.Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.:
Физматлит, 2000.
19.Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин B.C. Оптимальное управление. М.:
Наука, 1979.
20.Колмогоров А.Н., Фомин B.C. Элементы теории функции и
функционального анализа. М.: Наука, 1976.
21.Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по
математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999.
22.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.:
Наука, 1967.
23.Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных
уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.