11. Окружности. Касательные и секущие. На этом занятии разбираются задачи, в решении которых используются окружности и их свойства. Решение двух последних задач основано на равенстве обеих касательных из одной точки к окружности и на использовании задачи 5. Задачи [16], [19], [13,c.53,70], [5,c.69], [4]. Литература Задача1. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D, и через точку В прямая, пересекающая окружности в точках Е и F(точки С и Е на одной окружности, D и F на другой). Доказать, что CBD = EAF. A C E m D n B F Решение. Рассмотрим АЕF и СВD, в них D =F, как вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу АmВ; С = Е, как вписанные углы опирающиеся на дугу АnВ. А так как сумма внутренних углов любого треугольника равна 180, то ЕАF = 180 Е F и CBD=180 C D и они равны между собой: ЕАF =CBD. Задача 2. Из точки М окружности, описанной около прямоугольника, опущены перпендикуляры МА и МВ на его диагонали. Зависит ли длина отрезка АВ от выбора точки М на окружности? Решение Задача 3. Верно ли, что радиус описанной около треугольника окружности не меньше диаметра окружности, вписанной в этот треугольник? Решение Задача 4. Три окружности, проходящие через точку М, попарно пересекаются в точках А, В, С. Через точку А проведена прямая, которая пересекает две из этих окружностей в точках D и E. Находится ли точка пересечения прямых ВD и СЕ на третьей окружности. Решение Задача 5. Пусть точки А, В, С, D лежат на окружности О. а) Пусть М точка пересечения продолжений отрезков АС и ВD, тогда |AM|·|MC| =|BM|·|MD|. б) Пусть M точка пересечения отрезков AB и DC за точки A и D, тогда |MA|·|MB| = |MD|·|MC|, т.е. это произведение зависит лишь от выбора точки М. в) Обратно из справедливости равенств в а) или в б) следует, что точки А, В, С, D лежат на одной окружности. г) Квадрат касательной к О из точки М равен произведению отрезков секущей. В С M А Решениe. a) АВМ CDM, так как АМВ = CMD, как вертикальные и АВМ = = MCD как вписанные в окружность и опирающиеся на одну и туже дугу.AM : MD = BM : MC AM·MC = BM·MD. D Задача 6. Как измерить угол между касательной к данной окружности в точке А и секущей, проходящей через эту же точку? Решение Задача 7. Из точки, взятой вне окружности, проведены две секущие. Найти величину дуги, которой измеряется угол между этими секущими. Решение Содержание