ФАН ч1

Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
А. Р. МИРОТИН, Ж. Н. КУЛЬБАКОВА,
И. В. ПАРУКЕВИЧ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
СБОРНИК ЗАДАЧ
Под редакцией А. Б. АНТОНЕВИЧА и Я. В. РАДЫНО
Допущено Министерством образования
Республики Беларусь
в качестве учебного пособия
для студентов специальности 1-31 03 01 02 − «Математика
(научно-педагогическая деятельность)»
Гомель
ГГУ им. Ф. Скорины
2012
УДК 517.518.112:517.98
ББК 22.162 я73
М 644
Рецензенты:
доктор физико-математических наук Ю. В. Малинковский;
кандидат физико-математических наук Л. П. Авдашкова
Рекомендовано к изданию научно-методическим советом
учреждения образования «Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Миротин, А. Р.
М 644
Функциональный анализ. Сборник задач для студентов
специальности 1-31 03 01 02 − «Математика (научнопедагогическая деятельность)» / А. Р. Миротин, Ж. Н. Кульбакова,
И. В. Парукевич; под ред. А. Б. Антоневича и Я. В. Радыно.
М-во образования РБ, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины. –
Гомель : ГГУ им. Ф. Скорины, 2012. 172 с.
ISBN 978-985-439-616-3
Предлагаемый сборник предназначен для проведения лабораторных
и практических занятий по функциональному анализу, его можно использовать также для самоконтроля при подготовке к экзамену. Содержит основные типы задач и примеры их решения.
Адресован студентам специальности 1-31 03 01 02 − «Математика
(научно-педагогическая деятельность)».
УДК 517.518.112:517.98
ББК 22.162 я73
ISBN 978-985-439-616-3
© Миротин А. Р., Кульбакова Ж. Н.,
Парукевич И. В., 2012
© УО «Гомельский государственный
университет им. Ф. Скорины», 2012
Содержание
Введение…………………………………………………………………..4
1 Теория меры и интеграл Лебега……………………………………….5
Тема 1.1 Элементы теории множеств……….………………………..5
Тема 1.2 Мера. Меры на R ………………….……………………….14
Тема 1.3 Измеримые функции. Интеграл Лебега…….…………….21
Тема 1.4 Интеграл Лебега-Стилтьеса……………………………….30
2 Метрические пространства…………………………………...………36
Тема 2.1 Сходящиеся последовательности в метрических
пространствах……………………………………………………………36
Тема 2.2 Топология метрических пространств……………………. 48
Тема 2.3 Полнота метрических пространств…………………… …56
Тема 2.4 Непрерывные отображения………………………………..64
Тема 2.5 Компактные множества в метрических пространствах…72
Тема 2.6 Сжимающие отображения………………………………....78
3 Линейные нормированные пространства и операторы в них……...84
Тема 3.1 Линейные нормированные пространства………………..84
Тема 3.2 Линейные ограниченные операторы в банаховых
пространствах………………………………………………………...…95
Тема 3.3 Обратные операторы…………………………………… 107
4 Линейные ограниченные функционалы и операторы
в нормированных пространствах………………………… ………….117
Тема 4.1 Линейные ограниченные функционалы…….…………..117
Тема 4.2 Спектр линейного непрерывного оператора…………. .130
Тема 4.3 Компактные операторы.………..........……………..…….140
5 Гильбертовы пространства и интегральные уравнения….………..146
Тема 5.1 Гильбертовы пространства. Основные понятия………...146
Тема 5.2 Сопряженные операторы……………..…………………..156
Тема 5.3 Интегральные уравнения ……………………………..….161
Список метрических/нормированных пространств,
встречающихся в книге……………………………………………….169
Литература...……………………………………………………………171
3
Введение
Функциональный анализ является одним из важнейших разделов
современного математического анализа. Он находит применение в
математической физике, теории функций, дифференциальных и интегральных уравнениях, численном анализе, теории вероятностей,
квантовой механике, математической экономике и ряде других областей науки.
Данный сборник содержит задачи, подобранные в соответствии с
программой курса «Функциональный анализ и интегральные уравнения» для студентов специальности 1-31 03 01-02 − «Математика
(научно-педагогическая деятельность)». При составлении сборника в
основном использовались материалы из [3, 4]. Предлагаемый сборник
направлен на закрепление теоретического материала путем самостоятельного решения задач, а также на овладение основными приемами и
методами решения задач по функциональному анализу.
Сборник предназначен в первую очередь для проведения лабораторных и практических занятий по курсу «Функциональный анализ и
интегральные уравнения». Подбор задач осуществлен в соответствии
с расположением учебного материала в программе дисциплины. Материал разбит на темы, по каждой из которых учебным планом ГГУ
им. Ф. Скорины по дисциплине «Функциональный анализ и интегральные уравнения» для студентов специальности 1-31 03 01-02 −
«Математика (научно-педагогическая деятельность)» предусмотрено
выполнение лабораторной работы. Для каждого типового задания подобрано 10 - 12 вариантов задач примерно одинаковой сложности.
Это позволит также использовать сборник для самоконтроля при подготовке к экзамену. Самостоятельное решение задач по функциональному анализу иногда вызывает трудности у студентов, поэтому пособие содержит примеры решения типовых задач.
4
1 Теория меры и интеграл Лебега
Тема 1.1
Элементы теории множеств
В «наивной», т. е. не аксиоматической, теории множеств понятия
«множество» и «элемент множества» считаются основными и не
определяются. Задать множество – это значит указать, из каких
элементов оно состоит. Равенство множеств А и В означает, что они
состоят из одних и тех же элементов. Для этого достаточно показать,
что каждый элемент множества А принадлежит В и обратно, каждый
элемент множества В принадлежит А.
Если некоторое отображение (функция) f определено на множестве
X и принимает значения в множестве Y, то этот факт записывается
следующим образом: f : X  Y .
В этом случае Х называется областью (множеством) определения
отображения f, а Y – областью (множеством) прибытия этого отображения. При этом множество значений, которое принимает отображение f на множестве X, называется еще образом множества X при
отображении f и обозначается f(Х). Таким образом,
f ( X ) :  f (a) | a  X  .
Аналогично определяется образ f(А) любого подмножества А множества Х (дайте это определение).
Если C  Y , то прообразом множества С при отображении f
называется множество всех точек из X, которые отображение f переводит в С. Это множество обозначают f 1 (C ) . Таким образом,
f 1 (C ) :  x  X | f ( x)  C .
Отметим, что, вообще говоря, f ( X )  Y . В случае, если равенство
имеет место, отображение f называется сюръективным (разумеется,
при фиксированном X это свойство зависит от выбора множества Y).
Если отображение f разные точки множества X переводит в разные,
оно называется инъективным. Биективным (биекцией) называется
отображение, которое инъективно и сюръективно.
Понятие биективного отображения позволяет сравнивать бесконечные множества «по величине». В частности, множества X и Y
называют равномощными (эквивалентными), если существует биективное отображение f : X  Y (пишем X  Y ). Мы пишем X  Y и
говорим, что мощность множества X не превосходит мощности
множества Y, если множество X эквивалентно некоторому подмно5
жеству множества Y . Это бинарное отношение является отношением порядка.
Простейшее из бесконечных множеств – это множество
натуральных чисел. Эквивалентные ему множества называются счетными.
Другими словами, множество счетно, если его элементы можно занумеровать натуральными числами, т. е. «расположить в последовательность». Легко видеть, что множество, эквивалентное счетному
множеству, само счетно (почему?).
Отметим следующие свойства счетных множеств.
Теорема 1. Всякое бесконечное множество A имеет счетное подмножество.
Теорема 2. Всякое подмножество счетного множества конечно
или счетно.
Теорема 3. (основная теорема теории счетных множеств).
1) объединение конечного семейства счетных множеств счетно;
2) объединение счетного семейства счетных множеств счетно;
3) объединение счетного семейства непустых конечных множеств
счетно.
Следствие 1. Прямое произведение конечного семейства счетных
множеств счетно.
Следствие 2. Множество рациональных чисел
счетно.
Часто бывает полезной
Лемма о сравнении мощностей. Пусть f : X  Y .
1) Если f инъективно, то X  Y .
2) Если f сюръективно, то X  Y .
Важной является следующая теорема:
Теорема 4 (Кантор). Множество действительных чисел несчетно.
Множества, эквивалентные множеству действительных чисел,
называются множествами мощности континуум.
Нам потребуются следующие системы множеств, которые часто
служат областями определения мер.
Определение 1. Пусть X – непустое множество. Непустая система A подмножеств множества X называется алгеброй множеств,
если она удовлетворяет следующим условиям (штрих обозначает
дополнение):
1) B1 , B2  A  B1 B2  A ;
2) B  A  B  A .
Алгебра множеств обладает следующими свойствами:
3) Ø, X A ;
4) B1 , B2  A  B1 \ B2  A ;
6
5) B1 ,, Bn  A 
n
n
j 1
Bj ,
j 1
Bj  A .
Таким образом, операции объединения, пересечения и разности, произведенные конечное число раз, не выводят из алгебры множеств.
Определение 2. Пусть X – непустое множество. Система B подмножеств множества X называется  -алгеброй, если она удовлетворяет следующим условиям:
1) B – алгебра множеств;
2) Bn  B 

n 1
Bn  B .
Легко доказать, что Bn  B 

n 1
Bn  B .
Определение 3. Пусть X – непустое множество. Непустая система
S подмножеств множества X называется полуалгеброй, если она
удовлетворяет следующим условиям:
1) B1 , B2  S  B1 B2  S ;
2) B  S  B1 ,, Bn  S : B 
n
j 1
Bj ;
3) X S .
1.1.1 Пусть A, B, C, D – произвольные множества. Доказать данные
равенства (таблица 1.1.1).
Таблица 1.1.1
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Равенство
A
B C   A C   B C 
A \ ( B C)  ( A \ B) ( A \ C)
A  B  A \ ( A \ B)
A \ ( B  C)  ( A \ B)  ( A \ C)
( A \ B)  C  ( A  C) \ ( B  C)
( A \ B) \ C  A \ ( B  C)
A \ ( B C D)  ( A \ B) ( A \ C) ( A \ D)
 A B C   A C   B C 
A
A
B   A'
'
B'
B   A' B'
A \ B  A ( X \ B) ( A, B  X )
( A B) \ C  ( A \ C) ( B \ C)
'
7
1.1.2 Пусть f : 2  , A, B  2 , C  [0;1] . Найти и изобразить
следующие множества: f ( A), f ( B), f ( A  B), f 1 (C ) . Выяснить, является ли отображение f инъективным, сюръективным, биективным
(таблица 1.1.2).
Таблица 1.1.2
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
f
f ( x, y )  x
f ( x, y )  y
f ( x, y)  x 2  y 2
f ( x, y )  sin x
f ( x, y )  sin y
f ( x, y )  x  y
f ( x, y )  x  y
f ( x, y )  3 x
8
9
10
f ( x, y )  5 y
11
f (x, y )  2 x 2
12
f (x, y )  1  x 2
f ( x, y )  x 2
A
( x; 0) x  [0;1]
(1; y) y  [0;1]
( x; x) x  [0;1]
( x;1) x  [0;  ]
(1; y) y  [0;  ]
( x; y) x, y  [0;1]
( x; y) x, y  [0;1]
( x; y) x, y  [0;1]
(1; y) y  [0;1]
(x; x) x [0;1]
( x; y) x, y  [0;1]
( x; y) x, y  [0;1]
B
(x;1) x [0;1]
(2; y) y  [0;1]
( x; x) x  [0;1]
( x; 2) x  [0;  ]
(2; y) y  [0;  ]
(1; y) y  [1; 3]
(1; y) y [0;3]
(1; y) y  [1; 3]
(2; y) y  [0;1]
(x;  x) x [0;1]
(x;  x) x [0;1]
(1; y) y  [1; 3]
1.1.3 Выяснить, являются ли следующие множества конечными,
счетными или множествами мощности континуум.
Вариант 1. Множество всех упорядоченных пар натуральных чисел.
Вариант 2. Множество всех конечных последовательностей рациональных чисел длины 3.
Вариант 3. Множество всех многочленов с целыми коэффициентами степени не выше 4.
Вариант 4. Множество всех прямоугольников на плоскости с вершиной (0,0) , у которых координаты вершин рациональны.
Вариант 5. Множество треугольников на плоскости вершиной (0,0) ,
у которых координаты вершин – целые числа.
Вариант 6. Множество всех открытых кругов на плоскости натурального радиуса, координаты центра которых рациональны.
8
Вариант 7. Множество всех параллелограммов на плоскости вершиной (0,0) , у которых координаты вершин рациональны.
Вариант 8. Множество всех замкнутых кругов на плоскости, у которых координаты центра и площадь являются натуральными числами.
Вариант 9. Множество всех кубов в трехмерном пространстве с
вершиной (0,0,0) , у которых координаты вершин – целые числа.
Вариант 10. Множество всех шаров в трехмерном пространстве,
у которых координаты центра и радиус – натуральные числа.
Вариант 11. Множество всех подмножеств множества , состоящих из трех элементов.
Вариант 12. Множество всех многочленов с рациональными коэффициентами.
1.1.4 Выяснить, образуют ли полуалгебру, алгебру,  -алгебру следующие системы подмножеств множества Х.
Вариант 1. Всевозможные промежутки вида (a; b] , содержащиеся
в полуинтервале (0; 1] , X  (0; 1] .
Вариант 2. Всевозможные дуги единичной окружности Т (как содержащие, так и не содержащие свои концы), включая пустую дугу и
всю Т, Х  Т.
Вариант 3. Всевозможные дуги единичной окружности Т (как содержащие, так и не содержащие свои концы), длина которых меньше
числа  , к которым добавлена пустая дуга и Т, Х  Т.
Вариант 4. Всевозможные промежутки, содержащиеся в отрезке
[0;1] , Х  [0;1] .
Вариант 5. Всевозможные промежутки, содержащиеся в , Х  .
Вариант 6. Все конечные и счетные подмножества множества ,
Х .
Вариант 7. Всевозможные прямоугольники вида [a; b)  [c; d ) , содержащиеся в квадрате [0;1)  [0;1) , Х  [0;1)  [0;1) .
Вариант 8. Множество всех прямоугольников на координатной
плоскости 2 (как содержащих, так и не содержащих некоторые свои
стороны), стороны которых параллельны осям координат, включая
пустой прямоугольник и 2 , Х  2 .
Вариант 9. Все ограниченные промежутки числовой прямой ,
Х .
Вариант 10. Всевозможные промежутки вида [ a; b) , содержащиеся
в полуинтервале [0;1) , X  [0;1) ;
9
Вариант 11. Множество всех конечных подмножеств счетного
множества Х.
Вариант 12. Множество всех квадрируемых (измеримых по Жордану) фигур на плоскости 2 , Х  2 .
Примеры решения типовых задач
1 Пусть A, B, C – произвольные множества. Доказать данное равенство между множествами.
Пример 1. A \ ( B \ C)  ( A \ B)  ( A  C) .
Решение. I Докажем включение
A \ ( B \ C )  ( A \ B)  ( A  C ) .
Пусть x  A \ ( B \ C ) . Тогда по определению разности множеств
x  A и x  B \ C . Построим отрицание к определению разности множеств: так как x  B \ C означает по определению, что x  B и x  C ,
то x  B \ C означает, что x  B или x  C . Итак, включение
x  A \ ( B \ C ) влечет x  A и ( x  B или x  C ) . Следовательно, воз-
можны два случая:
1) x  A и x  B . Тогда x  A \ B , а значит x  ( A \ B)  ( A  C ) ;
2) x  A и x  C . Тогда x  A  С , а значит, x  ( A \ B)  ( A  C ) .
Включение доказано.
II Докажем обратное включение
A \ ( B \ C)  ( A \ B) ( A C).
Пусть x  ( A \ B)  ( A  C ) . Тогда возможны два случая:
1) x  A \ B . Тогда x  A \ ( B \ C ) , так как это множество содержит
множество A \ B ;
2) x  A  С . Тогда x  A и x  B \ C , то есть x  A \ ( B \ C ) .
Итак, обратное включение тоже доказано. Следовательно,
A \ ( B \ C)  ( A \ B)  ( A  C) .
2 Пусть f : 2  , A, B  2 , C  [0;1] . Найти и изобразить множества f ( A), f ( B), f ( A  B), f 1 (C ) . Выяснить, является ли отображение f инъективным, cюрьективным, биективным.
Пример 1.
f ( x, y )  x  y , A   (x; y ) x, y  [0;1] , B  (x; 2) x  [0; 3] .
10
Решение. 1 Найдем f(A).
1 способ. Заметим, что (max
( x  y)  1, min ( x  y)  1. А так как
( x , y )A
x , y )A
функция f непрерывна, а множество А связно, то f принимает на А все
свои промежуточные значения по теореме Больцано-Коши. Следовательно, f ( A)  [1;1] .
2 способ. Покажем, что f ( A) :   x  y x, y  [0;1]  [1;1] . В самом
деле, с одной стороны,
 0  x  1 0  x  1

 1  x  y  1 ,

0  y  1 1   y  0
а потому f ( A )  [  1;1] .
С другой стороны, если t  [1;1] , то
а) при t  0 имеем t  t  0  f ( A) ;
б) при t  0 имеем t  0  (t )  f ( A) .
Следовательно, f ( A)  [1;1] . Доказанные включения показывают,
что f ( A)  [1;1]
2 Имеем f ( B) : x  y x [0; 3], y  2  [2;1] , так как неравенство
0  x  3 равносильно неравенству  2  x  2  1 .
3 Поскольку A  B  Ø, то f ( A  B)  Ø.
4 f 1( C ):  (x; y) x  y [0;1]  (x; y) 0  x  y  1 
  (x; y) y  x и y  x  1.
Следовательно, данное множество представляет собой пересечение
двух полуплоскостей, задаваемых неравенствами y  x и y  x 1,
т.е. полосу, заключенную между прямыми y  x и y  x  1 (рисунок 1).
Рисунок 1 – Множество f
11
1
(C )
Очевидно, отображение f является сюръективным (почему?), не
является инъективным (проверьте), а значит, не является и биективным.
3 Выяснить, является ли следующее множество конечным, счетным или множеством мощности континуум.
Пример 1. Множество всех замкнутых шаров в 3 натурального
радиуса, координаты центров которых являются целыми числами.
Решение. Обозначим данное множество через М. Если каждому
шару B[a; r ] из множества M поставить в соответствие точку
(a1 , a2 , a3 , r ) из 4 (мы полагаем a  (a1 , a2 , a3 ) ), то возникает отображение f : M  4 , которое, как легко проверить, инъективно (проверьте!). Следовательно, f есть биекция множества М на f(M). Но последнее множество счетно как бесконечное подмножество счетного
4
множества
(оно бесконечно, поскольку эквивалентно бесконечному множеству М). Следовательно, будучи эквивалентным счетному
множеству, множество М тоже счетно.
Пример 2. Множество действительных чисел из отрезка [0;1] , разложение которых в десятичную дробь неоднозначно.
Решение. Как известно, множество A всех чисел из отрезка [0;1] ,
разложение которых в десятичную дробь неоднозначно, есть множество всех рациональных чисел из [0;1] , представимых в виде конечной десятичной дроби. (В этом случае число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби двумя способами – с «хвостом» девяток и с «хвостом» нулей, например, 0,12 = 0,12(0) = 0,11(9)). Значит,
счетно. Поэтому А счетно как бесконечное подмножеА  . Но
ство счетного множества.
4 Выяснить, образует ли полуалгебру, алгебру,  -алгебру следующая система подмножеств данного множества Х.
Пример 1. Система всевозможных выпуклых многоугольников
(включая и пустой многоугольник), содержащихся в квадрате
X  [0,1]  [0,1] , (некоторые стороны могут не принадлежать многоугольнику).
12
Решение. Обозначим данную систему через A и проверим для нее
аксиомы алгебры:
1) пересечение двух выпуклых многоугольников, очевидно, является выпуклым многоугольником (выпуклый многоугольник есть пересечение конечного числа полуплоскостей), т. е. принадлежит A ;
2) дополнение до Х выпуклого многоугольника, лежащего строго
внутри Х, как легко видеть, не является выпуклым многоугольником, т.
е. не принадлежит A . Следовательно, A - не алгебра (а потому и не
 -алгебра).
С другой стороны, если М – выпуклый многоугольник, содержащийся в квадрате Х, то отрезки перпендикуляров, опущенных из его
вершин на стороны квадрата, разбивают дополнение M   X \ M на
конечное число выпуклых многоугольников (сделайте рисунок, иллюстрирующий это построение). Таким образом, A удовлетворяет
всем аксиомам полуалгебры.
13
Тема 1.2
Мера. Меры на
Определение 1. Пусть S есть полуалгебра подмножеств множества X . Отображение  : S  [0, ] , отличное от тождественной
 , называется мерой ( или  -аддитивной мерой), если оно удовлетворяет следующему условию:

если A 

n 1
An ( A, An S ) , то  ( A)    ( An ) ( -аддитивность).
n 1
Если же вместо условия  - аддитивности выполняется следующее
более слабое условие:
если A 
N
n 1
N
An ( A, An  S , N  ) , то  ( A)    ( An ),
n 1
то  называется конечно-аддитивной мерой.
Теорема 1 (свойства мер). Мера  на алгебре A подмножеств
множества X обладает следующими свойствами:



 
1)  -полуаддитивность: если Bn , Bn  A , то   Bn     ( Bn ) ;
n 1
 n 1  n 1
2) непрерывность снизу:
B, Bn  A , Bn  B   ( B)  lim
 ( Bn ) ;
n
3) непрерывность сверху:
B, Bn  A , Bn  B,  ( B1 )     ( B)  lim
 ( Bn ).
n
Система множеств
I   [a; b), (, b) | a  b, a, b  R 
называется полуалгеброй стрелок.
Определение 2. Пусть F :  – неубывающая функция. Мера
Лебега-Стилтьеса mF определяется на полуалгебре стрелок равенствами mF ([a, b))  F (b)  F (a), mF ((, b))  F (b)  F ().
При этом F называется функцией распределения меры mF (или
производящей функцией).
Определение 3. При F ( x)  x мера mF называется мерой Лебега
на прямой и обозначается m .
Теорема 2. Мера Лебега-Стилтьеса mF  -аддитивна тогда и
только тогда, когда ее функция распределения F непрерывна слева.
В частности, мера Лебега  -аддитивна.
1.2.1 Пусть  – конечная мера, определенная на алгебре A под14
множеств множества Х ; E , F , G A . Докажите следующие соотношения:
Вариант 1.
( Ø )  0.
Вариант 2.
 ( Е \ F )   ( E)   ( E  F ) .
Вариант 3.
E  F   (E \ F )   (E)   (F ) .
Вариант 4.
E  F   (E)   (F ) .
Вариант 5.
 ( E  F )   ( E)   ( F ) .
Вариант 6.
Если E  F ,  ( F )  0 , то  ( E )  0 .
Вариант 7.
 ( Е F G)   ( E)   ( F )   (G)   ( E F )   ( E G)   (G
  ( E F G) .
Вариант 8.
 ( E  F G )   ( E)   (G F )   ( E G F ) .
Вариант 9.
E  F   ( E F )   ( E )   ( F ) .
Вариант 10.
 ( EF )   ( E)   ( F )  2 ( E F ) .
Вариант 11. Если  ( An )  0, то 
 A   0 (A ,

n 1
n
n

n 1
F) 
An  A  .
1
1
 ( X ),  ( F )   ( X )  E F  Ø
2
2
( EF  ( E \ F )  ( F \ E ) - симметрическая разность множеств E и F.).
Вариант 12.  ( E ) 
1.2.2 Пусть X  , I   [a; b), (, b) | a  b, a, b  R  – полуалгебра стрелок. Рассмотрим функцию на I , задаваемую равенствами
mF ([a, b))  F (b)  F (a), mF ((, b))  F (b)  F ().
При каких значениях параметра  эти формулы задают: а) конечно-аддитивную меру; б)  -аддитивную меру? Если мера не является
 -аддитивной, то указать множество AI
и его разбиение
A


Ak , Ak  I , такое, что mF ( A)   mF ( Ak ) (таблица 1.2.2).
k 1
k 1
15
Таблица 1.2.2
Вариант
1
2
3
Вариант
F
0, t  0,

F (t )   , t  0,
e t , t  0

7
et , t  1,

F (t )   , t  1,
t  2, t  1

0, t  0,

F (t )    2, t  0,
1, t  0

4
0, t  10,

F (t )    2, t  10,
1, t  10

5
et , t  1,

F (t )   , t  1,
t  3, t  1

6
t  1, t  1,

F (t )   , t  1,
t  3, t  1

F
 5, t  2,

F (t )    7, t  2,
5, t  2

8
t , t  3,

F (t )   , t  3,
5, t  3

9
t , t  0,

F (t )   , t  0,
 2, t  0

10
t , t  5,

F (t )   , t  5,
7, t  5

11
 7, t  4,

F (t )    7, t  4,
5, t  4

12
 1, t  0,

F (t )   , t  0,
t 2 , t  0

1.2.3 Выяснить, является ли множество A  [0;1] измеримым и
найти его лебегову меру, если A   x  | f ( x)   (таблица 1.2.3).
Таблица 1.2.3
Вариант
1
2
ctg x
Вариант
7
8
sin2 x
sec x
3
cosec x
9
tg 3x
4
sin x
10
tg 2 x
5
6
ctg 2 x
| sin x |
11
12
sec 2 x
cos3 x
f
16
f
tg x
Примеры решения типовых задач
1 Пусть  – конечная мера, определенная на алгебре A подмножеств множества Х ; E, F A . Докажите указанное соотношение.
Пример 1.  ( E  F )   ( E)   ( F )   ( E  F ) .
Решение. Так как
E F  ( E \ F ) ( F \ E) ( E F ) ,
E  ( E \ F ) ( E F ) , F  ( F \ E) ( E F )
(рисунок 2), то по свойству конечной аддитивности меры получим
(1)
 ( E  F )   ( E \ F )   ( F \ E)   ( E  F ) ,
(2)
 ( E)   ( E \ F )   ( E  F ) ,
(3)
 ( F )   ( F \ E)   ( E  F ) .
Рисунок 2 – Множества E, F , E \ F , F \ E
Выразив  ( E \ F ) и  ( F \ E ) из (2) и (3) и подставив полученные выражения в (1), после преобразований получим
 ( E  F )   ( E)   ( F )   ( E  F ) .
2 Пусть X  , I   [a; b), (, b) | a  b, a, b  R  – полуалгебра
стрелок. Рассмотрим функцию на I , задаваемую равенствами
(1)
mF ([a, b))  F (b)  F (a), mF ((, b))  F (b)  F ().
При каких значениях параметра  эти формулы задают: а) конечно-аддитивную меру; б)  -аддитивную меру? Если мера не является
и его разбиение
 -аддитивной, то указать множество AI
A


Ak , Ak  I , такое, что mF ( A)   mF ( Ak ) .
k 1
k 1
n  t , t  (n; n  1),
Пример 1. F (t )  
  2n, t  n,
где n пробегает множество целых чисел.
17
Рисунок 3 – Фрагмент графика функции F на множестве
\
Решение 1 Легко видеть, что формулы (1) задают конечноаддитивную меру тогда и только тогда, когда F - неубывающая
функция. Мы видим (рисунок 3), что на множестве \ функция F
не убывает. Для того чтобы эта функция не убывала на всем , необходимо и достаточно, чтобы n 
выполнялись условия
2n  1    2n  2n , или
F (n  0)  F (n)  F (n  0) , то есть
  [1; 0] . Итак, данная мера конечно-аддитивна тогда и только тогда, когда   [1; 0] .
2 Как известно, данная формула будет задавать  -аддитивную меру тогда и только тогда, когда F  неубывающая и непрерывная слева
функция. Так как F непрерывна на \ , то для этого необходимо и
достаточно, чтобы F была непрерывна слева в точках t  n, n  ,
то есть F (n  0)  F (n) , или 2n  1    2n . Отсюда   1 .
3 Пусть теперь   1 , то есть   (1; 0] . Тогда мера mF не является  -аддитивной. Возьмем точку разрыва функции F , например,
t  1 , и рассмотрим множества
1
1 

1 
;1 
A   ;1 , Ak  1 
, k  .
k 2
 k 1
2 

Тогда A   Ak (проверьте), но
k 1
mF ( A)  F (1)  F (1 / 2)    2  1/ 2    3 / 2 .
А в то же время



1
1 

mF ( Ak )   1 
 1 

 
k  2  k  1  
k 1
k  1
18

1   1 1 1 1
1
3
 1
 

          ...     ,
k  2  2 3  3 4
2
2
k  1 k  1
так как   1 .
3 Выяснить, является ли данное множество A  [0;1] измеримым и
найти его лебегову меру, если:
Пример 1. A  x  | f ( x) 
, а
f (x) = sin 2 x .
Решение. Для любого рационального q уравнение sin 2 x  q имеет
счетное или пустое множество решений M q (найдите эти решения).
| q [0;1]
 счетно. Заметим,
что m(a)  0 для любого а из ¡ (докажите). Значит, А измеримо,
причем m( A)  0 (объясните, почему).
Следовательно, множество A 
M
q
Пример 2. Множество A состоит из точек отрезка [0;1] , у которых
существует десятичное представление, содержащее хотя бы одну
цифру 2.
Решение. В дальнейшем мы будем пользоваться следующими двумя свойствами меры Лебега на прямой:
(2)
m( x  A)  m( A), m( xA) | x | m( A),
которые справедливы для любого числа х и любого измеримого множества А.
Заметим, что дополнение A'  [0;1) \ A состоит из чисел, у которых
существует десятичное представление, не содержащее цифру 2.
Найдем m(A' ) . Пусть


Bk  x  0, x1 x2 ...  [0; 1) x j  2, при j  1,...,k .
Тогда
ясно,
что
A' 

Bk .
Кроме
того,
множество
k 1
B'1  [0;1) \ B1  x  0,2x2 x3 ...  [0,2; 0,3) измеримо. Теперь заметим,
что B2 
 0,1n  0,1B1  (объединение берется по всем цифрам n, отn2
личным от 2). В самом деле, x  B2  x  0, nx 2 x3 ... , где цифры
n, x2  2  x  0,1n  0,1 0, x2 x3 ...  0,1n  0,1x ' , где x'  0, x2 x3 ... B1 
x   0,1n  0,1B1  , n  2 . Поэтому B2 измеримо и m( B2 )  (9 /10)m( B1 )
(мы воспользовались свойствами (2)). Аналогично получаем, что
19
B k измеримо для любого k и m( Bk )  (9 /10)m(Bk 1 ) . Следовательно,
по индукции
A' 

k 1
m( Bk )  (9 / 10)k  m( B1 ) . Таким образом, множество
Bk измеримо. Более того, поскольку B1  B2  B3  ... , то в
силу свойства непрерывности меры сверху имеем
k
9
m( A' )  lim m( Bk )  lim   m( B1 )  0 .
k 
k  10 
А так как m([0; 1])  1, то m( A)  1  m( A' )  1 (это означает, что вероятность того, что у случайно взятого числа x  [0;1] в десятичной записи есть цифра 2, равна 1!).
20
Тема 1.3
Измеримые функции. Интеграл Лебега
Всюду ниже  есть  -аддитивная мера, определенная на  алгебре B подмножеств множества Х. Элементы системы B называются  -измеримыми (измеримыми, если ясно, о какой мере идет
речь) множествами.
Определение 1. Функция f : X  называется  -измеримой (измеримой, если ясно, о какой мере идет речь), если c  множество
X ( f  c) :  x  X | f ( x)  c
принадлежит B , то есть является измеримым.
Семейство всех измеримых функций образует алгебру относительно поточечных операций сложения и умножения функций, а
также умножения функции на число.
Определение 2. Функция  : X  называется простой, если она
измерима и множество ее значений конечно.
Простые функции тоже образуют алгебру относительно поточечных операций сложения и умножения функций, а также умножения функции на число.
Важным примером простой функции является индикатор множества A B (характеристическая функция множества A ), определяемый равенством
1, x  A
.
 A ( x)  
0,
x

A

Каждая простая функция единственным образом может быть представлена в виде
n
 ( x)   ai  A ( x),
i 1
i
где числа ai попарно различны, Ai  B, X  i 1 Ai . Это представление
называется каноническим.
Определение 3. Пусть  – неотрицательная простая функция на X
с каноническим представлением
n
n
   ai  A .
i 1
i
Интеграл от функции  определяется равенством
21
n
  ( x)d  ( x)   a  ( A ).
i
i 1
X
i
Определение 4. Пусть f – неотрицательная измеримая функция на
X . Интеграл от функции f определяется равенством
 fd   lim  n d  ,
n
X
X
где  n – последовательность неотрицательных простых функций, которая не убывая сходится к f.
Возможны и другие (равносильные) определения (см., напр., [2, 6]).
Определение 5. Пусть f – измеримая функция на X , а f  и f  – ее
положительная и отрицательная части соответственно. Интеграл от
функции f определяется равенством


 fd    f d    f d 
X
X
X
при условии, что интегралы в правой части существуют и конечны.
При этом функция f называется интегрируемой (пишут f  L1 ( X ,  ) ).
Интеграл Лебега функции f по множеству E B определяется равенством
 fd    f  E d  .
E
X
Теорема 1 (о сравнении интеграла Лебега с собственным интегралом Римана). Если функция f :[a; b] 
интегрируема по Риману,
b
то f  L1 [a; b] и  f ( x)dx   f ( x)dm( x).
a
[ a ;b ]
Аналогичный результат верен и для n-кратного интеграла.
Теорема 2 (критерий Лебега интегрируемости по Риману). Функция f :[a; b]  интегрируема по Риману тогда и только тогда,
когда она ограничена, и мера множества ее точек разрыва равна
нулю.
Теорема 3 Если f  L1 ( X ,  ) и f  g  -п.в., то g  L1 ( X ,  ) и
 fd    gd  .
X
X
4
1.3.1 Докажите, что функция    n  An является простой, а затем,
n 1
пользуясь определением интеграла от простой функции, вычислите
  (t )dm(t ) (таблица 1.3.1).
[ 0; 2 ]
22
Таблица 1.3.1
Аn
Вариант
Вариант
1

1
;
1


n 
 1 
1  n ; 1
 1
0; n 
1

0;1


n 
1 
 n ; 2 
1

0;
2


n 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Аn
 1 
2  n ; 2
 1 
1  n ; 2
2 
 n ; 2
1

0;1


n 
1 
 n ;1
1 
 n ; 2 
1.3.2 Для функции f :[a; b]  (таблица 1.3.2):
а) выяснить, является ли f ограниченной;
б) найти меру Лебега множества ее точек разрыва;
в) определить, существует ли от нее собственный или несобственный интеграл Римана;
г) выяснить, измерима ли f ;
д) найти интеграл Лебега  f (t )dt , если он существует.
[ a; b]
Таблица 1.3.2
Вариант
1
1
2
a
2
3
0
f (t )
4
b
3
2
1
 1
, t [3;1] \ ,
3
 3t
t 2  1, t  [1;2] ([3;1]

 1
, t  [0;1]

2
t

2

et , t  (0;1) \

23
,
)
Окончание таблицы 1.3.2
1
2
3
3
1 e
e
4
1
1
5
1

6
0
2
7
1
2
8
0
1
9
1

10
1
1
11
0
2
12
-1
1
4
 1
, t  [  1 e ; e] \ ,

 t2
arctg 2t , t  [1 e ; e]
 1
, t  [1;1] \ ,

t  2
 tg 2t , t  [1;1]
 sin t , t  [1;  ] \ ,

 1
 t  2 , t  [1;  ]
 sin t , t  [0;2] \ ,

2
cos t , t  [0;2]
 1
, t  [1;2] \ ,

t  5
 tg t , t  [1;2]
 1
, t  [0;1]
,

2
t

1

 e4t , t  (0;1) \
t sin t , t  [1;  ] \ ,

 1
 t  2 , t  [1;  ]
 1
, t  [1;1] \ ,

 t 3
ctg 2t , t  [1;1]
 t
sin   , t  [0;2] \ ,
 2
 cos t 2 , t  [0, 2]

 1
, t  [1;1]  ,

t

3

 ln | t |, t  [1;1] \
24
1.3.3 Доказать существование и вычислить
 f dm
2
, где
A
A  [0;1]  [0;1] , m2  плоская мера Лебега (таблица 1.3.3).
Таблица 1.3.3
Вариант
Вариант
f
1
y 1
x, y ,


 x 2  y, 1 

y
2
1, x  y  ,
 3
 xy , x  y 
3
 x2 x
e , y  ,


 1 ,x
 x 2  1 y
7
8
9
4
e xy , x  y  ,

 x  y, x  y 
5
 x3 x
e , y  ,


 x ,x
 x 2  4 y
11
6
sin yx, y  ,

 2 x  y, y 
12
10
25
f
e xy , x  y  ,

 x  y, x  y 
 x
,x ,

sin
y

 e x y , x 

x y , y  ,

 x  y, y 
2y 1
 x ,y ,


 x 2  y, 1 

y
2, x  y  ,
 4
 xy , x  y 
 x  y, x  y  ,
 4
 xy , x  y 
Примеры решения типовых задач
3
1 Докажите, что функция    n А является простой, а затем,
n 1
n
пользуясь определением интеграла от простой функции, вычислите
  (t )dm(t ) .
Пример 1. Множество An есть отрезок 1; 3  1 / n.
Решение. Легко подсчитать, что
6, t  [1;2],

1
5, t  (2;2 ],

2
 (t )  
3, t  (2 1 ;2 2 ],

2 3
0, в остальных случаях

(произведите эти подсчеты). Следовательно, график функции 
имеет вид
Рисунок 4 – График функции 
Таким образом, каноническое представление этой функции есть
  6[1;2]  5 1   3 1 2 
 2;2 
2

 2 ;2
 2 3 
(объясните, почему). Поскольку индикатор  A измерим, когда (и
только когда) измеримо множество А, то данная функция измерима,
26
как линейная комбинация измеримых, а потому является простой,
причем по определению
1
1
R  (t )dm(t )  6  1  5  2  3  6  9 .
2 Для функции f :[a; b]  :
а) выяснить, является ли f ограниченной;
б) найти меру Лебега множества ее точек разрыва;
в) определить, существует ли от нее собственный или несобственный интеграл Римана;
г) выяснить, измерима ли f ;
д) найти интеграл Лебега  f (t )dt , если он существует.
[ a; b]
2  ln t , t  [1;2] \ ,

 1
, t  [1;2]
,
Пример 1 a  1, b  3, f (t )  
t  2
sin t , t  (2;3].
1
не ограничена на множеt 2
стве [1;2]
(докажите), то f  неограниченная функция.
Покажем, что множество точек разрыва функции f есть отрезок
[1; 2] , из которого удалена некоторая точка а. Пусть t [1;2] . Рассмотрим последовательность точек tn  (1; 2)
, такую, что t n  t
при n   . Тогда f (tn )  1 / (tn  2)  1 / (t  2) , если t  2 , и
Решение. 1) Поскольку функция
f (tn )  1 / (tn  2)   , если t  2 .
С другой стороны, если мы возьмем последовательность точек
xn  t ,
такую,
что
то
будем
иметь
xn  (1; 2) \ ,
n   . Следовательно, если
при
f ( xn )  2  ln xn  2  ln t
2  ln t  1/ (t  2) ,
то
lim f ( x)
x t
не
существует,
а
если
2  ln t  1/ (t  2) , то существует lim f ( x)  f (t ).
xt
Резюмируя, получаем, что функция f разрывна в тех и только тех
точках t [1;2] , для которых 2  ln t  1/ (t  2) . Но уравнение
2  ln t  1/ (t  2)  0 имеет единственное решение a  ( 2, 2) (докажите это, используя теорему о промежуточном значении и монотон27
ность левой части). Таким образом, множество точек разрыва функции f есть [1; 2]\{a} , а, стало быть, мера множества точек разрыва
функции f равна 1.
3) Из результата пункта 1 следует, что функция f не интегрируема
по Риману на отрезке [1; 3] ..
Что касается несобственного интеграла, то он не существует, так
как в силу критерия Лебега не существует риманов интеграл

1
2 
f (t )dt (см. определение несобственного интеграла от неограни-
ченной функции, определенной на конечном промежутке).
4 Определение функции f можно переписать в виде
1
f (t )  (2  ln t )  [1,2]\ (t )  sin t   (2,3] (t ) 

(t )
t  2 [1,2]
(подумайте, почему). Поскольку измеримые функции образуют алгебру, а непрерывные функции и индикаторы измеримых множеств
измеримы, из этого равенства следует, что функция f тоже измерима.
5 Так как m( )  0 , то
2  ln t , t  [1;2],
f (t )  
: g (t ) п. в.
sin
t
,
t

(2;3]

Поэтому интеграл Лебега для функции f по отрезку [1; 3] совпадает с
интегралом Лебега (а потому и с интегралом Римана) для функции g
по этому отрезку. Следовательно,

[1;3]
2
3
f (t )dt   (2  ln t )dt   sin tdt  2  (t ln t  t ) 1  cos t 2 
2
1
3
2
 2ln 2  1  cos2  cos3 .
3 Доказать существование и вычислить
 f dm
2
, где m2  плоская
A
мера Лебега, A  [0;1]  [0;1] .
x

x
,
 ,

y 1
Пример 1. f ( x, y )  
 x sin y, x  .

y 1
Решение. Докажем, что f ( x, y )  x sin y m2 - почти всюду на множестве A . Действительно, f ( x, y )  x sin y , если ( x; y)  N , где
28


x
N :  ( x; y)  A
 .
y 1


x
1
Далее, равенство
 q равносильно y  x  1, y  1 , если
q
y 1
q  \ 0 , и x  0 , y  1, если q  0 . Значит, множество N содержится в объединении счетного множества прямых lq . А так как
m2 (l )  0 для любой прямой l, то m2 ( N )   q m2 (lq )  0 . Следователь-
но, существует интеграл
1  cos1
2
A
0 0
0
0
A
(мы восплользовались тем, что двойной интегрвал Римана функции
g(x,y), если он существует, совпадает с интегралом от g(x,y) по плоской мере Лебега).
1 1
1
1
 f dm   x sin ydm ( x, y)   x sin ydxdy   xdx sin ydy 
2
2
29
Тема 4
Интеграл Лебега-Стилтьеса
Определение 1. Пусть функция F :[a; b] 
не убывает и непрерывна слева, mF – мера Лебега-Стилтьеса с функцией распределения F . Тогда интеграл A f dmF , ( A  [a; b] – борелевское множество) называется интегралом Лебега-Стилтьеса функции f и обозначается
 f dF .
A
При этом F называют интегрирующей, а f – подынтегральной
функцией.
Понятие интеграла Лебега-Стилтьеса обобщается на более широкий класс интегрирующих функций.
Определение 2. Пусть F – функция на [ a; b] . Для разбиения
P  {a  x0  x1  xn1  xn  b} отрезка [a; b] положим
n
S ( P)   |F ( xk )  F ( xk 1 ) | .
k 1
Функцию F будем называть функцией ограниченной вариации (или
функцией c ограниченным полным изменением) на [ a; b] , если числа
S ( P ) ограничены в совокупности. В этом случае число
Vab ( F )  sup S ( P)
P
называется полной вариацией (или полным изменением) функции F на
отрезке [ a; b] .
Класс всех функций c ограниченным полным изменением на [ a; b]
обозначим BV [ a; b] . Это векторное пространство относительно обычных (поточечных) операций над функциями.
Известно, что BV [ a; b] совпадает с классом функций, представимых в виде F  F1  F2 , где функции Fi определены на отрезке [ a; b] и
не убывают (теорема Жордана). Это представление называется разложением Жордана функции F.
Определение 3. Пусть F –функция на [ a; b] ограниченной вариации с разложением Жордана F  F1  F2 . Интеграл Лебега-Стилтьеса
функции f с интегрирующей функцией F определяется следующим
образом:
 fdF   fdF   fdF .
1
[ a ;b )
[ a ;b )
30
2
[ a ;b )
1.4.1 Пусть X 
,и
0 ,t  0 ,

1, 0  t  2 ,
F( t )  
5, 2  t  3,
7 ,t  3.

Вычислить  f ( x)dF ( x) (таблица 1.4.1).
R
Таблица 1.4.1
Вариант
f (t )
Вариант
1
ex
f (t )
cos x
7
x 1
ex
x2 1
sin x
x 1
2
3
8
5
sin
9
x4
x
4
x2  ex
10
x3
5
x 2  3x  4
11
cos x
x 1
6

cos 
2
12
sin  x

x

1.4.2 Проверить, что заданная на отрезке [ a; b] функция g не убывает и непрерывна слева. Рассмотреть меру Лебега-Стилтьеса m g , порожденную функцией g . Найти:
а) меру каждого одноточечного множества;
б) меру канторова множества С;
в) меру множества рациональных чисел, лежащих на отрезке [ a; b] ;
г) интеграл  f dmg , если он существует (таблица 1.4.2).
[ a; b )
31
Таблица 1.4.2
Вариант
a
b
t 2 ,t  [1;3\2] ,

t  2,t  (3\2;2]
2t  1,t  [ - 3 ;1] ,

t  4,t  (1; ]
2t , t  [1;2) \ ,

sin t , t  [1;2)
(cos t )2sin t , t [3 ;  ) \
2
t , t [3 ;  )
1
t 2 ,t  [0;1\ 2] ,

t  1,t  (1\ 2;1]
e
2  3t 3 , t [0;1] ,

t  6, t  (1; e]
2t , t [0;1)
,

arccos t , t [0;1) \
arctg t , t  [0; e)

 ln t , t  [0; e) \
1
1
2
2
 3

3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
0
f (t )
g (t )
,
et , t  [1;1)
,

1 (t  2), t  [1;1) \
t ,t [-1;1\ 2] ,

t  2,t  (1\ 2;1]
t  2,t  [0; 3\ 2] ,

5  lnt,t  (3 \ 2;e]
(sin t )3 , t [0; e)

t ln t , t [0; e) \
2
t 3 , t  [0;3 \ 2] ,

t  2, t  (3 \ 2;2]
3t , t [0;2) \ ,

sin t , t [0;2)

t  1, t  [ ;1] ,

t  7, t  (1;  ]
0
2
t 3 , t [0;1\ 2] ,

t  1, t  (1\ 2;2]
(cos t )4sin t , t [ ;  ) \
 2
7t , t [ ;  )
5t , t [0;2)
,

arcsin t , t [0;2) \
0
2
1
0
0

0
-1
1
e
e
1  3t 3 , t [0;1] ,

2
t  9, t  (1; e ]
3
et , t [0;2] ,

t  10, t  (2;3]
1
  t 
sin   , t  [1;0] ,
  2
t  2, t  (0;1]

32
,
2
,
,
arcctg t , t  [0; e2 )
,

2
 ln t  2, t  [0; e ) \
t2
,
 2 , t  [0;3)
t 1
t , t  [0;3) \
(arctg t )2 , t [1;1)

t , t [1;1) \
,
Примеры решения типовых задач
0 , t  0 ,
3, 0  t  1,

1 Пусть X  , и F( t )  
8,1  t  4,
7 , t  4.
Вычислить  f ( x)dF ( x) .
Пример 1. f ( x)  ln( x  1) .
Решение. Воспользуемся тем, что для любой кусочно-непрерывнодифференцируемой функции F :[a; b]  , имеющей только точки
разрыва первого рода t1 ,..., tn [a; b] со скачками h1 ,..., hn соответственно и непрерывной слева, и для любой функции f  L1 (mF ) (здесь и
ниже mF – мера Лебега-Стилтьеса, с функцией распределения F)
справедливо равенство

f (t )dF (t ) 
[ a ;b ]

n
f (t )  F ' (t )dt   f (t k )  hk .
(1)
k 1
[ a ;b ]
В данном случае F имеет точки разрыва 0; 1 и 4 со скачками 3; 5 и
–1 соответственно, а F (t )  0 почти всюду. Кроме того, в силу непрерывности меры снизу, имеем: mF ((; 0))  lim mF ([n; 0))  0 , и анаn
логично, mF ((4;  ))  0 (другими словами, мера mF сосредоточена
на отрезке [0; 4] ). Значит, по формуле (1)
 f ( x)dF ( x)  
fdF ( x)  f (0)  3  f (1)  5  f (4)  (1) 
[0;4]
 5ln 2  ln 5  ln 6,4 .
2 Проверить, что заданная на отрезке [a; b] функция g не убывает
и непрерывна слева. Рассмотреть меру Лебега-Стилтьеса m g , порожденную функцией g . Найти:
а) меру каждого одноточечного множества;
б) меру канторова множества C ;
в) меру множества рациональных чисел, лежащих на отрезке [ a; b] ;
г) интеграл  f dmg , если он существует.
[ a; b )
33
Пример 1. a  0, b  9,
t 3 ,t  [0;1],
 t 2 1
 t
g (t )  e ,t  (1; 2], , f (t )   t 4  1 , t  [0;9)

2t , t  [0;9) \ .

t  9 ,t  (2; 9]
,
Решение. Ясно, что g  неубывающая функция и имеет точки разрыва t1  1, t1  2 со скачками h1  e  1, h2  11  e 2 соответственно, в
которых она непрерывна слева (рисунок 5).
1) Если a  1 и a  2 , то (обоснуйте нижеследующие выкладки)


1 
1 
mg a  mg  a; a     lim mg  a; a    
n   n  
n 
 n1 
1
 

 lim g  a    g (a)   g (a  0)  g (a)  0 .
n 
n
 

Рисунок 5 – График функции g
Если же a  1, то, рассуждая как выше, получим
mg 1  g (1  0)  g (1)  e  1, m g 2  g (2  0)  g (2)  11  e 2 .
2) По формуле (1)
mg (C ) 

C dmg 
[0; 1]

C (t ) g (t )dt   C (tk )hk   3t 2 dt  C (1)(e  1) 
k
[0; 1]
 e 1,
34
C
поскольку m(C )  0 и 1 C .
3) В силу счётности множества
множество рациональных чисел,
лежащих на отрезке [0; 9] , можно представить в виде
 [0;9] 

n 1
 an   1;2 , где an  1;2 .
Учитывая сказанное в пункте 1), имеем mg
mg 


n 1
 an   0 . Поэтому
0;9 
 mg 1;2   mg 1   mg  2   e  1  11  e 2  10  e  e 2 .
г) Снова используя формулу (1) (которая справедлива и для промежутков вида [a;b)), получаем
 f (t )dmg ( t )   f (t ) g (t )d (t )  f (1)h1  f (2)h2 =
[ 0; 9 )
[ 0; 9 )
1
2
9
  2t 3t dt   2t  e dt   2tdt 
2
0
t
1
2
31
1308
3
.
 (11  e 2 )  e2 
17
17
17
(Выше мы воспользовались тем, что f (t )  2t m-почти всюду, а потому
 f (t ) g (t )d (t )   2tg (t )d (t )).
[0; 9)
[0; 9)
35