УДК 626

УДК 626.823.93
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СОВМЕСТНОГО ПРОЦЕССА
ФИЛЬТРАЦИИ И СУФФОЗИОННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
Н.Н. Хлапук – д-р техн. наук, проф.ор;
Национальный университет водного хозяйства и природопользования, г. Ровно, Украина
Рассмотрены вопросы теоретического описания взаимовлияющих
фильтрации и механической суффозии в придренной области.
процессов
Processes of mechanical suffosion and filtration in the near-drainage zone were analyzed in
the context of their mutual influence.
1. Построение системы дифференциальных уравнений для совместного описания
фильтрации в зернистой среде и суффозионных процессов, вызванных действием
градиентов напора.
Большие градиенты напора, которые возникают вокруг дрен, буровых скважин,
дренажей сооружений и т.п., приводят к появлению изменений в состоянии грунта.
Происходят такие процессы как механическая суффозия, кольматаж, переориентация
частиц грунта в пространстве и т.п. Соответственно, со временем изменяется
коэффициент фильтрации грунта, что, в свою очередь, ведет к перераспределению
напоров и их градиентов.
Для разработки модели такого рода нелинейных процессов фильтрации с
последействием необходимо дополнить основные уравнения фильтрации уравнениями,
которые описывали бы перемещение суффозионных частиц в порах грунта под действием
градиентов напора.
Рассмотрим грунт, который состоит из относительно недвижимого скелета и
движущихся суффозионных частиц, или которые могут перейти в состояние движения
при определенных гидродинамических условиях в конкретной точке (элементарном
объеме). Между частицами есть пространство, формирующееся в поры сложной
структуры [24… 27]. Пусть n – пористость; mcк, mc, соответственно, доли объемов частиц,
формирующих скелет, и суффозионных частиц в единице объема грунта. Нами
принимается, что
mcк+ mc(x, y, t)+ n(x, y, t, mc) = 1,
(1)
то есть в данное уравнение входят эффективные величины пористости и объема
суффозионных частиц [10], а частицы скелета не перемещаются в пространстве. По
аналогии с недеформируемой средой [1], рассматривая элементарный объем, получим
дифференциальное уравнение баланса массы для пористой среды, в котором с
фильтрационным потоком двигаются суффозионные частицы, в цилиндрических
координатах (для возможности непосредственного использования в постановках задач
радиальной фильтрации для мелиоративного дренажа)
 n 1 

1


(r nU r ) 
(nU  ) 
(nU z ) 
r 
z
t r r


 m 1 

1 

 s  c 
(r mcVcr )
(mcVc ) 
(mcVc z )  0
r r
r
z
 t

(2)
где Ur, U , Uz – составляющие действительной средней скорости движения воды в
порах; Vcr, Vc , Vcz – составляющие средней скорости движения суффозионных частиц.
Для осесимметричной фильтрации (Ur = U, Vcr = Vc) имеем
n 1 

  mc 1 


(rnU )    s 

(rmcVc )   0 .
(3)

t
r

r

t
r

r




Поскольку взаимодействие фильтрационного потока с суффозионными частицами
происходит на уровне действительных скоростей в довольно сложной форме и без
фазовых преобразований, то переход на фиктивные скорости движения частиц, когда они
считаются ассоциированными с жидкостью, становится невозможным. При наличии в
пористой среде рассматриваемого двухкомпонентного конгломерата, преобразование
массы одной компоненты в массу другой не происходит. Содержимое каждой из этих
компонент внутри фиксированного элементарного объема может изменяться лишь за счет
входа и выхода самой массы этой компоненты через ограничивающую поверхность [18].
Поэтому уравнение изменения общей массы (3) распадается на два независимых
уравнения изменения массы каждой компоненты, в результате получим систему
 n 1 
  t  r  r (r nU )  0,
(4)
 m 1 
 c
(r mcVc )  0.
  t
r r
Для описания движения жидкой компоненты, как известно, используется закон
Дарси. Однако в данном случае, когда вследствие изменения пористости грунта n
изменяется его коэффициент фильтрации k, следует использовать закон Дарси в форме
(аналогичной, предлагаемой нами в [20])
nU=V=- k(r, t)h(r, t) /r.
(5)
Тогда из первого уравнения системы (4) имеем объединенное уравнение движения
жидкости и сохранение массы жидкой компоненты
n(r, t) /  t - (r k(r, t) h(r, t) / r) / rr = 0.
(6)
На основании отсутствия фазового преобразования возникает необходимость
дополнительно к закону Дарси, описывающего движение жидкости, ввести уравнение для
определения скорости суффозионных частиц в зависимости от характеристик
фильтрационного потока и дополнить им уравнение системы (4).
Сначала, для обоснования общей формы такого уравнения движения частиц,
рассмотрим течение Куэтта [17, 23], модифицированного нами до вида, при котором
подвижная плоскость заменяется подвижной пористой стенкой некоторой толщины.
Очевидно, что движение стенки по недвижимой плоскости станет возможным лишь при
достижении действующей на нее со стороны потока касательной силы определенного
(критического) значения. Значение этой критической силы, отнесенной к единице
площади поверхности (касательное напряжение), можно определить в соответствии с
законом Ньютона
c.кр = -dU/dyy=h,
где h – глубина потока (расстояние от верхней недвижимой плоскости к подвижной
стенке); y – вертикальная координата, нормальная к поверхности стенки. Из решения
 
уравнения  c. kp  f kp , где fkp – критическое значение силы трения, которое возникает
между стенкой и неподвижной нижней плоскостью, находим критический градиент
напора Ikp = 2fkp / gh и, соответственно, критическую среднюю скорость потока U kp =
fkph/6. Как видим, для модифицированного течения Куэтта при увеличении h (для грунта
это аналогично увеличению размеров пор) критический градиент уменьшается, а скорость
возрастает. Пусть пористая стенка под действием потока равномерно движется со
скоростью Vc, что в определенной мере можно рассматривать как модель движения массы
суффозионных частиц. Тогда в результате решения уравнения  c.  f kp , то есть
 du/dyy=h =0,5 ghIkp (значение производной при y = h найдем путем интегрирования
уравнения dh/dx = ( /g)d2u/dy2 при предельных условиях U(o) = 0, U(h) = Vc, приняв
градиент напора в направлении движения потока x постоянным), получим
 gh 2
(7)
Vc 
( I  I kp )  15
, (U  U kp ) .
2
Если рассмотреть такое же течение между коаксиальными цилиндрами радиусами r1
и r2 , когда один из них, внутренний (r = r1), движется со скоростью Vc, то по аналогии с
модифицированным течением Куэтта получим
g 2
r
Vc 
(r2  r12  2r12 ln 2 )( I  I kp ) ,
(8)
4
r1
или при замене градиентов на средние скорости
2r12
r2
Vc  (1  2
)( U  U kp ) .
(9)
2 ln
r1
r2  r1
В целом для данных двух случаев можно записать
Vc = A(I - Ikp), Vc = B( U  U kp ),
(10)
где A, B – параметры, значения которых зависит только от геометрии потока и
физических характеристик жидкости. Как видим, движение твердого тела начинается
лишь при достижении потоком определенной скорости (градиента), а скорость движения
Vc пропорциональна разности U  U kp .
Рассмотрим теперь фильтрацию в зернистой среде, которая для упрощения выкладок
однозначно характеризуется средним диаметром частиц. Выделим из массива фильтрации
довольно малый объем грунта W, состоящего из несуффозионных частиц со средним
диаметром d. На частицы грунта действует объемная фильтрационная сила  в
направлении линии тока s [8, 22]
(11)
   gdh / ds  gI .
Фильтрационная сила, действующая на все частицы N в объеме W, w = W, а
сила, соотнесенная к одной частице, 1 = w /N. Определив количество частиц по формуле
N = 6mW/ d3, находим силу 1
1 = ( g d3/6m)I .
(12)
Для того, чтобы выразить градиент напора І через скорость фильтрации V,
воспользуемся формулой сопротивления для ламинарной фильтрации, выведенной Д.М.
Минцем [13] на основании значительного экспериментального материала по фильтрации
жидкостей и газов сквозь слои шарообразных частиц и справедливой для пористых сред
разнообразной геометрической структуры
 = 5,1 2/Re,
(13)
где  – коэффициент формы частиц грунта; , Re – коэффициент сопротивления и число
Рейнольдса, которые определяются по формулам
 =  gIn3d/6(1 - n)sV2 ,
Re = sVd/6(1 - n).
(14)
Из формул (12)…(14) получим
Ф1 
kn  md
k  md
V  n 2 U ,
3
n
n
(15)
где kn = 131 – коэффициент пропорциональности.
Если в грунте между частицами скелета диаметром d находятся суффозионные
частицы диаметром dс, то, поскольку dс << d, их можно рассматривать как новый грунт с
такими параметрами: nн = n/(n + mc), mcн = mc/(n + mc). Тогда с заменой n и m на nн і mн
имеем формулу для определения гидродинамической силы, которая действует на
суффозионную частицу,
Фc1  k n 
mc  mc 
1   d cU = f(n, mc , dc) U .
n 
n
(16)
Соответственно, для состояния критического равновесия и состояния движения
суффозионной частицы со скоростью Vc можно записать:
с1кр = f (n, mc, dc) U кp ,
(17)
с1р = f (n, mc, dc)( U  Vc ).
(18)
где U кp – действительная средняя скорость воды в порах, при которой суффозионные
частицы находятся в состоянии критического равновесия.
Уравнение (17) можно записать с учетом no U кp = Vкр=ko Iкр в виде
с1кр = f (n, mc, dc) k o I к р ,
(19)
no
где ko, no – соответственно, коэффициент фильтрации и пористость среды до начала
движения частиц.
Она выражает силу межфазового взаимодействия между суффозионными частицами
и скелетом грунта.
Уравнение (18) описывает межфазовое взаимодействие жидкости с твердой
движущейся суффозионной частицей, и по форме аналогично тем уравнениям, которые
используются, например, в задачах динамики водонасыщенной среды, в теории движения
наносов, в моделях движения инерционных частиц в ламинарном потоке и т.п. [3, 4, 5, 7,
11, 12, 19].
Скорость движения суффозионной частицы Vc теперь можно найти из уравнения
равномерного движения
с1кр =с1р.
(20)
Обоснованием возможности применения уравнения равномерного движения (20)
является то, что ускорение суффозионной частицы можно принять равным нулю. Как
показала П.Я. Полубаринова-Кочина [14], в уравнениях движения отдельных частиц
жидкости в недеформированной среде для реальных значений коэффициента фильтрации
(k =1...100 м/сут) членами, которые содержат дифференцирование по времени, можно
пренебречь. В нашем случае скорости суффозионных частиц будут меньшими скорости
фильтрационного потока, поэтому их изменением во времени также можно пренебречь.
Тогда из уравнений (17)…(20) получим зависимость
Vc = 1 (V  n Vк р )  ( k I  k o I к р ) ,
(21)
n
no
n
no
которая в пределах принятых допущений описывает движение частиц в порах скелета
грунта под воздействием фильтрационного потока.
Подставив (21) в (4), с использованием (5), получим
h
 n 1 
  t  r  r (rk  r )  0 ,
(22)
 m 1 
k
k

h
c


(rmc (
 o I k р ))  0.
  t
r r
n  r no
В уравнениях (22) неизвестными есть величины h, k, n, mc. Целесообразно выразить
пористость n и количество суффозионных частиц mc посредством коэффициента
фильтрации k с помощью соответствующих уравнений состояния.
Величину mc можно найти из уравнения (1) как функцию пористости
mc = аn - n,
(23)
где аn = 1 - mcк = const – объем, который занимают поры и суффозионные частицы в
единице объема грунта.
Коэффициент фильтрации выразим через пористость, воспользовавшись, например,
формулой В. Мацкрле [6]
k = (ko /no) n = aкn,
(24)
где ko, no – соответственно, начальный коэффициент фильтрации и пористость грунта.
Исследовательские данные Д.М. Минца и В.З. Мельцера [6] зависимости изменения
коэффициента фильтрации в процессе кольматажа можно также описать линейным
уравнением
k = aкз n.
(25)
Если в качестве модели потока жидкости в пористой среде рассматривать модель
капиллярной трубки [2, 9], в которой изменять просвет (то есть площадь пор), то для этого
случая нами получено
k = aкт n.
(26)
В формулах (25), (26) aкз и aкт – коэффициенты пропорциональности, которые
характеризуют интенсивность изменения k в зависимости от n.
Нами показано (результаты здесь не приводятся), что более общие зависимости k(n),
полученные из формулы Козени – Кармана [6] (например, кубическая зависимость), также
могут быть аппроксимированы линейной зависимостью и использованы для данного вида
деформаций из-за того, что диапазон изменения пористости находится в узких границах.
Итак, уравнение типа (24) можно использовать для того, чтобы заменить в
уравнениях (22) пористость на соответствующее значение коэффициента фильтрации.
Тогда с учетом (23) и (24) из (22) получим систему уравнений в частных производных
h
  k aк 

(rk
)  0,

r r
r
t
(27)
 k a 



h

 к
( r  a к a n  k 
 I к р )  0

t
r r

 r


с двумя неизвестными функциями h = h(r, t), k = k(r, t), где [a] = а, если а > 0, [a] = 0, если
а  0, то есть второе уравнение вырождается до k /t = 0 при k (r, t)  aк аn или при h/t 
Iкр. При этом: k(r, t) = ko, если rc(t)  r  Ro; k(r, t) = kв, если ro  r  rв(t), где rв(t), rc(t) –
соответственно, решения уравнений k(r, t) = kв и I(r, t) = Iкр; kв = aк аn – предельное
значение коэффициента фильтрации, который отвечает полному вымыву суффозионных
частиц; ro – радиус буровой скважины (дрены); Ro – радиус области влияния.
Таким образом, система (27) описывает совместный процесс фильтрации во всем
массиве (первое уравнение) и суффозионных деформаций в зоне действия градиентов
напора, больших критических (второе уравнение).
2. Постановка и решение задач фильтрации при стабилизации суффозионных
процессов
Рассмотрим, так сказать, «конечный» случай, что целесообразно с практической
точки зрения, когда время t довольно большое, процесс суффозии (кольматажа) близок к
завершению, общий процесс стабилизируется, а разность напоров H = Ho - ho такая, при
которой вокруг дрены (скважины) возникает локальная область, в которой действующие
градиенты превышают критические значения. Тогда в уравнениях (27) можно поставить
k/t = 0. В результате решения уравнения (rk(r)h/r)/r = 0, где k(r) = ko, если
rc
< r Ro, k(r) = f(r), если ro  r <rc (f(r) – неизвестная функция, f(rc) = ko, при предельных
условиях h(ro) = ho, h(Ro) = Ho и условиях сопряжения h(rc + 0) = h(rc - 0),
h(rc + 0) = h(rc - 0), имеем
 h(r )  h1 (r ), I (r )  I 1 (r ), ro  r  rc ,

h(r )  h2 (r ), I (r )  I 2 (r ), rc  r  Ro ,
где
(28)
r
 (rc ) 1
d~
r

h
(
r
)

h


(
r
)
, I 1 (r ) 
,

o
c
 1
~
~
r f (r ) r
f (r ) r

 (rc ) Ro
 (rc ) 1

h2 (r )  H o  k ln r , I 2 (r )  k r ,

o
o
o
 (rc ) 
r
H o  ho
d~
r
, f*   ~ ~ .
1 Ro
r f (r )r
ln
 f*
k o rc
c
(29)
(30)
o
В результате решения уравнения I 2 (rc )  I kp имеем
rc 
(rc )
.
k oI kp
(31)
Неизвестную функцию f(r) ищем путем решения следующей задачи:

a a  f (r)r I1(r)  I kp  0, f (rc)  k o,
r k n
которая эквивалентна интегральному уравнению
k o ( H o  ho )  1 .
1
f (r ) 
r
r
d~
r
I kp Ro
ln
 ko  ~ ~
r f (r )r
r



(32)
(33)
c
c
o
Подставив (30) в (31), получаем трансцендентное уравнение для нахождения
неизвестной величины
1 (H o  ho)  I kp(rc  ro) .
(34)
rc 
I kp
Ro
ln
rc
Тогда будем имеем
f (r ) 
то есть
ko rc
,
r
k o rc / r , ro  r  rc ,
k (r )  
rc  r  Ro ,
k o ,
ro  r  rc ,
 I kp ,
I (r )  
rc I kp / r , rc  r  Ro .
(35)
(36)
(37)
Как видим из (38), при стабилизации процесса действующий градиент во всей зоне ro
 r <rc постоянен и равен Iкр. Это значит, что при принятом в уравнении (27) постоянном
значении критического градиента Iкр деформации прекращаются только тогда, когда
действующие градиенты спадают до уровня Iкр. В действительности же, в процессе
вымыва суффозионных частиц пористость и, соответственно, коэффициент фильтрации
возрастает и уже их дальнейший вымыв должен происходить при другом значении
градиента, то есть критический градиент в зоне суффозии изменяется в зависимости от
изменения коэффициента фильтрации – Iкр= Iкр(k(r)). В данном случае, когда диапазон
изменения пористости (коэффициента фильтрации) грунта небольшой, можно принять
следующее аналитическое выражение для критического градиента (что согласовывается с
лабораторными исследованиями)
Iкр(k) = Iкро   k o    ,
(38)
 k

где ,  – коэффициенты, характеризующие влияние изменения коэффициента
фильтрации на критический градиент,  +  = 1;
Iкро – критический градиент при
исходном значении коэффициента фильтрации kо.
В результате, аналогично предыдущему решению задачи при k/t = 0, для случая
изменения Iкр по формуле (39) получим:
f(r) = kо  rc    ,
(39)
 r 
то есть
  ar

c
k(r) = k o  r  b  ,

 
 ko ,
Для градиентов напора получим
ro  r  rc ,
(40)
rc  r  Ro .
H o  ho
1

 1 Ro 1 rc  ro r  r , ro  r  rc ,
c
ln
 ln
I(r) =   rc  1   rc
H o  ho
1

,
rc  r  Ro ,
 R
r


r

o r
 ln o  ln c
 rc  (1   )rc
(41)
которые при замене  и  на а и b принимают вид

 Ro
I(r) =  ln r
c


 R
 ln o
 rc
H o  ho
1
, ro  r  rc ,
rc
1
arc  br
 ln
,
b arc  bro
H o  ho
1
,
rc  r  Ro ,
rc
1
r
 ln
b arc  bro
где
а 1/, b = -/ – коэффициенты, характеризующие свойство грунта изменять
коэффициент фильтрации под действием градиентов напора.
Приведенные решения задач фильтрации при стабилизации суффозионных
процессов показывают, что для большинства практических задач фильтрации, когда
нужно установить лишь конечный эффект суффозионных деформаций, достаточно
построить локально нелинейные модели процесса фильтрации, учитывающие изменение
коэффициента фильтрации грунта под действием бóльших, чем критические градиентов
напора. При этом нами предлагается оставить локальную пространственно-временную
линейность закона Дарси, несмотря на то, что новая модель будет базироваться на
нелинейном уравнении div(k(Iд(r, t), Iкр)I) = 0, где Iд(r, t) – действующий градиент, при
котором происходят деформационные процессы.
Для описания возмущения коэффициента фильтрации грунта можно использовать
модели типа (40), которые фактически учитывают действие градиентов напора на грунт.
Решение соответствующих задач фильтрации при такой постановке значительно проще
нестационарных, а полученные аналитические выражения для функций напоров, их
градиентов и фильтрационных затрат могут быть непосредственно использованы в
практических расчетах.
Необходимые коэффициенты a, b (или , ), которые являются характеристиками
грунта, могут быть получены из простых опытов на установке Дарси [15] по
разработанной методике [21] или вычислены с использованием [16].
Библиографический список
1. Аравин В.И., Нумеров С.Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой
пористой среде. – М.: ГИТТЛ, 1953. 616 с.
2. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды:
/Пер. с англ. – М.: Мир, 1971. 452 с.
3. Васильев О.Ф. Динамика потока гидросмеси на деформируемом ложе //Изд. АН СССР,
ОТН. 1957. № 10. С. 34-39.
4. Ватажин А.Б., Клименко А.Ю. Континуальные модели движения инерционных частиц
в ламинарном и турбулентном потоках, основанные на уравнениях Фоккера-Планка.
//МЖГ. 1994. № 2. С. 27-35.
5. Векслер А.Б. Основные уравнения одноразмерного руслового потока в размываемом
русле. //Изв. ВНИИГ. 1969. Т. 90. С. 169-179.
6. Гаврилко В.М., Алексеев В.С. Фильтры буровых скважин. – М.: Недра, 1985. 334 с.
7. Динамика сплошных сред в расчетах гидротехнических сооружений / Б.И. Дидух, В.Л.
Лобысев, В.М. Лятхер и др. /Под ред. В.М. Лятреха и Ю.С. Яковлева. – М.: Энергия,
1976.
8. Иванов П.Л. Грунты и основания гидротехнических сооружений. – М.: Высшая школа,
1985. 352 с.
9. Кондратьев В.Н. Фильтрация и механическая суффозия в несвязных грунтах. –
Симферополь: Крымиздат, 1958. 74 с.
10. Корбанова В.Н. Физические свойства горных пород. – М.: Гостоптехиздат, 1962.
490 с.
11. Лятхер В.М., Дидух Б.И. Движение водонасыщенной грунтовой среды при
сейсмических воздействиях // Труды координационных совещаний по гидротехнике.
Сейсмостойкость больших плотин. Дополнительные материалы. 1973. С. 111-123.
12. Лятхер В.М., Дидух Б.И. Одномерные краевые задачи водонасыщенной среды. //Труды
Гидропроекта. 1971. Сб. 20. С.167-196.
13. Минц Д.М., Шуберт С.А. Гидравлика зернистых материалов. – М.: Изд-во
Минкоммунхоза РСФСР, 1955. 112 с.
14. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. – М.: Наука, 1977. 664 с.
15. Рекомендации по методике лабораторных испытаний грунтов на водопроницаемость и
суффозионную устойчивость. П 12-83 / ВНИИГ. – Л.: Энергия, 1983. 64 с.
16. Рекомендации по проектированию обратных фильтров гидротехнических сооружений.
П 92-80 / ВНИИГ. – Л.: Энергия, 1981. 105 с.
17. Романков П.Г., Курочкина М.И. Гидромеханические процессы химической
технологии. – Л.: Химия, 1982. 288 с.
18. Слезкин Н.А. О дифференциальных уравнениях фильтрации. //Докл. АН. СССР. 1951.
Т. 79. № 5. С. 755-758.
19. Франкль Ф.И. К теории движения взвешенных наносов. //Докл. АН СССР. 1953. Т. 92.
№ 2. С. 247-250.
20. Хлапук М.М., Бомба А.Я. Особливості закону Дарсі при моделюванні процесів
фільтрації в середовищах, що деформуються // Зб. статей за матеріалами III наук.-техн.
конференції. Ч.2. Гідротехнічне будівництво. – Рівне, 1997. С.70-73.
21. Хлапук М.М., Яцик А.В., Іващенко А.П. Фізичне та математичне моделювання
деформацій грунту в навколодренній зоні //Водне господарство України. 1999. № 1-2.
С. 36-38.
22. Чугаев Р.Р. О фильтрационных силах. //Изв. ВНИИГ. 1960. Т. 63. С. 115-141.
23. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя: Пер. с нем. – М.: Наука, 1974. 712 с.
24. Карнаухов А.П. Модели пористых систем // Моделирование пористых систем /Сиб.
отд. АН СССР. 1976. С. 42-59.
25. Карнаухов А.П. Некоторые общие принципы моделирования пористых систем //
Моделирование пористых материалов. /Сиб. отд. АН СССР. 1976. С. 31-41.
26. Карнаухов А.П. Текстура и классификация пористых материалов. //Моделирование
пористых материалов. /Сиб. отд. АН СССР. 1976. С. 5-30.
27. Хейфец Л.И., Неймарк А.В. Многофазные процессы в пористых средах. – М.: Химия,
1982. 320 с.