ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ НА БАЗЕ mathcad

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский Томский политехнический университет»
УТВЕРЖДАЮ
Директор ИК
___________ М.А. Сонькин
«___» ____________201__ г.
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКЕ НА БАЗЕ MATHCAD
Методические указания
Томск 2010
УДК 681.3.06
Лабораторные работы по теоретической механике на базе Mathcad.
Методические указания.–Томск. Изд–во ТПУ, 2010–26с.
В указаниях сформулированы и даны примеры выполнения трёх
лабораторных работ с помощью пакета математического моделирования
Mathcad. Предназначены для студентов ИК, обучающихся по специальности
Мехатроника и робототехника».
Составитель доцент, канд. физ. мат. наук
В.А. Дубовик
Рецензент доц., канд. техн. наук.
М.П. Шумский
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию
методическим семинаром кафедры теоретической и прикладной механики
Протокол № от__________________2010 г.
Зав. кафедрой ТПМ
доц. канд. техн. наук.
«____»_________2010 г.
В.М. Замятин
2
Предисловие
При изучении в учебных заведениях дисциплины «Теоретическая
механика» обычно рассматриваются задачи, решение которых можно
получить в аналитическом виде. Однако реализация большинства
практических задач связана с рутинными и трудоёмкими типовыми
расчётами в специальных лабораториях. Применение численных методов к
изучению движения различных механических систем приводится в [1,2]. В
[1] показано решение задач различной степени сложности в системе Mathcad.
Данное пособие, дополняя результаты работ [1,2], излагает методические
указания к кинематическим и динамическим расчётам механической системы
типа манипулятор с двумя степенями свободы на основе пакета
математического моделирования Mathcad. Расчёты представлены в виде
лабораторных работ, целью которых является приобретение обучающимся
опыта исследования движения плоских механизмов. Для каждой работы
выбираются
индивидуальные
задания,
представляющие
собой
кинематические схемы манипуляторов из [3]. Перед лабораторной работой
конспективно излагается теория, далее приводятся план выполнения работы,
пример и численное решение задачи в системе Mathcad.
3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА С ПРИМЕНЕНИЕМ ПК №1
Тема: определение кинематических параметров плоского манипулятора
при заданном движении захвата.
Цель: приобретение опыта кинематического расчета плоских
механизмов; отработка аналитических и численных методов вычислений
скоростей и ускорений точек при плоском и сложном движении тела.
§ 1. Постановка задачи
Манипулятор робота представляет собой плоский механизм, звенья
которого образуют «механическую руку» с захватом в точке А (Рис. 1).
Известны уравнения движения захвата
t>0
xA (t )  1,5329  0, 2t;
y A (t )  0,5487  0, 089t.
Рис.1.
ДВ=с=0,55 м.; ОД= l1 =0,69а
начальные значения углов.
l1
(1.1)
Требуется определить в интервале
времени
углы
 , ,  и
0  t 
расстояние s. Вычислить угловые
скорости и угловые ускорения звеньев, а
также относительные скорость и
ускорение ползуна В. В момент t=
вычислить абсолютные скорость ползуна
В методом сложного движения точки и
координатным способом.
Дано: ОС=а=1,3 м. ; СА=в=1,1 м.;
м.; ДС= l2 =0,31а;   0  62 ,    0  33 -
§ 2. Аналитическое определение углов поворота, угловых
скоростей и ускорений звеньев механизма.
Для любого положения манипулятора
выполняются векторные равенства (Рис.2),
являющиеся уравнениями связей
OA  OC  CA
DB  DC  CB
(2.1)
Рис.2.
4
Проецируя (2.1) на оси координат, получаем уравнения для определения
закона движения звеньев
a  cos   b  cos  x A (t );
a  sin   b sin   y A (t );
l2  cos   s  cos  c  cos  ;
(2.2)
l2  sin   s  sin   c  sin  .
Дифференцируя (2.2) по времени, имеем уравнения для угловых скоростей
 a  sin     b  sin   x A (t );
a  cos     b  cos   y A (t );
l2  sin     s  sin   c  sin     s  cos  0;
(2.3)
l2  cos     s  cos   c  cos     s  sin  0.
Уравнения для определения угловых ускорений получаем после
дифференцирования (2.3) по времени
 a  sin     b  sin   x A (t )  a  cos    2  b  cos  2 ;
a  cos     b  cos   y A (t )  a  sin    2  b  sin  2 ;
l2  sin     s  sin   c  sin     s  cos  Ax ;
(2.4)
l2  cos     s  cos   c  cos     s  sin  Ay ,
где
Ax  l2  cos    2  s  cos  2  2sin  s   c  cos    2 ;
Ay  l2  sin    2  s  sin  2  2 cos  s   c  sin    2 .
§ 3. Определение скорости и ускорения ползуна В
3.1.
Координатный метод.
OB  OD  DB
отсюда
xB  l1  cos   c  cos  ;
yB  l1  sin   c  sin  .
(3.1)
Скорость точки В
xB  l1  sin     c  sin    ;
yB  l1  cos     c  cos   ;
(3.2)
VB  xB 2  yB 2 .
Ускорение точки В
xB  l1  sin     c  sin     l1  cos    2  c  cos    2 ;
yB  l1  cos     c  cos     l1  sin    2  c  sin    2 ;
(3.3)
a B  xB 2  y B 2 .
5
3.2. Метод сложного движения .
Рассматриваем движение ползуна В как сложное, состоящее из
относительного по отношению к звену СА и переносного вместе со звеном
СД. Тогда по теореме сложения скоростей имеем
(3.4)
VB  Vr  1  OC  2  CB ,
где Vr  s  cos  i  s  sin  j -вектор относительной скорости.
Абсолютное ускорение точки В согласно теореме Кориолиса равно
(3.5)
aB  ar  ae  ak ,
где
ar  s  cos  i  s  sin  j -относительное ускорение;
ae  1  (1  OC)  1  OC  2  (2  CB)   2  CB -переносное ускорение;
ak  2  2  Vr -ускорение Кориолиса.
Проекции векторов на оси координат имеют вид
OC  OC (a  cos  , a  sin  , 0);
CB  CB( s  cos , s  sin , 0);
1  1 (0, 0,  );
2  2 (0, 0,  );
1  1 (0, 0,  );
 2   2 (0, 0,  ).
Вычисление скорости точки В через мгновенный центр скоростей
Обозначим через Р мгновенный центр скоростей (М.Ц.С.). Тогда из
условия РВ  VB РD  VD , получаем уравнения для определения координат
точки Р- xP , yP
3.2.
xP  xB  yP  yB  xB  xB  yB  yB ;
xP  tg  yP  0.
Вычисляем угловую скорость звена 3 и скорость точки D
3  VB / PB, VD  3  PD .
Cравниваем с результатами , полученными по формулам
3   , VD    OD .
Здесь
PB  ( xP  xB ) 2  ( yP  yB ) 2 ;
PD  ( xP  xD ) 2  ( yP  yD ) 2 .
6
Численное решение задачи с использованием стандартных методов
Mathcad.
Исходные данные
a  1.30
b  1.10
c  0.55 l1  0.69  a
xa0  a  cos 0  b  cos 0
l2  0.31  a
xa0  1.533
0  62  deg 0  33  deg
ya0  a  sin 0  b  sin 0
ya0  0.549
Проверяем начальное положение захвата
Уравнения движения захвата
xa( t)  xa0  0.2  t
ya( t)  ya0  0.089  t
xat( t)  0.2
yat( t)  0.089
xatt( t)  0
yatt( t)  0
{Решение уравнений (2.2)с помощью вычислительного блока Given}
Уравнения движения захвата
ORIGIN  1
Нумерация строк и столбцов начинается с единицы
Начальное приближение
 0 


0


z 
 0 


 c  l2 
Given
a  cos z1  b  cos z2 xa( t)
a  sin  z1  b  sin  z2 ya( t)
c  cos  z3  z4  cos  z2 l2  cos  z1
c  sin  z3  z4  sin  z2 l2  sin  z1
z( t)  Find ( z)
s ( t)  z( t) 4
Формируем матрицы системы линейных уравнений (2.3)
0
0
 a  sin  ( t)  b  sin  ( t) 
 ( t)  z( t) 1


A ( t) 





B ( t)  


 ( t)  z( t) 2
 ( t)  z( t) 3


a  cos   ( t) 
b  cos   ( t) 
0
0

l2  sin  ( t)  s ( t)  sin  ( t)  c  sin  ( t)  cos   ( t)  

l2  cos   ( t)  s ( t)  cos   ( t)  c  cos   ( t)  sin  ( t)  
xat ( t) 

yat ( t)

0

0

1
zt( t)  A ( t)  B ( t)
t ( t)  zt( t) 1 t ( t)  zt( t) 2 t ( t)  zt( t) 3
st ( t)  zt( t) 4
Формируем матрицы системы уравнений (2.4)
At ( t)  A ( t)
b1 ( t)  xatt( t)  a  cos   ( t)   t ( t)  b  cos   ( t)   t ( t)
2
2
7
b2 ( t)  yatt( t)  a  sin  ( t)   t ( t)  b  sin  ( t)   t ( t)
2
2
bb3 ( t)  2  t( t)  st( t)  sin  ( t)   c  cos   ( t)   t( t)  s ( t)  t( t)  cos   ( t) 
2
2
b3 ( t)  bb3 ( t)  l2  t( t)  cos   ( t) 
2
bb4 (t)  2  st(t)  t(t)  cos   (t)  c  sin  (t)  t(t)  s (t)  t(t)  sin  (t)
2
2
b4 ( t)  bb4 ( t)  l2  t ( t)  sin  ( t) 
 b1 ( t) 
2

 b2 ( t)
Bt ( t) 
 b3 ( t)

 b4 ( t)
1





ztt( t)  At ( t)  Bt ( t)
tt ( t)  ztt( t) 1 tt ( t)  ztt( t) 2 tt ( t)  ztt( t) 3 stt( t)  ztt( t) 4
t  0  0.2  1
t 
 ( t) 
 ( t) 
 ( t) 
s ( t) 
0
1.082
-0.576
0.242
0.411
0.2
1.1
-0.607
0.205
0.433
0.4
1.117
-0.638
0.166
0.456
0.6
1.134
-0.669
0.124
0.478
0.8
1.149
-0.7
0.081
0.501
1
1.164
-0.731
0.037
0.524
t ( t) 
t ( t) 
t ( t) 
t 
st ( t) 
0
0.092
-0.157
-0.181
0.11
0.2
0.088
-0.156
-0.191
0.112
0.4
0.084
-0.155
-0.201
0.113
0.6
0.08
-0.154
-0.211
0.114
0.8
0.076
-0.154
-0.22
0.115
1
0.073
-0.154
-0.228
0.115
t 
tt ( t) 
tt ( t) 
tt ( t) 
stt( t) 
0
-0.02
7.893·10 -3
-0.055
0.2
-0.02
5.911·10 -3
-0.052
0.012
9.115·10 -3
0.4
-0.019
4.025·10 -3
-0.049
6.517·10 -3
0.6
-0.019
2.197·10 -3
-0.045
3.949·10 -3
0.8
-0.019
3.895·10 -4
-0.043
1.459·10 -3
-0.019
-1.43·10 -3
-0.04
-9.181·10 -4
1
Вычисление скорости и ускорения ползуна В в момент времени t=
1.Координатный способ.
  1
                  s  s   
  1.164   0.731   0.037 s  0.524
t  t    t  t    t  t    st  st   
t  0.073 t  0.154 t  0.228 st  0.115
tt  tt   tt  tt   tt  tt    stt  stt  
8
tt  0.019 tt  1.43  10 3
tt  0.04
stt  9.181  10 4
yb  l1  sin    c  sin  
xb  l1  cos     c  cos  
ybt  l1  cos    t  c  cos     t
xbt  l1  sin     t  c  sin     t
xbtt  l1  sin    tt  c  sin    tt  l1  cos     t  c  cos     t
2
2
ybtt  l1  cos    tt  c  cos     tt  l1  sin     t  c  sin     t
2
Vb 
xbt  ybt
2
2
Vb  0.114
angle( xbt  ybt)
v 
deg
ab 
a 
v  240.967
xbtt  ybtt
2
2
2
ab  0.037
angle( xbtt  ybtt)
deg
a  248.393
v , a - углы в градусах между положительным направлением оси OX и
направлением скорости,
ускорением
Проверка через мгновенный центр скоростей звена DB
 0 
Начальное приближение
zp  
 0 
Given
zp1  xbt  zp2  ybt
zp1  tan    zp2
xb  xbt  yb  ybt
0
zp  Find ( zp)
xp  zp1
pb 
yp  zp2
( xp  xb)  ( yp  yb)
2
2
3 
Vb
pb
3  0.228
dp   xp  l1  cos       yp  l1  sin    
Vd  3  dp
Vd  0.065
Vdo  l1  t
Vdo  0.065
Так как 3=t, a Vd=Vdo, то расчет проведен верно
2
2
2. Способ сложения скоростей и ускорений
Формируем вектора
 0

1  0

 t

 0 
 0 
 2   0  3   0 



 

 t 
 t 
 stt  cos    
 0 



ar 
   1   0 
 stt  sin  
 tt 
0


 a  cos    
 s  cos   



CB 
OC 
 
a  sin   
 s  sin 


0
0



 st  cos   

Vr 
 
 st  sin 
0

 0 
 0 
2 


 tt 








Vb2  1  OC  2  CB  Vr
9
 0.055
 0.1
Vb2 

 0




 Vb2 1 2   Vb2 2 2  0.114
Совпадает с предыдущим
ab2  ar  1  OC  1   1  OC  2  CB  2   2  CB  2  2  Vr
 0.014
 0.034
ab2 

 0




 ab21 2   ab22 2  0.037
Совпадает с ранее вычисленным
ускорением
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА С ПРИМЕНЕНИМ ПК №2
Тема: определение закона движения и реакций внешних и внутренних
связей плоского механизма.
Цель: приобретение опыта составления уравнений кинетостатики ;
10
изучение методики решения прямой задачи динамики механической
системы.
1. Постановка задачи
Рассматриваем движение механизма манипулятора с двумя степенями
свободы в горизонтальной плоскости xOy (рис.1). На звенья механизма
действуют движущие cила P(t) и момент M(t) cо стороны двигателей,
установленных на эти же звенья. В кинематических парах О и А действуют
соответственно восстанавливающие сила RB  c2  s и момент M B  c1   ,
пропорциональные отклонениям от положения равновесия (s=0,  =0), а так
же сила вязкого сопротивления
момент сил вязкого
Rc  b2  s и
сопротивления M c  b1   , пропорциональные обобщённым скоростям s,  .
При заданных значениях АС= lc , AC1  l1 , m1 , m2 , I c1 , пренебрегая сухим
трением, определить траекторию
захвата С, изменение во времени
обобщённых координат, скоростей,
реакций опоры О и давления в
шарнире А.
Здесь l1 - расстояние от
шарнира А до центра масс C1 ; m1 , m2 массы звеньев; I c1 - центральный
момент инерции звена 1.
Рис.1. Схема манипулятора
2. Уравнения кинетостатики манипулятора
Согласно принципу Даламбера в каждый момент времени внешние силы,
приложенные к точкам механической системы ,уравновешиваются их силами
инерции. Условия равновесия этих сил, записанные в виде проекций на оси
координат, называются уравнениями кинетостатики.
Рис.2. Расчётные схемы звеньев манипулятора
Силы инерции приводим к центрам масс звеньев: получаем главные
Fki  mk  ack и главные моменты сил инерции
вектора сил инерции
относительно центральных осей zk - M ki   I ck   k (  k  k -угловое ускорение kго звена). На расчетных схемах силы инерции направляем в положительную
11
сторону осей координат, а моменты сил инерции в сторону возрастания углов
поворота звеньев (рис. 1,2).
Для рассматриваемого механизма проекции главного вектора и главного
момента сил инерции на оси координат записываем в виде
F1ix  m1  xc1 , F1iy  m1  yc1 , M 1i   I c1   ;
(2.1)
F2ix  m2  xc 2 , F2iy  0 , M 2i  0 .
Здесь координаты центров масс звеньев и их производные по времени
выражаются через обобщенные координаты и скорости
xc1  s  l1  cos( ) , yc1  l1  sin( ) , xc 2  s  const ;
xc1  s  l1    sin( ) , yc1  l1    cos( ) , xc 2  s ;
(2.2)
xc1  s  l1    sin( )  l1   2  cos( ) , yc1  l1    cos( )  l1   2  sin( ) , xc 2  s .
Используя рис.2 , получаем уравнения равновесия сил
- первого звена:
FkX  X A  F1iX  0 ;
(2.3)
i
FkY  YA  F1Y  0 ;
(2.4)
mA ( Fk )  M  M B  M c  M 1i  F1Yi  l1  cos( )  F1iX  l1  sin( )  0 ;
(2.5)
- второго звена:
FkX  P  RB  Rc  X A  F2iX  0 ;
(2.6)
(2.7)
FkY  RO  YA  0 ;
mO ( Fk )  M O  M  M B  M C  YA  s  0 ;
(2.8)
- взаимодействия в шарнире А:
(2.9)
FkX  X A  X A  0 , FkY  YA  YA  0 .
3. Уравнения движения
Из системы (2.3-2.9) получим уравнения, содержащие только
обобщенные координаты и их производные, для этого исключим из них
реакции связей. Складывая левые части уравнений (2.3) , (2.6) с учётом (2.9)
и присоединяя к полученному (2.5) имеем
P  RB  RC  F1iX  F2iX  0 ;
M  M B  M c  M 1i  F1Yi  l1  cos( )  F1iX  l1  sin( )  0 .
(3.1)
Подставляя в (3.1) выражения для сил инерции (2.1-2.2) и расписывая
значения восстанавливающих сил и сил сопротивления, получаем
(m1  m2 )  s  m1  l1  sin( )    P  b2  s  c2  s  m1  l1   2  cos( ) ;
m1  l1  sin( )  s  (m1  l12  I c1 )    M  b1    c1   .
(3.2)
Представим систему (3.2) в нормальной форме, т. е. преобразуем её к
четырем дифференциальным уравнениям первого порядка, разрешенных
относительно производных. Сначала из (3.2) найдем обобщенные ускорения
s  stt (t , s, s,  ,  ) 
(m1l12  I c1 )  Rp(t , s, s, ,  )  m1l1 sin()  Rm(t, , )
;
( )
12
  tt (t , s, s,  ,  ) 
(m1  m2 )  Rm(t ,  ,  )  m1l1 sin( )  Rp(t, s, s, , )
,
( )
(3.3)
где
Rp (t , s, s,  ,  )  P(t )  c2  s  b2  s  m1l1 2  cos( )
;
Rm(t ,  ,  )  M (t )  c1    b1   ;
( )  (m1  m2 )  ( m1l12  I c1 )  m12l12  sin 2 ( ) .
Вводя обозначения
s(t )  U 0 (t ) , s(t )  U1 (t ) ,  (t )  U 2 (t ) ,  (t )  U 3 (t ) ,
получаем систему уравнений в нормальной форме
U 0  U1 (t ) ;
U1  stt (t ,U 0 ,U1 ,U 2 ,U 3 ) ;
U 2  U 3 (t ) ;
U 3   tt (t ,U 0 ,U1 ,U 2 ,U 3 ) .
Начальные условия задачи принимают вид
U 0 (0)  s0 ,
U 2 (0)  0 ,
U 3 (0)  0 .
U1 (0)  s0 ,
(3.4)
4. Определение реакций связей
Из (2.3), (2.4) следует
X A   F1iX
, YA   F1Yi .
Тогда полная реакция второго звена на первое в шарнире А
RA  X A2  YA2 .
(4.1)
Из (2.7), (2.9) имеем реакцию опоры О на второе звено
RO  YA   F1iX .
(4.2)
Уравнения (2.8), (2.5), (2.4) и (2.2) позволяют записать момент реакций
опоры О в виде
M O   M 1i  F1Yi  xc1  F1ix  yc1 .
(4.3)
Дальнейшее решение проводим с использованием стандартных методов
Маthcad.
Численное определение закона движения и реакций связей плоского
манипулятора
13
Исходные данные
m1  3
m2  2
IN  0.8 lc  1
l1  0.5
c1  20
c2  200 b1  2
b2  15
  1 время действия усилий
P ( t) 
  t  if t  0  t  

 
200  sin 
0
звеньям
M ( t) 
Сила и момент, приложенные к
 20  sin   t   if t  0  t  




  
0
s0  0
otherwise
otherwise
st0  0
m  m1  m2
со стороны двигателей
Начальные условия задачи
0    4 t0  0
i  m1  l1  IN
2
a  m1  l1
Rp  t  s  st    t  P ( t)  c2  s  b2  st  a  cos     t
2
Rm t    t  M( t)  c1    b1  t
 Rp t  s  st    t  i  Rm t    t  a  sin   
stt t  s  st    t 
2
m  i  a  sin    sin  
tt  t  s  st    t 
Rp t  s  st    t  a  sin    Rm t    t  m
m  i   a  sin   
2
Формируем правые части дифф. уравнений движения механизма в нормальной
форме в виде
вектора D(t,U) и рачальные условия в виде вектора U0
U1


 stt  t  U0  U1  U2  U3
D ( t  U) 

U3

 tt  t  U0  U1  U2  U3



U0 









s0 

st0 
0 

t0 
В момент времени t находим численное решение с помощью функции bulstoer ,
которая
использует метод Булирша-Штера для поиска гладких решений
z1 ( t) 
z

bulstoer ( U0  0  t  TOL  D  2  0.01) if t  0



0
0

 otherwise
s0 st0 0 t0 
0
0
0
0
z1  0 z1  1 z1  2 z1  3 z1  4

s ( t)  z1( t) 0  1 st ( t)  z1( t) 0  2  ( t)  z1( t) 0  3
t ( t)  z1( t) 0  4
14
Уравнение траектории захвата С
y( t)  lc  sin  ( t) 
x( t)  s ( t)  lc  cos   ( t) 
Вычисление сил инерции
yc1( t)  l1  sin  ( t) 
xc1 ( t)  s ( t)  l1  cos   ( t) 
x1tt( t)  stt t  s ( t)  st( t)   ( t)  t( t)   l1  cos   ( t)   t( t)
2
xc1tt(t)  x1tt(t)  l1  sin  (t)  tt t  s (t)  st(t)   (t)  t(t)
yc1tt( t)  l1  cos   ( t)   tt t  s ( t)  st ( t)   ( t)  t( t)   l1  sin   ( t)   t( t)
Fx( t)  m1  xc1tt( t)
Fy( t)  m1  yc1tt( t)
2
M1i ( t)  IN  tt  t  s ( t)  st ( t)   ( t)  t ( t) 
Реакции внешней опоры О
Ro( t)  Fy( t)
Mo ( t)  Fx( t)  yc1( t)  Fy( t)  xc1( t)  M1i ( t)
Реакция 2-го звена на 1-е в шарнире А
xa( t)  Fx( t)
 ( t) 
ya( t)  Fy( t)
Ra ( t) 
xa( t)  ya( t)
2
2
angle( xa ( t)  ya( t) )
deg
--
угол (в градусах в интервале 0<<360) между положительным
направлением оси Оx и радиус-вектором с проекциями xa,ya
 ( 1)  252.709 Ra( 1)  9.985  ( 0)  68.199 Ra( 0)  13.543
t  0  0.05  3
-- интервал времени исследования движения механизма.
Траектория захвата
m
1
y ( t)
0
1
0
1
2
3
x ( t)
m
x( 0)  0.707 y( 0)  0.707 x    1.224 y    0.525 x 1.5    
y 2     3.829  10 3 x 3   1.027
x 2     1.075
0.735
y 1.5     0.451
y 3   0.082
15
Давление 2-го звена на 1-е в шарнире А
N
10 0
Ra( t )
50
0
0
1
2
3
t
sec
Ra( 0.65)  72.782
Максимальное значение
Угол между осью X и Ra(t)
градус
400
 ( t)
200
0
0
1
2
3
t
sec
Угол, соответствующий максимальному Ra(t),  ( 0.65) 
204.082
Момент пары сил со стороны опоры О
Nm
50
Mo ( t )
0
50
0
1
2
3
t
sec
Максимальное и минимальное значения Mo(t)
Mo ( 0.4)  27.872
Mo ( 0.65)  44.656
16
Реакция
опоры
О
N
20
0
Ro ( t )
20
40
0
1
2
3
t
sec
Максимальное и минимальное значения Ro(t)
Ro( 0.35)  17.769
Ro( 0.65)  29.698
 ( t)  t ( t)
v( t)  st ( t)
Зависимость от времени обобщённых скоростей V(t)=ds/dt ,
(t)=d/dt
v( t )
5
1/sec
m/sec
5
0
5
0
1
2
t
sec
3
 ( t)
0
5
0
1
2
3
t
sec
Из расчетов видно, что после прекращения действия движущих сил ( t= =1)
Все реакции достаточно быстро стремятся к нулю, а звенья механизма к
положению равновесия.
17
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА С ПРИМЕНЕНИЕМ ПК №3
Тема: исследование управления манипулятором .
Цель работы: приобретение опыта динамического описания движения
плоских механизмов (метода Лагранжа); ознакомление с методикой решения
обратных задач динамики механических систем.
1. Постановка задачи
Рассматривается механическая система типа манипулятора с двумя степенями свободы, движущаяся в горизонтальной плоскости xOy (рис.1). Геометрические и динамические параметры считаются заданными, силы трения
в кинематических парах и деформации элементов конструкции отсутствуют.
Требуется определить управляющие усилия, обеспечивающие за время 
сближение захвата С и движущейся детали D, и мощности двигателей управления. Деталь движется прямолинейно с постоянной скоростью VD в
указанном направлении. Начальное положение манипулятора задано обобщёнными координатами s0 , 0 .а детали—декартовыми координатами xD 0 , yD 0 .
К моменту времени t= отношение рассогласований координат захвата и детали к начальным рассогласованиям должно составлять малую величину  .
Для рассматриваемого манипулятора приняты следующие значения
параметров: АС= l=1м –длина звена
1; AC1  l1 =0,5м—расстояние до центра масс этого звена; m1 =3кг, m2 =2кгмассы звеньев; I1 =0,8 кг  м -центральный момент инерции 1-го звена
относительно оси, перпендикулярной плоскости движения; VD =2м/сскорость детали;  =0 рад.,  =1 сРис.1. Схема манипулятора
время сближения; xD 0 =0, yD 0 =0,5 м,
s0 =0,  0 =-  / 4 рад.
Вычислить управляющие силу P(t) и момент M(t); мощности двигателей
N1 (t) и N 2 (t); изменения во времени обобщённых координат s (t ),  (t ) и декартовых координат захвата xC , yC .
2. Дифференциальные уравнения движения системы
Дифференциальные уравнения движения составляем в форме уравнений
Лагранжа 11-го рода, которые для данной механической системы имеют вид
d T T

 Qs ,
dt s s
d T T

 Q ,
d  
(2.1)
18
где T-кинетическая энергия, Qs , Q -обобщённые силы , соответствующие
обобщённым координатам s,  . Точка сверху означает производную по
времени.
Вычисляем кинетическую энергию системы Т как функцию обобщённых
скоростей s,  и обобщённых координат s,  . Эта энергия равна сумме кинетических энергий звеньев.
Кинетическая энергия звена 1, совершающего плоское движение, вычисляется по теореме Кёнига
I112
,
T1 

2
2
где VC1 - скорость центра масс C1 , 1   -угловая скорость звена 1.
2
mV
1 C1
(2.2)
Кинетическая энергия звена 2, движущегося поступательно, имеет вид
T2 
m2V22
,
2
(2.3)
где V2 = s -скорость звена 2.
Скорость точки C1 вычисляем координатным способом. Согласно рисунку
1 координаты этой точки равны
xC  s  l1 cos  , yC  l1 sin  .
Дифференцируя эти выражения по времени, получаем
(2.4)
VC2  (s  l1 sin  )2  (l1 cos ) 2  s 2  l12 2  2l1s sin  .
Учитывая (2.2-2.4), кинетическую энергию системы записываем в виде
1
1
1
1
1
T  (m1  m2 ) s 2  (m1l12  I1 ) 2  m1l1s sin  .
2
2
(2.5)
Для определения обобщённой силы Qs мысленно накладываем на систему
связь   const и, сообщив системе возможную скорость s , вычисляем сумму
возможных мощностей активных сил, действующих на нее
N s  P  s  Qs  s
отсюда имеем
Qs  P .
(2.6)
Аналогично, мысленно накладываем на систему связь s  const и сообщаем
ей возможную скорость  , получаем выражение возможной мощности
N  M    Q  
отсюда
Q  M .
(2.7)
Используя (2.5), вычисляем значения слагаемых в уравнениях Лагранжа
T
 (m1  m2 ) s  m1l1 sin  ,
s
T
 0;
s
d T
 (m1  m2 ) s  m1l1 sin   m1l1 2 cos  ;
dt s
19
T
T
 (m1l12  I1 )  m1l1s sin  ,
 m1l1s cos  ;


(2.8)
d T
 (m1l12  I1 )  m1l1s sin   m1l1s cos  .
dt 
Подставляя (2.6—2.8) в (2.1) , получаем уравнения для определения
управляющих усилий Р и М
(m1  m2 ) s  m1l1 sin   m1l1 2 cos   P ;
(m1l12  I1 )  m1l1s sin   M
.
(2.9)
3. Программа движения
Управление движением захвата предполагает, что линейные комбинации
рассогласований координат и их производных в каждый момент времени равны нулю, т. е. выполнения равенств
x  T x  0 ,
(3.1)
y  T y  0 ,
где x  xD  xC , y  yD  yC - рассогласования координат детали D и захвата
С; T  =const – коэффициент управления.
Интегрируя (3.1), получаем

t

t
.
x  x(0)  e , y  y (0)  e
Здесь x(0)  xD 0  xC 0 , y(0)  yD 0  yC 0 - начальные рассогласования
T
T
(3.2)
координат; xC 0 , yC 0 - координаты захвата в начальный момент времени t=0.
Параметр T  определяем из условия относительной точности сближения
к моменту времени t  
x( ) y( )


 exp(  )   .
x(0) y(0)
T
Отсюда
T    / ln 
.
(3.3)
Уравнения движения захвата С , в соответствии с (3.2), записываем в виде
xC  xD  ( xD 0  xC 0 )  exp(t / T  ) ;
yC  yD  ( yD 0  yC 0 )  exp(t / T  ) .
(3.4)
Для рассматриваемого случая
xD  VD  cos   t  xD 0 , yD  VD  sin   t  yD 0
(3.5)
есть закон движения детали .
Из рисунка 1 устанавливаем связь между декартовыми координатами захвата С и обобщёнными координатами манипулятора
xC  s  l  cos  ,
(3.6)
yC  l  sin  .
Полагая s  s0 ,   0 по формулам (3.6) вычисляем начальные координаты
захвата xC 0 , yC 0 . Приравнивая правые части выражений (3.4) и (3.6), получаем
систему трансцендентных уравнений относительно s и 
20
s  l  cos   xD  ( xD 0  xC 0 )  exp(t / T  ) ;
l  sin   yD  ( yD 0  yC 0 )  exp(t / T  ) .
(3.7)
Эти уравнения, являющиеся программой движения в конечной форме,
накладывают ограничения на изменения обобщённых координат при
сближении захвата и детали. Дифференцируя (3.7) по времени имеем
(3.8)
s  l sin   xC ,
l cos   yC ,
где
xC  VD cos   ( xD 0  xC 0 )  exp(t / T  ) / T  ;
(3.9)
yC  VD sin   ( yD 0  yC 0 )  exp(t / T  ) / T  .
Решая систему уравнений (3.8) относительно  , s , получаем программу
движения в дифференциальной форме, которая устанавливает связь между
обобщёнными скоростями и скоростью захвата

yC
,
l cos 
s  xC  yC  tg .
(3.10)
Из (3.8) следует
s  l sin   l 2 cos   xC ,
l cos   l 2 sin   yC .
Отсюда получаем обобщённые ускорения, необходимые для вычисления
управляющих усилий
yC  l 2 sin 
, s  xC  l 2 cos   tg  ( yC  l 2 sin  ) .
(3.11)

l cos 
Здесь xC , yC определяются дифференцированием по времени равенств (3.9)
xC  ( xD 0  xC 0 )  exp(t / T  ) / T 2 ,
yC  ( yD 0  yC 0 )  exp(t / T  ) / T 2 .
(3.12)
4. Алгоритм решения задачи о сближении
В начале счёта присваиваются числовые значения параметрам задачи:
m1 , m2 , l1 , l ,VD ,  , xD 0 , yD 0 , s0 , 0 , ,  . Затем по формуле (3.3) вычисляется коэффициент управления T  , по (3.6) — начальные координаты захвата xC 0 , yC 0 . Используя (3.9) , численно получаются решение системы дифференциальных
уравнений (3.10) в момент времени t . В этот же момент времени вычисляются: xC , yC по(3.12);  , s по (3.11) ; по(2.9) управляющие усилия Р, М и мощности двигателей по формулам
(4.1)
N1  M   ,
N2  P  s .
Траектории захвата и детали получаются соответственно по (3.6) и (3.5).
Полученные координаты захвата сравниваются с координатами вычисленными по (3.4).
Процесс вычислений продолжается до момента t   . Результаты счёта
оформляются в виде графиков.
Все вычисления проводим с использованием стандартных методов
Mathcad
5.Численное решение задачи
21
Текстовый курсор ввода появляется после нажатия клавиши <">.
(Шрифт должен быть Arial CYR)
Исходные данные задачи:
Оператор присваивания ":=" вводится клавишей <:>.
m2  2 lC  1 l1 
m1  3
  1 - время сближения. s0  0
 
  
4

0  
6
 
0.01
0.5
IN 
0.8
VD 
2
точность сближения.
xD0 
0
yD0 
0
0  0.785
Вычисляем коэффициент управления и начальные координаты
захвата
xC0  s0  lC  cos  0 yC0  lC  sin  0
  

 ln    
T1  
T1 
0.217
xC0 
yC0  0.707
0.707
Вычисляем траектории детали и захвата
xD ( t)  VD  cos    t  xD0
yD ( t)  VD  sin    t  yD0
y  yD0  yC0 x  0.707
y  0.707
x  xD0  xC0
xC ( t)  xD ( t)  x  e
t
T1
yC ( t)  yD ( t)  y  e
t
T1
Решение трансцендентных уравнений (3.6) с использованием вычислительного
блока Given
[Нумерация индексов элементов матрицы начинается со значения,задаваемого
встроенной переменной ORIGIN, по умолчанию равной нулю]
{Нумерация строк и столбцов в этом случае начинается с
ORIGIN  1
единицы}
 s0 

 0 
s  
{Начальное приближение}
Given
(Здесь символ равенства записывается с помощью логического оператора
равенства, вызываемого кнопкой = панели инструментов "Булевый" или
комбинацией клавиш <Ctrl>+<=>.)
s1  lC  cos  s2 xC( t)
lC  sin  s2
yC ( t)
s ( t)  Find  s
0.635

s ( 0.75)  
 0.815 
s ( t)  s ( t) 1
s    

1.62
1.452


 ( t)  s ( t) 2
22
 x 
e
 T1 
xCt ( t)  VD  cos    
t
T1
 y 
e
 T1 
yCt ( t)  VD  sin    
st ( t)  xCt ( t)  yCt ( t)  tan   ( t) 
yCt ( t)
t ( t) 
lC  cos   ( t) 
t
T1
 x 
 y 

e
yCtt
(
t
)



 2e
2
 T1 
 T1 
2
 t ( t) 
stt ( t)  xCtt( t)  lC  
  yCtt ( t)  tan   ( t) 
 cos  ( t)  
xCtt ( t)  
tt ( t) 
yCtt ( t)  lC  t ( t)
2
t
T1
t
T1
 sin   ( t)  
lC  cos   ( t) 
P ( t)  ( m1  m2)  stt ( t)  m1  l1  tt ( t)  sin   ( t)   m1  l1  t ( t)  cos   ( t) 
2
M ( t)  m1  ( l1 )  IN  tt ( t)  m1  l1  stt ( t)  sin   ( t) 
2
Nm( t)  M ( t)  t ( t)
Np ( t)  P ( t)  st ( t)
x ( t)  s ( t)  lC  cos   ( t) 

t  0  t  
t 
100
y ( t)  lC  sin   ( t) 
Здесь оператор " .. " вводится клавишей < ; >
Траектории сближения
1
yC ( t)
yD ( t)
0
1
0
1
2
xC ( t)  xD ( t)
xD ( 0) 
0
xD(0)=0

yD ( 0) 
0
xC( 0) 
0.707
deg

30
xD  
yC ( 0)  0.707
1.732
yD   
xC  
1.739
1
yC   
0.993
Проверка траекторий сближения
23
1
y( t)
0
yD ( t)
1
0
1
2
x( t)  xD ( t)
x ( 0) 
y ( 0)  0.707
0.707
x   
y   
1.739
0.993
Зависимости управляющих усилий от времени при сближении
захвата с деталью.
300 0
H.
200 0
P ( t)
100 0
0
100 0
0
0.5
1
t
C.
P ( 0) 
H
306.81
P   
2.227  10 3
H
Минимальное значение Р
P ( 0.94)  75.005 H
Hm
40
20
M ( t)
0
20
0
0.5
1
t
C.
M    31.332 H m
M ( 0)  2.872 H m
Минимальное значение М
M ( 0.13)  9.283 H m
24
BT
Изменения мощностей двигателей во времени при сближении
захвата с деталью.
Np( t)
3 10
4
2 10
4
1 10
4
0
1 10
4
0
0.5
1
t
C.
Np   
Np ( 0)  1.774  103 BT
Минимальное значение Np
Np ( 0)  1.774  103 BT
2.302  104
BT
400
BT.
200
Nm ( t)
0
200
0
0.5
1
t
C.
Nm( 0)  17.288 BT Nm   272.537 BT
Минимальное значение Nm
Nm( 0.06)  31.349 BT
Мощности двигателей должны быть :
для первого звена Nm>280 BT= 0.28 KBT,
для второго звена Np>24000 BT=24 KBT.
Список литературы
25
1. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Практикум.– СПБ:
БХВ–Петербург, 2005.–752 с.
2. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчёты по теоретической
механике на базе ЭВМ. Учеб. пособие для вузов.–М.: Высшая школа,
1986.–136 с.
3. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Учеб.
пособие для технических вузов/под ред. проф. А.А. Яблонского–16-е изд.,
стереотипное–М.: Интеграл–Пресс, 2007.–384 с.
26