Теоретические и методические основы изучения

Теоретические и методические основы изучения уравнений и неравенств в школьном
курсе алгебры 5- 8 классов. Основные учебные задачи темы
С 1 по 11 класс учащиеся решают различные уравнения и неравенства. Выделим основные
направления развертывания линии уравнений и неравенств как основного средства
математического моделирования прикладных задач. Известно, что уравнения и
неравенства пронизывают весь школьный курс математики, это объясняется следующими
причинами:
1. уравнения (неравенства ) это математический аппарат, который позволяет изучать
реальную действительность, т.е. это математическая модель, описывающая явления
реальной действительности, поэтому изучение уравнений и неравенств позволяет
познавать учащимся сущность предмета математики, её связь с действительностью и
на доступных учащимся задачах обосновать метод математического моделирования.
Выделенная роль уравнений и неравенств отражает гуманитарный аспект
математического образования.
2. Уравнения (неравенства ) широко используются в других разделах математики, в
частности при изучении свойств функций (нахождение области определения), их
корней, промежутков знака постоянства и так далее. Итак, возможности
использования аппарата уравнений и неравенств широки, значит учащимся
необходимо хорошо владеть им ,а значит прежде всего владеть основными понятиями,
связанными с изучением уравнений и неравенств, давайте выделим их : что такое
уравнение (неравенство), корень уравнения (решение неравенства),что значит решить
уравнение (неравенство), процесс решения уравнений (неравенств), равносильные
уравнения(неравенства). (Смотри методичку : Эл. Математика , общие методы
решения уравнений и неравенств, часть первая.)
3.
В математике как науке существует подходов к определению Понятия уравнения :
1. Функциональный
Уравнение – аналитическая запись задачи о разыскании значений аргумента, при которых
равны значения двух данных функций. Аргументы, от которых зависят эти функции,
называют неизвестными. А значения неизвестных, при которых значения функций равны,
называют корнями уравнения.
2.С точки зрения высшей алгебры
Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух
алгебраических выражений.
Алгебраическое уравнение с одним неизвесным имеет вид
3. Логико-математический подход
Пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х - переменная на
М. Тогда уравнение на множестве М относительно х есть предикат-предложение с
переменной вида а(х)=b(x), где а(х) и b(x) –термы- выражение с переменной относительно
заданных операций, в записи которых вводится символ х.
В школьных учебниках существует два подхода :
1. Теоретико-множественный (А.Н. Колмогоров)
Равенство, содержащее переменную, называется уравнением.
Значение переменной, при котором равенство с переменной обращается в верной
числовое равенство, называется корнем уравнения.
Решить уравнение –найти множество его корней.
Переменная пробегает ряд значений ,не выбираю ни одного специально. Поэтому с
термином переменная связана операция подстановки числа вместо буквы и в итоге
находятся корни уравнения
2. Теоретико-числовой (Ш.А.Алимов)
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением
Корень уравнения-то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в
верное равенство.
Решить уравнение - найти все его корни или установить, что их нет.
Неизвестное представляет собой буквенное обозначение конкретного числа, поэтому при
решении уравнения можно использовать свойства числовых равенств, а это очень
облегчает.
Процесс решения уравнений состоит в замене одного уравнения другим, более простым и
продолжается до тех пор, пока не получено простейшее уравнение, решение которого
известно. Замена одного уравнения другим называется преобразованием уравнения
связано с теорией равносильности уравнений. Рассмотрим как вопрос о равносильности
уравнений решается в школе. Можно выделить три этапа :
1. Индуктивный путь (5-6 класс)
Уравнения решаются на основе зависимости между компонентами и результатами
действий.
Х+5=7
Х=7-5
В конце 6-го класса ,когда изучены рац. числа, появляется возможность решать
уравнения, в которых неизвестные содержатся и в левой , и в правой частях уравнения.
Поэтому появляются первые правила, связанные с решением уравнения (свойства
уравнений), которые устанавливаются опытным путем :
К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение
Обе части уравнения можно умножать или делить на оно и то же выр-е,не равное 0.
2. Дедуктивный путь (7-9 класс)
В 7 классе устанавливаются свойства уравнений на основе свойств верных числовых
равенств и решаются линейные, квадратные уравнения, сводящиеся к квадратным
уравнения. На том этапе нет неравносильных преобразований в решении уравнений,
значит нет потребности во введении термина «равносильные» уравнения.
3. Использование понятия равносильности (10-11 классы)
…………………..
Схема изучения уравнений (неравенств)












Актуализация знаний
Задача- мотивация с историческим или практическим содержанием
Уравнения (неравенства) нового вида, вводится термин, формулируется учебна
задача урока и тема.
Дается определение
«Открытие» способа решения , т.е. конструируется алгоритм (см. технологию
работы с алгоритмом)
Система упражнений на осознание и осмысление способа решения
Решение текстовых задач
Решение различных задач по теме , в частности, задач с параметрами
Основные учебные задачи тем ,посвященных изучению того или иного типа
уравнений
Формирование у школьников представлений о предмете математики, её связи с
действительностью, о математических моделях и математическом моделировании
Формирование математической и логической культуры школьников, связанных с
осознанием ими понятий уравнения, корень уравнения, nxj значит решить
уравнение, со знанием свойств уравнений
выявление нового типа уравнений на основе решения конкретной задачи или
конструктирование нового типа уравнения на основе уже известных . Нахождение
способов решений новых типов уравнений.