08-09-03

3. Кубические иррациональности
1. Определение кубического корня и арифметического кубического корня из неотрицательного числа.
Пусть a — произвольное действительное число. Аналогично определению квадратного корня назовем кубическим корнем из числа a каждое число b , куб которого равен a .
Другими словами,
число b называется кубическим корнем из числа a , если b3  a .
Для неотрицательного числа a неотрицательное значение кубического корня называют
арифметическим кубическим корнем. Арифметический кубический корень из числа a
обозначается 3 a .
По определению кубического корня имеем равенство
3



3
a   a

Пример 1.
3
8  2 , потому, что 2  0 и 23  8 .
Пример 2.
3
125  5 , потому, что 5  0 и 53  123 .
Пример 3.
3
5 2  7  2  1 , потому, что 2 1  0 и
( 2  1)3  ( 2)3  3  ( 2) 2  3  2  1 
 2 2  6  3 2 1  5 2  7
Кубический корень из числа a называют корнем третьей степени из числа a .
2.* Существование кубического корня из любого действительного числа.
Изучая квадратные корни, мы показали, что действительные квадратные корни существуют только для неотрицательных чисел. В отличие от этого действительные значения
кубического корня существуют и для отрицательных чисел.
Например, имеет место равенство (2)3  8 , а потому по определению число (-2) является кубическим корнем из числа (-8).
Для обозначения кубического корня из отрицательного числа также используют знак
3
. Это позволяет предыдущий пример записать в виде равенства
3
8  2
Можно доказать, что для каждого действительного числа существует единственное
действительное значение кубического корня. Доказывать существование мы не будем.
Единственность будет доказана в пункте 3.4.
3.* Сравнение кубических корней по величине основывается на следующем свойстве.
Неравенство x  y равносильно неравенству x3  y 3 .
Доказательство. Сначала докажем, что при любых различных x и y число
x  xy  y 2 положительно. Действительно, имеет место равенство x 2  xy  y 2  12 x 2 
2
 12 ( x  y )2  12 y 2 .
Так как x 2  0 , y 2  0 , ( x  y )2  0 , причем при различных x и y хотя бы одно из них
больше нуля, то из полученного равенства следует, что x 2  xy  y 2  0 .
Запишем теперь равенство x3  y3   ( x  y)( x 2  xy  y 2 ) .
Так как при различных x и y множитель x 2  xy  y 2  0 , то из этого равенства следует:
а) если x  y  0 , то x3  y 3  0 ,
б) если x3  y 3  0 , то x  y  0 .
Тем самым равносильность неравенств x  y и x3  y 3 доказана.
4.* Единственность действительного кубического корня.
Из доказанной в предыдущем пункте равносильности неравенств x  y и x3  y 3 можно как следствия получить новые важные свойства.
Следствие 1. Равенство x3  y 3 равносильно равенству x  y .
Доказательство. Если x  y , то тогда и x3  y 3 . Пусть x3  y 3 . Если предположим, что
x  y , то тогда либо x  y , либо x  y . Но из доказанного в пункте 3 свойства следует,
что при x  y выполняется неравенство x3  y 3 , а при x  y выполняется неравенство
x3  y 3 .
Следовательно, предположение о том, что x  y , приводит к противоречию с равенством x3  y 3 . Отсюда получаем, что из равенства x3  y 3 следует равенство x  y .
Следствие 2. Для каждого действительного числа a существует единственное действительное значение кубического корня.
Доказательство. Пусть для чисел x и y выполняются равенства
x3  a
y 3  a
Тогда x3  y 3 , и на основании следствия 1 получаем, что x  y
Следствие 3. Если a  b , то 3 a  3 b .
Доказательство. Обозначим 3 a  x , 3 b  y . Тогда x 3  a , y 3  b , и по условию
x3  y 3 . Отсюда по доказанному в пункте 3.3 свойству получаем x  y , то есть
3
a  3 b
5.* Примеры приближенного вычисления кубических корней.
Рассмотренные в предыдущем пункте свойства можно применять для получения приближенных значений кубических корней.
Пример 4. Покажем, что 2   3 5  1 . Для этого запишем неравенства
(2)3  8  5  1  (1)3 
Отсюда следует, что
3
(2)3  3 5  3 (1)3 
то есть 2  3 5  1 .
Пример 5. Найдем значение 3 2 с точностью до 0,1.
Вычисляя последовательно кубы чисел 1,1; 1,2; 1,3; и так далее, получаем, что
(1 2)3  1 728  2  2197  (1 3)3 .
Поэтому 1 2  3 2  1 3 .
Отсюда с точностью до 0,1 число
3
2 равно 1,2 по недостатку и 1,3 с избытком.
Пример 6. Найдем приближенное значение числа A  3 51  3 50 .
Аналогично предыдущему примеру нетрудно получить следующие неравенства:
3  3 50  4 3  3 51  4
Далее, так как 51  50 , то 3 51  3 50 , а поэтому число A положительно.
Сделаем теперь следующие преобразования:
A  3 51  3 50 

( 3 51  3 50)(( 3 51) 2  3 51 3 50  ( 3 50) 2 )

( 3 51) 2  3 51  3 50  ( 3 50) 2

51  50

( 51)  51  3 50  ( 3 50) 2

1

( 3 51) 2  3 51  3 50  ( 3 50) 2
3
2
3
Так как 3  3 51  4 и 3  3 50  4 , то из полученного равенства следует, что
1
1
 A 2

2
2
4  44  4
3  3  3  32
или 481  A  271 .
Значит, числа 481 и 271 являются приближенными значениями числа A соответственно
по недостатку и по избытку с точностью, которая не больше разности 271  481 .
6. Действия с корнями третьей степени основаны на правилах, которые похожи на правила действий с квадратными корнями. Перечислим эти правила без доказательства.
Правило 1. Корень кубический из произведения двух чисел равен произведению кубических корней из этих чисел.
3
ab  3 a  3 b
Правило 2. Корень кубический из частного, у которого ненулевой делитель, равен частному кубических корней из этих чисел.
3
3 a  a
3
b
b
Правило 3. Корень кубический из куба произвольного действительного числа равен
этому числу.
a3  a
С помощью этих правил можно выполнять тождественные преобразования выражений,
содержащих кубические корни.
3
Пример 7.
3
0 001a 4b2 
 3 (01)3  3 a 3  3 a  rt[3]b 2 
 01a  3 a  3 b2  01a  3 ab 2 
Пример 8.
1

1 3 2

1  3 2  ( 3 2)

(1  3 2)(1  3 2  ( 3 2))
1 3 2  3 2  2 1 3 2  3 4


3
13  ( 3 2)3
7.** Формула Кардано для корня кубического уравнения.
Квадратные уравнения умели решать до начала нашей эры. Решение кубических уравнений оказалось гораздо более сложной задачей. И только в XVI веке был найден общий
способ записи корней произвольного кубического уравнения вида
x 3  ax 2  bx  c  0
(1)

Такое уравнение путем замены неизвестной y  x  a3 сводится к уравнению вида
y  py  q  0
(2)
Действительно, из равенства y  x   a3 следует x  y  a3 . Подставляя это выражение в
уравнение (1), получаем
3
2
a
a
a



 y    a y    b  y    c  0
3
3
3



 3
a
a3   2 2 2
a3 
2
y

ay

y


ay

a
y


 

3
27  
3
9

ab 

  by    c  0
3 



a2 
2a 3 
y  b   y   c 
  0
3
27 


Следовательно, если обозначим p  b   a3 , q  c  227a , то получим уравнение вида
(2).
Корень уравнения y 3  py  q  0 удается найти следующим приемом. Будем искать y
в виде y  a  b , где a и b два неизвестных числа. Это позволяет записать для чисел a и
b дополнительное удобное условие.
Подставляя y  a  b и уравнение (2), получим
(a  b)3  p(a  b)  q  0
2
2
a3  3a 2b  3ab2  b3  p(a  b)  q  0
a3  b3  (3ab  p)(a  b)  q  0
Если теперь для неизвестных a и b записать условие 3ab  p  0 или ab  3p , то
предыдущее равенство будет иметь вид
a3  b  q  0
Следовательно, числа a и b можно находить как общие решения двух уравнений
a3  b3  q
ab  
p

3
Возведя обе части последнего равенства в куб, получаем
p3
a 3b3   
27
Отсюда следует, что числа
s  a3 и t  b3
удовлетворяют равенствам
s  t  q
p3
st   
27
По обратной теореме Виета числа s и t — это два корня квадратного уравнения
p3
z 2  qz 
 0
27
которые равны
z1 
p
q 2 p3

 
2
4 27
z2  
p
q 2 p3

 
2
4 27
Следовательно, можно взять
s  a3  
p
q 2 p3

 
2
4 27
t  b3  
p
q 2 p3

 
2
4 27
В результате приходим к формуле
y  ab  3 
p
q 2 p3



2
4 27
p
q 2 p3



(3)
2
4 27
известной как формула Кардано, которая дает выражение для корней кубического уравнения вида (2).
8.** Приведение кубического уравнения к виду z 3  3z  m  0 и поиск его корня в виде
3 
Z  A  1A
Преобразуя с помощью замены неизвестной общее кубическое уравнение вида
3
x  ax 2  bx  c  0 , мы получили кубическое уравнение вида
y 3  py  q  0
Можно сделать еще один шаг в замене неизвестной и получить еще более простой вид
кубического уравнения. Обозначим
p
y   z
3
Тогда
p
p
p
y3  py  q  
 z 3   z  q  0
3
3
3
откуда
3 3q
z 3  3z 
 0
p p
Обозначив m 
3 3q
p p
, получаем уравнение вида
z 3  3z  m  0
Корень этого уравнения можно искать в виде Z  A  1A . Тогда
1
1
( A  )3  3( A  )  m  0
A
A
A3  3 A 
3 1
3
 3  3 A   m  0
A A
A
A3 
1
 m  0
A3
Последнее уравнение заменой u  A3 сводится к квадратному уравнению.
Контрольные вопросы
1. Какое число называют кубическим корнем из числа a ? Как еще называют кубический корень?
2. Что такое арифметический кубический корень?
3. Чему равен кубический корень из 0?
4. Какой знак имеет действительное значение кубического корня:
а) из положительного числа;
б) из отрицательного числа?
5. Пусть x  y . Что можно сказать о действительных значениях 3 x и 3 y ?
6. Что можно сказать о двух числах x и y , если действительные значения кубических
корней из этих чисел равны между собой?
7. Какой способ получения приближенных значений кубических корней Вы знаете?
8. Чему равен кубический корень из произведения двух чисел?
9. Чему равен кубический корень из частного двух чисел?
10. Чему равен кубический корень из числа a 3 ?
11. Чему равно произведение
3
12. Чему равно частное 3 ba ?
3
a3b ?
13. Как кубическое уравнение x 3  ax 2  bx  c  0 привести к виду y 3  py  q  0 ?
14. По какой формуле можно найти корни кубического уравнения y 3  py  q  0 ?
15. Как определяется степень неотрицательного числа с показателем 13 ?
16. Для каких действительных чисел x определена запись
17. Для каких действительных чисел x определена запись
3
a?
3
x?
Задачи и упражнения
1. Найдите решения уравнений:
а) x3  125 б) ; x3  0 064 ;
в) x3  8000 г) ; x 3 
1
343
.
2. Запишите равенства с помощью радикалов:
3
а) 83  512 б) ;  13   271 ;
в) (01)3  0 001 г) ;
27
512
  83  ;
3
д) 3 83   23  е) ; (0 9)3  0 729 .
3
3. Вычислите:
а) 3 729 б) ; 3 216 в) ;  3 343 ;
г) 3 512 д) ; 3 0 008 е) ;  3 0125 ;
ж)
к)
3
0 729 з) ;  3 0 027 и) ;
3 125
216
л) ;
3
1
343
м) ;
3
1
343
3
 278 ;
.
4. Вычислите:
 23 
а)
3
26 б) ;
3
( 5)3 в)
;
3
г)
3
a9 д) ;
3
x 3 y12 е)
;
3 8
x6
ж)
3
27 x12
8 a 3b 6 c 9
;d з) 3xy 3
a3b9
27 x3 y 3
6
;
;
.
5. Сравните следующие числа:
а) 3 2 и 3 3 б) ; 3 216 и 3 218 ;
в) 3 10 и 3 9 .
6. Найдите с точностью до 1 приближенное значение следующих чисел:
а) 3 100 ; б) 3 1000 ; в) 3 500 ; г) 3 3375 .
7. Найдите значения следующих кубических корней с точностью до 0,1:
а) 3 3 ; б) 3 10 ; в) 3 12 .
8. Найдите приближенное значение 3 100  3 90 . С какой точностью найдено это значение?
9. Найдите:
3
8  27 ; 3 125  64 ; 3 216 125  81 ;
3
25  320 ; 3 108 10  25  81 .
3
4  3 54 ;
10. Вынесите из под знака радикала множители:
а) 3 16 б) ;
е)
3
3
54 в) ;
4b3 ж) ;
3
250 г) ;
3
3
72 д) ;
25a2b4 з) ; 3 16 y 5 и) ;
a 2b
9
3
8a 2 ;
к) ;
x4 y 2
a 3b 3
.
11. Не извлекая корни, определить, какое из чисел больше:
а) 2 3 3 или 3 25 б) ; 2 3 3 или 2 3 2 .
12. Внесите множители под радикал:
а) 2 3 2 б) ; 3 3 2 в) ; 2 3 3 г) ; 4 3 5 д) ; 2 3 a ;
е) a 3 2 ж) ; x 3 10 з) ; 12 3 6 и) ; 12 3 54 ;
к) 2b 3 a 2b л) ; x 3 1 1x м) ; ab 3 1 a21d 2 ;
н)
( a  b )2
a b 3
a b
a 2  2 ab  b 2
.
13. Найдите произведения:
а) ( 3 2  3 3)  ( 3 4  3 2 3 3  3 9) ;
б) ( 3 a  3 b )  ( 3 a 2  3 a 3 b  3 b2 ) ;
в) ( 3 5  3 2)  ( 3 25  3 10  3 4) ;
г) ( 3 a  3 b )  ( 3 a 2  3 ab  3 b 2 ) .
14. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1
; 3 2 1 3 3 ; 3 2 1 3 2 ; 113 5 .
3
2 1
a  b
15. Установите, что
16. Докажите, что
3 3
4

4 2 3
10  6 3
3
6
2
.
 3 1 .
17. Преобразуйте выражения:
( 3 5) 2
3
a a
; ( 3 4)6
;3 8
; 3 27
;
3
16 ;
; 2a  14 a .
18. Найдите (2  2) . Пользуясь получившимся равенством, докажите, что
3
20  14 2  3 20  14 2  4
19. Установите, что
3
6
847 3
847
 6
 3
27
27
20. По формуле Кардано найдите корни кубического уравнения x 3  6x  40  0 .
21. Решите уравнения:
а) x3  6 x 2  10 x  4  0 ;
б) x3  9 x 2  21x  5  0 ;
в) x 3  3 x  52  0 .
22. Пусть x — положительное число.
1) Установите, что 3 1  x  1  3x .
2) Воспользовавшись формулой a  b 
a 3  b3
a 2  ab  b 2
найдите разность 3 1  x  1  3x  и установите,
x
что она меньше x9  27
.
3) Какова точность приближенной формулы
x
3
1 x  1 
3
2
3
4) Пользуясь указанной приближенной формулой вычислите
произведено вычисление?
3
9 . С какой точностью
Ответы и указания к решению наиболее трудных задач.
Задача 6. Указание. Вычисляя кубы натуральных чисел, находим, что
4  100  53 , 73  500  83 , 1000  103 , 3375  153 . Поэтому 3 100  4 , 3 500  7 с точностью до 1 с недостатком, 3 100  5 , 3 500  8 с точностью до 1 с избытком. Значения
3
1000  10 и 3 3375  15 являются точными.
Задача 7. Указание. Сначала найдите приближенные значения с точностью до 1 для
кубических корней из чисел 3000, 10000, 12000 и затем примените полученные результаты.
3
4  3 100 
100  3 90  3 2 3 10 3 2 .
Задача 8.
Указание.
Так
как
3
100  10090  90
 5 , 4  90  5 , то
3
что
10
352
 013 ,
10
342
10
352
 100  90 
3
3
10
342
. Вычисляя десятичные приближения, получаем,
 0 21 . Отсюда следует, что если взять за приближенное значение
( 3 100  3 90)
число
0 21)  017 ,
 0 04 .
то
абсолютная
1
2
погрешность
меньше,
Задача 17. Указание. Достаточно доказать, что
что
4 2 3
3 1

2(2  3)( 3 1)
( 3 1)( 3 1)

2(2  3)( 3 1)
2
3
10  6 30 
чем
4 2 3
3 1
1
2
(013 
(0 21  013) 
. Заметим теперь,
 3  1 , и 10  6 3  ( 3  1)3 .
Задача 18. Указание. Установив, что (2  2)3  20  14 2 , нетрудно предположить,
а затем и доказать, что (2  2)3  20  14 2 .
Задача 19. Указание. Формулу для куба суммы двух выражений можно записать в
следующем виде: (a  b)3  a3  b3  3ab(a  b) . Если считать, что a  3 6 
b  3 6
847
27
847
27
,
, то a 3  b3  12 , 3ab  5 . Отсюда следует, что число ( a  b) является поло-
жительным корнем кубического уравнения z 3  5 z  12  0 .
3
Задача 22. Указания. 1) Докажите, что 1  x  1  3x  .
1 x  3  27 (1 x ) . В числителе получаем вы1 x  ( 3 1 x )3
2) 1   1  x  x 2 3 x 3

2
3
1 3  1 3  1 x ( 3 1 x )2 1 3x  1 3x  3 1 x ( 3 1 x )2
x2
3
ражение
x2
3
x3
3
x
3
x
, которое положительно при x  0 , а в знаменателе каждое из слагаемых
 27
3
больше 1. Поэтому 0  1  3x  3 1  x  13 
3) Так как 0  1  3x  3 1  x 
x2
9

x2
3

x
 27

3
x2
9
x
 81
.
3
x
, то абсолютная погрешность указанной формулы
 81
3
меньше
x2
9
x
. Если считать, что 0  x  1 , то
 81
3
x2
9
x
 81

3
x2
9
 1  9x   1081x 
2
x2
8
. Получившимся
2
выражением x8 удобно оценивать точность заданной приближенной формулы при
0  x  1.
4) Из кубов натуральных чисел ближайшим к числу 9 является 23 . С учетом этого
25
 2 121 , причем абсолютная погрешность меньимеем 3 9  3 8  1  2  3 1  18  2  1  241   12
ше, чем 2 18  812 , что меньше 0,004. Для числа 2 121 десятичное приближение с недостатком
равно 2,08 с точностью до 0,004. Поэтому
0,01.
3
9  2 08 с точностью до 0,008, что меньше