Гидродинамика и теория упругости биологических сред

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Физический факультет
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по УМР СГУ
_______________Е.Г. Елина
"__" __________________20__ г.
Рабочая программа дисциплины
ГИДРОДИНАМИКА И ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
БИОЛОГИЧЕСКИХ СРЕД
Направление подготовки
Физика живых систем
Профили подготовки
Биофизика
Медицинская фотоника
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Саратов,
2011
1. Цели освоения дисциплины «Гидродинамика и теория упругости
биологических сред»
Целями освоения дисциплины «Гидродинамика и теория упругости биологических сред» являются обеспечение студентов знаниями теорий физических явлений и процессов, законов классической теории упругости твердых
тел, мембран и жидких кристаллов и основ гидродинамики классических
жидкостей, их проявление при функционирования живых биологических
объектов, умением применять законы физики и биофизики в теории и на
практике, представлением о фундаментальных физических опытах и их роли
в развитии науки, формирование у студентов основ естественнонаучной картины мира, приобретение обучающимися универсальных и предметно специализированных компетенций, способствующих их социальной мобильности,
востребованности на рынке труда и успешной профессиональной карьере.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Гидродинамика и теория упругости биологических сред»
включается в базовую часть Профессионального цикла, модуль «Теоретическая биофизика», учебного плана программы подготовки бакалавров по
направлению «Физика живых систем». Она включает в себя три части –
«Теория упругости», «Акустика», «Гидродинамика» - и реализуется последовательно по указанным частям в течение 7 семестра. Она логически связана с
дисциплинами Математического и естественнонаучного цикла. В первую
очередь это относится к дисциплинам модуля «Общая физика и биофизика»,
в рамках которой студенты на базе приобретенных теоретических знаний
изучают основные методы физического и биофизического эксперимента и
обработки опытных данных и формируют навыки экспериментальных исследований различных физических и биофизических явлений.
Дисциплина должна быть изложена на соответствующем математическом уровне. Поэтому обучающимся будут необходимы знания основ математического анализа, аналитической геометрии, теории функций комплексного переменного, векторного и тензорного анализа, теории вероятностей.
Студенты должны иметь навыки самостоятельной работы с учебными
пособиями и монографической учебной литературой, уметь решать физические задачи, требующие применения дифференциального и интегрального
математического аппарата, уметь производить приближенные преобразования аналитических выражений.
Дисциплина «Теория упругости и гидродинамика» является универсальной базой для изучения общепрофессиональных и специальных дисциплин, даёт цельное представление о физических законах окружающего мира,
в том числе живого, в их единстве и взаимосвязи, вооружает бакалавров необходимыми знаниями для решения научно-технических задач в теоретических и прикладных аспектах, закладывает фундамент последующего обучения в магистратуре, аспирантуре. В рамках данной дисциплины рассматри2
ваются основные принципы и законы физики и биофизики, методы наблюдения и экспериментального исследования основных физических и биофизических явлений и процессов.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины «Гидродинамика и теория упругости биологических сред»
В результате освоения дисциплины «Теория упругости и гидродинамика» должны формироваться в определенной части следующие компетенции:
общекультурные:
 способность использовать в познавательной и профессиональной деятельности базовые знания в области математики и естественных наук
(ОК-1);
 способность приобретать новые знания, используя современные образовательные и информационные технологии (ОК-3).
общепрофессиональные:
 способность использовать базовые теоретические знания для решения
профессиональных задач (ПК-1);
 способность применять на практике базовые профессиональные навыки
(ПК-2);
 способность использовать специализированные знания в области физики,
химии и биологии для освоения профильных биофизических дисциплин
(в соответствии с профилем подготовки) (ПК-4);
 способность применять на практике базовые общепрофессиональные знания теории и методов биофизических исследований (в соответствии с
профилем подготовки) (ПК-5).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
 основные закономерности деформации твердых тел , лиотропных и термотропных жидких кристаллов и оболочек;
 знать основные закономерности волновых явлений звукового диапазона
в различных средах;
 основные закономерности движения лимфы и крови в сосудах; понимать
взаимосвязь гидродинамических явлений с физиологическими процессами в организме человека и животных.
Уметь:
3
- определить основные типы деформаций, возникающих в объектах биологического происхождения и математически описать деформации, возникающие в средах различной природы;
- уметь определить основные тип волновых возмущений, возникающих в
объектах биологического происхождения и математически описать физические явления, возникающие в средах различной природы;
- применить методы гидродинамики при проведении биомедицинских исследований.
Владеть:
- математическим аппаратом теории упругости твердых тел и жидких кристаллов и методами решения математических уравнений, описывающих деформации, возникающие в средах различной природы;
- математическим аппаратом и методами решения математических уравнений, звуковые явления, возникающие в средах различной природы;
- навыками применения физических (оптических и акустических) методов
исследования потоков биологических жидкостей.
4. Структура и содержание дисциплины «Гидродинамика и теория
упругости биологических сред»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы (108 часов).
4.1 Структура дисциплины «Гидродинамика и теория упругости
биологических сред»
№
п/
п
Се
мес
тр
Раздел дисциплины
Неделя
семестра
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу студентов и трудоемкость (в часах)
Формы текущего контроля
успеваемости
(по неделям
семестра)
Формы промежуточной аттестации (по семестрам)
Часть 1 – Теория упругости
1 Введение. Основные поня-
7
1
Л
2
СР
1
2
7
2-3
Л
4
СР
2
тия и уравнения теории
упругости.
Раздел 1.1. Упругость.
Упругость твердых тел.
Контрольная
работа
4
3 Раздел 1.2. Упругость жид-
7
4-5
Л
4
СР
2
Контрольная
работа
4
7
6-7
Л
4
СР
2
Контрольная
работа
ких кристаллов. Классификация жидких кристаллов.
Принципы континуальной
теории жидких кристаллов.
Раздел 1.3. Упругость двумерного объекта. Постановка плоских задач теории упругости. Упругая
плоскость и полуплоскость. Краевые задачи
плоской теории упругости.
Часть 2 – Акустика
1 Введение. Основные поня-
7
8
Л
2
СР
1
Контрольная
работа
2
7
9
10
СР
1
СР
1
Контрольная
работа
7
Л
2
Л
2
тия и задачи теории акустики.
Раздел 2.1. Учение о колебаниях.
3 Раздел 2.2. Бегущие волны
и излучение
Контрольная
работа
Часть 3 – Гидродинамика
1 Введение в физиологию
7
11
2 Раздел 3.1. Основы меха-
7
12
3 Раздел 3.2. Движение жид-
7
13
4
7
14
5 Раздел 3.4. Механика твер-
7
15
6
7
7
микроциркулиции крови.
ники жидкости.
7
кости в трубках и при обтекании тел.
Раздел 3.3. Анализ размерностей.
дых тел и свойства кровеносных сосудов.
Раздел 3.5. Основные гидродинамические
закономерности движения крови
по сосудам.
Раздел 3.6. Связь механики
жидкости с физиологией.
Итого:
Л
2
Л
2
Л
2
ПР
2
ПР
4
СР
1
СР
1
СР
1
Л
2
Л
2
ПР
2
ПР
4
СР
1
СР
1
Контрольная
работа
16-17
Л
4
ПР
4
СР
2
Контрольная
работа
18
Л
2
36
ПР
2
18
СР
1
18
Экзамен
Контрольная
работа
Контрольная
работа
Контрольная
работа
4.2. Содержание дисциплины «Гидродинамика и теория упругости
биологических сред»
5
Часть 1. Теория упругости
Введение. Основные понятия и уравнения теории упругости.
Раздел 1.1. Упругость твердых тел. Упругость. Закон Гука.Однородная деформация. Изгиб. Сдвиг. Кручение. Упругие материалы. Тензор деформации.
Тензор упругости. Неупругое поведение. Вычисление упругих постоянных.
Раздел 1.2. Упругость жидких кристаллов. Классификация жидких кристаллов. Принципы континуальной теории. Макроскопические искажения. Свободная энергия искажения. Граничные эффекты. Изгиб и кручение. Стенки
Гранжана – Кано. Континуальная теория смектика А. Деформации Хелфриха.
Раздел 1.3. Упругость двумерного объекта (мембраны). Постановка плоских
задач теории упругости. Плоская деформация. Плоская задача. Упругая
плоскость и полуплоскость. Краевые задачи плоской теории упругости.
Часть 2. Акустика
Введение. Основные понятия и задачи теории акустики.
Раздел 2.1. Учение о колебаниях. Получение незатухающих колебаний.
Представление несинусоидальних колебаний. Спектральное изображение
сложных форм колебаний. Упругие колебания твердых тел: кручение, поперечные и продольные колебания.Упругие колебания в жидкостях и газах.
Собственные колебания различных тел. Вынужденные колебания различных
тел.
Раздел 2.2. Бегущие волны и излучение. Бегущие волны. Интерференция.
Стоячие волны. Распространение волн. Принцип Гюйгенса – Френеля. Возникновение продольных волн и их скорость. Дисперсия и групповая скорость. Звуковые генераторы. Звуковое давление. Отражение, преломление,
дифракция и интерференция звуковых волн. Превращение периодических
процессов в звуковые волны. Энергия звуковых волн. Акустическое сопротивление. Приемники и источники звука. Эффект Доплера и звуковые волны.
Фонометрия. Применение звуковых волн.
Часть 3. Гидродинамика
Введение в физиологию микроциркуляции крови. Физиология кровеносных сосудов как часть физиологии кровообращения. Классификация кровеносных сосудов. Анатомическая схема путей кровотока в сердечнососудистой системе. Строение и классификация сосудов микроциркуляции.
Раздел 3.1. Основы механики жидкостей. Фундаментальные положения механики сплошных сред. Напряжения и деформации. Законы сохранения и
определяющие положения. Напряжение. Гидростатическое давление. Напряжение в движущейся жидкости. Уравнение движения жидкости. Конвективное и местное ускорение. Сохранение массы. Терема Бернулли.
Раздел 3.2. Движение жидкости в трубках и при обтекании тел. Течение Пуазейля в трубке. Представление о пограничном слое. Число Рейнольдса. Тур6
булентное движение жидкости при течении в трубке. Влияние сужений на
характер течения в трубке. Течение в изогнутых трубках. Обтекание тел.
Раздел 3.3. Анализ размерностей. Теория подобия и моделирование. Некоторые примеры выбора масштабов в биологичесих системах. Метод получения
размерностно однородных зависимостей между переменными.
Раздел 3.4. Механика твердого тела и свойства стенок кровеностных сосудов. Свойство упругости. Свойства эластичных стенок кровеносных сосудов.
Статика упругой трубки.
Раздел 3.5. Основные гидродинамические закономерности движения крови
по сосудам. Реологические модели. Механические свойства цельной крови.
Вязкость крови. Микрореологические исследования. Соотношение между
давлением и расходом жидкости в сосудистом русле. Влияние гидростатического давления. Влияние сил, действующих на сосуды снаружи. Обобщенное
описание физических закономерностей движения крови по сосудам. Влияние
сосудистого тонуса. Влияние реологических свойств крови. Соотношение
между давлением и реологическими свойствами крови. Влияние гидростатического давления. Влияние сил, действующих на сосуды снаружи. Обобщенное описание физических закономерностей движения крови по сосудам.
Раздел 3.6. Связь механики жидкости с физиологией. Кровяное давление и
трансмуральное давление. Неустановившееся давление. Формы волны скорости. Профили скорости. Сдвиговые напряжения у стенки артерий в норме и
при при патологиях. Повреждение артерий. Звуки Короткова. Дижение крови
в капиллярах и артериолах. Движение лимфы в лимфатических сосудах. Нестационарные потоки лимфы. Роль клапана в лимфососудах.
Лабораторные работы
Лабораторная работа 1. Измерение артериального давления человека.
Лабораторная работа 2. Исследование микроциркуляции крови человека с
использованием доплеровской диагностики и методами анализа контраста
спекл-полей (LASCA).
Лабораторная работа 3. Исследование изменений состояния микроциркуляции крови человека при тестовых стрессовых воздействиях.
Лабораторная работа 4. Исследование потоков лимфы и крови в сосудах
брыжейки лабораторных животных методами световой трансмиссионной
микроскопии.
Лабораторная работа 5. Измерение скорости кровотока в изолированном сосуде брыжейки белых крыс методами спекл-микроскопии.
Лабораторная работа 6. Анализ нестационарных потоков лимфы в изолированном сосуде брыжейки белых крыс методами спекл-микроскопии.
Лабораторная работа 7. Анализ церебрального кровотока в головном мозгу
белых крыс методами анализа контраста спекл-полей (LASCA).
Лабораторная работа 8. Исследование кардиовибраций и пульсовых волн человека методами оптики спеклов.
7
Лабораторная работа 9. Исследование пульсовых волн человека на основе
измерений временных флуктуаций оксигенации крови.
5. Образовательные технологии
При реализации дисциплины «Гидродинамика и теория упругости биологических сред» используются следующие виды учебных занятий: лекции и
лекционные демонстрации физических явлений, консультации, практические
работы, контрольные работы, самостоятельные работы. На лекционных занятиях предусмотрены активные формы учебного процесса: разбор конкретных
ситуаций, обсуждение наблюдаемых при лекционных демонстрациях физических явлений и эффектов, компьютерные демонстрации, короткие выборочные опросы по пройденному материалу, короткие консультации.
Оценка качества освоения программы дисциплины «Теория упругости
и гидродинамика» включает текущий контроль успеваемости и итоговый экзамен.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля
успеваемости, промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины.
6.1 Порядок выполнения и контроля самостоятельной работы
студентов:
 ежемесячная письменная самостоятельная работа обучающихся по закреплению пройденного лекционного материала;
 самостоятельная проработка некоторых теоретических вопросов, выделенных в программе дисциплины и не рассмотренных на лекциях, контроль выполнения этой самостоятельной работы предусмотрен в рамках
экзамена по соответствующей части дисциплины «Гидродинамика и теория упругости биологических сред».
6.2. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости
Для текущего контроля обучающихся по дисциплине «Гидродинамика
и теория упругости биологических сред» используются задания в виде теоретических вопросов, позволяющих оценить знания, умения и уровень приобретенных компетенций.
Контрольные вопросы
Часть 1. Теория упругости.
8
1) Перечислить основные понятия теории упругости.
2) Написать основные уравнения теории упругости.
3) Сформулировать закон Гука.
4) Дать определение однородная деформация.
5) Дать определение изгиба, сдвига и кручения.
6) Дать определение упругого материала.
7) Записать тензор деформации и тензор упругости.
8) Дать определение неупругого поведения материала.
9) Назвать методы вычисления упругих постоянных.
10) Перечислить классы жидких кристаллов.
11) Сформулировать принципы континуальной теории жидких кристаллов.
12) Дать определение макроскопического искажения жидкокго кристалла.
13) Записать выражение для свободной энергии искажения жидкого кристалла.
14) Дать определение граничного эффекта в жидких кристаллах.
15) Какие виды деформации испытывает жидкий кристалл?
16) Что такое стенка Гранжана – Кано.
17) Перечислить основные положения континуальной теории смектика А.
18) Дать определение деформации Хелфриха.
19) Сформулировать постановку плоских задач теории упругости.
20) Дать определение плоская деформация.
21) Что такое плоская упругая задача?
22) Перечислить краевые задачи плоской теории упругости.
Часть 2. Акустика
1) Перечислить основные понятия и задачи теории акустики.
2) Дать определение незатухающих колебаний.
3) В каком виде можно представить несинусоидальные колебания?
4) Дать определение спектрального изображения сложных форм колебаний.
5) Перечислить виды упругие колебания твердых тел.
6) Дать определение упругих колебания в жидкостях и газах.
7) Дать определение собственных колебаний различных тел.
8) Дать определение вынужденных колебаний различных тел.
9) Сформулировать определение бегущей волны.
10) Дать определение явления интерференции волн.
11) Дать определение стоячей волны.
12) Сформулировать принцип Гюйгенса – Френеля.
13) Дать определение продольных волн.
14) Дать определения дисперсии и групповой скорости.
15) Дать определение звукового давления.
16) Сформулировать законы отражения и преломления звуковых волн.
17) Написать выражение для энергии звуковых волн.
18) Дать определение акустического сопротивления.
19) Описать эффект Доплера в акустике.
9
Часть 3. Гидродинамика
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
Сформулировать основные положения механики сплошных сред.
Дать определения напряжения и деформации.
Сформулировать основные законы сохранения. Напряжение.
Дать определение гидростатического давления.
Записать уравнение движения жидкости.
Сформулировать терему Бернулли.
Дать определение течения Пуазейля в трубке.
Дать определение числа Рейнольдса.
Сформулировать основные положения теории подобия.
Привести примеры выбора масштабов в биологичесих системах.
Описать метод получения размерностно однородных зависимостей
между переменными.
Перечислить реологические модели.
Описать механические свойства цельной крови.
Записать соотношение между давлением и расходом жидкости в сосудистом русле.
Перечислить основные положения обобщенного описания физических
закономерностей движения крови по сосудам.
Записать соотношение между давлением и реологическими свойствами
крови.
Дать определение кровяного давления и трансмурального давления.
Описать сдвиговые напряжения у стенки артерий в норме и при патологиях.
Дать определение звуков Короткова.
Основные положения движения крови в капиллярах и артериолах.
Описать стационарные и нестационарные движения лимфы в лимфатических сосудах.
Какова роль клапана в лимфососудах?
Оценочные средства для промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (экзаменационные вопросы).
Часть 1. Теория упругости.
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
Перечислить основные понятия теории упругости.
Написать основные уравнения теории упругости.
Сформулировать закон Гука.
Дать определение однородная деформация.
Дать определение изгиба, сдвига и кручения.
Дать определение упругого материала.
Записать тензор деформации и тензор упругости.
Дать определение неупругого поведения материала.
10
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
Назвать методы вычисления упругих постоянных.
Перечислить классы жидких кристаллов.
Сформулировать принципы континуальной теории жидких кристаллов.
Дать определение макроскопического искажения жидкокго кристалла.
Записать выражение для свободной энергии искажения жидкого кристалла.
Дать определение граничного эффекта в жидких кристаллах.
Какие виды деформации испытывает жидкий кристалл?
Что такое стенка Гранжана – Кано.
Перечислить основные положения континуальной теории смектика А.
Дать определение деформации Хелфриха.
Сформулировать постановку плоских задач теории упругости.
Дать определение плоская деформация.
Что такое плоская упругая задача?
Перечислить краевые задачи плоской теории упругости.
Часть 2. Акустика
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
Перечислить основные понятия и задачи теории акустики.
Дать определение незатухающих колебаний.
В каком виде можно представить несинусоидальные колебания?
Дать определение спектрального изображения сложных форм колебаний.
Перечислить виды упругие колебания твердых тел.
Дать определение упругих колебания в жидкостях и газах.
Дать определение собственных колебаний различных тел.
Дать определение вынужденных колебаний различных тел.
Сформулировать определение бегущей волны.
Дать определение явления интерференции волн.
Дать определение стоячей волны.
Сформулировать принцип Гюйгенса – Френеля.
Дать определение продольных волн.
Дать определения дисперсии и групповой скорости.
Дать определение звукового давления.
Сформулировать законы отражения и преломления звуковых волн.
Написать выражение для энергии звуковых волн.
Дать определение акустического сопротивления.
Описать эффект Доплера в акустике.
Часть 3. Гидродинамика
23)
24)
25)
26)
Сформулировать основные положения механики сплошных сред.
Дать определения напряжения и деформации.
Сформулировать основные законы сохранения. Напряжение.
Дать определение гидростатического давления.
11
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
Записать уравнение движения жидкости.
Сформулировать терему Бернулли.
Дать определение течения Пуазейля в трубке.
Дать определение числа Рейнольдса.
Сформулировать основные положения теории подобия.
Привести примеры выбора масштабов в биологичесих системах.
Описать метод получения размерностно однородных зависимостей
между переменными.
Перечислить реологические модели.
Описать механические свойства цельной крови.
Записать соотношение между давлением и расходом жидкости в сосудистом русле.
Перечислить основные положения обобщенного описания физических
закономерностей движения крови по сосудам.
Записать соотношение между давлением и реологическими свойствами
крови.
Дать определение кровяного давления и трансмурального давления.
Описать сдвиговые напряжения у стенки артерий в норме и при патологиях.
Дать определение звуков Короткова.
Основные положения движения крови в капиллярах и артериолах.
Описать стационарные и нестационарные движения лимфы в лимфатических сосудах.
Какова роль клапана в лимфососудах?
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины «Гидродинамика и теория упругости биологических
сред»
Основная литература:
1 Савельев И.В. Курс общей физики: учеб. пособие : в 3 т. Т. 1 : Механика. Молекулярная физика. - СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2007. - 432 с.
2 Д. В. Сивухин. Общий курс физики: учеб. пособие в 5 т. Т. 1 : Механика. - М. : ФИЗМАТЛИТ : МФТИ, 2005. - 560 с.
3 Матвеев А.Н. Механика и теория относительности: учеб. пособие. СПб. ; М.; Краснодар: Лань, 2009. - 324 с.
4 Рубин А.Б. Биофизика. Учебник. В 2-х томах. Издание: 3-е. Том 1: Теоретическая биофизика. Том 2: Биофизика клеточных процессов. Гриф
МО РФ 2004 г.
Дополнительная литература:
1 Антонов В.Ф. , Черныш А.М. , Пасечник В.И. Биофизика. Учебник для
ВУЗов. Владос, 2006.
12
2 Артюхов В.Г. Биофизика. Учебник для вузов Серия: Фундаментальный
учебник. Издательство: Деловая книга (Екатеринбург), Академический
проект, 2009.
3 Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука. 1970. – 940 с.
4 Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука. 1980. – 512 с.
5 Коржуев А.В., Антонов В. Ф., Козлова Е.К., Черныш А.М. Физика и
биофизика. Практикум. Учебное пособие. Гэотар -Медиа, 2009.
6 Волькенштейн М.В. Биофизика. Издательство Лань, 2008.
7 Чигарев А. В., Михасев Г. И., Борисов А. В. Биомеханика. Изд-во
Гревцова, 2010.
8 Вихрова С.П., Чигирев Борис, Самойлов Владимир, Бигдай Елена, Гривенная Н.В. и др., Биофизика для инженеров в 2-х т., Изд.: ГОРЯЧАЯ
ЛИНИЯ - ТЕЛЕКОМ, Радио и связь, 2008.
9 Владимиров Ю. А., Проскурина Е. В., Проскурнина Е. В. ЛЕКЦИИ ПО
МЕДИЦИНСКОЙ БИОФИЗИКЕ. - Изд-во МГУ, Академкнига, ФИЗМАТЛИТ, 2007.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Общая физика и биофизика»
8.1. Лекционное материально-техническое обеспечение:
Кодоскоп для демонстраций модельных экспериментов, компьютер, мультимедийный проектор
Программа составлена в соответствии с требованиями ОС ВПО «Физика
живых систем» и ООП по профилям Биофизика и Медицинская фотоника.
Авторы:
доцент кафедры оптики и биофотоники,
к.ф.-м.н.
профессор кафедры оптики и биофотоники,
д.ф.-м.м., профессор
Г.В. Симоненко
С.С. Ульянов
Программа одобрена на заседании кафедры оптики и биофотоники
от 20 мая 2011 года, протокол № 6/11.
Подписи:
Зав. кафедрой
В.В. Тучин
Декан физического факультета
(факультет, где разработана программа)
В.М. Аникин
13
Декан физического факультета
(факультет, где реализуется программа)
В.М. Аникин
14