РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
Проректор по учебной работе
_______________________ Л.М.Волосникова
__________ _____________ 2011 г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В БИОЛОГИИ
Учебно-методический комплекс. Рабочая учебная программа
для студентов направления 020200.62 – «Биология», форма обучения - очная
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор работы _____________________________/Ф.Х.Бетляева/
«27» августа 2011 г.
Рассмотрено на заседании кафедры зоологии и ихтиологии
« 29 » августа 2011 г., протокол № 1
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем 14 стр.
Зав. кафедрой ______________________________/Гашев С.Н./
« 29 » августа 2011 г.
Рассмотрено на заседании УМК ИМЕНИТ, департамента биологии
« 24 » сентября 2011 г., протокол № 1
Соответствует ГОС ВПО и учебному плану образовательной программы
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК ________________________/О.В.Фролова /
« 24 »сентября 2011 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Зав. методическим отделом УМУ_____________/ С.А.Федорова /
«______»_____________2011 г.
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИТ
Департамент биологии
Кафедра зоологии и ихтиологии
Бетляева Ф.Х.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В БИОЛОГИИ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 020200.62 – «Биология»,
форма обучения - очная
Тюменский государственный университет
2011
2
Бетляева Ф.Х. Математические и информационные методы в биологии.
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления
020200.62 «Биология», форма обучения - очная. Тюмень: Издательство
Тюменского государственного университета, 2011, 14 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС ВПО
с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ:
Математические и информационные методы в биологии [электронный ресурс] /
Режим доступа: http://www.umk.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой зоологии и ихтиологии. Утверждено
проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий
ихтиологии, д.б.н. Гашев Сергей Николаевич
кафедрой
зоологии
и
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Бетляева Ф.Х., 2011.
1. Пояснительная записка.
3
1.1. Цели и задачи дисциплины
Целью дисциплины «Математические и информационные методы в биологии» является
получение базовых знаний об основных математических методах,
используемых
в
биологических исследованиях; овладение современными средствами систематизации и
обработки данных.
В процессе изучения дисциплины решаются следующие задачи:
1) применять
основные параметры, характеризующие совокупности; 2) оценивать тип
распределения совокупностей и производить выбор методов для их сравнения; 3) оценивать
достоверность влияния факторов на изменчивость между признаками; 4) определять
зависимость
между признаками и проводить прогноз их изменения; 5) проводить
классификацию объектов и
проверку качества классификации на основе многомерных
методов.
Учебно-методический комплекс «Математические и информационные
методы в
биологии» соответствует требованиям федерального государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Математические и информационные методы в биологии» логически и
содержательно-методически взаимосвязана с дисциплинами
зоология, ботаника,
физиология, математика, математический анализ, вероятность и статистика. Для успешного
освоения дисциплины необходимы базовые знания по зоологии, ботанике, физиологии,
владение компьютерными программами (GIS-системы и др.).
Для успешного освоения данной дисциплины необходимо предшествующее изучение
следующих модулей: информатика и современные информационные технологии.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 Знать: основные методы математического анализа, используемые в биологии.
 Уметь: правильно производить выбор приемов обработки информации
методами биологический статистики.
 Владеть: современными средствами систематизации и обработки данных.
2.
Структура и трудоемкость дисциплины.
4
Семестр 6. Форма аттестации зачет. Общая трудоемкость дисциплины составляет 120
часов, в т.ч. 34 –лекционных, 34 – лабораторных, 52 – самостоятельная работа.
3.
Тематический план.
Таблица 1.
Тематический план
1.
2
Модуль 1.
Введение. Проблемы
обработки информации и
использование её в
биологических
исследованиях.
Основные этапы анализа
данных.
Типы распределения.
Проверка нормальности
распределения.
Лекции
3
Самостоятель
ная работа
1
недели семестра
Тема
Лабораторные
занятия
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
№
5
6
4
Итог
о
часо
в по
теме
Из них в
интерак
тивной
форме
Итого
количество
баллов
7
8
9
1
2
4
4
10
2224
0-10
2-4
6
4
6
16
4444
0-10
5-7
6
4
6
16
6
0-10
Всего
Модуль 2.
Параметрические
критерии сравнения.
7
14
12
16
42
6
0-30
8
2
4
4
10
4
0-10
5.
Непараметрические
критерии достоверности
оценок.
9
2
4
6
12
4
0-10
6.
Дисперсионный анализ.
10-12
6
4
6
16
4
0-20
5
10
12
16
38
12
0-40
7.
Всего
Модуль 3.
Корреляционный анализ.
13-14
4
4
6
14
4
0-10
8.
9.
Регрессионный анализ.
Многомерные методы.
15-16
17
4
2
4
2
6
8
14
12
4
6
0-10
0-10
Всего
Итого (часов, баллов):
5
17
10
34
10
34
20
52
40
120
14
32
0-30
0 – 100
2.
3.
4.
Таблица 2.
5
Презентации,
интернетконференции
Информационные
системы и
технологии
глоссарий
реферат
контрольная
работа
Модуль 1.
1. Введение. Проблемы
обработки информации и
использование её в
биологических
исследованиях.
2. Основные этапы
анализа данных.
3. Типы распределения.
Проверка нормальности
распределения.
блиографичес
кий список
Письменные работы
№ темы
0-10
0-10
0-10
0-5
Всего
0-5
Модуль 2.
4. Параметрические
критерии сравнения.
0-10
0-5
0-10
0-5
0-10
0-10
0-10
0-10
0-10
0-10
0-20
0-10
0-20
0-40
0-10
0-10
Модуль 3.
7. Корреляционный
анализ.
0-10
Всего
Итого (баллов)
0-10
0-25
0-30
0-10
6. Дисперсионный
анализ.
8.
Регрессионный
анализ.
9. Многомерные методы.
0-10
0-10
5. Непараметрические
критерии достоверности
оценок.
Всего
Итого количество
баллов
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
0-10
0-10
0-5
0-10
0-10
0-10
0-20
0-50
0-30
0-100
6
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Виды СРС
Обязательны дополнительн
е
ые
Модуль 1.
Проблемы
1. Введение.
обработки информации и
использование
её
в
биологических
исследованиях.
Неделя
семест
ра
Объе
м
часов
Колво
балло
в
Выполнение
индивидуаль
ных заданий
(доклады с
рефератами)
.
Основные этапы анализа Выполнение
данных.
индивид.зад
аний(презен
тации).
Изучение
отдельных
тем.
1
4
0-10
Изучение
отдельных
тем.
2-4
6
0-10
Типы
распределения. Выполнение
Проверка нормальности контрольны
распределения.
х
работ,инд.за
д.
Всего по модулю 1:
Модуль 2.
Выполнение
4. Параметрические
критерии сравнения.
индивидуаль
ных
заданий.
Выполнение
5. Непараметрические
критерии достоверности индивидуаль
оценок.
ных заданий
(компьют.пр
езентаций)
Выполнение
6. Дисперсионный анализ.
индивидуаль
ных заданий
(составление
глоссария)
Всего по модулю 2:
Модуль 3.
7. Корреляционный анализ. Выполнение
индивидуаль
ных
заданий.
Регрессионный анализ.
Выполнение
8.
контрольны
х заданий.
Изучение
отдельных
тем.
5-7
6
0-10
7
16
0-30
Изучение
отдельных
тем
8
4
0-10
Изучение
отдельных
тем
9
6
0-10
Изучение
отдельных
тем
10-12
6
0-20
2.
3.
5
16
0-40
Изучение
отдельных
тем
13-14
6
0-10
Изучение
отдельных
тем
15-16
6
0-10
7
9.
Многомерные методы.
Выполнение
контрольны
х работ.
Изучение
отдельных
тем
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
17
8
0-10
5
17
20
52
0-30
0-100
4. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
1.Введение. Понятие и свойства информации. Способы регистрации первичных данных.
Типы данных. Способы группировки
данных. Базы данных. Программные средства
обеспечения информационных процессов. Универсальные статистические программы
StatGraphics, SPSS, SyStat, CSS, Statistica, STADIA, Biostat, StatPlus, Analyse-it. Специальные
программы анализа данных: Эвриста, Мезозавр, Trend, Класс-Мастер, Сани, Сигамд.
Проблемы обработки информации и использование её в биологических исследованиях.
2.Основные этапы анализа данных. История применения информационных и математических
методов в биологических исследованиях. Варьирование результатов наблюдения и его
причины. Понятие о выборке и генеральной совокупности. Статистические показатели
выборочной
совокупности.
Степенные
средние:
среднее
арифметическое,
среднее
квадратическое, среднее кубическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое.
Структурные средние: мода, медиана, квантили. Среднее линейное отклонение. Дисперсия и
свойства этого показателя. Число степеней свободы. Стандартное отклонение и его значение
в биологической статистике. Коэффициент вариации. Нормированное отклонение. Правило
«шести сигм».
Статистические оценки генеральных параметров. Точечная оценка. Интервальная оценка.
Оценка статистических ошибок (ошибки репрезентативности).
3.Типы распределения. Проверка нормальности распределения. Распределение признака.
Вариационный ряд - способ изображения распределения признака. Интервальные и
безинтервальные вариационные ряды. Графическое изображение распределения признака.
Гистограмма, полигон распределения, кривая распределения (вариационная кривая),
кумулята. Определение нормальности распределения признака. Законы распределения
случайных величин. Нормальное распределение. Проверка нормальности распределения.
Критерий Колмогорова-Смирнова, Шапиро-Уилка. Асимметрия и эксцесс. Критерии
асимметрии и эксцесса. Нулевая гипотеза для случая определения нормальности
распределения. Биноминальное распределение. Распределение Пуассона.
Модуль 2.
8
4. Параметрические критерии сравнения. Критерий Фишера (F-критерий). Формулирование
нулевой гипотезы для определения доверительных различий. Сравнение выборочных долей.
Сравнение показателей вариации.
5. Непараметрические критерии сравнения. Сравнение независимых групп: критерий
Манна-Уитни, критерий Вальда-Вольфовица, двухвыборочный критерий КолмогороваСмирнова. Сравнение независимых групп. Сравнение номинальных переменных.
6. Дисперсионный анализ. Анализ однофакторного дисперсионного комплекса. Оценка
силы влияния и достоверности силы
влияния фактора. Нулевая гипотеза для
дисперсионного
анализа
однофакторного
комплекса.
Анализ
двухфакторного
дисперсионного комплекса. Многофакторный дисперсионный анализ.
Модуль 3.
7. Корреляционный анализ.
Корреляция. Виды корреляционных связей. Основные
характеристики корреляционной связи - степень связи (сила), направление и форма связи.
Коэффициент
корреляции.
Достоверность
коэффициента
корреляции.
Коэффициент
детерминации. Z-преобразование Фишера. Частный и множественный коэффициенты
корреляции.
8. Регрессионный анализ. Способы выражения регрессии. Метод наименьших квадратов.
Уравнение прямолинейной регрессии. Нелинейная регрессия. Виды уравнений нелинейной
регрессии.
9. Многомерные методы. Кластерный анализ. Определение "расстояний" между объектами
по всей совокупности признаков. Меры расстояний: эвклидова метрика, нормализованные
эвклидовы расстояния, манхеттеновская метрика, процент несогласия, коэффициент
корреляции Пирсона. Группирование сходных объектов в кластеры. Графическое
изображение древа расстояний. Дискриминантный анализ. Уравнение дискриминации.
Расстояние Махалонобиса. Требования к первичным данным, минимальный объем выборок.
5. Лабораторные занятия.
1. Способы отбора вариант в выборочную совокупность. Изучение организации
статистических программ (4 часа). Рассмотрение основных этапов анализа данных.
Регистрация первичных данных, составление лабораторных журналов. Оценка разницы
между одномерной, двумерной, многомерной совокупностью; повторным и бесповторным
отбором вариант; между
связанными и несвязанными выборками. Организация
статистических программ. Статистические методы.
Необходимый инструментарий: ЭВМ со статистическими программами.
2. Описательная статистика (4 часа). Основные статистические показатели выборочной
совокупности. Оценка статистических показателей генеральных совокупностей. Точечная
оценка. Интервальная оценка.
Решение задач, описание выборок и генеральных
совокупностей по средней величине и варьированию признака.
9
3. Проверка нормальности распределения (4 часа). Решение задач, формулировка нулевой
гипотезы. Определение критериев для оценки нормальности распределения.
Принятие
решения об опровержении нулевой гипотезы.
Необходимый инструментарий: ЭВМ со статистическими программами.
4. Параметрические критерии достоверности оценок (4 часа). Статистические сравнения
количественных признаков. Решение задач, формулировка нулевой гипотезы, принятие
решения об опровержении нулевой гипотезы. Сравнение выборочных долей.
Альтернативные признаки. Понятие о доле. Характеристика выборки с применением
выборочной доли. Оценка варьирования качественных признаков. Ошибка выборочной доли.
Необходимый инструментарий: ЭВМ со статистическими программами.
5. Непараметрические критерии достоверности оценок (4 часа). Сравнение средних в двух
независимых группах (критерий Манна-Уитни). Сравнение средних нескольких независимых
групп (критерий Краскела-Уоллиса, медианный тест).Сравнение средних в двух зависимых
выборках (критерий знаков, критерий Вилкоксона).
Необходимый инструментарий: ЭВМ со статистическими программами.
6.Дисперсионный анализ (4 часа). Решение задач. Модели одно-, многофакторного
дисперсионного анализа.
Требования к формированию выборки для проведения
дисперсионного анализа.
Необходимый инструментарий: ЭВМ со статистическими программами.
7. Корреляционный и анализ (4 часа). Вычисление коэффициента линейной корреляции,
критериев нелинейной корреляции. Формулировка нулевой гипотезы при определении
достоверности коэффициентов силы связи между признаками и при оценке формы связи
между признаками. Вычисление коэффициентов силы связи качественных признаков.
8.Регрессионный анализ ( 4 часа). Определение уравнения линейной регрессии. Определение
коэффициента множественной, частной корреляции. Требования к формированию выборки
для проведения регрессионного анализа.
Необходимый инструментарий: ЭВМ со статистическими программами.
9. Многомерные методы (2 часа). Кластерный анализ. Определение расстояний между
сообществами по видовому составу. Применение кластерного анализа при оценке роста
организмов. Дискриминантный анализ. Решение задачи по дискриминации пяти видов
сиговых рыб на этапе по 16 морфологическим параметрам. Понятие о дискриминантных
функциях. Требования к формированию выборки для проведения дискриминантного
анализа. Проверка результатов вычислений на лабораторных занятиях 2-8 с использованием
различных программных продуктов.
Необходимый инструментарий: ЭВМ со статистическими программами.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Модуль 1.
1.Введение
6.
Темы рефератов:
1. Организация статистической программы STATAN.
2.Организация статистической программы STADIA.
3. Организация статистической программы STATISTICA.
10
3.Описательная статистика
Обработка полученных в ходе исследований данных на основе метода описательной
статистики.
3. Типы распределения. Проверка нормальности распределения.
Контрольная работа
Вариант № 1.
1.Биномиальное распределение.
2.Правило плюс-минус трех сигм.
Вариант № 2.
1. Закономерности нормального распределения.
2.Коэффициент асимметрии и эксцесса.
Вариант № 3.
1.Распределение Пуассона.
2.Нормированное отклонение в оценке свойств нормального распределения.
Составление библиографического списка. Для основы списка можно использовать
следующую литературу:
1. Бетляева Ф.Х., Лупинос М.Ю., Гашев С.Н. Биометрическая обработка данных на основе
компьютерной программы STATISTICA. Тюмень: Изд-во ТГУ, 2011 - 104 с.
2. Вуколов, Э. А. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и
исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и EXCEL М.: ФОРУМ,
2012. – 464 с. ГРИФ УМО
3. Каменская, М.А. Информационная биология. М.: «Академия», 2006. – 368 с. Гриф
4. Лагутин, М.Б. Наглядная математическая статистика. М.: "БИНОМ", 2007.-472 с. Гриф
5. Лакин Г.Ф. Биометрия. М.:Высшая школа, 1990. – 352 с.
6. Мятлев, В. Д. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические
модели. М.: Академия, 2009. – 320 с. ГРИФ НМО
7. Хрущёв, И. В. и др. Основы математической статистики и теории случайных процессов.
СПб.: Лань, 2009.- 336 с.
4. Параметрические критерии достоверности оценок.
Обработка полученных в ходе исследований данных на основе параметрических критериев
достоверности оценок.
5. Непараметрические критерии достоверности оценок
Обработка полученных в ходе исследований данных на основе непараметрических критериев
достоверности оценок.
6. Дисперсионный анализ
Темы компьютерных презентаций:
1. Результаты обработки данных на основе однофакторного дисперсионного анализа.
2.Результаты обработки данных на основе многофакторного дисперсионного анализа.
3.Результаты обработки данных на дисперсионного анализа с повторными эффектами.
Составление глоссария:
Дисперсия
Гауссово распределение
Градация
Доверительная вероятность
Нормальное распределение
Нормированное отклонение
Критерий Колмогорова Смирнова
11
Критерий соответствия
Критерий Фишера
Критерий Шапиро-Уилка
Эксцесс
Для составления глоссария можно использовать следующую литературу:
1. Бетляева Ф.Х., Лупинос М.Ю., Гашев С.Н. Биометрическая обработка данных на основе
компьютерной программы STATISTICA. Тюмень: Изд-во ТГУ, 2011 - 104 с.
2. Вуколов, Э. А. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и
исследованию операций с использованием пакетов STATISTICA и EXCEL М.: ФОРУМ,
2012. – 464 с. ГРИФ УМО
3. Каменская, М.А. Информационная биология. М.: «Академия», 2006. – 368 с. Гриф
4. Лагутин, М.Б. Наглядная математическая статистика. М.: "БИНОМ", 2007.-472 с. Гриф
5. Лакин Г.Ф. Биометрия. М.:Высшая школа, 1990. – 352 с.
6. Мятлев, В. Д. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические
модели. М.: Академия, 2009. – 320 с. ГРИФ НМО
7. Хрущёв, И. В. и др. Основы математической статистики и теории случайных процессов.
СПб.: Лань, 2009.- 336 с.
7. Корреляционный анализ
Обработка полученных данных на основе методов корреляционного анализа.
8.Регрессионный анализ.
Обработка полученных данных на основе регрессионного анализа.
9. Многомерные методы
Темы компьютерных презентаций:
1. Оценка расстояний между сообществами по видовому составу на основе кластерного
анализа.
2.Применение кластерного анализа при оценке роста организмов.
7. Контрольные вопросы к зачету.
1.
Генеральная и выборочная совокупности. Методы формирования выборок.
2.
Законы распределения случайных величин.
3.
Вариационный ряд и его графическое изображение; интервальный и
безинтервальный вариационный ряд.
4.
Асимметрия и эксцесс.
5.
Средние величины: степенные и структурные средние.
6.
Показатели вариации выборочной совокупности.
7.
Точечные оценки генеральных параметров.
8.
Интервальные оценки генеральных параметров.
9.
Статистические сравнения. Критерии достоверности различий между выборками:
(t- критерий Стьюдента, F-критерий Фишера).
10.
Корреляция. Коэффициент корреляции.
11.
Оценка корреляции между качественными признаками.
12.
Коэффициент детерминации.
12
13.
Регрессионный анализ.
14.
Кластерный анализ.
15.
Дискриминантный анализ.
16.
Сформулируйте статистическое заключение: что означает принять или отклонить
нулевую гипотезу (Но):
а) при сравнении эмпирического и теоретического распределений;
б) при сравнении двух выборочных совокупностей;
в) в корреляционном анализе;
г) в дисперсионном анализе.
Образовательные технологии.
Наряду с мультимедийными средствами обучения (презентации по всем темам
тематического плана, компьютерные программы оценки) будут использованы диспуты (при
групповых занятиях по оценке основных показателей, характеризующих выборки, и при их
сравнении).
8.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
9.1. Основная литература:
1. Каменская, М.А. Информационная биология. М.: «Академия», 2006. – 368 с. Гриф УМО
9.2. Дополнительная литература:
1. Лагутин, М.Б. Наглядная математическая статистика. М.: "БИНОМ", 2007.-472 с. Гриф
УМО
2. Лакин, Г.Ф. Биометрия. М. :"Высшая школа", 1990. - 352 с. Гриф Гос. ком. СССР
3. Мюррей, Д. Д. Математическая биология. Т. 2. Пространственные модели и их
приложения в биомедицине. М: Ин-т компьютерных исследований; Ижевск: РХД, 2011. –
1104 с.
9.3. Программное обеспечение и Интернет-ресурсы
http://www.biometrica.tomsk.ru/index.htm
http://www.biometrics.ru/
http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/lec/ms.html
http://www.stat.ufl.edu/vlib/statistics.html
10. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Занятия по дисциплине «Математические и информационные методы в биологии»
проводятся в компьютерном классе (на 16 мест) кафедры зоологии и ихтиологии. Для чтения
лекций имеется мультимедийная аудитория. В качестве учебного материала используются
мультимедийные продукты. Для проведения практических занятий имеются лицензионные
программы STATISTICA, STADIA, STATAN, MS Officе.
13
11. Дополнения и изменения к рабочей программе на 2013/2014
учебный год.
В рабочую программу вносятся следующие дополнения и изменения в список
литературы:
Основная литература:
1. Каменская, М.А. Информационная биология. М.: «Академия», 2006. – 368 с. Гриф УМО
Дополнительная литература:
1. Бетляева ,Ф.Х., Лупинос, М.Ю., Гашев, С.Н. Прикладные методы анализа биологических
данных в системе STATISTICA. Тюмень: Изд-во ТГУ, 2012 - 80 с.
2. Лагутин, М.Б. Наглядная математическая статистика. М.: "БИНОМ", 2007.-472 с. Гриф
УМО
3. Лакин, Г.Ф. Биометрия. М. :"Высшая школа", 1990. - 352 с. Гриф Гос. ком. СССР
4. Мюррей, Д. Д. Математическая биология. Т. 2. Пространственные модели и их
приложения в биомедицине. М: Ин-т компьютерных исследований; Ижевск: РХД, 2011. –
1104 с.
5. Романюха, А. А. Математические модели в иммунологии и эпидемиологии
инфекционных заболеваний/ А. А. Романюха ; ред. Г. И. Марчук. - Москва: БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2012. - 293 с.
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры зоологии и
эволюционной экологии животных «29» августа 2013 г.
Заведующий кафедрой
С.Н.Гашев
14