Колебания кристаллической решетки

Колебания кристаллической решетки. Фононы.
1. В чем состоит адиабатическое приближение, называемое также приближением БорнаОппенгеймера?
2. В каком случае колебания систем с многими степенями свободы называют малыми?
3. Что такое нормальное колебание системы с многими степенями свободы, совершающей
малые колебания? Как движутся частицы в случае, если такая система совершает
нормальное колебание?
4. Как можно описать произвольное движение системы с многими степенями свободы,
совершающей малые колебания?
5. Как в общем случае выгладит выражение для смещения произвольного атома в
кристалле, совершающем нормальное колебание?
6. Как строится первая зона Бриллюэна? 2-ая, 3-ья?
7. Какова область определения квазиволнового вектора? Каков объем этой области?
Почему не нужно рассматривать квазиволновые векторы, лежащие за пределами этой
области?
8. Вывести закон дисперсии для одномерной цепочки с одним атомом на
примитивную элементарную ячейку.
9. Вывести закон дисперсии для одномерной цепочки с двумя атомами на
примитивную элементарную ячейку.
10. Какие ограничения накладываются на квазиволновые векторы при использовании
периодических граничных условий Борна-Кармана? Каков объем, приходящийся на
каждое разрешенное состояние квазиволнового вектора в этом случае?
11. Чему равно число различных квазиволновых векторов при наложении на кристалл
периодических граничных условий Борна-Кармана? Ответ объяснить.
12. Что такое ветка закона дисперсии? Чему равно число веток закона дисперсии в случае
колебаний кристаллической решетки? Ответ объяснить.
13. Что такое акустические и оптические ветки закона дисперсии? Сколько их?
14. Почему в любом кристалле есть ровно три акустические ветки закона дисперсии?
15. Почему невозможно тепловое расширение кристалла в гармоническом приближении?
16. Как нумеруются нормальные колебания (моды) в кристалле? Каково полное число
нормальных мод?
17. Чему равно число акустических и оптических веток закона дисперсии в кристалле
железа (ОЦК решетка)? Ответ объяснить.
18. Чему равно число акустических и оптических веток закона дисперсии в кристалле
меди (ГЦК решетка)? Ответ объяснить.
19. Чему равно число акустических и оптических веток закона дисперсии в кристалле со
структурой NaCl? Ответ объяснить.
20. Чему равно число акустических и оптических веток закона дисперсии в кристалле со
структурой CsF? Ответ объяснить.
21. Чему равно число акустических и оптических веток закона дисперсии в кристалле со
структурой алмаза? Ответ объяснить.
22. Чему равно число акустических и оптических веток закона дисперсии в кубической
фазе кристалла BaTiO3 (одна формульная единица на примитивную элементарную
ячейку)? Ответ объяснить.
23. Как записывается выражение для колебательной энергии кристалла, совершающего
малые колебания в случае, если кристалл находится в определенном стационарном
квантовом состоянии?
24. Как нумеруются стационарные квантовые состояния кристалла, совершающего малые
колебания? Что такое фононы?
25. Что такое числа заполнения в случае фононов? Каким они могут быть? Почему? Чему
равны средние числа заполнения в гармоническом кристалле, находящемся в состоянии
теплового равновесия при температуре Т?
26. Чему равен вклад во внутреннюю энергию гармонического кристалла от колебаний
решетки? Как находится решеточная теплоемкость кристалла? Почему теплоемкости при
постоянном давлении и объеме в случае кристалла близки друг к другу?
27. Чему равна решеточная теплоемкость гармонического кристалла при высокой
температуре? При каких условиях имеет место высокотемпературный предел?
28. Как зависит решеточная теплоемкость гармонического кристалла от
температуры при очень низких температурах? При каких условиях достигается
низкотемпературный предел?
29. Какие приближения лежат в основе моделей колебаний решетки Эйнштейна и Дебая?
Насколько правильно описывают эти модели поведение решеточной теплоемкости в
области высоких и низких температур?
30. Как определяются радиус сферы Дебая и температура Дебая?
Электронные состояния в кристалле.
31. В чем состоит одноэлектронное приближение? Как записывается стационарное
уравнение Шредингера для электрона в кристалле? Какими свойствами обладает
потенциальная энергия электрона в кристалле в пренебрежении электрон-фононным
взаимодействием? Почему им можно пренебречь?
32. Что такое блоховские функции? Каковы их свойства? Что утверждает теорема Блоха?
33. Доказательство теоремы Блоха.
34. Как нумеруются блоховские состояния электрона в кристалле? Сколько электронных
состояний на примитивную элементарную ячейку приходится на одну ветку закона
дисперсии? Почему?
35. Что такое принцип Паули? Как заполняются электронные состояния в кристалле в
одноэлектронном приближении?
36. Как записываются электронные блоховские функции в приближении сильной
связи? Сколько веток закона дисперсии получается при заданном наборе базисных
атомных функций? Привести пример.
37. Как описываются электронные блоховские функции, соответствующие остовным
атомным орбиталям? Ответ проиллюстрировать на примерах кристаллического
натрия и кристалла кремния.
38. Что такое валентная полоса? Как в приближении сильной связи строятся
электронные блоховские функции валентной полосы в кристалле NaCl? Сколько
веток закона дисперсии формирую эту полосу?
39. Как в приближении сильной связи строятся электронные блоховские функции
валентной полосы и нижней части полосы проводимости в кристалле кремния?
Сколько веток закона дисперсии формирую валентную полосу? Где в пространстве
квазиволновых векторов располагается потолок валентной полосы и дно полосы
проводимости?
40. Как в случае кристаллов кремния и германия ведут себя законы дисперсии в
окрестности потолка валентной полосы и дна полосы проводимости? Что такое
эффективные массы?
41. Как находятся в приближении слабой связи блоховские функции вдали от границ
зон Бриллюэна? Как в приближении слабой связи формируются ветки закона
дисперсии? Почему число веток закона дисперсии для электронов в кристалле
бесконечно?
42. Чем отличается электронная структура металлов и диэлектриков? Что такое
поверхность Ферми? Из какого условия находятся листы поверхности Ферми?
43. Как в приближении слабой связи находятся поверхности Ферми для
одновалентного и двухвалентного металлов?
44. Распределение Ферми-Дирака для электронов в кристалле. Из какого условия
находится химический потенциал? Связь химического потенциала и энергии Ферми
в металле.
45. Электронный вклад во внутреннюю энергию металла. Электронная
теплоемкость металла, ее сопоставление с решеточной теплоемкостью. Когда
электронная теплоемкость больше решеточной?