МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
“Мурманский государственный гуманитарный университет”
(МГГУ)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
ОПД.В.3.2. КПВ_ методика решения задач с модулем в средней школе
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТА
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ
050201 – математика с дополнительной специальностью
Утверждено на заседании
кафедры математики
и методики обучения математикк
ФФМОИиП
(протокол №5 от 27 января 2011 г.)
Зав. кафедрой
__________________ /Мартынов О.М./
Структура учебно-методического комплекса дисциплины
РАЗДЕЛ 1. Программа учебной дисциплины
Структура программы учебной дисциплины
1.1 Автор программы: Побойкин Владимир Яковлевич, старший преподаватель кафедры
МиМОМ МГГУ.
1.2 Рецензенты: Иванчук Наталья Васильевна, кандидат педагогических наук, доцент
кафедры МиМОМ МГГУ, Зубова Юлия Владимировна, кандидат физ.-мат. наук,
научный сотрудник кафедры физики МГТУ.
Пояснительная записка:
Программа составлена в соответствии с государственными образовательными
стандартами высшего профессионального образования. Подготовка будущих учителей
математики тесно связана с творческим осмыслением ими теоретических знаний по
методике обучения математике, всесторонним анализом имеющихся методик и технологий
обучения, знакомством с разнообразными формами, приемами, методами и средствами
преподавания такого немаловажного раздела предмета, как уравнения и неравенства
содержащие модуль.
1.3
Цели:
Повышение математической культуры студентов, необходимой для научного
обоснования курса решения уравнений и неравенств содержащих знак модуля; овладение
ими методами современного преподавания математики в средней школе, гимназиях и
лицеях, которые базируются на прочной основе математических дисциплин. Заложить
фундаментальные знания, необходимые для качественного обучения математике в средних
учебных заведениях, сформировать практические навыки решения школьных задач с
модулем.
Задачи:
- познакомить студентов с целями и задачами, предметом методики обучения
тригонометрии в средней общеобразовательной школе, гимназиях и лицеях,
- ознакомить с вопросами общей методики преподавания математики,
- изучить методические особенности преподавания заданий с модулем школьного
курса математики,
- изложить основные методические приемы изучения и преподавания задач с модулем
в различных разделах ольного курса,
- научить проводить анализ и самоанализ урока,
Место курса в общей системе подготовки специалиста:
В профессиональной подготовке учителя математики курс занимает особое
положение, он изучается студентами, уже получившими определенную философскую,
педагогическую, психологическую, общедидактическую и математическую подготовку.
Эти знания студентов систематически используются в курсе методики обучения
математике и находят свой выход в практике обучения школьников решению задач
содержащих модуль. Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с
курсами по выбору, методикой преподавания математики, информатики.
Программа курса составлена на основе Государственного образовательного стандарта
высшего профессионального образования по специальности 050201.00 – «Математика с
дополнительной специальностью», утвержденного 31 января 2005 г.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины (должны знать, должны уметь)
В результате изучения курса студенты
должны знать:
- основные понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины,
 способы и методы решения задач содержащих модуль.
должны уметь:
- решать задачи по разделам курса,
- применять теоретический материал,
- творчески подходить к решению профессиональных задач,
- строить математические модели задач, приводить их к нужному виду,
- выбирать и реализовывать наиболее рациональный метод решения задачи.
1.4 Извлечение (в виде ксерокопии) из ГОС ВПО.
1.5 Объем дисциплины и виды учебной работы.
№
п/п
Шифр и наименование
специальности
1
050201 – математика
с дополнительной
специальностью
Курс
Семе
стр
4
8
Виды учебной работы в часах
Трудоем Всего
ЛК ПР/ ЛБ
Сам.
кость
аудит.
СМ
Работа
100
40
-
40
-
Вид
итоговог
о
контроля
(форма
отчетнос
ти)
ЗАЧЕТ
60
1.6 Содержание дисциплины.
1.6.1 Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
№
п/п
Наименование раздела, темы
Определение модуля числа и его свойства.
Решение уравнений и систем уравнений, содержащих
модуль.
3. Решение неравенств и систем неравенств, содержащих
модуль.
4. Показательные, логарифмические, иррациональные,
тригонометрические уравнения и неравенства с
модулем.
5. Построение графиков функций и уравнений. Решение
уравнений и неравенств графически.
1.
2.
ВСЕГО:
Количество часов
Вариант 1
Всего
ЛК ПР/ ЛБ
ауд.
СМ
Сам.
раб
2
2
-
-
4
8
8
-
-
8
8
8
-
-
12
14
14
-
-
24
8
8
-
-
12
40
40
-
-
60
1.6.2 Содержание разделов дисциплины.
Тема 1. Определение модуля числа и его свойства.
Определение модуля числа и его геометрическое истолкование. Доказательство свойств
модуля.
Тема 2. Решение уравнений и систем уравнений, содержащих модуль.
Решение уравнений вида │f(x)│=a, │ f(x)│= g(x), │ f(x)│= │ g(x)│. Решение уравнений,
содержащих модуль в модуле. Решение систем уравнений 1 и 2 степени, содержащих
модуль.
Тема 3. Решение неравенств и систем неравенств, содержащих модуль.
Решение неравенств вида │f(x)│< a, │f(x)│> a, │ f(x)│<g(x), │ f(x)│> g(x),
│ f(x)│<│ g(x)│, │ f(x)│>│ g(x)│. Решение систем неравенств, содержащих модуль.
Тема 4. Показательные, логарифмические, иррациональные,
тригонометрические уравнения и неравенства с модулем.
Примеры решения уравнений и неравенств, приемы решения.
Тема 5. Построение графиков функций и уравнений. Решение уравнений и неравенств
графически.
Способы построения графиков функций вида y=│f(x)│, y=f│x│, y=│f│x││, графиков
уравнений
│y│=f(x),│y│=│f│x││.
Построение
графиков
функций
вида
y=│ax+b│+│cx+d│+…., y=│││x-a│-b│-c│. Графический способ решения уравнений и
неравенств.
1.6.3 Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
1
2
3
Наименование раздела
Дисциплины.
Тема.
Определение модуля
числа и его свойства.
Решение уравнений и
систем
уравнений,
содержащих модуль.
Решение неравенств и
систем
неравенств,
содержащих модуль.
Форма
самостоятельной
работы
Овладение
основными
приемами и
методами решения
Овладение
основными
приемами и
методами решения
Овладение
основными
приемами и
методами решения
Форма контроля
выполнения
самостоятельной
работы
Проверка
практических
занятий,
домашнего
задания.
Проверка
практических
занятий,
домашнего
задания.
Проверка
практических
занятий,
домашнего
задания.
Количество
Часов
4
8
12
4
5
Показательные,
логарифмические,
иррациональные,
тригонометрические
уравнения
и
неравенства
с
модулем.
Построение графиков
функций и уравнений.
Решение уравнений и
неравенств
графически.
Овладение
основными
приемами и
методами решения
Проверка
практических
занятий,
домашнего
задания.
24
Овладение
основными
приемами и
методами решения
Проверка
практических
занятий,
домашнего
задания.
12
ВСЕГО:
1.7
60
Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1 Тематика и планы аудиторной работы на практических занятиях
Не предусмотрено учебным планом.
1.8
Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1 Рекомендуемая литература, учебные издания: Учебники и учебные пособия:
Дополнительная:
1. Фельдман Я. С., Жаржевский А. Я. Математика: Решение задач с модулями. – СПб:
“Оракул”, 1997. – 304с.
2. И.И.Гайдуков. Абсолютная величина. М.: Просвещение, 1964 г.
3. К.Г.Спатару. Абсолютная величина числа и ее применение при решении задач и
примеров. Изд. «Лумина», Кишинев, 1966 г.
4. Г.В.Дорофеев, Г.К.Муравин, Е.А.Седова. Подготовка к письменному экзамену за
курс средней школы. 11 класс, М.: Дрофа, 2001 г.
5. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9
классов. М.: Просвещение,1992 г.
6. Звавич Л.И. и другие. Алгебра и начала анализа: 3600 задач для школьников и
поступающих в вузы. М.: Дрофа, 1999 г.
7. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе. Учебно-методические
материалы по математике. Под ред. Л.Я.Фальке. М.: Народное образование, 2005 г.
8. С.И.Колесникова. Математика. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. М.: Айриспресс, 2004 г.
9. Математика. Единый государственный экзамен. Региональная олимпиада: сборник
методических указаний и задач для поступающих в вузы. СПб, ГУАП, 2004 г.
10. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Алгебраический тренажер. М.: Илекса,
2005 г.
1.9 Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Не предусмотрено учебным планом.
1.10 Примерные зачетные тестовые задания:
Решить уравнения и неравенства.
1) 9-x4-x2+3=x2-x4+12
Ответ: x(-; -2][2; +)
2) (x-3)2sin x+sin x=0
Ответ: x4; k, kZ
2
2
3) 2x-x >x -2x
Ответ: x(-; 0)(0; 2)
4) 3 x -x-2 x x- x 
Ответ: xR0
5) 1-2x-1-3>2
Ответ: x(-; -2)(0;1)(3;+)
6)
Ответ: x[2;6]
2
x

2

1

x


4
x

2

2

x

3
2

x
5
x
7) x

4

(
x

4
)
Ответ: x-5; -3; -1
8) 3x+1-3x-1=2log56-x
Ответ: x1; 11
 3 5 9  29
Ответ: x
;

2
2
2
2
1
(
3

1

2
x

x
)

9) log
x

3
2
4
x 4
x

cos
4
x

2
(cos

sin
)
10) 1
2 2
Ответ: x/2+k, kZ; /6+2n, nZ
1.11 Примерный перечень вопросов к зачету
1. Определение и основные свойства модуля;
2. Решение простейших уравнений с модулем;
3. Решение дробно-рациональных уравнений с модулем;
4. Графики линейных уравнений с модулем;
5. Построение квадратичных функций с модулем;
6. Решение квадратных уравнений с модулем;
7. Графики уравнений с модулем;
8. Простейшие неравенства с модулем;
9. Решение неравенств с двумя неизвестными, содержащих знак модуля.
1.12 Комплект экзаменационных билетов:
Экзамен по дисциплине не предусмотрен учебным планом
1.13 Примерная тематика рефератов.
Не предусмотрено учебным планом.
1.14 Примерная тематика курсовых работ:
Не предусмотрено учебным планом.
1.15 Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ:
Не предусмотрено учебным планом.
1.16 Методика исследования – изучение студентами рекомендуемой литературы и
консультации с преподавателем.
1.17 Бально-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания
знаний студентов по данной дисциплине: “зачтено”, “не зачтено”
РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины и контрольные
задания для студентов заочной формы обучения.
Данная дисциплина не предусмотрена для заочной формы обучения.
)A
,A

Rрешаются следующим образом.
I) Уравнения вида f(x
Если A  0 , то корней нет.
Если A  0 , то уравнению f (x)  A соответствует уравнение f (x)  0
f (x) A
Если A  0 , то уравнению f (x)  A соответствует равносильная совокупность 
f (x) A
II) Уравнения вида f (x) g(x) решаются следующим образом.
Способ №1
g ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
Уравнению f (x) g(x) соответствует равносильная совокупность систем 
g ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
Способ №2
 f ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
Уравнению f (x) g(x) соответствует равносильная совокупность систем 
 f ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
III) Уравнения вида f(x) g(x) решаются следующим образом.
Способ №1
2
2
Уравнению f(x) g(x) соответствует равносильное уравнение f (x)g (x)
Способ №2
f(x)g(x)
Уравнению f(x) g(x) соответствует равносильная совокупность 
f(x)g(x)
IV) Уравнения вида f(x) f(x) и f (x)  f (x) решаются следующим образом.
Уравнению f(x) f(x) соответствует равносильное неравенство f (x)  0
Уравнению f (x)  f (x) соответствует равносильное неравенство f (x)  0
V) Общая схема решения уравнений содержащих знак модуль.
Например.
2
2
x

1x

4
3
Найдем нули выражений, стоящих под знаком модуль.
x

1
x

2
I)
x

2

2
2
x
1

x

4
3

x  2

x  2

2x

1

III)
2
2
x
1

x

4
3

2x1

33,верно
 2; 1 - промежуток
x  2
IV)
II)
1
x
2

2
2
x
1

x

4
3

V)
1x2

33,верно
1; 2 - промежуток

1

x
1

 2
2

x
1

x

4

3

1 x 1

x 1
x  1
x
2

2
2
x
1

x

4
3

x  2

 x  2
x2
1;2
Ответ: 2;1
2
5
xx3 3рекомендуется начинать раскрывать с внешнего
P. S. В уравнениях вида x 
модуля.
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала
1. Равносильность уравнений и неравенств
Аналитическая запись задачи о нахождении значений аргументов, при которых
значения двух данных функций равны, называется уравнением. Аргументы, от которых
зависят эти функции, называются обычно неизвестными, а значения неизвестных, при
которых значения функций равны, - решениями (корнями) уравнения.
Уравнение с одним неизвестным в общем случае записывается в виде f1(x) = f2(x),
Неравенство с одним неизвестным в общем случае записывается в виде f1(x)  f2(x) (f1(x)
 f2(x), f1(x)  f2(x), f1(x)  f2(x)), где f1(x) и f2(x) - произвольные функции. Решением
неравенства с одной переменной называют множество значений переменной, которые
обращают его в верное числовое неравенство.
Решить уравнение (неравенство) – значит, найти все его решения или доказать, что
уравнение (неравенство) решений не имеет.
Областью определения уравнения (неравенства) называется множество всех таких
значений переменной, при которых функции f1(x) и f2(x) определены. Иными словами
область определения уравнения (неравенства) – это пересечение областей определения
функций f1(x) и f2(x).
Два уравнения (неравенства) называются равносильными, если совпадают множества
всех их решений или оба они не имеют решений.
Если для данной пары уравнений (неравенств) любое решение первого уравнения
(неравенства) является решением второго уравнения (неравенства), то второе уравнение
(неравенство) называется следствием первого. Если заменить уравнение (неравенство) его
следствием, то множество решений второго уравнения (неравенства) будет содержать все
решения исходного, и помимо этого может содержать еще некоторые числа, называемые
посторонними корнями исходного уравнения (неравенства)
При решении уравнений (неравенств) обычно применяются различные преобразования, в
результате которых данное уравнение (неравенство) сводится к более простому (или к
совокупности более простых). Поэтому важно знать какие из преобразований сводят
данное уравнение (неравенство) к равносильному уравнению (неравенству), какие приводят
к уравнению (неравенству) – следствию, а какие к потере корней.
Теорема1.1. Если к обеим частям уравнения f1(x) = f2(x) (неравенства f1(x)  f2(x))прибавить
одно и тоже выражение g(x), которое определено при всех значениях переменной из
области определения уравнения (неравенства), то получится уравнение f1(x) + g(x)= f2(x)+
g(x) (неравенство f1(x)+ g(x)  f2(x)+ g(x)), равносильное данному.
Пример 1.
Уравнение 3х2+2х-5=7х-1 равносильно уравнению 3х2+2х-5+(-7х+1)=7х-1+(-7х+1).
Уравнение х2=1 не равносильно уравнению х2+ x =1+ x . Нарушение равносильности
произошло из за того, что выражение g(x)= x определено не при всех х из области
определения уравнения х2=1.
Теорема1.2. Если обе части уравнения f1(x) = f2(x) (неравенства f1(x)  f2(x)) умножить или
разделить на одно и тоже выражение g(x), которое определено при всех значениях
переменной из области определения данного уравнения (неравенства) и нигде в данной
области определения не обращается в нуль, то получится уравнение f1(x) g(x)= f2(x) g(x)
(f1(x) g(x)= f2(x) g(x)) равносильное данному. В случае неравенства, если g(x) 0 при всех х
из области определения неравенства, получим неравенство f1(x) g(x) f2(x) g(x) ( f1(x) 
g(x) f2(x) g(x)) равносильное данному; если g(x) 0 при всех х из области определения
неравенства, получим неравенство f1(x) g(x) f2(x) g(x)
( f1(x)  g(x) f2(x) g(x)) равносильное данному.
Теорема 1.3. Если обе части уравнения f1(x) = f2(x), где f1(x) f2(x) 0 (неравенства f1(x) 
f2(x), где f1(x) 0, f2(x) 0), при всех значениях переменной из области определения
уравнения (неравенства), возвести в одну и ту же натуральную степень n , то получится
уравнение (f1(x))n = (f2(x))n (неравенство (f1(x))n  (f2(x))n) равносильное данному.
2. Уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля.
Напомним определение модуля действительного числа а:
Модулем числа а называется само это число, если оно неотрицательное и противоположное
a,a 0
ему число, если а отрицательное, т.е. а = 
a,a 0
При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применяются
чаще всего следующие методы:
- раскрытие модуля по определению;
- возведение обеих частей уравнения в квадрат;
- метод разбиения на промежутки.
Рассмотрим применение этих методов в решении конкретных уравнений, а затем
сформулируем общие рекомендации.
Пример 2.1. Решить уравнение
2х-3 = 5.
Решение. 1-ый способ. Используя определение модуля, получаем совокупность двух
уравнений: 2х-3 = 5, 2х-3 = -5, решая которую получим х1= 4, х2= -1.
2-ой способ. Обе части первоначального уравнения неотрицательны, возведя обе части
этого уравнения в квадрат, получим уравнение равносильное данному (теорема 1.3): 2х-32
= 25. Учитывая, что квадрат модуля выражения совпадает с квадратом самого выражения,
получим равносильное уравнение, уже не содержащее знак модуля: (2х+3)2 = 25.Решая это
квадратное уравнение, получим: х1= 4, х2= -1.
Пример 2.2. Решить уравнение 2х-3 = х+1.
Решение. Это уравнение, так же как и первое может быть решено двумя способами.
1-ый способ. Используя определение модуля, получим совокупность двух систем:
Решая каждую из этих систем получим х1 = 4, х2 = 23.
2-ой способ. При решении этого уравнений вторым способом необходимо учесть, что
выражение, стоящее в правой части уравнения, зависит от х, а поэтому может быть как
неотрицательным, так и отрицательным, но по определению,
модуль это число
неотрицательно, учитывая это первоначальное уравнение равносильно системе уравнений:
решив которую получим х1 = 4, х2 = 23.
Пример 2.3. Решить уравнение 2х-3 = х+7.
Решение. Более рациональным в этом случае является второй способ. Так как обе части
уравнения неотрицательны, то при возведении в квадрат обеих частей, получим уравнение
равносильное данному (теорема 3,п.1): (2х-3)2=(х+7)2. Получили квадратное уравнение,
решая которое находим х1 = 10, х2 = -43.
Замечание. 1. Уравнение вида f(x) = b, где b действительное число,
при b  0 решений не имеет;
при b = 0 равносильно уравнению f(x) = 0;
при b  0 равносильно совокупности уравнений f(x) = b, f(x) = -b.
2. Уравнение вида f1(x) = f2(x) равносильно уравнению (f1(x))2 = (f2(x))2
Пример 2.4. Решить уравнение 3-х - х+2 = 5.
Решение. Это уравнение будем решать третьим методом.
1. Найдем значения переменной, обращающие в нуль выражения стоящие под знаком
модуля, для чего решим уравнения 3-х=0 и х+2=0, откуда получаем х1= 3, х2= -2.
2. Нанесем эти значения на числовую прямую, тем самым, разбив ее на три
промежутка.
-2
3
3. Определим знак каждого из выражений, стоящих под знаком модуля на каждом из
полученных промежутков числовой прямой:
3-х
+
+
х+2
- -2
+
3
+
4. Решим уравнение с учетом полученных знаков на каждом промежутке числовой
прямой:
1. если х -2, имеем уравнение 3-х + х+2= 5, решив его получим верное
числовое равенство 5 = 5, которое не зависит от переменной, но так как мы
рассматривали это уравнение только для х -2, то первоначальному
уравнению будут удовлетворять только х -2.
2. если -2  х  3, имеем уравнение 3 - х – х – 2 = 5, решив его, получим х=-2,
причем –2 входит в рассматриваемый промежуток.
3. если х  3, имеем уравнение -3 + х – х -2= 5, решая его, получим числовое
равенство -5 = 5, которое ни при каких значениях неизвестных не является
верным.
5. Объединим решения найденный на каждом из промежутков: из п.1 имеем
промежуток (-; -2); из п.2 имеем х = -2.
6. Ответ: (-; -2.
Замечание. Уравнения вида f1(x) + f2(x) + …+ fn(x) = g(x), обычно решают третьим
методом, используя алгоритм, рассмотренный в примере 4.
Пример 2.5. Решить уравнение х-4-х-2х=4.
Решение. Воспользовавшись определением модуля, раскроем внутренний модуль, стоящий
в этом уравнении, получим совокупность двух систем:
4

x
0
,
4

x
0
,




x

(4

x
)
2
x
4
x
(4

x
)
2
x
4


x  4,
Вторая система равносильна системе: 
которая решений не имеет. Для решения
 2x  0
первой системы, опять воспользуемся определением модуля, получим совокупность двух
x4,
x4,


следующих систем: 2x40,
2x40,
(2x4)2x4
(2x4)2x4


 x  4,
 x  4,


 x  2,
т.е. совокупности  x  2 ,
 4  4
 4 x  0


Первая из которых решений не имеет, а вторая имеет решение х = 0.
Ответ: х = 0.
Замечание. При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение,
также содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в
полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.
РАЗДЕЛ 4. Словарь терминов (глоссарий)
(страницы указаны в кн. Л.Д.Кудрявцева "Курс математического анализа" . Все тома есть в
электронной библиотеке факультета )
Часть 1
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа , т. 1
688 стр. М.: "Высшая школа", 1981
Абеля неравенство 582
- преобразование 582
- признак 585
- теорема о сходимости степенного ряда 621, 624
Архимеда свойство действительных чисел 43
Архимеда спираль 511
Асимптота 236, 243
Асимптотическое равенство 146, 397
- разложение 661—664
Асимптотический ряд 657
Астроида 286, 501, 511
Безу теорема 400
Базис стандартный пространства 317
Бернулли неравенство 74
Биективное отображение (биекция) 10Больцано—Вейерштрасса теорема 63, 297
Бонне теорема 481
Валлиса формула 478
Вейерштрасса признак равномерной сходимости 603, 609
- теорема 121, 332
Вектор-функция 248, 320, 481, 653
Верхняя (нижняя) грань множества 38, 40, 42, 60, 90
Взаимно однозначное отображение или соответствие (инъекция) 9, 78, 83
Винтовая линия 272
Гамильтона символ (набла) 365
Гёльдера неравенство 465, 565
Гейне—Бореля лемма 314
Градиент функции 362, 364
Граница множества 306
График функции 8, 92, 239, 242, 321Гульдина теорема 510
Даламбера признак 559, 578
Дарбу интегралы (верхний и нижний) 446
- суммы 443, 444, 445
Двоичная запись чисел 81
Дедекинда принцип 19
- признак 591
Декарта лист 247
Десятичная дробь 77, 78
Десятичное приближение 77
Диаметр множества 340
Дини теорема 615
Дирихле признак 534, 583, 609
- функция 92, 326, 443
Дифференциал функции 159, 161, 165, 177, 190, 251, 343, 345, 346, 350, 355,
362Дифференциальный бином 426
Длина вектора 317
- кривой 268
Допустимое преобразование параметра 258
Дробь рациональная 95, 406, 410
Дуга кривой 263
Дю Буа Реймона признак 591
e (число) 62, 141, 159, 589
Евклида алгоритм 405
Евклидово пространство 317
Жордана теорема 309
Замена переменной 108, 121, 384, 474
Замыкание множества 302
Изоморфизм 30, 82, 677
Интеграл абсолютно сходящийся 530- неопределенный 379
- несобственный 512
- определенный 440
Интегралы табличные 383
- эллиптические 437, 501
Интегральный признак к сходимости рядов 561
Интегрирование подстановкой 385
- по частям 387, 477
Интервал 34
- выпуклости вверх (вниз) 231
- сходимости ряда 634
Инъекция 9
Кантора теорема о несчетности действительных чисел 85
- - о равномерной непрерывности 336, 340
Кардиоида 287, 497Касательная 164, 265, 361
Колебание функции на множестве 340, 341
Компакт 309, 315
Компактности свойство 63
Композиция функций 11, 94
Контур 256
Координаты полярные 286
Корень из числа 23, 130, 392
- многочлена 399, 400
Коши—Адамара формула 629
- критерий 66, 113, 530, 551, 600, 606
- признак 560, 578
- теорема о среднем 199
- форма остаточного члена формулы Тейлора 213, 638
- Шварца неравенство 289, 319Кратность корня 400
Кривая 255, 260, 263, 307
- гладкая 266
- кусочно-гладкая 266
- ориентированная 262
- параметрически заданная 259, 262
- плоская 256, 273
- спрямляемая 268
Кривизна кривой 278
Кривизны радиус 279
- центр 283
Круг сходимости степенного ряда 622
Лагранжа теорема 196
- форма остаточного члена в формуле Тейлора 213, 638
- формула 197, 200Лейбница признак 567
- формула 186
Лемниската 511
Линейность интеграла 454
Логарифмическая спираль 502
Ломаная 267
Лопиталя правило 201, 202, 204
Мажоранта 526
Маклорена формула 212, 216
Максимальный элемент числового множества 36
Минимальный элемент числового множества 37
Минковского неравенство 465, 565
Многочлен(полином) 95, 131, 214
Множество замкнутое 302
- линейно связное 308- неограниченное 35—37
- несчетное 84
- ограниченное 35—37
- открытое 299
- пустое 6
- счетное 83
Множества равномощные 82
Модуль действительного числа 29
- комплексного числа 390
- непрерывности 337
Морфизм 8
Набла (символ Гамильтона) 365
Наибольшее значение функции 91
Наименьшее значение функции 91
Неопределенности 201, 204, 219, 220Непрерывность действительных чисел 18, 30, 31, 44
Неравенство треугольника 317
Нормаль главная 281
- к кривой 281
Носитель кривой 261
- точки кривой 261
Ньютона—Лейбница формула 471, 472, 517
Область 308, 309
- выпуклая 309
- замкнутая 309
- определения функции 8, 91
Образ 10
Общий делитель 403
- - наибольший 403
Окрестность точки 34, 96, 291, 293, 301- - проколотая 96, 323
Окружность соприкасающаяся 287
Остаток ряда 547, 593
Остроградского метод 419
Отображение 8
- взаимно однозначное (инъекция) 9
- отрезка 255
Отрезок 5, 34
Пара 8
- упорядоченная 8
Пеано аксиомы 12
- форма остаточного члена формулы Тейлора 212
Первообразная 378, 474, 482
Период 645
Площадь (мера) открытого множества 485- поверхности вращения 505
Подпоследовательность 58, 295
Покрытие множества 311
Поле 27
Поле действительных чисел 29, 31
- комплексных чисел 395
- упорядоченное 29
Полнота действительных чисел 31
Полуинтервал 34
Полукубическая парабола 234, 285
Последовательность 12, 48, 295, 327, 396, 591, 665
- бесконечно большая 53, 553
- - малая 67—68, 397
- кратная 665
- монотонная 61- ограниченная 59, 297, 592
- стремящаяся к бесконечности 298, 666
- сходящаяся 49, 54, 295, 592, 595
- фундаментальная 65
Последовательности одного порядка 397
- эквивалентные 397
Предел вектор-функции 249
- последовательности 49, 50, 51, 53, 54, 87, 88, 295, 303
- функции 97—106, 249, 322, 323, 441
Представление кривой 257, 258, 260, 263
Признак сравнения 524, 555
- сходимости ряда, интегральный 561, 562
Принцип вложенных отрезков 43
Произведение множеств 8
- последовательностей 68- ряда на число 548
Производная 157, 184, 186
- бесконечная 157
- вектор-функции 251
- логарифмическая 181
- обратной функции 173, 188
- параметрически заданной функции 189
- по направлению 363
- сложной функции 175, 188, 367
- функции, заданной неявно 180
- частная 341
- - смешанная 370
Промежуток 34
Прообраз 9, 10
Пространство n-мерное 289, 317Равномерная непрерывность 334
Радиус сходимости степенного ряда 622, 632, 634
Разбиение отрезка 267, 438
Расстояние 288, 289, 306
Расширенное множество действительных чисел 33
Римана интегральная сумма 439, 445
- теорема о перестановке членов ряда 580
Ролля теорема 194
Ряд 545
- гармонический 551, 587
- знакопеременный 567
- кратный 668, 672
- Лейбница 650
- степенной 621, 624
- суммируемый 590- сходящийся 592, 666, 672
- - абсолютно 569, 592, 669
- - равномерно 602
- Тейлора 636, 637, 640, 655
- функциональный 591
Сечение 17
Символ всеобщности 13
- существования 13
Скалярное произведение векторов 317
Скорость вращения вектор-функции 276
Соответствие (отображение) 7, 8
Степень многочлена 399
- числа 23, 133
Стирлинга формула 651
Сужение функции 10Сумма кривых 263
- (объединение) множеств 6
- последовательностей 67
Сумма ряда 546, 666
- - частичная 547, 592, 666
- - - прямоугольная 667
- - - сферическая 667
- - - треугольная 667
- рядов 549
Суперпозиция функций 11, 94
Сюръекция 9
Тейлора многочлен 212, 214
- ряд 636, 637, 640, 655
- формула 212, 216, 218, 637, 638, 646
Точка 20- возрастания (убывания) функции 225
- кривой 256, 261
- - кратная 256, 261
- - неособая 266
- - особая 266
- максимума(минимума) функции 222, 227
- множества внутренняя 299
- - граничная 306
- - изолированная 302
- - предельная 302
- перегиба 234
- прикосновения множества 303
- разрыва функции 118, 119
- устранимого разрыва 118
- экстремума 222- n-мерного пространства 288
Ферма теорема 192
Френе формула 281
Френеля интегралы 543
Функции гиперболические 182, 183
- одного порядка 145
- тригонометрические 139
Функция 7, 8, 11, 89
- аналитическая 630, 635
- бесконечно большая 110
- - малая 110, 149
- векторная 248
- возрастающая (убывающая) 111, 125, 221
- выпуклая вверх (вниз) 230, 231, 232
- дифференцируемая 159, 163, 185, 344, 348, 372, 477- заданная параметрически 189
- интегрируемая 439, 512
- кусочно-непрерывная 463
- кусочно-непрерывно дифференцируемая 477
- логарифмическая 137
- многозначная (однозначная) 11
- непрерывная в точке 115, 119, 131, 162, 327, 330, 398, 468, 469
- - на множестве 121, 328, 332, 469
- непрерывно дифференцируемая 185, 348, 372
- неявная 94
- обратная 126, 130
- ограниченная 90, 145
- периодическая 14, 645
- показательная 134—136, 159
- равномерно непрерывная 334, 335, 336- - стремящаяся к нулю 349
- рациональная 95, 131, 421
- сложная 94, 120, 330, 351, 353, 354
- степенная 138
- строго монотонная 125
- трансцендентная 96
- четная 14
- элементарная 332
Цепная линия 499
Циклоида 189
Числа действительные (вещественные) 15, 16, 20, 31, 78, 79, 80, 85
- иррациональные 15, 23, 86
- комплексные 15, 389, 394
- натуральные 12, 15, 43
- отрицательные 15- рациональные 15, 23, 83
- целые 23
Число существенно комплексное 390
Шлемильха—Роша форма остаточного члена 213
Эволюта кривой 283
Эйлера подстановки 424
- постоянная 587
- формулы 644
Эквивалентность отображений отрезка 259
- функций 146, 152
Экстремум 222—229
Эллипс 501
Часть 2
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа , т. 2
584 стр. М.: "Высшая школа", 1981
База топологии 567, 568
Базис пространства 423, 446
Бета-функция 322
Вихрь (ротор) 275, 278, 290
Вложение пространства 478
Вложения теоремы 435
Гельдера условие 365—366
Гомеоморфизм 52, 71, 257
Градиент вектора 274
- функции 245, 273
Дельта-функция (\delta-функция) 512, 523, 524
Дивергенция 275, 278, 285
Диффеоморфизм 68
Дифференциал отображения 62
Зависимость системы функций 85Изоморфное отображение 425, 439, 454, 491
Интеграл Дарбу 149
- Дирихле 353, 393
- зависящий от параметра 158, 298, 303
- криволинейный 189, 192
- Лапласа 402
- несобственный 219, 303, 327
- поверхностный 264, 265, 266, 270, 272
- повторный 158
- Пуассона 222
- Римана 131
- Фурье 391
- Эйлера первого рода (гамма-функция) 322
- - второго рода (бета-функция) 322
Контур граничный 201- ограничивающий поверхность 287
Координаты 447
- криволинейные 184
- сферические 187, 223
- цилиндрические 187
Коэффициенты Фурье 346, 389, 483, 484
Край поверхности 233
Кривая Пеано 129
Липшица условие 366
Лист Мёбиуса 259, 260
Матрица линейного оператора 56
- Якоби 35, 65, 86
Мера Жордана 114
Метод касательных (метод Ньютона) 547, 548, 550, 553
- хорд 548Метрика (расстояние) 411, 440
Многочлен интерполяционный 553, 555
- Тейлора 9
- тригонометрический 373
Множество измеримое по Жордану 114
- квадрируемое 115
- кубируемое 115
- ограниченное 313, 437
- плотное в пространстве 415, 444, 468
Множители Лагранжа 96
Мультиндекс 11
Неравенство Бесселя 379, 485
- Коши-Буняковского 450
- - Шварца 448
- Минковского обобщенное 167Норма 59, 426, 430, 431, 433
Носитель поверхности 237
- функции 349
Область односвязная 211, 294
Оператор 55, 519
- Лапласа 82, 218
- линейный 433, 436
- непрерывный 519, 520
- ограниченный 432, 433, 447
Ориентация границы 198, 202
- контура 198
- края поверхности 262
- поверхности 254, 261
Ортогональность 343, 471
Отображение 45- дифференцируемое 61, 68
- линейное 55
- локально гомеоморфное 71
- непрерывное 45, 46, 52, 519—520
- обратное 52
- равномерно непрерывное 49
- регулярное 238
Отождествление 415, 416, 439, 454, 579
Плоскость касательная 242
Площадь (мера) поверхности 251
Поверхность 233, 236
- гладкая 246
- дифференцируемая 234, 239
- заданная неявно 240
- кусочно-гладкая 258, 263- неориентируемая (односторонняя) 261
- ориентированная 255, 262
- ориентируемая (двусторонняя) 259, 261, 263
Подпространство 412, 422
- натянутое на векторы 103
Поле векторное 273
- - потенциальное 276, 294, 297
- - соленоидальное 291, 297
- скалярное 273
Полиномы Лежандра 473, 480, 490
Полунорма 426, 449
Пополнение пространства 419, 456, 467
Последовательность асимптотическая 335
- дельта-образная 516, 525
- сходящаяся 413, 436, 437, 516, 521, 530- фундаментальная 411, 440
Последовательности эквивалентные 416
Потенциал 273, 342
Поток векторного поля через поверхность 277, 278, 297
Предел отображения по фильтру 574
- последовательности точек 413, 516
- фильтра 573, 575
Преобразование Фурье 398, 399, 401, 406, 410, 509, 533—542
Приближение наилучшее 484
Продолжение функции 13, 347
- функционала 519
Произведение полускалярное 447, 498
- скалярное 447
Производная отображения 62
Пространство банахово 481- гильбертово 455, 496
- линейное 421
- метрическое 411
- нормированное 426
- обобщенных функции 524, 531
- полунормированное 426
- сопряженное 519
- со сходимостью 517
- топологическое 567
Равенство Парсеваля 380, 487, 488, 497, 498
Ряд асимптотический 335
Ряд Стирлинга 340
- Тейлора 19, 544
- тригонометрический 343, 346
- Фурье 346, 359, 360, 362, 365, 377, 381, 385—388, 484Свертка функций 406, 407
Система замкнутая 490
- ортогональная 471
- полная 376, 444, 445, 478
Сумма Дарбу 141
- интегральная Римана 131, 195
- Фейера 368
- Фурье 352, 355
Точка особая 72, 345
- поверхности 233, 237
- - внутренняя 237
- - краевая 237
- - самопересечения 80, 233, 237
Узлы 553, 559
Фильтр 569, 570Финитная функция 349, 350, 502
Формула Грина 199, 202, 203, 218
- квадратурная 556, 558
- обращения 398
- Остроградского—Гаусса 283, 284, 285
- прямоугольников 556
- Симпсона 558
- Сохоцкого 526
- Стирлинга 334
- Стокса 287, 289
- Тейлора 4, 5, 8, 11, 543, 545, 546
- трапеций 556, 557
Функции координатные 45, 54
Функционал 57, 515, 517
Функция абсолютно интегрируемая 328- гармоническая 92
- интегрируемая 132, 219
- Лагранжа 96
- локально интегрируемая 522
- обобщенная 522, 525, 526, 527, 528, 529
- характеристическая 349
- Хевисайда 514, 528
Циркуляция 276, 278, 287
Числа Бернулли 340
Член остаточный интерполяции 555
- - формулы Тейлора 4, 7
Эквивалентности отношение 414, 459, 565
Экстремум 20, 93
Ядро Дирихле 353
- отображения 424- Фейера 368
Якобиан (определитель Якоби) 35, 67
Часть 3
Л.Д.Кудрявцев
Курс математического анализа, т. 3
352 стр. М.: "Высшая школа", 1989
Абсолютно интегрируемая функция 8
- сходящийся интеграл 8
Аксиомы расстояния 96
- Фреше 275
Алгебраическая сумма подмножеств линейных пространств 144
Арцела Ч. 134
База топологии пространства 331, 332
- фильтра 335
Базис пространства 140, 167
Банах С. 111, 163
Банахово пространство 163
Бесконечномерное линейное пространство 147
Бессель Ф. 51
Билинейное отображение 147, 148
Буняковский В.Я. 192Вандермонд А.Т. 316
Вектор 139
Вес 322
Вложение пространств 227
Вольтерра В. 113
Вполне ограниченное множество метрического пространства 121
Гато Р. 183
Гёльдер О. Л. 36, 38
Гильберт Д. 98, 201
Гильбертов кирпич 123
Гильбертово пространство 97, 98, 201
Главное значение интеграла 79, 80
Гомеоморфизм 132
Грам И. 221
периодическая, абсолютно, интегрируемая, функция, 2\pi, 19Действительное линейное
пространство 137, 138
Дельта-последовательность 41, 284, 285
Дельта-функция 269, 282, 283
Диаметр подмножества 105
Дичи У. 24
Дирихле Л. 17
Дирак П. 269, 274
Дифференциал Гато 184
- отображения 180
- Фреше 180
Дифференцируемое в точке отображение 180
- - - по заданному направлению отображение 183
Единичная функция 287
Естественное вложение 215
- отображение 209\varepsilon-окрестность 100
\varepsilon-сеть 121
Замкнутая ортогональная система 239
Изометричное соответствие 99
Изометричные пространства 99
Изоморфизм 146, 159, 179
Изоморфное отображение 146, 159, 179
Изоморфные линейные пространства 146, 159, 179, 200
Интеграл Дирихле 17
- Фурье 69
- - в комплексной форме 81
Интегральное уравнение Вольтерра 113, 114
Интегралы Лапласа 86
Интервал в линейном нормированном пространстве 183
Интерполяционный многочлен 316- - Лагранжа 317
Квадратурная формула 318, 322
- - точная для многочленов данной степени 322
Класс эквивалентности 205, 206
Компакт в метрическом пространстве 120, 121
Комплексное линейное пространство 138
Конечное покрытие 127
Конечномерное линейное пространство 140
Константа вложения 227
Континуум 133
Коши О. 101, 105, 109, 192, 243, 341
Коэффициенты разложения элемента по данному базису 168
- Фурье 9, 231, 233
Критерий линейной независимости элементов 221
Кронекер Л. 140Кусочно-непрерывная производная 55
Лагранж Ж.-Л. 317
Лежандр А.М. 143
Лаплас П. 86
Лебег А. 23, 154
Лейбниц Г. 31
Лемма Л.Шварца 185, 186
Линейная комбинация элементов пространства 139
- оболочка множества 140
Линейно зависимая система векторов 139
- независимая система векторов 139
Линейное отображение 145
- пространство 192
- - с почти скалярным произведением 192
- - со скалярным произведением 192- - - сходимостью 275
Линейность дифференциала 182
- квадратурной формулы 322
- преобразования Фурье 83
Линейный оператор 145
- функционал 255, 276
Липшиц Р. 37
Локальная база топологии пространства 332
Локально интегрируемая функция 281
Метод "вилки" 309
- касательных (метод Ньютона) 312, 315
- хорд 310, 312
Метрика 96
- порожденная заданной нормой пространства 161
Метрическое пространство 96Минимальное свойство коэффициентов Фурье 232
Многочлены Лежандра 143
- Чебышева 143, 144
Мультилинейное отображение 148
Наилучшее приближение элемента с помощью линейных комбинаций 233
Направление 334
Натуральный фильтр 333
Неподвижная точка отображения 111
Непрерывное отображение в точке 107, 108, 111
- - пространства в пространство 108, 158, 159, 278, 279
Непрерывный функционал 276
Неравенство Бесселя 51, 234
- Коши-Буняковского 192, 194
- Коши-Шварца 243
- треугольника 149, 192n-мерное пространство 140
n-мерный вектор 140
Норма 149
- билинейного отображения 176
- порожденная скалярным произведением 193
Нормированное линейное пространство 149
Носитель функции 12
Нулевой функционал 277
- элемент 138
Ньютон И. 312
Обобщенная функция 281
- - медленного роста 291
Образ фильтра 337
Обратное преобразование Фурье 82
Обращение в нуль обобщенной функции на интервале 285Ограниченное билинейное
отображение 176
- множество 105, 158
- по полунорме (по норме) множество 158
Ограниченный оператор 171
Окрестность точки топологического пространства 331
Определитель Вандермонда 316
- Грама 221
Ортогонализация 225
Ортогональная проекция элемента в подпространство 251
- система элементов 6, 220
Ортогональное дополнение множества 250
Ортогональные элементы 220
Ортонормированная система элементов 220
Остаточный член интерполяции 317
Открытое подмножество топологического пространства 331Отношение эквивалентности
205, 329
Отрезок в линейном нормированном пространстве 183
Парсеваль М. 52, 236
Периодическое продолжение функции 10
Пикир Ш.Э. 111
Планшерелъ М. 265
Плотное множество в пространстве 116, 165
Подпространство 98, 139, 249
Подфильтр 334
Покрытие множества 127
Полная система функций в смысле равномерного приближения 47
- - - - - среднего квадратичного приближения 48
- - элементов пространства 165, 166, 226, 227, 237
Полное линейное нормированное пространство 163
- метрическое пространство 102Полный фильтр 335
Положительная определенность скалярного произведения 191
- полуопределенность почти скалярного произведения 191
Полунорма 148, 149
- порожденная почти скалярным произведением 193
Полунормированное линейное пространство 148, 149
Пополнение пространства 116, 120, 164, 202, 285
Последовательность Коши 101, 105, 106
Постоянная обобщенная функция 282
Почти скалярное произведение 191, 192
Правильное разбиение 8
Предгильбертово пространство 201
Предел отображения 107
- - по направлению 339
- - - фильтру 338, 340- последовательности точек метрического пространства 100
- фильтра 337
Предкомпактное множество 134
Преобразование Фурье 81, 82, 266
- - обобщенной функции 297
Признак Дини 24, 26
Принцип неподвижной точки Пикара-Банаха 111, 113
- локализации 21
- сжимающих отображений 111, 113
Продолжение функционала 278
Произведение линейных пространств 147, 174
- фильтров 336
- элемента линейного пространства на число 138
Производная Гато 183
- n-го порядка 187, 188- обобщенной функции 286
- по направлению 183
- Фреше 182
Простая гармоника 27
Пространство обобщенных функций 283
- - - медленного роста 291
- основных функций D 280
- - - S 289, 290
- со сходимостью см, также, указатель, основных, обозначений, 275
Противоположные элементы 138
Прямая сумма подпространств 145
Равенство обобщенных функций 285
- Парсеваля 52
- Парсеваля-Стеклова 236
Равномерно непрерывное отображение 108- ограниченное семейство функций 134
- сходящаяся последовательность отображений 109
Равностепенно непрерывное семейство функций 134
Разложение логарифма в степенной ряд в комплексной области 65, 66
- элемента пространства по базису 167
Разность элементов линейного пространства 138
Расстояние 96
- порожденное заданным скалярным произведением 193
Регулярная точка 23
Риман Б. 11, 154
Ряд в линейном нормированном пространстве 166
- Лейбница 31
- обобщенных функций 289
- Фурье 9, 62, 233
- - в комплексной форме 64- - для нечетной функции 28, 63
- - - четной функции 27, 28, 63
Свертка функций 90
Связное метрическое пространство 133
Сепарабельное пространство 127, 166
Сжимающее отображение 111
Сильный дифференциал 184
Символ Кронекера 140, 141
Симметричная билинейная форма 188
Симпсон Т. 319
Скалярное произведение 191, 192
Слабая производная 184
Слабый дифференциал 184
Соболев С.Л. 274
Сопряженное пространство 256, 278Сохоцкий Ю.В. 285
Среднее квадратичное отклонение 48
Стеклов В.А. 236
Ступенчатая функция 259
Сумма ряда 65, 167, 198
- Фейера 39
- Фурье 9, 16
- элементов линейного пространства 138
Сходящаяся по полунорме (по норме) последовательность элементов пространства 156
- последовательность отображений 108
- - точек метрического пространства 99
- - функционалов 277
- - функций 280, 290
Сходимость в смысле p-среднего 157
- - - среднего квадратичного 157Сходящийся интеграл 8
- ряд 65, 166, 198, 289
Счетное покрытие 127
Теорема Арцела 134, 137
- о замкнутых и полных системах 239, 240
- - композиции непрерывных отображений метрических пространств 110
- - конечных приращениях отображений линейных нормированных пространств 186, 187
- - линейных функционалах гильбертовых пространств 256, 258
- - неподвижной точке сжимающих отображении 111, 113
- - пополнении линейного нормированного пространства 164, 165
- - - - пространства со скалярным произведением 201, 202
- - - метрического пространства 116, 120
- - - пространства CL_ 2, 216, 217
- - порядке приближения интегралов с помощью квадратурных формул 324, 326
- - последовательности Коши подмножеств полного метрического пространства 106, 107- почленном дифференцировании тригонометрического ряда Фурье 54
- - - интегрировании тригонометрического ряда Фурье 58, 60
- - пределе отображения по фильтру 341, 343
- - - фильтра 338
- - представлении функции интегралом Фурье 75, 78
- - преобразовании Фурье в пространстве S 293, 295
- - - - - - S' 299
- - разложении множества на подмножества, состоящие из эквивалентных элементов 329, 330
- - - пространства в прямую сумму его ортогональных подпространств 254, 255
- - существовании ортонормированных базисов 240
- - сходимости тригонометрического ряда Фурье в данной точке 37, 38
- об изоморфизме гильбертовых пространств 240, 242, 243
- - ортогонализации 224, 225
- - эквивалентности нормированных конечномерных линейных пространств 151, 153
- Римана о коэффициентах ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции 11, 15, 16Фейера 42, 44
Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций тригонометрическими и
алгебраическими многочленами 45, 46, 48
- о единственности рядов Фурье 238, 248
- - компактах в метрическом пространстве 126, 127, 131, 133
- - линейных ограниченных операторах 172, 175
- - минимальном свойстве коэффициентов Фурье 50, 52, 230, 232
- - непрерывных отображениях метрических пространств 132, 133
- - полноте тригонометрических и алгебраических многочленов в пространствах
непрерывных функций 48, 50
- - преобразованиях Фурье абсолютно интегрируемых функций 86, 89, 93, 94
- - производных отображений в линейных нормированных пространствах 182, 183
- - равномерно сходящихся тригонометрических рядах Фурье 7, 8, 56, 58, 249
- - сходимости рядов Фурье 52, 53, 235, 238, 245
- об ограниченных билинейных отображениях 176, 177, 179, 180
- - ортогональных проекциях 251, 254
- Планшереля 265, 268Топология пространства 331
Точка пространства 96, 139
T-периодическая функция 9, 10
Треугольная матрица 142
Тригонометрическая система функций 6
Тригонометрический многочлен 44
- ряд 6
- - Фурье 9
Узел 322
- интерполяции 316
Упорядоченное множество 334
Условие Гёльдера 36
- Липшица 37
Фейер Л. 39, 41
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач по темам лекций.
Задания по теме №1. Решение рациональных уравнений со знаком модуля.
План и вопросы для обсуждения: Уравнения вида f(x)=С, где f(x) – рациональная
функция, C – const, C – число из R. Решение уравнений вида
f(x)=f(x), f(x)=g(x), f(x)=g(x). Рациональные уравнения
решаемые заменой переменной. Уравнения со “сложным” модулем.
Задания для с.р.с.: [1], №№ 3.006, 009, 016, 017, 019, 026, 034, 065, 078, 083, 095, 099, 122,
132, 146.
Задания по теме №2. Решение иррациональных уравнений со знаком модуля.
План и вопросы для обсуждения: Иррациональные уравнения с одним, двумя модулями.
Замена переменных в иррациональных уравнения.
Задания для с.р.с.: [1], №№ 4.001, 002, 003, 004, 006, 010, 012, 015, 016, 022, 027, 029, 030,
032, 034.
Задания по теме №3. Решение показательных и логарифмических уравнений с модулем.
План и вопросы для обсуждения: Свойства степеней вещественных чисел. Свойства
логарифмов.
Схемы
решений
показательных,
степеннопоказательных и логарифмических уравнений. Показательные
уравнения с модулем. Логарифмические уравнения с модулем.
Применение замены переменной. Уравнения общего вида.
Задания для с.р.с.: [1], №№ 5.008, 012, 013, 011, 016, 018, 020, 024, 027, 033, 036, 038, 039,
045, 046, 055, 056.
Задания по теме №4. Решение тригонометрических уравнений с модулем.
План и вопросы для обсуждения: Основные тригонометрические тождества. Формулы
сложения. Формулы преобразования сумм в произведение и
произведений в суммы. Свойства тригонометрических функций.
Простейшие
тригонометрические
уравнения
с
модулем.
Тригонометрические уравнения с ограничением на множество
решений. Уравнения, содержащие только синусы и косинусы или
тангенсы и котангенсы. Комбинированные уравнения.
Задания для с.р.с.: [1], №№ 6.001, 006, 007, 008, 012, 013, 014, 017, 019, 022, 023, 024, 026,
027, 030, 031, 032, 034, 035-038.
Задания по теме №5. Решение рациональных неравенств с модулем.
План и вопросы для обсуждения: Свойства числовых неравенств, неравенств с модулем.
Неравенства вида: f(x)C,f(x)g(x),f(x)g(x), f(x)0.
Дробно-рациональные неравенства. Неравенства с двумя, тремя
модулями.
Задания для с.р.с.: [1], №№ 7.002, 003, 013, 014, 027, 028, 042, 050, 051, 052, 056, 058, 083085, 093, 104, 105, 117, 118, 122, 137, 148, 165, 167.
Задания по теме №6: Решение иррациональных неравенств с модулем.
План и вопросы для обсуждения: Иррациональные неравенства с одним, двумя, тремя
модулями.
Задания для с.р.с.: [1], №№ 8.001, 011, 012, 014, 016, 023, 025, 026, 027, 028, 029.
Задания по теме №7. Решение показательных и логарифмических неравенств с модулями.
План и вопросы для обсуждения: Эквивалентности, связанные с решением показательных и
логарифмических неравенств. Неравенства с показательными
функциями; неравенства, содержащие степенно-показательные
функции. Неравенства с логарифмическими функциями; неравенства,
logf (x)g(x).
содержащие
функции
вида
Показательнологарифмические неравенства.
Задания для с.р.с.: [1], №№ 9.001, 012, 013, 020, 021, 029, 030, 033, 039, 043, 045, 050, 057,
059, 069, 071.
Задания по теме №8. Решение тригонометрических неравенств с модулями.
План и вопросы для обсуждения: Основные формулы тригонометрии. Простейшие
тригонометрические неравенства с модулями, геометрическая
интерпретация. Тригонометрические неравенства общего вида.
Комбинированные неравенства.
Задания для с.р.с.: [1], №№ 10.001, 002, 003, 004, 005, 006, 011, 012, 013, 014, 016, 017, 022,
023, 029.
Задания по теме № 9,10: Решение систем уравнений и неравенств с модулями.
План и вопросы для обсуждения: Системы рациональных неравенств с одной переменной.
Системы линейных уравнений с двумя переменными. Системы
показательных и логарифмических уравнений с двумя переменными.
Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными.
Задания для с.р.с.: [1], №№ 11.001, 002, 004, 005, 010, 011, 012, 013, 016, 017, 026, 027, 028,
032, 035, 037, 038, 039, 040, 041, 045, 046, 047, 048, 049, 052.
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после
утверждения программы.
Характер
Номер и дата
Подпись заведующего
Подпись декана
изменений в протокола заседания
кафедрой,
факультета (проректора
программе
кафедры, на котором
утверждающего
по учебной работе),
было принято
внесенное изменение
утверждающего данное
данное решение
изменение
Не было
-
-
-
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое
Учебный Факультет
Специальность
звание и степень
год
преподавателя
Старший
2010-2011 ФМОИиП 050201 – математика с дополнительной
преподаватель
специальностью
Побойкин В.Я.