ЗАДАЧА ВЫВОДА РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ НА ОРБИТУ В УСЛОВИЯХ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ1 Список авторов с электронными адресами, должностями/учебными статусами и организациями, например: Козьмин И.В., м.н.с. отдела прикладных проблем управления ИММ УрО РАН, [email protected] Аннотация Рассматривается задача максимизации массы полезной нагрузки, выводимой ракетой-носителем на заданную орбиту. Исследуется ситуация, когда параметры нелинейной математической модели управляемого движения носителя задаются с помощью нормально распределенных случайных величин. В ходе решения задачи был проведен объёмный численный эксперимент на многопроцессорном вычислителе кластерного типа «Уран». На основе данных полученных в результате проведения эксперимента была получена оценка максимальной массы полезной нагрузки, которая может быть выведена носителем на заданную орбиту с вероятностью не меньшей заданного порога. Введение С 2003 года Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН (ИММ) активно сотрудничает с НПО автоматики им. акад. Н.А.Семихатова (г.Екатеринбург) (НПОА). В рамках этого сотрудничества решается задача оптимального выведения ракеты-носителя (РН) на заданную околоземную эллиптическую орбиту в условиях случайных возмущений параметров. Такая задача исследуется на базе математической модели управляемого движения РН, которая описывается нелинейной динамической системой. В качестве управления используются угловые скорости изменения углов тангажа и рысканья. Эти углы определяют угловую ориентацию строительной оси РН. 1 Работа выполнена в рамках программ фундаментальных исследований Президиума РАН «Динамические системы и теория управления» при поддержке УрО РАН (проект 12-П-1-1022), «Информационные, управляющие и интеллектуальные технологии и системы» (проект 12-П-1-1023) и интеграционного проекта УрО и СО РАН (проект 12-С-1-1017). В работе рассматривается ситуация, когда параметры РН и термодинамические характеристики атмосферы математически описываются нормально-распределенными случайными величинами с известными средними E и среднеквадратическими отклонениями . Задача заключается в построении оценки максимальной массы полезной нагрузки, которая может быть выведена носителем на заданную орбиту с вероятностью не меньшей заданного порога * . 1. Математическая модель управляемого движения ракеты-носителя Уравнения движения центра масс РН в инерциальной стартовой системе координат от момента старта ts до момента t f выхода на заданную орбиту [1] могут быть записаны в следующем компактном виде: x v, v W t , x, v, m, , , m t , u1 , u 2 , xt s x s , vt s v s , mt s ms , t s s , t s s t ts ,t f где x R , v R – координаты и скорости центра масс РН; m – масса РН; t 0 – расхода массы; W t , x, v, m,, – ускорение (задается суммой составляющих, определяемых реактивными, аэродинамическими и 3 3 гравитационными силами); начала движения РН; , – углы тангажа и рысканья; t s – момент t f – момент выхода РН на заданную орбиту. В качестве управляющих параметров выступают скорости u1 и u2 изменения углов u1 t u и max 1 , . Удовлетворяют ограничениям u2 t u2max , t t s , t f . Орбита, на которую выводится РН, определяется следующими параметрами (параметры оскулирующей орбиты [1]): наклонение плоскости орбиты орбиты i , долгота восходящего узла , минимальная высота hmin , максимальная высота орбиты hmax , аргумент перигея . В рассматриваемой задаче момент времени заданную орбиту не фиксирован. t f выхода РН на Вывод максимальной массы полезной нагрузки на заданную орбиту Известно [2], что задача максимизации выводимой на заданную орбиту массы M полезной нагрузки может быть сведена к задаче минимизации момента t f выхода РН на заданную орбиту с фазовыми ограничениями, то есть задаче терминальными ограничениями: оптимального быстродействия с min{ J u u U } при ограничениях (t f ) . Здесь J u t f ; U {u R 2 u1 u1max , u 2 u 2max }; T u u1 , u 2 R 2 , u1 , u 2 ; (t f ) (i(t f ), (t f ), hmax (t f ), hmin (t f ), (t f )) T R 5 ; (i , , hmax , hmin , )T ; ( , , hmax , hmin , ) T ; где i , , hmin , hmax , – заданные значения параметров орбиты, i i i , , hmin hmin hmin , hm a x hm hm a , x a x - допустимые отклонения от этих параметров. В исследуемой задаче могут быть рассмотрены две группы параметров. Параметры атмосферы (термодинамические характеристики атмосферы) – температура, плотность, давление воздуха; составляющие скорости систематического ветра. И параметры РН: массы его основных конструктивных блоков (сухие массы трёх ступеней); массы запасов топлива на каждой ступени; расход топлива на каждой ступени. В данной работе исследовались только случайные возмущения параметров РН. Содержательно постановка задачи может быть сформулирована следующим образом. На заданную орбиту в момент t f выводится только последняя ступень РН, на которой находится полезная нагрузка и остатки топлива этой ступени. За счёт уменьшения запасов топлива на последней ступени можно увеличить массу выводимой на орбиту полезной нагрузки. * Задача заключается в том, что для заданного порога вероятности P выхода РН на орбиту требуется определить верхнюю оценку дополнительной массы, на которую может быть увеличена масса выводимой полезной нагрузки. Оценка максимального приращения к массе полезной нагрузки, выводимой на орбиту с заданной вероятностью Обозначим через M математическое ожидание массы полезной нагрузки и через M - искомую добавку к M . Остальные параметры РН, перечисленные выше, будем рассматривать как нормально распределенные случайные величины с известными математическими ожиданиями и СКО. Обозначим сухую массу третьей ступени через M 3 . Тогда выводимая на орбиту за время t f масса РН mРН mРН (t f ) также является случайной величиной, которая не может быть меньше суммы сухой массы третьей ступени M 3 и массы полезной нагрузки M M : mРн M 3 M M . Отсюда для приращения M к массе M имеем оценку сверху: M mРн M 3 M . P(m) P{mРН m} - функция распределения случайной величины mРн . Поскольку, чем больше масса РН, тем меньше вероятность Пусть P вывода её на орбиту, то разумно положить P 1 P(m) . Случайная величина M 3 распределена по известному нормальному закону, поэтому задача определения максимальной полезной нагрузки при заданном уровне P* вероятности вывода P её на орбиту сводится к вычислению * - m* min{ m : P(m) *} квантили распределения P (m ) для 1 P . Искомая оценка максимальной добавки M * будет равна: * * M * m* (M3 ) P* M . Здесь (M 3 ) P* - P* -квантиль нормального распределения случайной величины M 3 , вычисляемый известным образом [3]. Рассмотрим задачу об оценке * -квантиля m* (* 1 P* ) неизвестного распределения P (m ) . В данной работе эта задача решается с помощью статистической оценки m* , полученной на основе объёмного вычислительного эксперимента с использованием реальных данных. Эксперимент проводился на многопроцессорном вычислителе кластерного типа «Уран». Оценка m* для * 0,003 проводилась на выборке объёмом около 440000 с использованием алгоритма стохастической аппроксимации [3]. На основе проведенного эксперимента было получено приближенное значение величины M * максимального приращения к массе M 5881 кг полезной нагрузки, выводимой на заданную орбиту с вероятностью не ниже P* 0,997 : M * 318,54 кг. Заключение Рассмотренная в работе методика была реализована в рамках крупномасштабного численного эксперимента с использованием реальных данных. Результаты численного моделирования показали, что учёт случайных возмущений параметров РН позволяет получить значимую оценку для максимального приращения к массе полезной нагрузки, выводимой на орбиту с вероятностью не ниже заданной. Планируется продолжить исследование влияния параметров атмосферы на максимальное приращение к массе полезной нагрузки, выводимой на орбиту с вероятностью не ниже заданной. Литература 1. 2. Охоцимский Д.Е, Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М.: Наука, 1990. 448 с. Думшева Т.Д., Костоусов В.Б., Костоусова Е.К., Починский В.И. Исследование задачи оптимального вывода полезной нагрузки на заданную эллиптическую орбиту// Труды Института математики и 3. механики. УрО РАН. 2010. Т.16. №5. C.57-65. Кибзун А.И., Кан Ю.С. Задачи стохастического программирования с вероятностными критериями. М.: Физматлит, 2009.