Оптика. Квантовая физика

ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
В разделе «Оптика» наиболее часто затруднения возникают при решении задач об интерференции волн. Задачи на
интерференцию сводятся к определению оптической длины пути интерферирующих волн и их оптической разности
хода. Типовой расчет этих величин производится в классическом опыте Юнга (расчет интерференционной картины
от двух когерентных источников).
1. Две параллельные
щели, расположенные
S1
на расстоянии d друг от
d/2
друга, освещены источником монохроматичеd/2
Е
L2
ского света с длиной
S2
Δ
D
волны λ . На расстоянии
l (l»d) от плоскости щелей расположен экран,
L
на котором наблюдается
интерференционная картинка в виде чередующихся светлых и темных полос. Найти расстояние между двумя соседними максимумами (ширину интерференционной полосы).
Решение
Из рисунка видно, что геометрическая разность хода
волн, испускаемых когерентными источниками S1 и S2
(щелями) равна   L2  L1 . Из прямоугольных треугольников АВS1 и АDS2 выражаем расстояние от точки, где
наблюдается интерференционная картина до источников
волн: L12  L2  ( x  d ) 2 ; L22  L2  ( x  d ) 2 . Из этих вы2
2
xd
ражений с учетом того, что L1  L2  L1 , получим  
.
L
К этому же результату можно прийти, воспользовавшись
подобием треугольников S2AD и S2 S1E .
L1
A
В
x
73
Условие
интерференционного
максимума:

 MAX  2k . Таким образом, для двух соседних максиму2
 xd
 x d
мов получим:
и 2(k  1)  k 1 ;
2k  k
2
L
2
L
L
x k 1  x k 
– ответ.
d
2. Источник света S и плоское зеркало M расположены, как показано на рисунке (зеркало Ллойда).
1)
Что
будет
S
L
P
наблюдаться в точке P
экрана, где сходятся
H
лучи SP и SMP:свет или
темнота –, если SP = L
M
= 2м, h = 0,55 мм; SM
=MP.
S1
2) Как изменится
оптическая
разность
хода, если на пути луча SP перпендикулярно ему поместить плоскопараллельную пластину с показателем преломления n = 1,5 и толщиной d = 6 мкм.
Решение
Для ответа на первый вопрос необходимо определить
оптическую разность хода волн Δ= L2–L1 и найти число по
луволн, укладывающихся на ней: N 
. Оптическая

2
длина пути луча SP равна L1=l . Для определения оптической длины пути луча SМP воспользуемся геометрией ри
сунка: L2 = SM+MP+ (при отражении от оптически бо2
лее плотной среды фаза волны изменяется на π, что соответствует потере полуволны, что необходимо учитывать
74
при определении оптической длины пути). Из рисунка
видно, что
2
2
2
l
l  1  2h  
l
 2h 
SM  MP     h 2 
1     1      ,
2
2  2  l  
2
 l 
2h 2 
т.к. h « l . После преобразований получим:  
 .
l
2
2
4h
Отсюда N 
 1  2 – получилось четное число полуl
волн, т.е. выполнилось условие интерференционного
максимума, значит в т. Р будет свет – ответ1.
При помещении пластинки на пути луча SP его оптическая длина пути становится равной: L1  l  d   nd .
Оптическая длина пути луча SМP остается прежней. После
преобразований получим для оптической разности хода
 2h 2  
 2  L2  L1   
   (n  1)d  1  (n  1)d . Как
2
 l
видно, оптическая разность хода уменьшилась на величину
(n  1)d  3 мкм – ответ 2.
3. Какую наименьшую толщину должна иметь прозрачная пластинка из вещества с показателем преломления,
равным n, чтобы при нормальном падении на нее света с
длиной волны λ она в отраженном свете казалась черной?
Решение
Условие интерференционного минимума для отражен
ного света –  min  2k . Геометрическая разность хода
2
интерферирующих волн, отраженных от верхней и нижней
поверхностей пластинки равна удвоенной толщине пластинки 2d; оптическая разности хода этих волн равна n∙2d;
75

= n∙2d. Наименьшая разность хода получается при k =
2

1, т.е. λ = n∙2d ; d=
.
2n
Распространенная ошибка – не учитывают, что разность хода, необходимая для возникновения интерференционного минимума (максимума) различается для отраженного и проходящего света на половину длины волны,
т.к. волна, отразившаяся на границе воздух-стекло ( от оптически более плотной среды) меняет фазу на противоположную, что эквивалентно возникновению дополнительной разности хода в половину длины волны (см. учебник
А.Т. Глазунова и др. под ред. А.А. Пинского «Физика-11»
для школ и классов с углубленным изучением физики, «Просвещение», 1994 г., §32).
2k∙
4 (ЕГЭ 2003-2004, стр. 80. С5).
Для «просветления» оптики на поверхность линзы наносят тонкую пленку с показателем преломления 1,25. Какой
должна быть минимальная толщина пленки, чтобы свет с
длиной волны 600 нм из воздуха полностью проходил через пленку? Показатель преломления пленки меньше показателя преломления стекла линзы.
Решение
Свет полностью проходит через пленку в том случае,
если волны, отраженные противоположными поверхностями пленки, интерферируя, полностью гасят друг друга –
выполняется условие минимума для оптической разности

хода волн:  min  (2k  1) . С другой стороны, эта опти2
ческая разность хода равна произведению геометрической
разности хода 2d (d– толщина пленки) на показатель преломления пленки:   2nd . Потеря полуволны происходит
при отражении света как на границе воздух–пленка так и
76
на границе пленка– стекло. Поэтому в оптической разности
хода эта потеря компенсируется.
Толщина пленки будет минимальной для k=0:

d min 
= 120 нм – ответ.
4n
5 (ЦТ 2000 г.Тест 2. А32). Для определения длины световой волны использовали дифракционную решетку с периодом d. На экране максимум первого порядка отстоит от
центрального на расстоянии l. Экран отстоит от решетки
на расстоянии L. Определить длину световой волны.
1)  
dl
L
4)   d
2)   d
l
L2  l 2
L2  l 2
5)   d
L
3)   d
L
L2  l 2
L2  l 2
l
Решение этой задачи известно по лабораторной работе,
выполняемой в 11 классе. С учетом того, что l << L, получаетdl
ся знакомый ответ:   (1), – который учащиеся узнают и
L
отмечают как правильный. Если не ограничивать себя привеl
денным выше допущением, получается ответ   d
2
L  l2
(2). К нему можно прийти и из ответа (1), внимательно
проанализировав другие ответы: обнаруживается, что
ответ (2) переходит в (1) при условии l << L . Ответ (2) и
следует выбрать как более общий.
6. Спектр какого наивысшего порядка можно наблюдать с
помощью дифракционной решетки, имеющей 500 штрихов на 1
мм при освещении ее светом с длиной волны 5,2·10 –7 м.
77
Из формулы решетки выражаем порядок спектра:
d sin 
1
k
, где d – постоянная решетки, d =
мм –1 ; угол

500
3

1  10
  , т.е sin   1 ; k 
=3,85 .
2
500  5,2  10 7
Обычно либо этот результат показывают в качестве ответа,
либо округляют его до целого числа : k = 4. Верный ответ – целая часть полученного числа: k=3.
7 ( ЦТ 1998 г. Тест 110. 29). При освещении катода фотоэлемента монохроматическим светом с частотой ν1 максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна Е1,
а при освещении светом с частотой ν2 =3 ν1 она равна Е2.
Каково соотношение между значениями Е1 и Е2?
1) Е2 = Е1
2) Е2=3 Е1
3) Е2 = 3 Е1
4) Е2 >3Е1
5) Е2 <3Е1
Решение
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта в первом и во
втором случаях: h 1  A  E1 и 3h 1  A  E2 . В предложенные ответы не входит энергия квантов; поэтому исключаем h 1 , выражая из первого уравнения и подставляя
во
второе:
3( A  E1 )  A  E2 ;
2 A  3E1  E2  E2  3E1 – ответ 4.
8 (ЦТ 2001 г. Тест 16. А 34). В теории Бора атома водорода радиус n-ой круговой орбиты электрона выражается
через радиус первой орбиты соотношением: rn = r1 ∙ n2.
Определите, как изменяется скорость электрона при переходе с первой орбиты на вторую?
78
Решение
Электрон удерживается на круговой орбите Кулоновe
mV 2
e2
ским притяжением:
, V
.

2
r
40 r
40 mr
Отношение скоростей на n-ой и на 1-ой орбитах равно
Vn
r
r1
1 1
 1 
  – скорость электрона уменьша2
V1
rn
n r1 n 2
ется в 2 раза.
5.ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. ГРАФИКИ
Вопросов этого типа было много в 2001 г. К сожалению, на многие из них даны неверные ответы.
1 (ЕГЭ 2001 г.Вариант 1. А 34). При исследовании зависимости давления газа от объема были получены некоторые данные. Какой график построен правильно по экспериментальным точкам ?
П
Р
Р
А
Б
V
V
Р
Р
В
Г
V
V
79
Решение
Графики А и В проведены неверно: при построении графика следует проводить плавную линию так, чтобы количество точек по разные стороны от нее оказалось одинаковым. Из двух оставшихся графиков следует выбрать
график Б, т.к. на нем разброс экспериментальных точек
относительно сглаживающей кривой меньше. Одна выпавшая экспериментальная точка – случайный промах
(грубая ошибка), она при построении графика не используется.
2 (ЕГЭ 2001 г. Вариант 2.А 34). Изучалась зависимость
температуры тела от времени его нагревания. На графиках
рисунка точками указаны результаты измерений. Погрешность измерений температуры равна 10º, времени – 30 с.
Какой из графиков построен правильно?
tº C
tº C
А
0
tº C
Б
τ,с
0
tº C
В
τ,с 0
Г
τ,с 0
τ,с
Это пример задания с избыточными данными: т.к.
масштаб на осях графиков не указан, использовать числовые значения погрешностей измерений невозможно. Но это
и не нужно, достаточно знать, что измерения произведены
с погрешностями и кривая не должна проходить точно через экспериментальные точки. Следует провести плавную
кривую наиболее простой формы возможно ближе к экспериментальным точкам и так, чтобы числа эксперименталь80
ных точек, лежащих выше и ниже нее, были одинаковы и
суммы отклонений точек вверх и вниз от кривой были равны – правильно построен график В.
3 (ЕГЭ 2001 г. Вариант 2. А 36. На рисунке показан
процесс изменения соP∙105Па
стояния
идеального
газа. Какую приблизи8
тельно работу совер6
А
шает газ при переходе
4
из состояния А в со2
В
стояние В?
0 1 2
1) 6∙ 105 Дж
3 4
V, м3
2) 8∙ 105 Дж
2) 12∙ 105 Дж 4) 18∙ 105 Дж
Решение
Работа, совершенная газом, равна площади геометрической фигуры, ограниченной кривой (Р,V), осью абсцисс и
вертикалями, проведенными к ней из точек А и В, в единицах РV. Т.к. эта фигура не является правильной, приблизительная оценка площади производится по числу клеток,
входящих нее; как видно из рисунка, оно приблизительно
равно 3. Площадь каждой клетки равна 2∙105 Па·м3 =
2∙105Дж. Следовательно, работа , совершенная газом, равна
6∙105Дж – ответ 1.
Авторы считают правильным ответ 2, что является ошибочным. В доказательство нашей правоты проведем строгий расчет, считая, что процесс, совершаемый газом – изотермический. Это видно из равенства произведений PV для
точек А и В. Работа изотермического расширения идеального
V
газа равна A  P1V1 ln 2 = 6∙105· ln 3  6,55∙105 Дж, что ближе
V1
5
к 6∙10 Дж, чем к 8∙105Дж.
81
4 (ЕГЭ. 2001 г. Вариант 3. А 33).
Исследовалась зависимость давления газа от предоставленного ему объема. Давление и объем измерялись с погрешностями, соответственно равными 0,1∙105 Па и
0,05∙10–3 м3. Результаты измерений приведены в таблице.
V∙10–3 м3
2
2,5
3
3,5
4
P∙105 Па
1
0,8
0,6
0,6
0,7
На основании этих данных можно утверждать:
1) При увеличении объема до 3∙10–3 м3 давление газа линейно уменьшается, а после достижения объема 3,5∙10–3
м3 возрастает;
2) Давление газа при неизменной температуре обратно
пропорционально предоставленному ему объему;
3) При достижении объема 3∙10–3 м3 температура газа повышается;
4) Погрешности измерений слишком велики и не дают
возможности решить задачу экспериментального исследования.
Анализ возможных решений
Условия проведения опыта в задании не оговорены;
предполагается, что никаких априорных сведений о характере зависимости (PV) экспериментатор не имеет.
Авторы считают верным ответ 4. К нему можно было бы прийти путем следующих рассуждений:
Относительная погрешность в определении объема для
разных
опытов
изменяется
в
пределах
3
3
V
0,05  10
V
0,05  10
 2,5 % ;


, т.е. 1,25 % 
3
3
V
V
4  10
2  10
относительная погрешность в определении давления гораздо
P
0,1105 P 0,1105
 14 % .
больше:
, т.е. 10 % 


5
5
P
P
110
0,7 10
Следовательно, при обсуждении результатов измерений
необходимо в первую очередь учитывать большую погреш82
ность в определении давления; погрешностью в определении объема, меньшей на порядок, можно пренебречь.
Каждый результат измерения давления запишем так:
P1 = (1±0,1) ∙105 Па; т.е.
0,9∙105 Па  P1  1,1∙105 Па;
P2 = (0,8±0,1) ∙105 Па; т.е. 0,7∙105 Па  P2  0,9∙105 Па;
P3 = (0,6±0,1) ∙105 Па; т.е. 0,5∙105 Па  P3  0,7∙105 Па
и т.д.
При такой записи видно, что результаты соседних
измерений давления в пределах погрешности неразличимы
(особенно последние 3) – интервалы возможных значений
P имеют общие точки или перекрываются. Следовательно,
большая погрешность не дает возможности делать какиелибо выводы о характере изменения давления, тем более,
обсуждать причины изменений, верен ответ 4.
Однако, в этом рассуждении есть противоречие: если
результат измерения P1 c точностью до погрешности измерения равен результату P2, а тот, в свою очередь равен P3,
то, следовательно P1 = P3, а это уже неверно, т.к. области
возможных значений P1 и P3 не перекрываются.
Чтобы увидеть истинную картину, лучше построить по
экспериментальным точкам график, показав области возможных значений P и V для каждой точки (см. рисунок).
Видим, что по экспериментальным точкам возможно
провести плавную кривую.
83
P, Па
1∙105
0,8∙105
0,6∙105
2∙10-3
3∙10-3
4∙10-3
V, м3
Из рассмотрения кривой видно:
– ответ 1 неверен: участок кривой, проходящий через
первые 3 точки, не является строго линейным, и возрастание давления начинается не со значения 3∙10-3 м3, а несколько позже;
– ответ 2 тоже очевидно не верен;
– на кривой существует участок одновременного возрастания и давления, и объема, что можно объяснить повышением температуры газа после достижения объема 3∙10-3
м3 ( именно «после», а не «при достижении» как сказано в
3-ем варианте ответа).
Казалось бы, можно выбрать ответ 3. Но повышение
давления может быть и результатом увеличения концентрации частиц в результате, скажем, химической реакции.
Таким образом, выбрать какой-нибудь из предложенных
ответов не представляется возможным.
84
4 (ЕГЭ 2001 г. Вариант 3.А 37). На графиках рисунка
точками обозначены результаты измерений напряжения в
разные моменты времени. Погрешности измерения этих
величин соответственно равны 0,3 В и 1 с. Какой из графиков правильно построен по этим точкам?
U, В
U, В
3
3
2
А
2
1
1
0 10 20 30 t, с
0 10 20 30 t, с
U, В
U, В
3
3
2
Б
В
2
Г
1
1
0 10 20 30 t, с
0 10 20 30 t, с
Решение
Графики должны иметь вид плавных кривых, проходящих не точно через экспериментальные точки, а через прямоугольники со сторонами равными удвоенным абсолютным погрешностям: 2∙ U и 2∙  t . Этим требованиям удовлетворяет только график А (см. рисунок)
85
Аналогичные соображения лежат в основе ответа на вопрос заданий А 30 из варианта 4, А 34 из варианта 5, А 41
из варианта 7, А 28 из варианта 10 тестов ЕГЭ 2001 г.
5 (ЕГЭ 2001 г. Вариант 4. А 30). Лыжник съезжает с
горки. На рисунке точками обозначены результаты измерений координаты лыжника в разные моменты времени.
Погрешность измерения координаты равна 5 м, времени –
0,5 с. Какой из графиков построен правильно по этим точкам ?
х,м
х,м
А
Б
30
30
А
20
Б
20
10
10
3
4
х,м
5
t, с
3 4
х,м
В
30
30
20
20
10
10
3
4
5
t, с
5
t, с
5
t, с
Г
3
4
Правильно построен график В.
Следующая задача решается, как и предыдущие. Мы
приводим ее подробный анализ, т.к. авторами теста дан неверный ответ.
86
6 (ЕГЭ 2001 г.Вариант 8. А 8). На четырех графиках
рисунка точками отмечены результаты измерений массы
жидкости в зависимости от ее объема. Погрешность измерения массы равны 2,5 г, объема – 5 мл. Какой из графиков
построен правильно с учетом всех результатов измерений и
их погрешностей?
m,кг
m,кг
30
30
20
20
10
10
0
10 20 30
V,мл
0
m,кг
m,кг
30
30
20
20
10
10
0
10 20 30
V,мл
0
10 20 30
V,мл
10 20 30
V,мл
На рисунке прямоугольниками со сторонами 2∙∆V и
2∙∆m выделены области возможного положения экспериментальных точек с учетом погрешностей. Как видно, прямая графика А проходит вне этих областей, а графика Б
пересекает их. Следовательно, график Б построен верно,
а А – ошибочно. Авторы же указывают в качестве верного
ответ 1 – график А.
87
7 (ЕГЭ. 2001 г.Вариант 3.С 1). На
рисунке изображена часть мензурки с
мл
налитой в нее водой. Запишите численное значение объема воды в мензурке с
100
указанием погрешности его измерения.
Решение
Возможны различные варианты ответа.
Т.к. погрешность отсчета по шкале
80
разные авторы считают равной либо
цене деления либо половине цены деления шкалы, верными следует считать и
ответ V= (90±5) мл и V= (90±2,5) мл. Оба этих ответа считают верными и авторы тестов. Второй ответ соответствует
правилу, сформулированному в учебнике «Физика-10»
Ю.И.Дика и др.: «… результат измерения записывается с
числом десятичных знаков, не большим, чем их имеется в
абсолютной погрешности». Но согласно этому правилу
возможна и запись V= (90,0±2,5) мл, и этот ответ тоже следует считать верным.
8 (ЕГЭ. 2001 г. Вариант 5. А 2). При исследовании зависимости перемещения тележки от времени были получены
результаты, приведенные в таблице. Что можно сказать о
скорости движения тележки?
t, c
0
1
2
3
4
5
x,cм
0
19
36
52
72
80
1)Скорость не меняется.
2) Скорость возрастает.
3)Скорость уменьшается.
4)Скорость возрастает в первые четыре секунды, а затем
уменьшается.
88
Решение
x,см
На
первый
взгляд, ни один
из предложенных
ответов не верен.
Однако
учтем,
что полученные
50
результаты содержат погрешности измерений.
Чтобы представить зависимость
0
5
t, с
(x,t)
более
наглядно,
построим по данным таблицы график, соблюдая правила построения: плавная кривая проводится так, чтобы числа точек выше и ниже нее были примерно одинаковы и сумма
отклонений точек вверх и вниз от кривой были примерно
равны. На рисунке пунктиром показано, какой вид имела
бы зависимость (x,t), если бы скорость была постоянной:
график имел бы вид прямой линии, имеющей определенный, неизменный наклон ( V  xtI tg  ). Наклон кривой,
100
построенной по экспериментальным точкам, со временем
уменьшается, т.е. скорость движения тележки убывает –
ответ 3. Этот ответ имеет в виду автор задания. Однако,
чтобы однозначно истолковать график, необходимо знать
погрешности измерений.
89
ЛИТЕРАТУРА
1.Тесты. Физика. 11 класс. Варианты и ответы централизованного тестирования. Пособие для подготовки к тестированию. Центр тестирования Министерства образования
Российской Федерации. М. 1997–2003 г.
2.Единый Государственный экзамен. Физика. Изд. «Просвещение» и «Интеллект-центр». 2001-2004 г.г.
3. Дик Ю.И. и др. Физика –10. Просвещение. М. 1993.
4. Глазунов А.Т. и др. Физика–11. Просвещение. М. 1994.
5. Воробьев И.И. и др. Задачи по физике. Наука. М. 1988.
6.Баканина Л.П., Белонучкин В.Е., Козел С.М. Сборник задач по физике. Просвещение. М. 1995 г.
7.Степанова Г.Н. Сборник задач по физике.10-11.класс. М.
Просвещение. 1999.
8.Иродов. И.Е.Задачи по общей физике. М.-С.-П.2001.
9. Касьянов В.А., Коровин В.А. Физика. Тетрадь для лабораторных работ.10 класс. Дрофа. М.2002.
10. Фетисов В.А. Оценка точности измерений в курсе физики средней школы.
90
91