report_s_021123

Отчет ОВМ ИМВЦ УНЦ РАН
За 2002 год
1. Основные результаты.
Рамазнов М.Д. получил общие условия, при которых выполняются точные
теоремы о продолжениях и следах функций n вещественных переменных на
поверхностях меньших размерностей [1], [2]. Эти результаты обобщены на
продолжения и ограничения функций на n-мерные области с кусочно гладкими
границами – результаты готовыятся к публикации.
Рамазановым М.Д. изучалась задача приближенного вычисления интегралов
с гарантированными оценками точности. [3] Изучалось влияние толщины
пограничного слоя ОПС формул на их качественные характеристики. Оказалось,
что если толщина пограничного слоя O(h|ln h|), то возможно построение
ненасыщаемых формул (Рамазанов М.Д. [4] ), а если толщина пограничного
слоя O(m2∙h|), где m – порядок точности формулы, h – малый параметр – шаг
решетки её узлов, то существует асимптотически оптимальные решетчатые
кубатурные формулы с неотрицательными коэффициентами (Шитлин С.Л. [5])
Более подробно, Шитлиным С. Л. рассмотрены кубатурные формулы для
приближенного вычисления многомерных интегралов:
 f  x  dx  h  c f  hk 
n
k

k
Здесь  - область интегрирования из R , k   k1 ,..., kn  - мультииндекс, h - шаг
решетки. Предполагается, что узлы hk лежат внутри области  .
n
Рассматриваются кубатурные формулы, коэффициенты ck которых равны
единице внутри области  , если расстоянии от границы больше hl . Качество
кубатурной формулы определяется точностью на многочленах вида:
     1 ,...,n  :0  i  m, i  1,..., n
,
где
.
При
этих
предположениях рассматривается задача оценки минимального значения
величины l , для которой имеет место равномерное по k неравенство для
x  x11 x22 ...xnn
коэффициентов: ck  C , где C - заданная константа. Доказано, что при
достаточно малых h выполнено неравенство l  L  C  m , где L  C  - постоянная,
зависящая от C и  , но не зависящая от m и h . Формулы, на которых
достигается оценка, строятся конструктивно.
Выяснены условия устойчивости вычисления одномерного интеграла в
случае точности приближенной формулы, построенной по N узлам на
многочленах до степени m включительно. Доказано, что для любых m и N
2
имеет место неравенство для оптимальных коэффициентов ci :

95
    5   1 
ci  1 

Exp
 I0    d 
  I 0 
1728 0
 2   4   4 
, i  0,..., N ,
*

 
.
где I 0  z  - функция Бесселя первого рода,
Рассмотрена задача минимизации погрешности вычисления произвольного
функционала A по формуле:
 *  2 m 1
2
N 1
Af   ck f  xk 
kK
Изучены свойства оптимальных в этом смысле коэффициентов ck при
условии, когда функционал A является интегралом от функции по отрезку, а от
квадратурной формулы требуется точность на многочленах до степени m
включительно. В этом случае оптимальное решение выражается через набор
многочленов Чебышева дискретного переменного. Изучены свойства этих
многочленов, с использованием которых показано, что оптимальные
коэффициенты достигают максимального отклонения от единицы в концевых
точках сетки. Это отклонение зависит от соотношения N и m . Доказано, что для
равномерной ограниченности коэффициентов ck этих формул достаточно
m  1
выполнения неравенства 
2
  **  N  1
, m  1 , где m - степень точно
интегрируемых многочленов, N 1 - количество узлов квадратурной формулы,
 ** - известная постоянная. [6] [7]
Гарипов И.М. изучал алгоритм и сотавил блок-схему программы
приближенного вычисления интегралов по простейшей кубатурной формуле и
исследовал возможность экономного распаралеливания прграммы для работы на
многопроцессорных ЭВМ. – результаты готовятся к публикации.
Зеленин К.Н. в качестве технического редактора учавствовал в выпущенном
ОВМ сборнике научных работ под редакцией Р.С. Сакса. «Методы
функционального анализа и теории функций в различных задачах
математической физики» Уфа БашГу, ИМВЦ УНЦ РАН 2002.
Семинары и конференции.
В отделе работал городской научный семинар по вычислительной
математике, сотрудники отдела выступали с докладами на других научных
семинарах:
Рамазанов М.Д. – в МГУ, МИАН , ИПМ в Москве.
Шитлин С.Л. – на международной конференции по вычислительной
математике ICCM – 2002 в г. Новосибирске.
Публикации.
[1] Рамазанов М.Д. теоремы о следах и продолжениях. Доклады РАН (2002)
т.382, №2 стр 158 – 160.
[2] Ramazanov M.D. Theorems on traces and prolongations. Кн. Методы
математической физики II (2002) Уфа БГУ ИМВЦ, стр. 134-144.
[3] Рамазанов М.Д. Приближенное вычисление кратных интегралов с
гарантированной точностью. Вестник УГАТУ т.3 №12 стр 60-64.
[4] Рамазанов М.Д. Задачи теории кубатурных формул. Кн.Труды VI
международного семинара-совещания «Кубатурные формулы и их
приложения». Уфа БГПУ, ИМВЦ(2002) стр. 142-151.
[5] Шитлин С.Л. "Минимизация погрешности при вычислении
функционала". Труды "VI-го международного семинара-совещания
"Кубатурные формулы и их приложения", 2002, 24 стр., принята к печати.
[6] Sheetlin S.L. Stability cubature formulas with boundary layer. Тезисы
докладов международной конференции по вычислительной математике
ICCM-2002, Новосибирск, 2002.
[7] Sheetlin S.L. Stability cubature formulas with boundary layer. International
Conference on Computational Mathematics ICCM-2002, Proceedings: Part I,
Novosibirsk 2002, p. 165-170.