Министерство образования и науки Российской Федерации для студентов всех специальностей

Министерство образования и науки Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
И.В. Соломин
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ
Учебное пособие
для студентов всех специальностей
заочной формы обучения
Саратов 2010
УДК 512.8
ББК 22.14
С 60
Рецензенты:
Кафедра «Компьютерная алгебра и теория чисел»
Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского
Кандидат физико-математических наук, доцент
И.А. Чернов
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного технического университета
Соломин И.В.
С 60 Элементы алгебры: учеб. пособие по математике для студентов
всех специальностей заочной формы обучения / И.В. Соломин.
Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2010. 39 с.
ISBN 978-5-7433-2271-8
Учебное пособие содержит краткие сведения по теории определителей,
матриц, систем линейных уравнений, комплексных чисел, снабженные
большим количеством разобранных примеров, что позволяет использовать
пособие для выполнения контрольных работ и подготовки к зачетам и
экзаменам.
Предназначается для студентов всех специальностей заочной формы
обучения.
УДК 512.8
ББК 22.14
ISBN 978-5-7433-2271-8
2
© Саратовский государственный
технический университет, 2010
© Соломин И.В., 2010
ВВЕДЕНИЕ
Алгебра представляет собой одну из фундаментальных областей
математики, лежащую в основе практически всех ее разделов.
В настоящее время ее методы применяются во многих прикладных
науках. Этот раздел включен в образовательные стандарты по математике
для инженерных и экономических специальностей и требует разработки
соответствующего методического обеспечения.
Настоящее учебное пособие содержит начальные сведения из
высшей алгебры. Рассмотрены такие вопросы как определители, матрицы,
системы линейных алгебраических уравнений, комплексные числа.
Именно в таком объеме, как правило, в настоящее время студенты
инженерных и экономических специальностей втузов изучают этот раздел
математики. Приведен также список рекомендованной литературы [1-6],
который охватывает общие вопросы этой части алгебры и ее приложений.
Данное учебное пособие призвано восполнить дефицит
соответствующей литературы и помочь студенту выполнить контрольные
задания, предусмотренные учебным планом.
3
1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Определителем второго порядка называется записанное в виде
таблицы число:
Числа
называются элементами определителя (i – номер строки, j –
номер столбца). Элементы
образуют главную, а
–
побочную диагональ определителя.
Определителем третьего порядка называется записанное в виде
таблицы число:
Существует несколько способов вычисления этого определителя, один
из которых (основной) рассмотрим ниже. Элементы
образуют главную, а
– побочную диагональ.
Аналогично определяются определители четвертого и более высокого
порядка.
1.1. Основные свойства определителей
(на примере определителей третьего порядка)
Свойство 1. («равноправие» строк и столбцов определителя).
Величина определителя не меняется при его транспонировании, т.е. при
замене каждой его строки столбцом с тем же номером:
Свойство 2. При перестановке двух столбцов (или строк) определитель
меняет знак на противоположный.
Например:
Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (или
строками) равен нулю.
Свойство 4. Множитель, общий для элементов некоторого столбца
(или строки), можно выносить за знак определителя:
4
Следствие 1. Определитель с двумя пропорциональными строками
(или столбцами) равен нулю.
Следствие 2. Определитель равен нулю, если все элементы некоторого
его столбца (или строки) равны нулю.
Свойство 5. Если элементы некоторого столбца (или строки)
определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель
можно представить в виде суммы двух определителей, у которых элементы
рассматриваемого столбца (или строки) равны соответственным
слагаемым.
Например:
Замечание. Свойство справедливо, если элементы некоторого столбца
представляют собой сумму n слагаемых.
Свойство 6. Величина определителя не изменится, если к элементам
некоторого его ряда (столбца или строки) прибавить (или из них вычесть)
элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.
1.2. Миноры и алгебраические дополнения
Минором
элемента
определителя n–го порядка называется
определитель (n – 1)-го порядка, получающийся из вычеркиванием j-й
строки и k-го столбца.
Алгебраическим дополнением
элемента
называется его минор,
взятый со знаком
:
1.3. Разложение определителя по элементам строки или столбца
Теорема 1. Каждый определитель равен сумме произведений
элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Пример 1. Вычислить определитель третьего порядка
5
Решение. Разложим определитель, например, по элементам первой
строки:
2 3
2 3
2 2
  1 (1)11
 1(1)1 2
 2(1)13

3 1
5 1
5 3
.
Данный определитель можно вычислить проще, используя свойство 6:
вычтем из первого столбца второй, после чего разложим по первому
столбцу:
Пример 2. Вычислить определитель четвертого порядка
Решение. Разложим определитель, например, по элементам первой
строки:
Теорема 2. Сумма произведений элементов любой строки (или
столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих
элементов параллельного ряда равна нулю.
2. МАТРИЦЫ
2.1. Основные определения
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел или буквенных
выражений, содержащая m строк и n столбцов.
6
.
(1)
Числа
называются элементами матрицы; i – номер строки, j –
номер столбца. Матрица – это только таблица. Её нельзя путать с
определителем. Размер написанной выше матрицы равен m · n.
Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие
элементы этих матриц, т.е.
А = В, если
, где i =
,j=
.
Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором.
Квадратной матрицей порядка n называется матрица, у которой число
строк равно числу столбцов (m = n).
Определителем квадратной матрицы называется такой определитель,
элементы которого равны элементам матрицы. Определитель матрицы А
обозначается ‫׀‬А‫׀‬.
Матрица, у которой отличны от нуля лишь элементы, стоящие вдоль
главной диагонали, называется диагональной.
Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны
единице, то матрица называется единичной:
.
Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы равны
нулю:
.
7
Переставив
в
матрице
строки
со
столбцами,
получим
транспонированную матрицу. Так, для матрицы (1) транспонированной
будет матрица
.
Для матрицы-строки транспонированной будет матрица-столбец, и
наоборот.
Квадратная матрица
=
тогда и только тогда, когда она
семметрична, т.е
при любых i и j.
При транспонировании квадратной матрицы А величина её
определителя не меняется:
Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если её
определитель равен нулю (‫׀‬А ‫ =׀‬0) и невырожденной (или неособенной),
если
.
2.2. Действия над матрицами
Сложение матриц
Результатом сложения двух матриц является матрица, каждый элемент
которой представляет собой сумму соответствующих элементов матриц
A+B = C,
где
.
Складываются матрицы только одинаковой размерности
.
Свойства сложения матриц:
1) A+B = B+A ─ переместительное свойство
2) (A+B)+C = A+(B+C) ─ сочетательное свойство
Умножение матрицы на число
Результатом умножения матрицы на число является матрица, каждый
элемент которой умножен на это число.
kA = C,
где
.
8
Умножение матриц
Результатом умножения матриц будет матрица, каждый элемент
которой является результатом перемножения соответствующей строки
первой матрицы на соответствующий столбец второй матрицы.
Перемножаются только такие две матрицы, у которых число столбцов
первой равно числу строк второй матрицы.
Пример 3. Вычислить
Пример 4. Вычислить
Две особенности умножения матрицы:
1) Умножение матриц не обладает переместительным свойством, т.е. в
общем виде AB≠BA; более того, при перестановке может меняться
размерность. Это видно из примеров 3 и 4.
2) Произведение ненулевых матриц может быть равно нулевой
матрице.
.
Единичная и нулевая матрицы обладают переместительным свойством
по отношению к квадратной матрице:
0 · А = А · 0 = 0,
Е · А = А · Е = А,
т.е. они играют роль нуля и единицы в матричном исчислении.
Теорема 2. Определитель матрицы-произведения АВ равен
произведению определителей перемножаемых матриц:
‫׀‬АВ‫׀ = ׀‬А ‫׀ · ׀‬В‫׀‬
9
2.3. Обратная матрица
Обратной матрицей
по отношению к данной матрице А
называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и слева
на данную матрицу, даёт единичную матрицу:
Теорема 3. Необходимым и достаточным условием существования
матрицы
, обратной А, является невырожденность матрицы А.
Для матрицы
обратная матрица находится по формуле
где
– определитель матрицы А,
– алгебраическое дополнение
элемента
матрицы в её определителе, т.е произведение минора
второго порядка, полученного вычеркиванием m-й строки и n-го столбца в
определителе матрицы А, на
.
Пример 5. Для матрицы
найти обратную.
Решение.
(см. пример 1)
Вычисляем все алгебраические дополнения.
A11  (1)11
2 3
 2  9  7 ;
3 1
2 3
A12  (1)1 2
 (2  15)  13 ;
5 1
2 2
A13  (1)13
 6  10  4 ;
5 3
1 2
A21  (1) 21
 (1  6)  5 ;
3 1
1 2
A22  (1) 22
 1  10  9 ;
5 1
10
A23  (1) 23
A31  (1)
A32  (1)
1 1
5 3
2
31 1
2 3
2
3 2 1
 (3  5)  2 ;
 3  4  1 ;
 (3  4)  1 ;
2 3
1 1
A33  (1) 33
 22  0.
2 2
Следовательно,
Проверка:
2.4. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы
Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля
миноров этой матрицы.
Таким образом, если ранг матрицы равен r, то среди миноров этой
матрицы есть по крайней мере один минор r-го порядка, отличный от нуля,
в то время как все её миноры порядка r + 1 и выше равны нулю. Если все
элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимают равным
нулю. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен
рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы. Ранг
матрицы А будем обозначать через r(A).
Если r(A) = r(B), то матрицы А и В называются эквивалентными. В
этом случае записывают А ~ В.
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие её
преобразования:
11
1) Замена каждой строки столбцом с тем же номером, и наоборот.
2) Перестановка двух строк или двух столбцов.
3) Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.
4) Умножение всех элементов строки или столбца на любое число,
отличное от нуля.
5) Прибавление ко всем элементам одной строки или столбца
соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных
на одно и то же число.
Теорема 4. При элементарных преобразованиях матрицы её ранг не
меняется.
С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно
привести к виду
,
где на главной диагонали стоят r единиц, а все остальные элементы
матрицы равны нулю. Ясно, что ранг такой матрицы, а значит, и исходной
матрицы, равен r.
Пример 6. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг
матрицы
.
Решение. Вычитая из третьей строки удвоенную первую, сокращая
второй столбец на 2 и вычитая после этого из первого столбца утроенный
второй, из третьего – второй и из четвёртого – удвоенный второй,
последовательно получим
Прибавляя далее к третьей строке утроенную вторую, сокращая первый
столбец на 2, прибавляя его к третьему и вычитая из четвертого и,
поменяв, наконец, местами первые два столбца, будем иметь
12
Ранг последней матрицы равен 2. Поскольку все матрицы в этом
примере получались одна из другой элементарными преобразованиями, то
они имеют один и тот же ранг.
Следовательно r(A) = 2.
2.5. Собственные значения и собственные векторы матрицы
Характеристическим уравнением матрицы
называется уравнение
a11  
a12
a13
a21
a22  
a23
a31
a32
a33  
0.
Корни этого уравнения
называются характеристическими
числами, или собственными значениями матрицы; они всегда
вещественны, если исходная матрица была симметрической.
Система уравнений
в которой λ имеет одно из значений
и определитель которой в
силу этого равен нулю, определяет тройку чисел
,
соответствующую данному характеристическому числу, или собственному
значению.
Эта совокупность трёх чисел
, определяет вектор
,
называемый собственным вектором матрицы.
Так как нахождение собственных значений и собственных векторов
матрицы связано с решением системы уравнений, соответствующий
пример решим ниже (после рассмотрения систем линейных уравнений).
13
3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ И ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
При решении одного уравнения первой степени с одним неизвестным
ax = b
возможны три случая:
1. Если a ≠ 0, уравнение имеет единственное решение
.
2. Если a = 0 и b = 0, уравнение имеет бесчисленное множество
решений: любое действительное число x удовлетворяет уравнению ax =
b (так как 0 · x = 0) и, значит, является решением.
3. Если а = 0, но b ≠ 0, уравнение не имеет решений, так как при
подстановке вместо x любого действительного числа в левой части
получается ноль, в то время как правая часть отлична от нуля.
Такие же три случая возможны и при решении произвольной системы
линейных уравнений.
Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
(2)
Решением
такой системы называется каждая пара значений
, подстановка которых вместо
обращает оба
уравнения в тождества.
Чтобы решить эту систему, умножим первое уравнение на
, второе на
и сложим их; получим
Отсюда, если
, будем иметь
Аналогично находим, что
Таким образом, в случае, когда
, система (2) имеет
единственное решение.
Выражения, стоящие в числителях и знаменателях правых частей
равенств (3) и (4), представляют собой определители второго порядка, и
мы получаем формулы Крамера для решения системы двух уравнений с
двумя неизвестными:
b1
x1 
b2 a 22
a11 a12
a 21
14
a11
a12
a 22
,
x2 
b1
a 21 b2
a11 a12
a 21 a 22
Пример 7. По формулам Крамера решить систему уравнений
Решение.
8
x
2
5
8
3  1  2  24
1 1 8  5

2

 1 ; y 
 13
 13
2 5
2  15
3 1
Рассмотрим теперь случай, когда
a11
a12
a21 a22
 a11a22  a21a12  0
(5)
Равенство (5) можно переписать так:
т.е. в этом случае коэффициенты при неизвестных пропорциональны.
Если, кроме того, и
b1
a12
b2
a22
 0 , т.е.
b1 a12

b2 a 22
то и свободные члены пропорциональны коэффициентам при неизвестных,
и мы имеем на самом деле одно уравнение с двумя неизвестными – оно
имеет бесчисленное множество решений.
Наконец, если
a11
a12
a21 a22
 0 , но
b1
a12
b2
a22
0
т.е. если
то уравнения, очевидно, противоречат друг другу, и система не имеет ни
одного решения.
Рассмотрим теперь систему трёх линейных уравнений с тремя
неизвестными:
Решением
этой
системы называется каждая такая тройка чисел
при подстановке которых все три уравнения
обращаются в тождества.
Можно показать, что решение системы (6) также находится по
формулам Крамера:
15
где
a11
a12
a13
  a21 a22
a23
a31
a33
a32
– определитель системы.
i = 1, 2, 3, – определитель, получающийся из определителя заменой
i-го столбца столбцом свободных членов.
Пример 8. Решить по формулам Крамера систему уравнений
Решение. Все определители вычисляем разложением по любой строке
или столбцу:
1
2
7
3
2
3
  1  3 2  9  0 , 1  5  3 2  9
1
1 7 3
2  1 5
2  0,
1 5 1
1
3
1
1
2
7
1
1
3
1
1
 3  1  3 5  18 .
Следовательно,
Для решения систем n линейных алгебраических уравнений с n
неизвестными имеют место аналогичные формулы Крамера. Однако для
больших значений n (практически для n ≥ 4) этим методом системы не
решают из-за громоздких вычислений определителей n-го порядка.
3.1. Произвольные системы линейных уравнений
и их исследование
Не только в математике, но и в жизни люди нередко ставят и пытаются
решать задачи, которые не имеют решения. Нам нужно научиться определять,
имеет ли система одно решение, ноль решений или множество решений.
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными
где число неизвестных не предполагается равным числу уравнений.
16
Решением системы (8) называется совокупность n значений
неизвестных
при подстановке которых все
уравнения системы обращаются в тождества. Система, имеющая хотя бы
одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного
решения, – несовместной.
Система, имеющая единственное решение, называется определённой;
система, имеющая более одного решения, – неопределённой.
Матрица (1), составленная из коэффициентов при неизвестных
системы (8), называется матрицей системы.
Матрица
дополненная столбцом свободных членов, называется расширенной
матрицей системы.
Теорема 5. (Кронекера – Капелли). Для совместимости системы (8)
необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы
был
равен рангу матрицы А системы, т.е
В этом случае r
называется рангом системы.
Если
, то система линейных уравнений (8)
называется однородной. Однородная система уравнений всегда совместна.
Если ранг совместной системы равен числу неизвестных (т.е. r = n), то
система будет определённой. Если же ранг совместной системы меньше
числа неизвестных, то система – неопределённая. Рассмотрим этот случай.
Пусть система (8) совместна, причём r < n.
Рассмотрим какой-нибудь базисный минор матрицы А. Выделим в нём
произвольную строку. Элементы этой строки являются коэффициентами
при r неизвестных в одном из уравнений системы (8). Эти r неизвестных
назовём базисными неизвестными этой системы. Остальные n – r
неизвестных системы (8) назовём свободными неизвестными.
Выделим из системы (1) систему r уравнений, среди коэффициентов
которых содержатся элементы базисного минора. Базисные неизвестные в
выделенной системе оставим в левых частях уравнений, а члены,
содержащие свободные неизвестные, перенесём направо. Из полученной
системы уравнений определим базисные неизвестные в зависимости от
свободных неизвестных (например, по формулам Крамера).
Таким образом, задавая свободным неизвестным произвольные
значения, мы сможем найти соответствующие значения базисных
неизвестных.
Следовательно, система (8) имеет бесчисленное множество решений.
17
Пример 9. Исследовать систему уравнений
Решение. Определим ранг матрицы системы и расширенной матрицы
системы
.
Вертикальной чертой мы отделили элементы матрицы системы
(матрицы А) от свободных членов системы.
Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы
третьей строки:
.
Разделим все элементы второй строки на 3:
.
Вычтем из элементов второй строки соответствующие элементы
первой строки:
;
;
или
.
Нетрудно видеть, что r(A) = 2, r(
система несовместна.
Пример 10. Решить систему уравнений:
18
следовательно,
Решение. Исследуем систему на совместимость.
следовательно, система несовместима.
Пример 11. Решить систему уравнений:
Решение. Исследуем систему на совместимость.
система
совместна.
Определим число свободных параметров:
n – r = 2 – 1 = 1 – один свободный параметр.
Найдём неизвестные.
Пример 12. Исследовать систему уравнений:
Решение. Расширенная матрица системы
.
Прибавим элементы второй строки к соответствующим элементам
второй и четвертой строк:
19
.
Разделим элементы первой строки на 4, а элементы четвёртой строки
на 5:
.
Вычтем из элементов третьей строки соответствующие элементы
первой строки, а из элементов пятой строки вычтем элементы четвёртой
строки:
Вычеркнем третью и пятую строки:
Найдем определитель последней матрицы:
.
Следовательно, r(A) = 3. Ранг расширенной матрицы
так как ‫׀‬А‫ ׀‬является минором матрицы
.
20
также равен 3,
Итак, система совместна. Для её решения возьмём любые три
уравнения исходной системы, например, уравнения:
Отсюда легко находим, что
Пример 13. Решить систему уравнений:
Решение. Здесь r(A) = 3; r(
Так как
; система совместна, определённа.
то из первых трёх уравнений системы, например, по формулам Крамера,
находим
Пример 14. Решить систему уравнений:
Решение. Здесь
неопределённа.
Определитель
r(A)
=
2,
r(
;
система
совместна, но
Из первых двух уравнений системы
находим
21
где неизвестным
можно придавать любые значения.
3.2. Однородные системы
Однородные линейные уравнения – это уравнения, у которых правые
части равны нулю:
(10)
Такая система всегда совместна, так как имеет, например, нулевое
решение:
(т.е. решение, в котором значения всех неизвестных равны нулю).
А при каком условии эта система имеет ненулевые решения? Ответ на
этот вопрос даёт следующая
Теорема 6. Для того, чтобы система (10) имела ненулевые решения,
необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы её коэффициентов был
меньше n.
Из этой теоремы вытекает
Теорема 7. Для того, чтобы однородная система n линейных
уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и
достаточно, чтобы её определитель был равен нулю.
Пример 15. Дана матрица
.
Найдём её собственные значения и собственные векторы.
Решение. Основные определения даны выше для матриц третьего
порядка. В нашем примере матрица второго порядка, поэтому все
вычисления будут проще. Итак, составляем характеристическое уравнение
т.е.
Корни этого квадратного уравнения
будут собственными значениями.
Находим собственный вектор, соответствующий первому
собственному значению, из системы уравнений
22
Так как
, то эта система имеет вид
В этой системе однородных уравнений определитель
Следовательно, система имеет ненулевые решения. Так как второе
уравнение системы есть следствие первого, то
связаны
зависимостью
, т.е. фактически мы имеем одно уравнение с
двумя неизвестными. Система совместна, но неопределённа.
Положив
(
, получим
и
собственным вектором, соответствующим собственному значению
,
будет вектор
.
Найдём второй собственный вектор. Имеем
Подставив значение
, получим однородную систему
из которой мы аналогично приходим к соотношению
. Собственным вектором, соответствующим
собственному значению, будет
.
, т.е.
второму
3.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений
методом обратной матрицы
Существует несколько методов решения систем линейных
алгебраических уравнений. В частности, решение систем может быть
сведено к перемножению двух матриц.
Пусть одна система (8), где
коэффициенты системы,
;
неизвестные,
свободные члены. В матричной форме
эта система записывается так:
или
AX = B.
(11)
Решить систему (8), т.е. найти все , это всё равно, что решить одно
матричное уравнение (11), т.е. найти матрицу X, и именно все её элементы
.
23
Искомая матрица X =
B. Т.о., нахождение матрицы X сводится к
вычислению обратной матрицы
и умножению её на матрицу-столбец
свободных членов.
Пример 16. Решить методом обратной матрицы систему уравнений
Решение. Запишем систему в матричной форме AX = B:
Для матрицы
найдём обратную
Т.о.,
Проверка:
.
Далее,
.
Проверка:
Ответ:
, или
3.4. Метод Гаусса
Формулы Крамера удобно применять для решения систем двух и трёх
уравнений. В случае систем большего числа уравнений их применение
приводит к слишком громоздким вычислениям. Практически для решения
систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса,
состоящий в последовательном исключении неизвестных по следующей
схеме. Для того, чтобы решить систему уравнений (8), выписывают
расширенную матрицу (9) этой системы, где чертой отделён столбец
свободных членов. Затем над строками матрицы А, производят
элементарные преобразования: разрешается изменять порядок строк (что
соответствует изменению порядка уравнений), умножать строки на любые
24
отличные от нуля числа (что отвечает умножению соответствующих
уравнений на эти числа) и прибавлять к любой строке матрицы
любую
другую её строку, умноженную на любое число (что соответствует
прибавлению к одному из уравнений системы другого уравнения,
умноженного на это число). С помощью таких преобразований каждый раз
получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной.
При этом стараются привести матрицу
к возможно более простому
виду, из которого решение системы видно непосредственно.
Поясним смысл этого метода на системе четырёх уравнений с
четырьмя неизвестными:
Допустим, что
(если
, то изменим порядок уравнений,
выбрав первым уравнением то, в котором коэффициент при X не равен
нулю).
Первый шаг: а) делим уравнение (12) на
, б) умножаем полученное
уравнение на
и вычитаем из (13); затем умножаем на
и вычитаем
из (14); наконец, умножаем на
и вычитаем из (15).
В результате этого шага будем иметь систему
причём
получаются из
по следующим формулам:
Второй шаг: поступаем с уравнениями (17), (18), (19) точно так же, как
с уравнениями (12), (13), (14), (15) и т.д. В итоге исходная система
преобразуется к так называемому «ступенчатому» виду:
25
Это был так называемый прямой ход. При обратном ходе из последней
системы все неизвестные определяются последовательно в обратном
порядке: из последнего уравнения – u, из предпоследнего – z, затем – y и x.
Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система
уравнений приведётся к треугольной, т.е. к такой, в которой последнее
уравнение будет содержать одно неизвестное. В случае неопределённой
системы, т.е. такой, в которой число неизвестных больше числа уравнений,
и потому допускающей бесчисленное множество решений, треугольной
системы не будет, так как последнее уравнение будет содержать более
одного неизвестного.
Когда же система уравнений несовместна, то после приведения к
ступенчатому виду она будет содержать хотя бы одно уравнение вида 0=1,
т.е. уравнение, в котором все неизвестные имеют нулевые коэффициенты,
а правая часть отлична от нуля. Такая система не имеет решений.
Пример 17. Решить систему уравнений:
Решение. Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму
систему уравнений, а расширенную матрицу из коэффициентов при
неизвестных и свободных членов:
.
Иногда для контроля вычислений вводят так называемый контрольный
столбец (в нашем случае пятый), каждым элементом которого является
сумма предыдущих (у нас четырёх) элементов данной строки:
При ленейных преобразованиях элементов матрицы такому же
преобразованию должны подвергнуться и элементы контрольного столбца.
Нетрудно видеть, что каждый элемент контрольного столбца
преобразованной матрицы будет равен сумме элементов соответствующей
строки.
Преобразуем матрицу в эквивалентную:
26
(для упрощения вычислений мы поменяли местами первое и второе
уравнения).
Первую строку, умноженную на множетели 3 и 4, вычитаем из
остальных двух строк:
изменив знаки во второй строке и умножив её на 5, прибавляем к третьей:
(мы разделили последнюю строку на – 11).
Система уравнений привелась к треугольному виду:
Она имеет единственное решение. Из последнего уравнения имеем z=2;
подставляя это значение во второе уравнение, получаем y = 3 и, наконец,
из первого уравнения находим x = –1.
Пример 18. Решить методом Гаусса систему уравнений из примера 13.
Решение. Расширенная матрица этой системы имеет вид
.
Вычитая первую строку из второй и из третьей и утроенную первую –
из четвёртой, получим матрицу:
.
27
Это – расширенная матрица системы
которая равносильна исходной системе. Обе эти системы имеют одни и те
же решения.
Далее, прибавив утроенную третью строку ко второй и удвоенную
третью к четвёртой, получим:
Вычитая вторую строку из четвёртой и сокращая её на – 14, будем
иметь:
Но это – расширенная матрица системы
равносильная исходной (заданной) системе, и значит, решение исходной
системы будет:
В этом случае ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы
коэффициентов и равен, очевидно, трём.
Пример 19. Решить методом Гаусса систему уравнений из примера 14.
Решение. Выписав расширенную матрицу этой системы, после
очевидных преобразований получим:
28
откуда следует, что наша система равносильна следующей:
и значит,
Здесь ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов
и равен, очевидно, двум.
Пример 20. Решить систему уравнений
Решение. Имеем, очевидно,
и значит система несовместна, так как равносильная ей система содержит
уравнение
(последняя строка).
Здесь ранг матрицы коэффициентов равен, как легко видеть, двум, а
ранг расширенной матрицы равен трём.
3.5. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
Алгоритм вычисления обратной матрицы методом Гаусса состоит в
следующем преобразовании:
( A | E )  ( E | A1 ) ,
которое проводится посредством тех же элементарных действий, что и при
вычислении определителей.
Пример 21. Найти
, если
Решение.
.
Ответ:
29
4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
4.1. Основные определения
Комплексным числом z называется выражение следующего вида:
z = a + ib – алгебраическая форма,
(20)
где a и b – действительные числа; i – мнимая единица, определяемая
равенством
или
; а называется действительной или
вещественной частью, ib – мнимой частью числа z, b – коэффициент при
мнимой части. Их обозначают так:
a = Re z, b = Im z.
Если a = 0, то число 0 + ib = ib называется чисто мнимым; если b = 0, то
получается действительное число a + i0 = a. Два комплексных числа
z = a + ib и = a – ib, отличающиеся только знаком мнимой части,
называются сопряжёнными.
Два комплексных числа
и
называются
равными, если
.
Комплексное число z = a + ib = 0 тогда и только тогда, когда a = 0 и b = 0.
Таким образом, одно «комплексное равенство» равносильно двум
вещественным. Знаками неравенства комплексные числа соединять нельзя.
4.2. Геометрическое изображение комплексных чисел
Всякое комплексное число = a +ib можно изобразить на координатной
плоскости XОY в виде точки A(a, b) с координатами a и b. Обратно,
каждой точке M(x, y) плоскости соответствует комплексное число z = x +
iy. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется
комплексной плоскостью; на плоскости ставят z в кружочке (рис. 1).
Иногда удобно считать геометрическим изображением комплексного
числа z = a + ib вектор
.
y
A(a, b)
r
0
b
φ
a
x
Рис. 1
30
4.3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Обозначим через r и φ (r ≥ 0) полярные координаты точки А(a, b),
считая начало координат полюсом, а положительное направление оси ОX–
полярной осью. Тогда a = r cos φ, b = r sin φ, откуда z = a + ib = = r cos φ +
ir sin φ или
Z = r(cos φ + i sin φ).
(21)
Это тригонометрическая форма записи комплексного числа z = a + ib;
z называется модулем комплексного числа z, φ – аргументом комплексного
числа z.
Обоначение:
r = ‫׀‬z‫ ;׀‬φ = arg z
(22)
Очевидно, что
; φ = Arctg .
Таким образом
Аргумент комплексного числа считается положительным, если он
отсчитывается от положительного направления оси ОX против часовой
стрелки, и отрицательным при противоположном направлении отсчёта.
Очевидно, что аргумент φ определяется не однозначно, а с точностью до
целого числа полных оборотов, т.е. с точностью до слагаемого 2πk, где k –
любое целое число (в то время как модуль любого комплексного числа
имеет вполне определённое значение). Например, ‫׀‬i‫ = ׀‬1, Arg i = + 2πk (k € z).
Здесь под Arg понимаем общее значение аргумента, составленное с
учётом возможности любого числа полных оборотов; в отличие от этого
главное значение arg берётся в интервале: – π < arg z ≤ π, причём
(24)
Числу z = 0 может быть приписан любой аргумент.
31
Заметим, что сопряжённые комплексные числа z = a + ib и z = a – ib имеют
равные модули ‫׀‬z‫׀ ׀ = ׀‬, а их аргументы равны по абсолютной величине, но
отличаются знаком: arg z = –arg . Поэтому геометрически число
изобразится вектором, симметричным с вектором z относительно оси ОX
(рис. 2).
y
b
z
x
0
a
–b
Рис. 2
4.4. Показательная форма комплексного числа
Л. Эйлер доказал тождество
(25)
выражающее показательную функцию с мнимым показателем через
тригонометрические функции; (25) называют формулой Эйлера. Используя
её, (21) можно записать в виде
.
Это показательная форма комплексного числа.
Пример 22. Представить числа 1, i, –2, –i в показательной форме.
Решение.
(26)
4.5. Основные действия над комплексными числами
Над комплексными числами в алгебраической форме
определены действия:
сложение по формуле
и
(27)
вычитание по формуле
(28)
32
умножение по формуле
(29)
деление по формуле
(30)
Нетрудно заметить, что все эти действия выполняются над
комплексными числами так же, как и над обычными алгебраическими
выражениями, но с учётом того, что
Из (27) и (28) следует, что комплексные числа, изображённые
векторами, складываются и вычитаются, как векторы (рис. 3).
y
x
Рис. 3
Сложение и вычитание комплексных чисел в тригонометрической
форме производится так же, как и в алгебраической форме.
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме
и
осуществляется как
обычно. Однако известные тригонометрические формулы позволяют
упростить правило умножения:
Таким образом, при умножении двух комплексных чисел их модули
перемножаются, а аргументы складываются.
Следствием правила умножения комплексных чисел является правило
возведения комплексного числа в целую положительную степень:
(32)
(32) называется формулой Муавра.
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется
как действие, обратное умножению:
33
т.е. при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы –
вычитаются.
Извлечение корня степени n из комплексного числа z осуществляется
как действие, обратное возведению в степень, с учётом переодичности
тригонометрических функций:
(34)
Придавая k значения 0, 1, 2, ..., n – 1, получим n различных значений
корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных
на число, кратное 2π, и, следовательно, получатся значения корня,
совпадающие с рассмотренными.
Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных
значений. Точки на комплексной плоскости, соответствующие различным
значениям корня n-й степени из комплексного числа z, расположены в
вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса
с центром в точке z = 0. Соответствующие значения
получаются при k = 0, 1, 2, ..., n – 1.
Корень n-й степени из действительного числа А ≠ 0, являющегося
частным случаем комплексного, также имеет n значений. Действительное
число А может быть представлено в тригонометрической форме:
если А > 0, то A = ‫׀‬A‫( ׀‬cos 0 + i sin 0);
если А < 0, то A = ‫׀‬A‫( ׀‬cos π + i sin π).
Пример 23. Найти все значения
.
Решение. 1 = cos 0 + i sin 0. Из (34) получаем:
Полагая k = 0, 1, 2, находим три значения корня:
На рис. 4 точки A, B, C являются геометрическими изображениями
полученных значений корня.
34
Рис. 4
Пример 24. Решить уравнение
Решение.
Полагая k = 0, 1, 2, 3, получаем:
.
Пример 25. Найти все значения
.
Решение. Приведём комплексное число –i к тригонометрическому виду:
следовательно
Полагая k = 0, 1, 2, 3, найдём:
35
Пример 26. Записать в тригонометрической форме комплексное число
.
Решение. Имеем
Следовательно,
Пример 27. Вычислить
Решение. Представим число
форме:
в тригонометрической
Тогда
Замечание. Из правил действий над комплексными числами следует,
что в результате сложения, вычитания, умножения и деления комплексных
чисел получается снова комплексное число.
Если правила действий над комплексными числами применить к
действительным числам, являющимся частным случаем комплексных, то
эти правила будут совпадать с обычными правилами действий, известными
из арифметики.
36
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры. – М.: Наука, 1980.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы
линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1984.
3. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1978.
4. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы
математического анализа / под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. –
М.: Наука, 1986.
5. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.:
Наука, 1985.
6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры: учебник для вузов. 15-е изд., стер. –
М.: Лань, 2006.
37
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение…………………………………………………………
1. Определители…………………………………………………
1.1. Основные свойства определителей…………………………
1.2. Миноры и алгебраические дополнения……………………
1.3. Разложение определителя по элементам строки или столбца
2. Матрицы………………………………………………………….
2.1. Основные определения………………………………………..
2.2. Действия над матрицами………………………………………
2.3. Обратная матрица……………………………………………...
2.4. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы……………………..
2.5.Собственные значения и собственные векторы матрицы……
3. Системы линейных алгебраических уравнений с двумя
и тремя неизвестными…………………………………………...
3.1. Произвольные системы линейных уравнений и их
исследование……………………………………………………
3.2. Однородные системы…………………………………………..
3.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений
методом обратной матрицы…………………………………..
3.4. Метод Гаусса…………………………………………………
3.5. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса…………..
4. Комплексные числа…………………………………………….
4.1. Основные определения……………………………………….
4.2. Геометрическое изображение комплексных чисел…...........
4.3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа......
4.4. Показательная форма комплексного числа………………….
4.5. Основные действия над комплексными числами……………
Список литературы………………………………………………….
…………………………………………………………………………
38
3
4
4
5
5
6
6
8
10
11
13
14
16
22
23
23
29
30
30
30
31
32
32
37
Учебное издание
СОЛОМИН Игорь Владимирович
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ
Учебное пособие
Редактор О.А.Скворцова
Компьютерная верстка
Подписано в печать 15.06.10
Формат 6084 1/16
Бум. офсет.
Усл.печ. л. 2,36 (2,5)
Уч.-изд. л. 2,3
Тираж 100 экз.
Заказ 229
С 36
Саратовский государственный технический университет
410054, Саратов, Политехническая ул., 77
Отпечатано в Издательстве СГТУ, 410054, Саратов, Политехническая ул.,77
39