Применение подобия к решению задач УРОК1

Применение подобия к решению задач
Место в системе уроков: первый урок по данной теме.
Цель урока
Предполагается, что к концу урока учащиеся смогут применять свойства высоты
прямоугольного треугольника при решении задач
Задачи личностного развития:
 Создать условия для формирования умений находить высоту прямоугольного
треугольника, проведенную к гипотенузе
 Содействовать развитию логического мышления учащихся путем организации
работы по выявлению свойств высоты прямоугольного треугольника
 Способствовать созданию ситуаций для воспитания у учащихся интереса к
предмету, доброжелательности, умения слушать ответы одноклассников
План и содержание урока
I.
Организационный момент.
Девизом к сегодняшнему уроку будут слова «Природа говорит языком математики:
буквы этого языка - круги, треугольники и иные математические фигуры» (Галилей)
Геометрия всегда решала те задачи, которые перед ней ставила жизнь. Учение о подобии
фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 5-4
веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор. Например, многие детские
игрушки подобны предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается
различных размеров. Эти примеры можно продолжать и дальше. В конце концов, все
люди подобны друг другу и как утверждает Библия, создал их бог по своему образу и
подобию. В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных
размеров, например футбольный и теннисный мячи, две фотографии разного формата.
Мы уже знаем, что в геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными.
II.
Актуализация знаний
Фронтальный опрос:
1. Что называется отношением двух отрезков
2. В каком случае говорят, что отрезки АВ и СД пропорциональны отрезкам А1В1 и С1Д1
3. Дайте определение подобных треугольников
4. Как читается первый признак подобия треугольников
5. Как читается второй признак подобия треугольников
6. Как читается третий признак подобия треугольников
7. Какие фигуры называются подобными. Что такое коэффициент подобия?
III. Историческая справка
Уже в XVI в. В России нужды землемерия, строительства и военного дела привели к
созданию рукописных руководств геометрического содержания. Первое дошедшее до нас
сочинение этого рода носит название "О земном верстании, как землю верстать". Оно
является частью "Книги сошного письма", написанной, как полагают, при Иване IV в 1556
г. Сохранившаяся копия относится к 1629 г. При разборе Оружейной Палаты в Москве в
1775 г. была обнаружена инструкция "Устав ратных, пушечных и других дел, касающихся
до военной науки", изданная в 1607 и 1621 годах и содержащая некоторые геометрические
сведения, которые сводятся к определенным приемам решения задач на нахождение
расстояний. Вот один пример. Для измерения расстояния от точки Я до точки Б (см. рис.)
рекомендуется вбить в точке Я жезл примерно в рост человека. К верхнему концу жезла Ц
прилагается вершина прямого угла угольника так, чтобы один из катетов (или его
продолжение) проходил через точку Б. Отмечается точка З пересечения другого катета
(или его продолжения) с землей. Тогда расстояние БЯ относится к длине жезла ЦЯ так,
как длина жезла к расстоянию ЯЗ. Для удобства расчетов и измерений жезл был разделен
на 1000 равных частей.
Рис. 1
III.
Объяснение нового материала
При решении задач чаще всего мы рассматривали остроугольные и тупоугольные
треугольники. Элементы прямоугольного треугольника связаны между собой несколько
иначе. Рассмотрим чертеж.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла,
разделяет его на подобные прямоугольные треугольники, каждый из которых
подобен данному треугольнику.
Δ ACD ~ Δ CDB; Δ ACD ~ Δ ABC; Δ CDB ~ Δ ABC.
Треугольники ABC и CBD имеют общий угол при вершине B. Следовательно, они
подобны ∆ABC~∆ CBD. Из подобия треугольников следует пропорциональность
AB BC

2
соответствующих сторон: BC BD , или BC  AB  BD , а отсюда следует, что
BC  AB  BD .
Это соотношение обычно формулируется так: катет прямоугольного
треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого
катета на гипотенузу.
Прямоугольные треугольники ACD и CBD также подобны. У них равные острые
углы при вершинах A и C. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность
их сторон:
AD CD

CD BD или CD2  AD  BD , а отсюда следует, что CD  AD  BD .
Это соотношение обычно формулируется так: высота прямоугольного
треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее
пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
IV.
Закрепление изученного через решение задач
№349. Устно, по готовому чертежу.
№351. Используем рис.128(а) учебника
Физкультминутка. (Ученики за учителем повторяют движения)
Из - за парт мы выйдем дружно,
Будто руки наши – ветки.
Но шуметь совсем не нужно,
Покачаем ими дружно,
Встали прямо, ноги вместе,
Словно ветер дует южный.
Поворот кругом, на месте.
Ветер стих. Вздохнули дружно.
Хлопнем пару раз в ладошки.
Нам урок продолжить нужно.
И потопаем немножко.
Подравнялись, тихо сели
А теперь представим, детки,
И на доску посмотрели.
V.
Работа с учебником
Разобрать решение задачи 5 на странице 135 (самостоятельно, с последующим
обсуждением)
VI.
Самостоятельная работа
1. В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 опущена высота на гипотенузу.
Найдите эту высоту.
2. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 1 и 8.
Найдите меньший катет этого треугольника.
3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5, а высота, проведенная к ней, равна 2.
Найдите квадрат меньшего катета этого треугольника.
VII.
Подведение итогов. Рефлексия
– Подведем итог урока. С каким свойством высоты прямоугольного треугольника,
проведенной из вершины прямого угла, мы сегодня познакомились? (Высота
прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет
треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен
данному)
– Какое новое математическое понятие изучили? (Понятие среднего пропорционального
двух отрезков.)
– Продолжите предложение: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из
вершины прямого угла есть среднее пропорциональное м/у…(-… отрезками, на которые
делится гипотенуза этой высотой)
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между…(…гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между этим катетом и высотой)
– Где мы применяем изученные утверждения? (При решении задач)
Предложить учащимся определить уровень усвоения, данной темы, записав на полях
своих тетрадей одно из следующих утверждений:
 всё усвоил хорошо;
 усвоил, но не всё;
 не совсем усвоил;
 не усвоил.
Домашнее задание: Глава 3, параграф 4, п.1.
а) Учащиеся I группы, показавшие через рефлексию, что тему усвоили, не достаточно
хорошо, получают задание 350;
б) более подготовленным учащимся - №353