х 2 -171х+7100=0

4.12.15
Алгебра 8 класс
Тема: Теорема Виета
SMART-цели:
Цель, направленная на достижение предметных результатов: раскрытие
связей между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами
(теорема Виета); рассмотреть различные задания на применение теоремы
Виета.
Цель, направленная на достижение метапредметных результатов:
способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты,
формулировать выводы; развивать исследовательские навыки и
самостоятельность учащихся;
Цель, направленная на достижение личностных результатов: научить
преодолевать трудности, настраиваться на успех в любом деле; формировать
навыки сотрудничества.
Задачи:
Образовательная:




обобщить и систематизировать знания учащихся по теме: «Квадратные
уравнения»;
«открыть» зависимость между корнями и коэффициентами
приведенного квадратного уравнения;
доказать теорему Виета.
учить применять теорему Виета при решении приведенного
квадратного уравнения.
Развивающая:


способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые
факты, формулировать выводы;
развивать исследовательские навыки и самостоятельность при
составлении и решении уравнений;
Воспитательная:

научить преодолевать трудности, настраиваться на успех в любом деле.
К концу урока ученики смогут:
-
находить сумму и произведение корней квадратного уравнения
- применить теорему Виета для нахождения корней приведенного
квадратного уравнения
- расширить знания о способах решения квадратных уравнений
Тип урока: урок изучения нового материала
Ход урока:
1.Организационный момент
Психологический настрой
Повернитесь друг к другу, посмотрите друг другу в глаза, улыбнитесь друг к
другу, пожелайте друг другу хорошего рабочего настроения на уроке. Теперь
посмотрите на меня. Я тоже желаю вам работать дружно, открыть что-то
новое.
2. Мотивация для изучения новой темы
Начну урок с высказывания математика Джоржа Пойя «Лучший способ
изучить что-либо – это открыть самому».
Это высказывание я выбрала не случайно, т.к сегодня на уроке вам предстоит
сформулировать теорему, которая играет важнейшую роль для дальнейшего
изучения математики. Эта теорема называется Теорема Виета. (записать в
тетрадях число, классная работа, тему урока)
На протяжении всего урока вы будете обсуждать в группах и выставлять
баллы за каждый этап урока. Оценочный лист находиться у спикера группы.
Сегодня ими являются Эдуард и Екатерина. Оценки вы выставляете
совместно.
3 балла – все выполнено без ошибок.
2 балла – есть ошибки, но в целом материалом владеет.
1 балл – допускал(а) много ошибок.
0 баллов- ничего не делал(а).
Оценочный лист _ группы
ФИ учащегося
Устные
Нахожден Перепутан
ответы на
ие
ные
повторение соответст логические
вия
цепочки
Д/З
3. Актуализация опорных знаний
Итак, какова цель нашего урока?
(Изучить теорему Виета, научится ее применять)
Исследо
вание
Закрепл Итог
ение
На протяжении последних уроков мы занимались решением квадратных
уравнений.
Давайте повторим все, что мы знаем о квадратных уравнениях.




1) Какое уравнение называется квадратным?
- Являются ли квадратным уравнение
5х2-7х3+13=0
8х-5х2+4=0
1
2
х − 15 = 45
1) Как называются числа а, b и с в квадратном уравнении?
- Работа в группе
Найдите соответствие между уравнением в левом столбце и
соответствующими ему коэффициентами а, b и с из правого столбца.
1) –х2+6х-8=0
2) -6х+8х2+1=0
3) -8-х+6х2=0
4) -8х2+6=0
5) -1+х2+8х=0
1-С, 2-А, 3-Е, 4-В, 5-D
А) а=8; b=-6; с=1
В) а= -8; b= 0; с=6
С) а=-1; b= 6; с=-8
D) а=1; b= 8; с=-1
Е) а= 6; b=-1; с=-8
2) Какие виды квадратных уравнений вы знаете?
(полные и неполные)
3) На какие виды делятся полные квадратные уравнения?
(приведенные квадратные уравнения и квадратные уравнения общего вида)
4) Чем отличаются эти уравнения?
5) Назовите вид приведенного квадратного уравнения.
4. Работа в группе.
Вы изучили несколько рациональных способов решения квадратного
уравнения. Сейчас мы проверим, как хорошо вы знаете эти способы. Перед
вами «Перепутанные логические цепочки». Я предлагаю вам из
перепутанных табличек составить правильные логические ряды.
Уравнения
x2+px+q=0
Условия для
применения
Для решения всех
квадратных уравнений
p-четное число
ах2+bx+с=0
a+b+c=0
ах2+bx+с=0
Корни
х1,2 =
−𝑏±√𝐷
;
2𝑎
D=b2-4ac.
−𝑝
−𝑝 2
√
х1,2 =
± ( ) −𝑞
2
2
𝑐
𝑥1 = 1; 𝑥2 = .
𝑎
ах2+bx+с=0
b=a+c
𝑐
𝑥2 = − .
𝑎
𝑥1 = −1;
5. Изучение новой темы.
Что вы скажите, если я предложу вам решить вот это уравнение
х2-171х+7100=0
(Его можно решить только по формуле корней квадратного уравнения
общего вида и это будет тяжело- много вычислений). А вот наши гости,
учителя математики очень быстро найдут корни. Даже не беря в руки ручки
и не делая никаких вычислений. Правда?
х1=71, х2=100
Как они это сделали? Они использовали теорему Виета. С помощью данной
теоремы вы научитесь решать приведенные квадратные уравнения более
легким и быстрым способом, без громоздких вычислений. Что, безусловно,
понадобиться вам при сдаче ВОУДа и ЕНТ. Существует связь между
корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения. Сейчас
вы проведете небольшое исследование.
1. Вам на дом были заданы уравнения. По данным уравнениям заполните
таблицу, которая у вас на столе, найдите закономерность между
коэффициентами и корнями уравнения.
1
2
Приведенное
Второй
квадратное ур- коэффициент
ие х2 + px + q = 0
p
3
Свободный
член
х2 + 7х + 12 = 0
5
Сумма
корней
6
Произведение
корней
х1 + х2
х1 · х2
12
-4 и -3
-7
12
х2 - 10х + 21 = 0 -10
21
3и7
10
21
х2 – 3х – 10 = 0
-3
-10
-2 и 5
3
-10
х2 - 8х + 15 = 0
-8
15
3и5
8
15
1
2
Приведенное
Второй
квадратное ур- коэффициент
ие х2 + px + q = 0
p
3
Свободный
член
4
Корни
5
Сумма
корней
6
Произведение
корней
х1 + х2
х1 · х2
х2 + 5х + 6 = 0
5
6
-3 и -2
-5
6
х2 - 9х + 20 = 0
-9
20
4и5
9
20
7
4
Корни
х1 и х2
q
х1 и х2
q
х2 – 2х – 15 = 0
-2
-15
5 и -3
2
-15
х2 - 7х + 10 = 0
-7
10
2и5
7
10
2. Учащиеся выходят к доске и показывают закономерность.
3. Делаем вывод.
4. Находим теорему в учебнике.
Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна
второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а
произведение равно свободному члену.
Вы сделали такое же открытие что и великий французский математик
Француа Виет 424 года назад. (аплодисменты)
5. Историческая справка о Ф.Виете.
Наши спикеры расскажут нам о Ф.Виете, который доказал эту
замечательную теорему, которую полюбили и охотно применяют все
школьники.
 Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом
городке Фантене-ле-Конт. Отец Виета был прокурором. Франсуа Виет,
разработавший практически всю элементарную алгебру, был на самом
деле юристом! В возрасте двадцати лет он начал практиковать
адвокатуру, а позже перешел на работу секретарем в знатную семью и
начал преподавать математику. Именно благодаря преподаванию Виет
нашел свое призвание в математике. Именно он ввел в понятие алгебры
символьные величины, даже если они были известны.
 Он был первым человеком, который сделал предложение обозначать
десятичные дроби, используя запятую. А до того времени дроби имели
довольно сложное изображение. Франсуа Виет был так увлечен
математикой, что мог работать без сна больше трех суток. В мемуарах
некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат,
что у него была дочь. ...14 февраля 1603 г. господин Виет, человек
большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков
века умер в Париже.
6. Доказательство теоремы (у доски)
Дано: х2 + px + q = 0, D > 0.
D=p2-4q:
Доказать: х1 + х2 = -p; х1 • х2 = q.
Доказательство:
Есть и теорема обратная теореме Виета (находят в учебнике)
Если сумма двух чисел равна –p, а их произведение равно q, то эти
числа являются корнями квадратного уравнения: х2 + px + q = 0
(док-во этой теоремы задается учащимся на дом)
Рассмотрим примеры применения этих теорем
Пример1. Найдем корни квадратного уравнения
х2-8х+15=0
х1 + х2 = -p;
х1 + х2 = 8
х1 • х2 = q.
х1 • х2 = 15.
х1=3, х2=5
Ответ: 3;5
Пример 2. Составим приведенное квадратное уравнение, если 11 и -2
являются его корнями.
х1 + х2 = 11+(-2)=9
х1 • х2 = 11*(-2)=-22
х2-9х-22=0
Ответ: х2-9х-22=0
7. Первичное закрепление новой темы в группах
1) Найдите сумму и произведение корней уравнения:
х2-16х+28=0
х2+17х+60=0
2) Найдите подбором корни уравнения:
а) х² -14х + 33 = 0;
б) х² + 11х – 12 = 0;
в) х² + х – 56 = 0.
3) Составьте приведенное квадратное уравнение, корни которого
равны а) 2 и 5, б) -1 и 3.
8. Подведение итогов урока:
Взаимооценивание по критериям
16-18 баллов – «5»
11-14 баллов – «4»
6-10 баллов – «3»
Ниже 6 баллов – «2»
9. Рефлексия «Дорожка успеха», «Книга отзывов»
10.Задание на дом: док/ть обратную теорему, §8, №147, 148