 

8 класс
Задание 1
1) Доказать, что ни при каком целом n число n 2  1 не делится на 3.
Решение. Пусть n  3q, n 2  1  9q 2  1, видно, что остаток 1, значит не делится на 3.
При n  3q  1, n 2  1  3q  1  1  9q 2  6q  2  33q 2  2q   2. Остаток 2.
2
При n  3q  2, n 2  1  3q  2  1  9q 2  12q  4  1  33q 2  4q  1  2. Остаток 2.
Утверждение доказано.
2
2) Не раскрывая скобок, представить в виде многочлена стандартного вида произведение
x  1x  3x  5.
Решение. Произведение есть многочлен третьей степени, коэффициент при старшем члене
равен единице, а свободный член равен -15, в чем легко можно убедиться. Тогда запишем
x  1x  3x  5  x 3  ax 2  bx  15, где a и b неизвестные коэффициенты. Для вычисления
a  b  14  0,
их положим x  1, x  3, тогда получим: 
Решая систему, получим
9a  3b  42  0.
a  7, b  7. Следовательно, многочлен имеет вид: x 3  7 x 2  7 x  15.
Ответ: x 3  7 x 2  7 x  15.
3) Доказать, что для любого k, принадлежащего области действительных чисел, верно
1
 2.
неравенство k 2  1  2
k 1


2

 

2
1
k 2 1 1 2 k 2 1
k 2 11
k4
Решение.
k 1  2
2

 2
 0,
k 1
k 2 1
k 2 1
k 1
требовалось доказать.

2

что
и
4) Цена на товар была повышена на 25 %. На сколько процентов ее надо снизить, чтобы
получить первоначальную цену товара?
Решение. Первоначальную цену на товар примем за единицу. После повышения она стала
1,25 единиц, что составляет 100%. Найдем, какой процент x от повышенной стоимости
1  100
составляет первоначальная цена: x 
 80%, 100  80  20%.
1,25
Ответ: 20%.
5) Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раза больше проведенной к ней
высоты. Найти острые углы треугольника.
1
B
K
D
A
C
Решение. Проведем медиану AK. Пусть AD = x, тогда BC =4x по условию задачи. BK = AK
= KC (свойство медианы прямоугольного треугольника). ΔAKD – прямоугольный.  AKD =
300, т.к. AD = x, AK = 2x.
180 0  150 0
 15 0 ,
 BKA = 1800 – 300 = 1500,  B =
 C = 900 – 150 = 750.
2
Ответ: 150, 750.
2