Определение термических коэффициентов расширения металлов

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
факультет радиофизики и электроники
кафедра физики
Методические указания
к лабораторной работе
Определение термических коэффициентов расширения металлов
автор – составитель доцент Данейко И.К.
Утверждено на
заседании кафедры физики
«18 » сентября 2008 г
Протокол № 2
МИНСК 2008
Лабораторная работа № 8
Определение термических коэффициентов расширения металлов.
Цель работы: измерить зависимость изобарического коэффициента линейного
расширения алюминия (меди или стали) от температуры.
I. Теоретическое введение.
Тепловое расширение – изменение размеров тела при нагревании. Количественной
характеристикой теплового расширения является изобарный коэффициент объемного
расширения
1  V 
 
(1)
 ,
V  T  P
численно равный приращению объема тела, взятого в качестве 1 м 3, при его изобарном
нагревании на 1 К. На опыте значение  определяется по формуле
1 V ' V
(2)

,
V T' T
где V ' и V - объем тела при температурах T ' и T соответственно (T ' > T ). Для
твердых тел, наряду с , вводят коэффициент линейного теплового расширения
1  
   ,
(3)
 T  P
численно равный приращению длины тела, имеющего в начальный момент длину 1 м,
при его нагревании на 1 К при постоянном давлении. Для различных твердых тел 
принимает значения 10-5  10-6 К-1, хотя известны аномалии. Коэффициенты термического расширения жидкостей значительно больше: 10-4  10-1 К-1.
Тепловое движение в твердом теле при температурах много ниже температуры
плавления представляют собой малые колебания атомов (ионов, молекул) около положений равновесия – узлов кристаллической решетки. Возвращающую силу, действующую на атом, сместившийся из положения равновесия на расстояние х, в первом
приближении можно считать квазиупругой, равной ax (здесь a – коэффициент упругости), со средней потенциальной энергией
EP 
ax2 / 2 
a
x2 .
(4)
2
При высоких температурах, превышающих температуру Дебая TD (к примеру, для
меди TD = 315К), квантованность энергии колебаний в кристалле становится несущественной и средняя кинетическая энергия атома, приходящаяся на одну степень свободы, согласно классической теореме о равнораспределении энергии, определяется как
Ek  k T / 2,
(5)
где k – постоянная Больцмана.
Как известно из механики [1, стр. 83-84], при гармонических колебаниях среднее
значение кинетической энергии равно среднему значению потенциальной энергии.
Поэтому
EP  k T / 2.
(6)
2
Из (4) и (6) получаем выражение для среднего квадрата колебательного смещения
атома:
x 2  k T / a.
(7)
При гармонических колебаниях атома в кристалле его среднее арифметическое
T
1 0
смещение x  A cos t   cos tdt  0 (здесь T0 – период колебаний атома), т. е.
T0 0
гармонические колебания, как бы они интенсивны ни были, не могут привести к появлению постоянной составляющей в x к тепловому расширению тела. Физически это
означает, что в случае гармонических колебаний каждый атом кристалла настолько же
приближается к одному из соседних атомов, насколько удаляется от другого . Именно
поэтому увеличение амплитуды его колебаний не может изменить среднее расстояние
между атомами.
В действительности атомы в твердом теле (и в жидкости) при достаточно больших
амплитудах колебаний совершают ангармонические (т. е. не гармонические) колебания. Эта ангармоничность колебаний атомов в кристалле и в жидкости обусловлена
несимметричностью сил притяжения и сил отталкивания, действующих между ними
[1, стр. 7-16]. С ростом амплитуды колебаний сила отталкивания между атомами при
их сближении возрастает быстрее, чем сила притяжения при удалении одного атома от
другого. Это приводит к тому, что кривая потенциальной энергии EP взаимодействия
атомов не является симметричной относительно положения равновесия. На рис. 1
представлена эта кривая в зависимости от расстояния r между двумя атомами, один из
которых закреплен в точке 0, а второй находится на расстоянии r от него. Положение
минимума этой кривой определяет равновесное расстояние r0 между частицами, т. е.
когда сила взаимодействия F  (dEP / dr )r r0  0. При r < r0 сила, с которой атомы
действуют друг на друга, является силой отталкивания, а при r > r0 – силой притяжения.
Из рисунка видно, что кривая EP(r) имеет резко выраженный асимметричный характер относительно
вертикальной линии, проходящей через положение
минимума кривой. Эта асимметрия математически
обусловлена тем, что потенциальная энергия EP(r)
имеет горизонтальную асимптоту справа и вертикальную асимптоту слева. Физически это свидетельствует о том, что при сближении атомов энергия сил отталкивания возрастает быстрее, чем энергия сил притяжения при одинаковом удалении частиц от положения равновесия r = r0, или, что то же
самое, смещение в одну сторону от положения равновесия должно занимать больше времени, чем в
Рис. 1
другую. Следовательно, в этом случае сила, дейст вую щая на атом, не является линейной функциейсмещения x,т. е. квазиупругой. На
атом должна действовать дополнительная сила, направленная в одну и ту же сторону
как при положительных, так и при отрицательных смещениях x, т. е. дополнительная
сила должна быть квадратичной функцией от x – вида
3
b x2
,
2
где b – некоторый постоянный коэффициент. Тогда суммарная сила, действующая на
атом,
b
(8)
F  a x  x 2 .
2
Последнее выражение можно получить чисто математически. Для этого разложим
функцию EP(r), представленную на рис. 1, в ряд в точке r = r0 по степеням малых отклонений x = r - r0 атома от положения равновесия:
1  d 2 EP 
1  d 3 EP 
 dEP 
2
EP (r )  EP (r0 )  
(r  r0 )  
(r  r0 )3  ...
(9)
 (r  r0 )  
2 
3 
2  dr r r
6  dr r r
 dr r r0
0
0
Так как при r = r0 функция EP(r) имеет минимум, то
 d 2 EP 
 dEP 

0
и
 a  0.



2 
dr
 dr r r0

r r
(10)
0
Поскольку вблизи точки r = r0 потенциальная энергия сил отталкивания возрастает
быстрее, чем сил притяжения, то
 d 3 EP 
 b  0,
(11)

3 
 dr r r
0
где b – положительная величина (b > 0).
Подставляя (9) и (10) в (8), получим
a
b
(12)
EP (r )  EP (r0 )  (r  r0 ) 2  (r  r0 )3.
2
6
Значение потенциальной энергии атома будем отсчитывать относительно положения равновесия атома при T = 0 K, т. е. при r = r0. Тогда это значение
a
b
(13)
EP' ( x)  EP (r )  EP (r0 )  ( x) 2  x3 ,
2
3
где x – величина смещения атома относительно положения равновесия.
Кубический член в (13) учитывает требуемую асимметрию кривой EP' ( x), так как он
соответствует более резкому возрастанию потенциальной энергии при x < 0, чем x > 0.
Сила, действующая на атом при движении его вблизи положения равновесия, равна
dEP' ( x)
b
(14)
F 
 a x  x 2 ,
dx
2
что полностью совпадает с выражением (8), полученным из качественных соображений.
Первый член в правой части формулы (14) представляет собой квазиупругую силу,
соответствующую гармоническим колебаниям атома возле положения равновесия (потенциальная энергия этих колебаний на рис. 1 представлена пунктирной кривой).
Второй член в (14) представляет собой дополнительную силу, о которой говорилось
выше и которая приближенным образом учитывает ангармоничность колебаний. Эта
дополнительная сила положительна, так как b > 0. При положительных смещениях
(r – r0 = x > 0) она направлена в сторону, противоположную основной силе, т. е.
уменьшает силу притяжения , а при x < 0 она дает дополнительное отталкивание. Та4
ким образом, в соответствии со сказанным выше, отталкивание возрастает быстрее при
сближении атомов, чем притяжение при их удалении.
Рассмотрим подробнее колебания одного атома относительно другого при заданной
его полной энергии E. Так как мы рассматриваем простейшую двухатомную модель
твердого тела, то согласно закону сохранения энергии
E = EК + EP(x),
(15)
где EK – кинетическая энергия атома. Так как кинетическая энергия не может принимать отрицательных значений, то должно выполняться неравенство
EP ≤ E,
(16)
где в нашем случае (рис. 2) E < 0 и EP < 0. Это неравенство означает, что рассматриваемый атом при своем движении может находиться только в тех местах, где потенциальная энергия не превосходит полной энергии. Если приравнять эти энергии , то получим уравнение
EP = E
для определения граничных положений атома. На рис. 2 движение атома с полной энергией E (E < 0) может происходить только между
точками r1 и r2, в которых потенциальная энергия EP
равна полной энергии E атома. В этих точках, как
следует из (14), кинетическая энергия, а с ней и скорость атома, равны нулю. В области же слева от r1 и
справа от r2 атом с энергией E попасть не может, так
как в этих областях EP > E, что нарушает условие
(16).
Итак, колебания рассматриваемого атома в силовом поле другого может происходить только между точками r1 и r2 с отрицательной полной энергией,
заключенной в интервале EP0 < E < 0.
Причем атом, выйдя из точки r1 (или x1 = r1 – r0 <
0), где он имел нулевую скорость (или EK = 0) и полную энергию E  EP' ( x), начинает движение в стороРис. 2
b
ну увеличения r под действием силы отталкивания ( F  dEP' ( x) / dx  a x  x 2  0).
2
Пройдя точку с координатой r0 (или x = 0) сила, действующая на атом, сменит знак на
противоположный, т. е. сила отталкивания сменится силой притяжения. Это обусловлено тем, что на интервале [r0, r2] смещение атома x = r – r0 > 0 и
b
( F  dEP' ( x) / dx  a x  x 2  0), т. е. сила отрицательна и, следовательно, направле2
на в сторону уменьшения r. В результате, атом будет замедляться, пока его скорость в
точке r2 (или x2 = r0 – r0) не станет равной нулю. После этого атом начнет обратное
движение от точки r2 к r1. Такое движение будет повторяться , т. е. атом будет вовлечен в колебательное движение.
Пусть различные значения полной энергии изображены горизонтальными линиями
E1, E2, E3,… (Рис. 3). В положении равновесия потенциальная энергия EP' ( x  0)  0, а
кинетическая EK = E – максимальна. Удаляясь от положения равновесия, атом приобретает потенциальную энергию, максимальная величина которой достигается при
наибольшем смещении x атома из положения равновесия и соответствует точкам пере5
сечения кривой потенциальной энергии с горизонтальной прямой E. По мере возрастания энергии атома E1, E2, E3,…растет амплитуда его колебаний (или температура). При
этом смещение атома вправо больше, чем смещение влево. В результате среднее положение
(отмеченное на рис. 3 точкой) между атомами
отклоняется от r0 вправо и тем больше, чем
больше полная энергия E колеблющегося атома.
Следовательно, возрастание полной энергии
(или температуры) атома приводит к тому, что
среднее расстояние между атомами увеличивается. Применительно к кристаллу это означало
бы, что с возрастанием энергии (температуры)
он непременно будет расширяться.
Найдем теперь среднюю величину < x >
смещения атома от положения равновесия. Для
этого усредним обе части равенства (14) и учтем,
Рис. 3
что среднее значение силы, действующей на колеблющийся атом, равно нулю, т. е.
b
(17)
F  a x  x 2  0,
2
при этом среднее значение смещения
b 2
(18)
x 
x .
2a
Подставляя в последнее выражение средний квадрат смещения атома из (7), получим
b
(19)
x  2 kT.
2a
Из последней формулы следует, что учет ангармоничности тепловых колебаний приводит к линейной зависимости среднего смещения атома от температуры.
Коэффициент линейного теплового расширения, определяемый формулой (3), запишем в конечных разностях
1
 0
(20)
 
,

T
0
где 0  nr0 - длина кристалла при температуре 0 K,  nr - его длина при температуре
T K. Тогда
1 nr  nr0 r  r0
x
(21)




.
nr0
T
r0T
r0T
Величина  является случайной из-за хаотического движения атомов в узлах кристаллической решетки при температуре T, поэтому усредним обе части выражения (21),
оставив обозначение левой части прежним:
x
(22)

.
r0T
Подставив выражение (19) в (22), получим
bk
(23)

.
2r0a 2
6
Из (23) видно, что, во-первых, величина  не зависит от температуры, во-вторых, в
случае отсутствия ангармоничности (т. е. когда колебания атома гармонические)
(b = 0) она равна нулю, в-третьих, она прямо пропорциональна b и имеет с ним одинаковый знак. Численное же значение величины  определяется , однако, не только величиной b, но также и величиной квазиупругой связи a.
Следует отметить, что независимость коэффициента  от температуры выполняется
до тех пор, пока колебания атомов можно рассматривать классически. В области низких температур, как показывает опыт,  изменяется, стремясь к нулю при приближении к 0 K. Этот факт находит объяснение при квантовомеханическом рассмотрении
задачи.
Соотношение (23) дает связь между экспериментальными величинами  и r0 с одной
стороны и параметрами а и b теоретической модели – с другой. Коэффициенты квазиупругости а и ангармоничности b зависят от структуры кристалла и природы сил связи
между образующими его атомами. Эти коэффициенты можно было бы вычислить, если бы была известна функция EP(r). Однако какой-либо универсальной формулы для
EP(r), пригодной для любых частиц, не существует. Обычно EP(r) аппроксимируют
функцией вида
A B
(24)
EP (r )  n  m
r
r
С положительными постоянными A, B, n, m. Первое слагаемое A/rn описывает потенциальную энергию сил отталкивания, а второе – B/rm – сил притяжения. Для того, чтобы нарастание сил отталкивания происходило быстрее роста сил притяжения, необходимо чтобы n > m.
Значения параметров A, B, n, m подбираются из требования наилучшей аппроксимации реального потенциала EP(r). Как показали исследования, для металлов в большинстве случаев хорошим приближением является n = 2, m = 1, а для одновалентных ионных кристаллов (т. е. кристаллов с ионной решеткой типа NaCl) – n = 9, m = 1 при A и
B, уточняемых для каждых конкретных атомов и ионов.
Используя формулу (24), найдем связь между коэффициентами a и b. Для этого воспользуемся соотношениями (10) и (11).
 dE 
Из выражения  P   0 находим
 dr r r0
nA mB
(25)
 m .
r0n
r0
 d 2 EP 
 a имеем
Из равенства 
2 
dr

 r r0
nA
 a / (n  m).
r0n 2
 d 3 EP 
Из формулы 
  b получим выражение
 dr r r0
nA
(n  1)(n  2)  (m  1)(m  2)  b.
r0n3
Упрощая (27), найдем
(26)
(27)
7
nA
(28)
(n  m)(m  n  3)  b.
r0n3
Наконец, подставляя выражение (26) в (28), получим окончательно
a
(29)
b  (m  n  3).
r0
Запишем выражение (29) для металлов, для которых m = 1, n = 2:
6a
(30)
b .
r0
Подставляя последнее выражение в соотношение (23), получим формулу для коэффициента линейного расширения для металлов:
3k
(31)
  2.
ar0
Установим приближенную связь между коэффициентом квазиупругости a и модулем Юнга E. По закону Гука для упругого растяжения сила F, вызывающая деформацию ℓ, равна

(32)
F  ES ,
где ℓ и S – первоначальная длина и площадь сечения образца. Запишем эту формулу
для одной элементарной ячейки кристалла (т. е. полагая в ней ℓ = r0, S = r02, ℓ = < x >
и производя приближенную замену F  a x , находим
a  r0 E.
(33)
Приняв эту оценку величины a, получаем
3k
3R
3R
(34)
 3  3

,
r0 E r0 N A E VM E
где R = NA k – газовая постоянная, VM – молярный объем вещества. Так как VM =  /,
где  – молярная масса металла, а  – его плотность, то
3R 
(35)

.
E
Расчет по формуле (35) приводит к правильному порядку величины  для всех металлов. Лучшее согласие с опытом для всех металлов получается, если использовать
следующую формулу:
2 R
(36)

.
E
Величина  не является постоянной величиной, а, как уже отмечалось, зависит от
температуры. Эта зависимость особенно заметна при низких температурах
T TD  h D / k ,
(37)
где TD – температура Дебая; h и k – постоянные Планка и Больцмана соответственно;
D – максимальная частота колебаний кристаллической решетки.
Температура Дебая TD является характерным масштабом, разделяющим область высоких температур (T TD ), в которой колебания атомов кристалла можно описывать
классической теорией и в которой, в частности, коэффициент  практически не зави-
8
сит от температуры, и область низких температур (T TD ), где становятся существенными квантовомеханические эффекты, и величина  стремится к нулю при T  0.
Приведем значения температуры Дебая для тех веществ (металлов), для которых в
настоящей лабораторной работе будет исследоваться зависимость коэффициента  от
температуры:
элемент
TD, K
Cu
315
Al
394
Fe
420
Известен закон Грюнайзена [3], который устанавливает одинаковую темературную
зависимость удельной теплоемкости CVуд при постоянном объеме и коэффициента
теплового расширения , т. е.

 Const ,
СVуд
где Const   / 3K ;  1; K  модуль всестороннего сжатия.
Закон Грюнайзена хорошо выполняется для кристаллов большинства чистых химических элементов и для ряда простых соединений.
II. Описание экспериментальной установки для определения зависимости
коэффициента  от температуры методом Менделеева Д. И.
Установка для определения  (рис. 2) состоит из металлической трубки 1, средний
тепловой коэффициент линейного расширения которой определяют, металлической
спирали – нагревателя 4, которую изолируют, вводят в середину трубки 1 и присоединяют к вторичной обмотке автотрансформатора 2. Для определения температуры исследуемого образца поверх трубки 1 намотан интегральный медный термометр сопротивления (МТС) 3. Сопротивления R термометра при различных T измеряют с помощью цифрового прибора 5.
Температуру исследуемой трубки
определяют с помощью градуировочной
кривой R = f(T) с точностью до 0,1 K.
(Градуировочная кривая МТС прилагается к лабораторной установке).
Изменение длины трубки определяют с помощью микрометра 6 с точностью 10-5м. Начальную длину трубки
измеряют с точностью 0,510-3м.
Расчет среднего  производится по
формуле
Рис. 4


,
1T
(38)
9
где ℓ1 – длина трубки при более низкой температуре; T – приращение температуры
образца при его нагревании; ℓ - абсолютное удлинение трубки при нагревании на T.
III. Порядок выполнения работы.
1. Совместите нулевую отметку шкалы микрометра 6 со стрелкой путем поворота
кольца микрометра.
2. Измерьте линейкой длину ℓ1 рабочего участка трубки 1 (отсчет производить от
центра винта, зажимающего трубку в стойке).
3. С помощью цифрового вольтметра (ЦВ) типа В7-27 измерьте сопротивление R1
МТС.
4. По градуировочной кривой МТС определите температуру T1 (исходная комнатная
температура).
5. Включите автотрансформатор в сеть.
6. Дождитесь, когда на ЦВ показание сопротивления R2 будет соответствовать по
градуировочной кривой МТС температуре T2 = T1 + 10.
7. Измерения согласно п. 6 повторяйте через 10 K до температуры трубки T = 450 K.
Все данные измерений и расчетов занесите в следующую таблицу.
№ Температура Сопротивление Длина
Абс.
п/п
трубки
МТС
трубки удлинение
Ti, K
Ri, Ом
ℓ i, м
трубки
ℓi103м
Погрешности измерений
i105,
-1
K
i106,
K-1
i, %
Относительную погрешность  определяют по формуле
    i   '   Ti 
(39)
i  i 


,
i
 i

T
i
i
где    i  - абсолютная погрешность измерения удлинения трубки в определенном
температурном интервале Ti  Ti 1  Ti ;  ' - абсолютная погрешность измерения длины трубки;  i - удлинение трубки, вызванное нагреванием от температуры
Ti до Ti 1 ; i - длина трубки при температуре Ti ;   Ti  - абсолютная погрешность измерения разности температур трубки; T - температурный интервал нагревания. Абсолютную погрешность i определяют по формуле
 i   i  i .
(40)
IV. Контрольные вопросы
1. Может ли быть  отрицательной величиной? Объяснить по кривой EP(r).
2. Что является причиной теплового расширения твердых тел?
3. Физически объясните, что связь между коэффициентами объемного  и линейного расширения изотропных твердых тел имеет вид:  = 3.
10
4. По формуле (36) рассчитайте коэффициент  для материала, использованного в
лабораторной работе и сравните его с экспериментальным значением. Объясните расхождения.
5. Оценить коэффициенты a и b в выражении (8) для силы межатомного взаимодействия (формулы (23) и (33)) и смещения < x > и
x2 . Обсудить полученные резуль-
таты.
V.
Литература.
1. Данейко И.К. Механика. Мн., БГУ, 1997.
2. Данейко И.К. Молекулярная физика. Мн., 2006.
3. Физическая энциклопедия. Т. 1, стр. 546, М. 1988.
11