Вопросы для СРС по

Вопросы для СРС по
теме: «Производная и её приложения.»
1. Что такое касательная?
2. Чему равен угловой коэффициент касательной?
3. Что такое производная?
4. Как вычислить производную?
5. В чём заключается механический смысл производной?
6. В чём заключается геометрический смысл производной?
7. Какова схема вычисления производной?
8. Сформулируйте правило нахождения производной:
- правило суммы;
- правило произведения
- правило частного.
9. Что происходит с производной при умножении функции на
некоторую постоянную?
10. Заполните таблицу производной:
№
1
2
3
4
5
6
f (x)
C (const)
kх
Х2
Х3
Х4
1
, x0
n
x
7
8
x , x0
1
, x0
x
9
10
11
12
13
14
Sin x
Cos x
Tg x
Ctg x
15
16
Ln x
ex
ax
log a x
f `(x)
11. Какие точки называются критическими (стационарными) ?
12. Сформулируйте признак постоянной функции.
13. Сформулируйте признак монотонности функции.
14. Сформулируйте необходимое условие экстремума.
15. Сформулируйте достаточное условие экстремума.
16. Совпадает ли необходимое и достаточное условия
экстремума?
17. Сформулируйте алгоритм нахождения критических
(стационарных) точек функции.
18. Сформулируйте алгоритм нахождения промежутков
монотонности и точек экстремума функции.
19. Сформулируйте алгоритм нахождения наибольшего и
наименьшего значений функции.
20. По какой формуле вычисляется производная сложной
функции. Приведите пример.
Зачёт по теме :
«Тригонометрические функции».
1. Дайте определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α.
2. Для каких значений α имеет смысл каждая из выражений: sin α, cos α, tg α, ctg α?
3. Какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных
четвертей?
4. Что называют радианом? Выразите в радианах углы равные 30о, 45о, 60о, 90о, 180о,
270о, 360о.
5. Чему равны значения тригонометрических функций для углов 30о, 45о, 60о, 90о,
180о, 270о, 360о.
6. Запишите формулы, выражающую связь между синусом и косинусом одного и того
же угла. Проведите доказательство.
7. Запишите формулы, выражающие тангенс и котангенс через синус и косинус.
Проведите доказательство.
1
1
8. Выведите формулы: tg α*ctg α=1; 1+tg2α=
; 1+ctg2α= 2 .
2
cos a
sin a

3
9. Запишите формулы приведения для углов   ,    ,
  , 2   .
2
2
10. Запишите Формулу косинуса разности двух углов. Выведите из нее формулы
косинуса суммы, синуса суммы и синуса разности.
11. Напишите формулу синуса и косинуса двойного угла. Проведите доказательство.
12. Напишите формулу преобразования в произведение суммы и разности синусов,
суммы и разности косинусов.
13. Функция y=sin x, ее свойства и график.
14. Функция y=cos x, ее свойства и график.
15. Функция y=tg x, y=ctg x, их свойства и графики.
16. Формула корней уравнения sin x=a. Частные случаи.
17. Формула корней уравнения cos x=a. Частные случаи.
18. Решение уравнений tg x=a, ctg x=a
19. Решение уравнения a sin2 x+ b sin x+c=0.
20. Решение уравнений a sin x+ b cos x=0 и a sin x+ b cos x=c
21. Решение уравнения a sin2 x + b sin x*cos x+c*cos2x=0 и a sin2 x + b sin x*cos
x+c*cos2x=d.
22. Объясните на примерах решение неравенств sin x<a, cos x>b, tg x>a.
Тест по теме: “Производная и её приложение”.
1. Найдите производную функции f(x)= 2x - 1:
1). 0;
2). 2;
3). 2x 2
2. Найдите производную функции f ( x)  2 x 5 
8
;
x
3. Найдите производную функции f ( x)  2 x  cos x :
1
2
1).
 sin x ; 2). 2 – sin x; 3).
 sin x ;
x
x
x2  3
4. Найдите f ' (1) , если f ( x) 
:
x2
1). 10 x 4 
1). 1;
8
;
x3
4
:
x2
2
x
2). 10 x 4  ; 3). 10 x 4 
2). -1;
3). 0;
5. Найдите f ' (2) , если f ( x) 
1). 3;
x3
 4 ln 2 x
2
2). 4; 3). 2;
6. Найдите f ' (2) , если f ( x)  (2 x  3) 2 :
1). 4;
2). 2;
3). 3;
7. Найдите f ' (0) , если f ( x)  3 x  5x 4
1) 3ln3 -20; 2)ln3-5;
3)1;
8. Найдите f (e) , если f ( x) 
1)e; 2)
e 1
;
e
x
ln x
3)0;
9. Решите уравнение f ( x)  0 , если f ( x) 
1)-1 и 5;
2)-2 и 4;
x2  5
x2
3) 4 и 2;
10. Решите управление f ( x)  0 , если f ( x)  8x  x 2  x3
1) -4 и 2
2) -2 и 4
3) 4 и 2
3
11. Решите неравенство f ( x)  0 , если f ( x)  2 x 2  4 x  3
1) (-1; +∞)
2) (-∞; 1)
3) (-∞; -1)
12. Найдите критические точки функции f ( x)  x 3  6 x 2
1) 0 и -4
2) 4 и 0
3) 3 и 6
13. Найдите точку минимума функции f ( x)  x 5  15x 3  8
1) 0
2) -3
3) нет
1
3
14. Найдите наибольшее значение функции f ( x)  x  x 3 на [-2;0]
1)
2
3
2) 0
3) -
2
3
Тест по теме: «Первообразная. Интеграл.»
1.Дана функция f ( x) 
а) -3 и 4
x3
 2 x 2  12 x  5 . Решите уравнение f ( x)  0
3
б) 3 и -4
в) -2 и 6
г) 2 и -6
2. Найдите общий вид первообразных F(x) для функции f ( x) 
x3
а) F ( x)   cos 2 x  C
9
б) F ( x) 
в) F ( x)  x 3 
x2
 sin 2 x
3
cos 2 x
C
2
x3 1
 cos x 
г) F ( x) 
6 2
3
x
cos 2 x

C
9
2
3. Найдите общий вид первообразных для функции f ( x)  2 x  1 на
промежутке (0,5; +∞)
а) F ( x) 
(2 x  1) 2 x  1
C
3
в) F ( x) 
б) F ( x) 
4(2 x  1) 2 x  1
C
3
г) F ( x) 
4. Для функции f ( x) 
а) F ( x) 
б) F ( x) 
2
3x  4
2
 15
2
3
3x  4
6
4  3x 2
1
3 2x  1
4
3 2x  1
C
C
найдите её первообразную, если F(1,5)=1.
2
5
4  3x
6
3
г) F ( x) 
4  3x 2
в) F ( x) 
x
2
5. f ( x)  3x 2   5 , F(-2)=5. Найдите F(-1).
а) -8,25
б) 10,75
в) -10,75
г) 7,75
6. f ( x)  cos x , F(x)+C – её первообразная, g ( x)  F ( x)  C  f ( x) и g(0)=2.
Решите уравнение g(х)=0.
а)
б)

2

2
 n, n  
в) 
 2n, n  
г) 

2

2
 2n, n  
 n, n  
7. Точка движется по координатной прямой с ускорением a(t)=2t+1.
Известно, что V(2)=4 и S(3)=2,5. Найдите S(6).
а) 29
б) 60
в) 73
г) 45
8. Вычислите
 x

2
2
 6 x  9 dx
1
а) 27
б) 24
9. Найдите
2
1
 2 x  1
2
в) 18
г) 21
dx
0
а) 1,5
2
3
б)
10. Вычислите
в) -
2
3
г) интеграл не существует
3
 cos 0,5xdx
5

3
а) -2
б) 2
11. Вычислите
в) -3
г) 3
4

2 x  1dx
0
а) 8
2
3
б) 9
1
3
в) 7
1
2
г) 7
5
6
12. При каком значении a выполняется равенство
1  2x
4
dx  
3
3
a
a

2
а) a 
2
3
2
3
б) a  2 или a  2
в) a  2 или a  
1
3
г) a  3
13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
y   x 2  4 x  3 и прямой у=0.
а) 1
1
3
б) 1,5
в) 1
5
6
г) 1
1
6
14. вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
y  x 2  4 x  10 , касательной к параболе в точке х0=-3 и прямой х = 0.
а) 9,5
б) 9
1
3
в) 9
г) 8
2
3
15. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y  sin x
и y  cos x , и прямыми x 
а) 2
б) 2

и x  .
4
в) 2 2
г) 2 +1