Тема 3. Множественная регрессия и корреляция

Контрольная работа по эконометрике
ТАБЛИЦА
для определения индивидуального задания
контрольной работы
П
р
е
д
п
о
с
л
е
д
н
я
я
ц
и
ф
р
а
1
1
11
46
Последняя цифра номера зачетной книжки
2
3
4
5
6
7
12
13
14
15
16
17
47
48
49
50
31
32
8
18
33
9
19
34
0
20
35
2
01
36
02
37
03
38
04
39
05
40
06
41
07
42
08
43
09
44
10
45
3
21
37
22
38
23
39
24
40
25
41
26
42
27
43
28
44
29
45
30
46
4
11
47
12
48
13
49
14
50
15
31
16
32
17
33
18
34
19
35
20
36
5
01
38
02
39
03
40
04
41
05
42
06
43
07
44
08
45
09
46
10
47
6
21
48
2
49
23
50
24
31
25
32
26
33
27
34
28
35
29
36
30
37
7
01
33
02
34
03
35
04
36
05
37
06
38
07
39
08
40
09
41
10
42
8
11
35
12
36
13
37
14
38
15
39
16
40
17
41
18
42
19
43
20
44
9
21
45
22
46
23
47
24
48
25
49
26
50
27
31
28
32
29
33
30
34
0
11
36
12
37
13
38
14
39
15
40
16
41
17
42
18
43
19
44
20
45
Номера задач контрольной работы определяются по соответствующей таблице с помощью двух последних цифр номера зачетной книжки студента.
Например, для студента, имеющего зачетную книжку с номером 87128, на пересечении горизонтальной
колонки 2 и столбца 8 таблицы указаны следующие номера задач его индивидуального задания контрольной
работы: 08, 33.
1
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО КУРСУ «ЭКОНОМЕТРИКА»
Тема 1. Предмет и задачи курса.
Определение эконометрики. Эконометрика и экономическая теория. Эконометрика и статистика. Эконометрика и экономико-математические методы. Области применения эконометрических моделей. Методологические вопросы построения эконометрических моделей: обзор используемых методов.
Тема 2. Парная регрессия и корреляция
Понятие о функциональной, статистической и корреляционной связях. Основные задачи прикладного
корреляционно-регрессионного анализа.
Уравнение регрессии, его смысл и назначение. Выбор типа математической функции при построении
уравнения регрессии. Парная регрессия. Метод наименьших квадратов и условия его применения для определения параметров уравнения парной регрессии.
Нелинейные модели регрессии и их линеаризация.
Оценка степени тесноты связи между количественными переменными. Коэффициент ковариации. Показатели корреляции: линейный коэффициент корреляции, индекс корреляции, теоретическое корреляционное отношение. Коэффициент детерминации.
Стандартная ошибка уравнения регрессии.
Оценка статистической значимости показателей корреляции, параметров уравнения регрессии, уравнения регрессии в целом: t-критерий Стьюдента, F-критерий Фишера.
Тема 3. Множественная регрессия и корреляция
Понятие о множественной регрессии. Классическая линейная модель множественной регрессии
(КЛММР). Определение параметров уравнения множественной регрессии методам наименьших квадратов.
Стандартизованные коэффициенты регрессии, их интерпретация. Парные и частные коэффициенты
корреляции. Множественный коэффициент корреляции и множественный коэффициент детерминации.
Оценка надежности показателей корреляции.
Оценка качества модели множественной регрессии: F-критерий Фишера, t-критерий Стьюдента.
Мультиколлинеарность. Методы устранения мультиколлинеарности.
Тема 4. Спецификация переменных в уравнениях регрессии
Эконометрические модели: общая характеристика, различия статистического и эконометрического
подхода к моделированию.
Спецификация переменных в уравнениях регрессии. Ошибки спецификации.
Обобщенная линейная модель множественной регрессии. Обобщенный метод наименьших квадратов.
Проблема гетероскедастичности. Автокорреляция. Анализ линейной модели множественной регрессии при гетероскедастичности и автокорреляции.
Фиктивные переменные: общий случай. Множественные совокупности фиктивных переменных. Фиктивные переменные для коэффициентов наклона. Тест Чоу.
Моделирование: влияние отсутствия переменной, которая должна быть включена; влияние включения
в модель переменной, которая не должна быть включена. Замещающие переменные.
Тема 5. Временные ряды в эконометрических исследованиях
Специфика временных рядов как источника данных в эконометрическом моделировании.
Аналитическое выравнивание временных рядов. Оценка параметров уравнения тренда.
Автокорреляция в остатках, ее измерение и интерпретация. Критерий Дарбина-Уотсона в оценке качества трендового уравнения регрессии.
Анализ временных радов при наличии периодических колебаний: аддитивная и мультипликативная
модели.
Особенности изучения взаимосвязанных временных рядов. Автокорреляция рядов динамики и методы
ее устранения. Метод последовательных разностей. Интерпретация параметров уравнения регрессии, построенного по первым и вторым разностям. Метод отклонения уровней ряда от основной тенденции. Метод
включения фактора времени.
Тема 6. Системы эконометрических уравнений
Виды систем эконометрических уравнений. Независимые системы. Рекурсивные системы. Системы
одновременных (совместных) уравнений. Структурная и приведенная формы эконометрической модели.
Проблемы идентификации. Косвенный и двухшаговый метод наименьших квадратов, общая схема алгоритма расчетов. Применение эконометрических моделей. Модель Кейнса (статистическая и динамическая формы). Модель Клейна (1).
Литература
1. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Дело, 1997. с.142-163.
2. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ. 1998. - с. 907-956.
2
3. Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: ИНФРА-М, 1997. - с. 322-347.
4. Эконометрика Учебное пособие /И.И. Елисеева. С.В. Курышева, Д.М. Гордиенко и др. - М.: Финансы и статистика, 2001.
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача 1
Администрация страховой компании приняла решение о введении нового вида услуг –
страхование на случай пожара. С целью определения тарифов по выборке из 10 случаев
пожаров анализируется зависимость стоимости ущерба, нанесенного пожаром от расстояния до ближайшей пожарной станции (табл. 1)
Табл. 1
№ п.п.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Общая сумма ущерба, млн. руб.
26,2 17,8 31,3 23,1 27,5 36,0 14,1 22,3 19,6 31,3
Расстояние до ближайшей стан- 3,4
1,8 4,6 2,3 3,1 5,5 0,7 3,0 2,6 4,3
ции, км
Задание
1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте параметры линейной регрессии.
3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Оцените с помощью средней квадраической ошибки и средней ошибки аппроксимации
качество уравнения.
5. Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы
связи фактора с результатом.
6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.
7. Оцените статистическую значимость коэффициента регрессии и коэффициента корреляции.
8. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня.
9. Оцените полученные результаты, оформите выполненное задание в виде отчета.
1. Построим поле корреляции (рис. 1). По расположению эмпирических точек можно
предположить наличие линейной корреляционной зависимости между переменными x и
y , т.е. можно принять гипотезу о линейной связи. Поэтому уравнение регрессии будем
искать в виде линейного уравнения
y   a  bx
Общая сумма ущерба, млн. руб.
40
36
35
31,3
30
31,3
27,5
26,2
25
23,1
22,3
20
19,6Общая сумма ущерба, млн. руб.
17,8
15
14,1
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Рис. 1. Поле корреляции
3
2. Найдем оценки параметров a и b . Все расчеты представлены в таблице
y
x y
x
№
y   10,25  4,687 x y 2
x2
п.п.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
3,4
1,8
4,6
2,3
3,1
5,5
0,7
3,0
2,6
4,3
31,3
ср.
знач.
x =3,13

2
26,2
17,8
31,3
23,1
27,5
36,0
14,1
22,3
19,6
31,3
249,2
y =24,92
3
11,56
3,24
21,16
5,29
9,61
30,25
0,49
9,0
6,76
18,49
115,85
4
89,08
32,04
143,98
53,13
85,25
198,00
9,87
66,9
50,96
134,59
863,8
5
26,80
18,70
31,80
21,00
24,80
36,00
13,50
24,30
22,40
30,40
249,2
x 2 =11,585
xy =86,38
6
686,44
316,84
979,69
533,61
756,25
1296,00
198,81
497,29
384,16
979,69
6628,78
y 2  662,878
Система нормальных уравнений для нахождения оценок параметров a и b имеет вид:
10  a  31,3  b  249,2
 a  10,250, b  4,687

31,3  a  115,85  b  6628,78
Уравнение линейной регрессии y   10,250  4,687  x
Коэффициент регрессии b  4,687 говорит о том, что при увеличении расстояния до
пожарной станции на 1 км общая сумма ущерба увеличивается в среднем на 4,687 млн.
руб.
Проверим правильность расчетов сравнением сумм  yi   yi .
y
i
 249,2;
 y  249,2 .
i
3. Найдем коэффициент корреляции и коэффициент детерминации.
Коэффициента корреляции:
10  863,8  249,2  31,3
r
 0,9686
2
2
10  115,85  31,3  10  6628,78  249,2
r  b
Или
x
;
y

 y  y2  y
 x  x 2  ( x) 2  11,585  3,132  1,337 ;
2
 662,878  24,92 2  6,471
1,337
 0,9678
6,471
Так как значение коэффициента больше 0,9, то это говорит о наличии весьма высокой связи между признаками.
Коэффициент детерминации:
2
 y   y 
  i  392,81
R2 

 0,9381
2
418,72
y y
r  4,684 

i

Проверка R  r ; 0,9686  0,9382
Это означает, что 96,86% вариации общей суммы ущерба (y) объясняется вариацией фактора x – расстояния до ближайшей станции (общая сумма ущерба на 96,86% зависит от
расстояния до ближайшей станции, и лишь на 3,14% зависит от факторов, не включенных
в модель).
2
2
2
4
4. Найдем среднюю квадратическую ошибку и среднюю ошибку аппроксимации.
Средняя квадратическая ошибка:

  yi  yi 
25,9466
Se 

 1,8;
nh
10  2
Так как S e ( 1,8)   y ( 6,471 , то использование модели регрессии является целесообраз2
ным.
Средняя ошибка аппроксимации

yi  yi
1
55,9837
A 
 100% 
 5,5984%
n
yi
10
Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как A не превышает 10%.
5. Найдем коэффициент эластичности:
x
3,13
Э  b   4,687 
 0,5887%
24,92
y
Коэффициент эластичности говорит о том, что при увеличении фактора x (расстояния до
ближайшей станции) на 1% от уровня x  3,13 , т.е. на 0,0313 км (31 м), приведет к увеличению результативного признака y (общей суммы ущерба) на 0,5887% относительно уровня y  24,92 млн. руб., т.е. на 0,1467 млн. руб. (146700 руб.).
6. Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия составит:
R2 n  h
0,9381 10  2
Fфакт 



 121,24
2
1  R h  1 1  0,9381 2  1
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свобоFтабл  5,32 . Так как
ды
составляет
k1  h  1  2  1  1, k 2  n  h  10  2  8
Fфакт  121,24  Fтабл  5,32 , то уравнение регрессии признаётся статистически значимым.
7. Оценку статистической значимости коэффициента регрессии и коэффициента
корреляции проведем с помощью t-статистики Стьюдента.
Определим стандартные ошибки mb , mr :
n
b 
 y
i 1
 y i  / n  2
2
i
 x
n
i 1
i
x

2

25,9466 / 8
 0,4259
17,881
1  r  
1  0,9381
 0,088
n  2
8
b
4,687
t b  0  

 11,005
Тогда
 b 0,4259
r
0,9686
t r 0  

 11,001
r
0,088
Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы k  n - 2  8 и уровня значимости   0,05 составит t табл  2,31 .
Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:
t b  11,005  t табл  2,31; t r  11,001  t табл  2,31,
r 
2
5
Поэтому параметры b, r не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
8. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.
Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня.
Решение.
y   10,25  4,687  x ; x  3,13 . x p  3,13  0,313  3,443 .
y p  10,25  4,687  3,443  26,387 .
ЗАДАЧИ 01 -- 30
Задание к задачам 01 – 30.
1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте параметры линейной регрессии.
3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Оцените с помощью средней квадраической ошибки и средней ошибки аппроксимации
качество уравнения.
5. Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы
связи фактора с результатом.
6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. Fкр  6,61
7. Оцените статистическую значимость коэффициента регрессии и коэффициента корреляции. t кр  2,57
8. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня.
9. Оцените полученные результаты, оформите выполненное задание в виде отчета.
Задача 01
Взаимосвязь между ценой спроса x и ценой предложения y наиболее ликвидных на внебиржевом рынке акций характеризуется следующими данными (см. табл.):
Ценная бумага
БМП ГУМ ЕЭС ЗИЛ КаОк Лукойл ТНК
Цена спроса
34,1
33,6
30,3 13,5 13,9
26,5
18,1
Цена предложения 60,6
40,7
33,8 22,1 30,0
34,5
20,9
 
 
Задача 02
В таблице приведены данные о темпе прироста внутреннего национального продукта ( y , %) и промышленного производства ( x , %) семи развитых стран мира за 1992 г.
Страна
Дания США Германия Франция Италия Канада Австралия
Промышленное производство, (%) 4,3
4,6
2,0
3,1
3,0
3,4
2,6
Темп прироста, (%)
3,5
3,1
2,2
2,7
2,7
3,1
1,8
Задача 03
Взаимосвязь между производительностью труда ( y ) и энерговооруженностью труда ( x ) (в расчете на одного работника) для семи предприятий характеризуется следующими данными:
Предприятие
1
2
3
4
5
6
7
Энерговооруженность труда, кВт
2,8
2,2
3,0
3,5
3,2
3,7
4,0
Производительность труда, тыс. руб. 6,7
6,9
7,2
7,3
8,4
8,8
9,1
6
Задача 04
Имеются следующие данные о сменной добыче угля на одного рабочего ( y ) и мощностью пласта ( x ), характеризующие процесс добычи угля на семи шахтах:
Шахта
1 2
3
4 5 6
7
Мощность пласта, м
8 11
12
9 8 8
9
Сменная добыча угля, т 5 10
10
7 5 6
6
Задача 05
Имеются следующие данные об
однотипных предприятий:
Предприятие
Уровень механизации работ, %
Производительность труда, т/ч
уровне механизации работ ( x ) и производительности труда ( y ) для семи
1
32
10
2
30
24
3
36
28
4
40
30
5
41
31
6
40
33
7
56
34
Задача 06
Торговцу нужно выяснить, как изменяется количество пучков салата, продаваемого ежедневно в розницу.
Имеются следующие сведения о количестве ( x ) и цене ( y ):
День недели
1
2
3
4
5
6
7
Количество, шт.
28
29
34
35
37
41
46
Цена, руб. за один пучок 30
31
25
26
22
16
12
Задача 07
С целью анализа взаимного влияния зарплаты и текучести рабочей силы на семи однотипных фирмах с одинаковым числом работников проведены измерения уровня месячной зарплаты ( x ) и числа уволившихся за
год рабочих ( y ):
Фирма
1
2
3
4
5
6
7
Уровень месячной зарплаты, $
100
150
200
250
300
350
400
Кол-во уволившихся за год, чел. 60
35
20
20
15
10
4
Задача 08
В магазине постельных принадлежностей были проведены в течение семи дней подсчеты числа покупок
простыней ( x ) и подушек ( y ):
День
1
2
3
4
5
6
7
Простыни, шт. 10
20
25
28
30
34
37
Подушки, шт. 5
8
7
12
14
16
20
Задача 09
Майор Степанов решил сравнить среднее число книг ( x ), прочитанных среднестатистическим восьмиклассником за год, с количеством правонарушений ( y ), совершенных подростками в его микрорайоне в течение
года. Проанализировав данные за семь лет, он получил следующую таблицу:
Год
1
2
3
4
5
6
7
Число книг, прочитанных учеником, шт. 19
25
24
22
18
38
30
Количество правонарушений, шт.
20
17
15
15
24
4
10
Задача 10
В таблице приведены результаты измерения силы звука самолета (она обозначается y и измеряется в децибелах (дб)) на различных расстояниях от точки взлета (расстояние обозначается через x и измеряется в километрах):
Номер измерения
1
2
3
4
5
6
7
Расстояние, км
115
108
102
98
93
89
87
Сила звука самолёта, дБ 1,0
2,5
3,0
5,5
7,0
8,5
10,0
Задача 11
Провели исследование, сколько сберегает население ( y ) и сколько оно зарабатывает за год (x ) . Были получены следующие данные для случайно отобранных семи человек:
Граждане
1
2
3
4
5
6
7
Доход, тыс. руб
15
6
9
3
20
11
14
Сбережения, руб. 2000
200
500
100
2500
1800
1500
7
Задача 12
Туристическую фирму крупного курортного города интересует связь между числом отпускников ( y ), останавливающихся в отелях и расходами на рекламу отелей (x ) . Взято случайное число отелей – 7, сходных по
размеру. Была собрана следующая информация за текущий сезон:
Отель
1
2
3
4
5
6
7
Реклама, тыс. руб 9
6
10
8
7
4
5
Число гостей, чел. 140
100
160
130
110
80
90
Задача 13
Главный бухгалтер фирмы проанализировал время (y), затраченное на производство основных продуктов
фирмы. Он получил следующие данные для одного конкретного продукта, который производился на серийной основе:
Серия
1
2
3
4
5
6
7
Размер серии, кол. 32
24
30
45
15
26
50
Время, ч
21,4
17,0
20,4
29,6
12,6
19,1
34,2
Задача 14
Некоторая компания владеет семью магазинами. Размер размещенных магазинов велик. Финансовый директор группы магазинов рассматривает возможность слияния числа мелких магазинов для увеличения прибыльности компании. Он предположил, что оборот магазинов вследствие слияния останется прежним. Ему
необходимо установить связь между прибылью y и оборотом x . Данные для каждого магазина в отдельности за последний финансовый год приведены ниже:
Магазин
1
2
3
4
5
6
7
Оборот, млн. руб.
50
60
85
85
100
120
140
Годовая прибыль, млн. руб. 0,2
0,4
1,1
1,7
1,8
2,8
3,4
 
 
Задача 15
На семи опытных участках одинакового размера получены следующие данные об урожайности
 
чества внесенных удобрений x для некоторой культуры:
Участок
1
2
3
4
Кол-во внесенных удобрений, кг 107 108
121
125
Урожайность, т
9,9 10,2
11,0
11,6
5
128
11,8
6
128
12,5
7
124
12,8
Задача 16
В некоторой строительной компании имеются следующие данные о выработке за смену
 
рабочего x :
Рабочий
Стаж, лет
Выработка, шт.
1
1
10
2
3
12
3
5
16
4
7
15
5
9
20
6
10
24
 y  и стаже работы
7
12
28
Задача 17
В таблице приведены статистические данные, описывающие зависимость спроса на товар
 
ны x :
№
Цена товара, руб.
Спрос на товар, шт.
1
99
100
2
82
115
3
77
210
4
69
270
 y  и коли-
5
52
323
6
44
478
y
от его це-
7
31
544
Задача 18
В таблице приведены статистические данные, описывающие зависимость уровня рентабельности
 
y
на
предприятии от удельного веса продовольственных товаров x в товарообороте:
№
1
2
3
4
5
6
7
Удельный вес продовольственных 74,2
73,5
77,0
84,3
67,3
70,1
83,1
товаров в товарообороте, %
Уровень рентабельности, %
3,62
3,8
2,77
2,12
4,33
4,01
2,01
Задача 19
8
Из мешка, содержащего монеты одинакового достоинства случайным образом отобрано семь монет. Каждая
монета была взвешена y , и для каждой определен её возраст x :
Монета
1
2
3
4
5
6
7
Время обращения, лет 5
9
14
17
23
31
35
Вес, г
2,82
2,85
2,80
2,80
2,79
2,78
2,77
 
 
Задача 20
В тексте из семи предложений было подсчитано число слов x и количество букв
Предложение
1
2
3
4
5
6
7
Количество слов 3
8
19
41
22
12
35
Количество букв 12
41
122
203
106
52
197
 
y :
Задача 21
Фирма провела рекламную компанию. Через семь недель фирма решила проанализировать эффективность
этого вида рекламы, сопоставив недельные объёмы продаж y с расходами на рекламу x :
№ недели
1
2
3
4
5
6
7
Расходы на рекламу, тыс. руб.
5
8
6
5
3
9
12
Недельные объёмы продаж, тыс. руб. 72
76
78
70
68
80
82
 
 
Задача 22
Исследование зависимости между среднемесячными доходами x на семью и расходами
кондитерских изделий представлены в таблице:
Семья
1
2
3
4
5
6
7
Доход семьи, тыс. руб.
48
38
54
42
34
46
34
Расходы на кондитерские изделия, руб. 750
680
780
710
640
730
660
 
Задача 23
Для семи клиентов спортивного отдела магазина зафиксирована сумма покупки
 
продавцом y . Данные представлены в таблице:
Клиент
1
2
3
4
5
Сумма покупки, у.е.
40
50
60
80
100
Время разговора, мин. 14
14
17
19
17
6
120
20
Валовая продукция,
%
Производительность
одного работника, %
x  и время разговора с
7
130
24
Задача 24
Имеются данные о среднегодовых темпах роста выпуска валовой продукции
роста производительности труда
Элетро
Отрасль
 y  на покупку
x  по семи отраслям и темпах
 y  на одного работника. Исходные данные представлены в таблице:
Черная
металлургия
Машино
строение
Химическая
энергетика
Строй.
материалы
Лесозаготовки
Бумажноцеллюлозная
16,5
13,6
18,8
22,3
15,6
11,1
11,6
11,9
8,1
13,2
11,3
10,4
7,7
5,8
Задача 25
Имеются данные по семи банкам страны о размере прибыли (
y, ден. ед. )
и объёмах выданных кредитов
(x, ден. ед.)
№ наблюдения
Кредиты, x
Прибыль,
1
2
3
4
5
6
7
200
19
300
30
200
26
220
22
100
13
250
35
250
28
y
Задача 26
9
Изучается зависимость доходности акций предприятия ( y, % ) от темпа роста валового внутреннего продукта
Полученные данные отражены в таблице:
1
2
3
4
5
6
7
Год
Темп роста валового
Внутреннего продукта, %
Доходность акций
предприятияБ %
5,6
6,3
7,8
7,1
4,9
5,4
6,8
14,2
18,9
23,2
17,9
8,8
15,4
19,4
(x, %) .
Задача 27
Для семи предприятий области анализируется зарплата
( y, тыс. руб.)
в зависимости от количества сотрудников
(x, чел.) . Данные по предприятиям приведены в таблице:
№ предпр.
Кол-во сотрудн.,
чел
Зарплата,
тыс.
тыс. руб.
1
100
2
150
3
200
4
250
5
300
6
350
7
400
20
24
27
30
32
37
41
Задача 28
По семи регионам приводятся следующие данные:
№ региона
1
2
3
Среднедушевой прожи- 78
82
87
точный минимум в день
одного трудоспособного,
у.е.., x
Среднедневная заработ- 133
148
134
ная плата, у.е., y
4
79
5
89
6
106
7
67
154
162
195
139
4
79
5
93
6
100
7
72
139
143
159
135
4
79
5
89
6
87
7
77
125
120
127
125
Задача 29
По семи регионам приводятся следующие данные:
№ региона
1
2
3
Среднедушевой прожи- 81
77
85
точный минимум в день
одного трудоспособного,
у.е.., x
Среднедневная заработ- 124
131
146
ная плата, у.е., y
Задача 30
По семи регионам приводятся следующие данные:
№ региона
1
2
3
Среднедушевой прожи- 74
81
90
точный минимум в день
одного трудоспособного,
у.е.., x
Среднедневная заработ- 122
134
136
ная плата, у.е., y
Задача 2.
10
Пример 1. В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, параметры которых должны быть
статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны  1 . В этом случае хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты
при переменных в тождестве известны, в проверке на идентификацию собственно структурных уравнений
системы тождества участвуют.
Рассмотрим эконометрическую модель экономики страны:
 y1  a1  b13 y3  b14 y4  1,
y  a  b y  a x   ,
 2
2
23 3
21 1
2

 y3  a3  b34 y4  a31x1   3 ,
 y4  y1  y2  x2 ,
где y1 – расходы на конечное потребление данного года; y2 – валовые инвестиции в текущем году; y3 – расходы на заработную плату в текущем году; y4 – валовой доход за текущий год; x1 -- валовой доход предыдущего года; x2 – государственные расходы текущего года; а - свободный член уравнения,  -- случайные
ошибки.
Решение. В этой модели четыре эндогенные переменные (y1, y2, y3, y4). Переменная y4 задана тождеством.
Поэтому практически статистическое решение необходимо только для первых трех уравнений системы, которые необходимо проверить на идентификацию. Модель содержит две предопределенных переменных экзогенную x2 и лаговую x1.
При практическом решении задачи на основе статистической информации за ряд лет или по совокупности
регионов за один год в уравнениях для эндогенных переменных y1, y2, y3 обычно содержится свободный член
(a1, a2, a3), значение которого аккумулирует влияние неучтенных в уравнении факторов и не влияет на определение идентифицируемости модели.
Поскольку фактические данные об эндогенных переменных y1, y2, y3 могут отличаться от теоретических
постулируемых моделью, то принято в модель включать случайную составляющую для каждого уравнения
системы, исключив тождества. Случайные составляющие обозначены через 1,  2 ,  3 . Они не влияют на
решение вопроса об идентификации модели.
П е р в о е у р а в н е н и е.
Н: эндогенных переменных три ( y1, y3 , y4 ) - k1 = 3, предопределенных переменных нет - m1 = 0.
Выполняется необходимое равенство: M - m1 = 2 - 0 = 2 = k1 - 1 = 3 - 1 =2, следовательно , уравнение
идентифицируемо.
Д: в первом уравнении отсутствуют y2, x1, x2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других
уравнениях системы:
Уравнение
Отсутствующие переменные
y2
x1
x2
Второе
-1
0
a21
Третье
0
a31
0
Четвертое
1
0
1
Det A  a31  0.
Определитель матрицы не равен нулю, ранг матрицы равен 3; следовательно выполняется достаточное
условие идентификации (r(A) = 3 = K - 1 = 4 - 1 = 3), и первое уравнение идентифицируемо.
В т о р о е у р а в н е н и е.
Н: эндогенных переменных две (y2, y3) - k2 = 2; предопределенных переменных одна (x1) - m2 = 1.
Выполняется необходимое равенство: M - m2 = 2 - 1 = 1 = k2 - 1 = 2 - 1 = 1, следовательно, уравнение
идентифицируемо.
Д: во втором уравнении отсутствуют y1, y4 x2. Построим матрицу коэффициентов при них в других уравнениях системы:
Уравнение
Отсутствующие переменные
y1
y4
x2
Первое
-1
0
b14
Третье
Четвертое
0
b34
0
1
-1
1
Det A  b34  0.
Определитель матрицы не равен нулю, ранг матрицы равен 3, следовательно, выполняется достаточное
условие идентификации (r(A) = 3 = K - 1 = 4 - 1 = 3), и второе уравнение идентифицируемо.
Т р е т ь е у р а в н е н и е.
11
Н: эндогенных переменных две (y3, y4) - k3 =2; предопределенных переменных одна (x1) - m3 = 1.
Выполняется необходимое равенство: M - m3 = 2 - 1 = 1 = k3 - 1 = 1, следовательно, уравнение идентифицируемо.
Д: в третьем уравнении отсутствуют y1, y2, x2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других
уравнениях системы:
Уравнение
Отсутствующие переменные
y1
y2
x2
Первое
-1
0
0
Второе
0
-1
0
Четвертое
1
1
1
Det A  1  0.
Определитель матрицы не равен нулю, ранг матрицы равен 3, следовательно, выполняется достаточное
условие идентификации (r(A) = 3 = K - 1 = 4 - 1 = 3), и третье уравнение идентифицируемо.
Следовательно, исследуемая система идентифицируема.
Приведенная форма модели:
 y1  A10  A11x1  A12 x2  u1,
y  A  A x  A x  u ,
 2
20
21 1
22 2
2

 y3  A30  A31x1  A32 x2  u3 ,
 y4  A41x1  A42 x 2 .
Пример 2.
Макроэкономическая модель:
Ct  a1  b11Yt  b12Ct 1  1t ,
I t  a2  b21rt  b22 I t 1   2t ,
rt  a3  b31Yt  b32 M t   3t ,
Yt  Ct  I t  Gt ,
где C—расходы на потребление, Y –совокупный доход в период t, r – процентная ставка в период t, I – инвестиции в период t, M – денежная масса в период t, G – государственные расходы в период t,It-1 - инвестиции в
период t-1, Ct-1 - расходы на потребление в период t, t – текущий период, t-1 – предыдущий период.
РЕШЕНИЕ.
Модель включает четыре эндогенные переменные ( Ct , I t , rt , Yt ) – K = 4 и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные -
M t , Gt и две лаговые эндогенные переменные - Ct 1, It 1 ) – M =
4.
Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.
I уравнение.
Это уравнение включает две эндогенные переменные ( Ct , Yt ) – k1 = 2 и одну предопределенную переменную
Ct 1  – m1 = 1. Таким образом, M - m1 = 4 - 1 = 3 >
k1 - 1 = 2 - 1 = 1. Уравнение сверидентифици-
ровано.
II уравнение.
Уравнение II включает две эндогенные переменные ( I t , rt ) – k2 = 2 и одну предопределенную переменную – m2 = 1. Следовательно, M - m2 = 4 - 1 = 2 > k2 -1 = 2 - 1 = 1. Уравнение сверхидентифицировано.
III уравнение.
Уравнение III включает две эндогенные переменные Yt , rt  -- k3 = 2 и одну предопределенную переменную – m3 = 1. Следовательно, M - m3 = 4 - 1 = 3 > k3 - 1 = 2 - 1 = 1. Уравнение сверхидентифицировано.
IV уравнения.
Четвертое уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны. Поэтому идентифицировать это уравнение не нужно.
Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу
коэффициентов при переменных модели:
Сt
Yt
Ct-1
It
rt
It-1
Mt
Gt
12
I уравнение
-1
b11
b12
0
0
0
0
0
II уравнение
0
0
0
-1
b21
b22
0
0
III уравнение
0
b31
0
0
-1
0
b32
0
IV уравнение
1
-1
0
1
0
0
0
1
В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть
равен числу эндогенных переменных модели минус 1, т.е. 4 - 1 = 3.
I уравнение.
Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид
 1

A 0
 1

b21
b22
0
1
0
b32
0
0
0
0 

0 
1 
Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3 * 3 этой матрицы не равен нулю:
1
b21
0
DetA  0
1
0 0
1
0
*
1
Достаточное условие идентификации для I уравнения выполняется.
II уравнение.
Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение:
 1

A 0
1

b11
b12
0
0
b31
0
b32
0
0
1
1
0





Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3 * 3 этой матрицы не равен нулю:
1
DetA 
*
0
0
0
b32
0 0
1
0
1
Достаточное условие идентификации для II уравнения выполняется.
Ш уравнение.
Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение:
 1

A 0
1

b12
0
0
0
0
1
b22
0
0
0
0
1





Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3 * 3 этой матрицы не равен нулю:
DetA* 
1
0
0
1
1
0
0
0 0
1
Достаточное условие идентификации для II уравнения выполняется.
Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированы. Модель в целом является сверхидентифицированной.
2. Запишем приведенную форму модели:
Ct  A1  A12 M t  A12Gt  A13Ct 1  A14 It 1  U1
It  A2  A21M t  A22Gt  A23Ct 1  A24 It 1  U 2
Yt  A3  A31M t  A32Gt  A33Ct 1  A34 It 1  U3
rt  A4  A41M t  A42Gt  A43Ct 1  A44 It 1  U 4
где U1, U2, U3, U4 - случайные ошибки.
13
Задачи 31 – 50
Задание к задачам 31 – 50
1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли
2.
каждое из уравнений модели.
Запишите приведенную форму модели.
Задача 31
Модель денежного рынка:
Rt  a1  b11  M t  b12  Yt  1,
Yt  a2  b21  Rt  b22  I t   2 ,
где R - процентная ставка, Y - ВВП, M - денежная масса, I - внутренние инвестиции, t - текущий период.
Задача 32
Модель Менгеса:
Yt  a1  b11  Yt 1  b12  I t  1,
I t  a2  b21  Yt  b22  Qt   2 ,
Ct  a3  b31  Yt  b32  Ct 1  b33 Pt   3 ,
Qt  a4  b41  Qt 1  b42  Rt   4 ,
где Y - национальный доход, C - расходы на личное потребление, I - чистые инвестиции, Q - валовая прибыль экономики, P - индекс стоимости жизни, R - объем продукции промышленности, t - текущий период, t 1 – предыдущий период.
Задача 33
Одна из версий модифицированной модели Кейнса имеет вид
Ct  a1  b11  Yt  b12  Yt 1  1,
I t  a2  b21  Yt  b22  Yt 1   2 ,
Yt  Ct  I t  Gt ,
где C - расходы на потребление, Y - доход, I - инвестиции, G - государственные расходы, t – текущий период,
t-1 – предыдущий период.
Задача 34
Модель мультипликатора-акселератора:
Ct  a1  b11  Rt  b12  Ct 1  1,
I t  a2  b21  Rt  b22 Rt 1   2 ,
Rt  Ct  I t
где C – расходы на потребление, R - доход, I - инвестиции, t - текущий период, t-1 – предыдущий период.
Задача 35
Конъюнктурная модель имеет вид:
Ct  a1  b11Rt  b12Ct 1  1,
I t  a2  b21rt  b22 I t 1   2 ,
rt  a3  b31Yt  b32 M t   3 ,
Yt  Ct  I t  Gt ,
где C – расходы на потребление, Y – ВВП, I – инвестиции, r – процентная ставка, M – денежная масса, G –
государственные расходы, t – текущий период, t-1 – предыдущий период.
Задача 36
14
Модель протекционизма Сальватора (упрощенная версия):
M t  a1  b12 Nt  b13St  b14 Et 1  b15 M t 1  1,
Nt  a2  b21M t  b22 St  b23Yt   2 ,
St  a3  b31M t  b32 Nt  b33 X t   3 ,
где - M - доля импорта в ВВП, N - общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин, S число удовлетворенных прошений об освобождении от таможенных пошлин, E - фиктивная переменная,
равная 1 для тех лет, в которые курс доллара на международных валютных рынках был искусственно завышен, и 0 - для всех остальных лет, Y - реальный ВВП, X - реальный объем чистого экспорта, t - текущий период, t-1 - предыдущий период.
Задача 37
Макроэкономическая модель (упрощенная версия модели Клейна):
Ct  a1  b11Yt  b12Tt  1,
I t  a2  b21Yt  b22 Kt 1   2 ,
Yt  Ct  I t ,
где C – потребление, I – инвестиции, Y – доход, T – налоги, K – запас капитала, t – текущий период, t-1 –
предыдущий период.
Задача 38
Макроэкономическая модель экономики США (одна из версий):
Ct  a1  b11Yt  b12Ct 1  1t
функция потребления;
I t  a2  b21Yt  b22rt   2t
функция инвестиций;
rt  a3  b31Yt  b32 M t  b33rt 1   3t функция денежного рынка;
Yt  Ct  I t  Gt
тождество дохода,
где C – потребление, Y – ВВП, I – инвестиции, r – процентная ставка, M – денежная масса, G – государственные расходы, t – текущий период, t-1 – предыдущий период.
Задача 39
Модель Кейнса (одна из версий):
Ct  a1  b11Yt  b12Yt 1  1t
функция потребления;
I t  a2  b21Yt   2t
функция инвестиций;
Yt  Ct  I t  Gt
тождество дохода,
где C – потребление, Y – ВВП, I – валовые инвестиции, G – государственные расходы, t – текущий период, t1 – предыдущий период.
Задача 40
Модель денежного и товарного рынков:
Rt  a1  b11Yt  b12 M t  1
функция денежного рынка;
Yt  a2  b21Rt  b22 I t  b23Gt   2
функция товарного рынка;
I t  a3  b31Rt   3
функция инвестиций,
где R – процентные ставки, Y – реальный ВВП, M – денежная масса, I – внутренние инвестиции, G – реальные государственные расходы, t – текущий период, t-1 – предыдущий период.
Задача 41
Для прогнозирования спроса на свою продукцию предприятие использует следующую модель, характеризующую общую экономическую ситуацию в регионе:
Qt  a1  b11Yt   1t ,
Ct  a 2  b21Yt   2t ,
I t  a3  b31Yt 1  b32 K t 1   3t ,
Yt  Ct  I t ,
15
где Q – реализованная продукция в период t, Y – ВДС региона, C – конечное потребление, I – инвестиции, K
– запас капитала, t – текущий период, t-1 – предыдущий период.
Задача 42
Модифицированная модель Кейнса:
Ct  a1  b11Yt  1,
I t  a2  b21Yt  b22Yt 1   2 ,
Yt  Ct  I t  Gt ,
где C – расходы на потребление, Y – доход, I – инвестиции, G – государственные расходы, t – текущий период, t-1 – предыдущий период.
Задача 43
Макроэкономическая модель:
Ct  a1  b11Dt  1t ,
I t  a2  b21Yt  b22Yt 1   2t ,
Yt  Dt  Tt ,
Dt  Ct  I t  Gt ,
где C—расходы на потребление, Y – чистый национальный продукт, D – чистый национальный доход, I –
инвестиции, T – косвенные налоги, G – государственные расходы, t – текущий период, t-1 – предыдущий
период.
Задача 44
Дана следующая структурная форма модели:
Ct  b1  b2 St  b3 Pt ,
St  a1  a2 Rt  a3 Rt 1  a4t ,
Rt  St  Pt ,
где
Ct -- личное потребление в период t, St - зарплата в период t, Pt -- прибыль в период t, Rt -- общий доход в период t, Rt 1 -- общих доход в период t-1, t-1 – предыдущий период.
Задача 45
Имеется модель кейнсианского типа:
Ct  a1  b11Yt  b12Tt  1
I  a  b Y  
 t
2
21 t 1
2

Tt  a3  b31Yt   3
Yt  Ct  I t  Gt
функция потребления;
функция инвестиций;
функция налогов;
тождество дохода
где C – совокупное потребление в период t, Y – совокупный доход в период t, I – инвестиции в период времени t, T – налоги в период времени t, G – государственные расходы в период времени t, Yt-1 – совокупный
доход в период t-1.
Задача 46
Гипотетическая модель экономики:
Ct  a1  b11Yt  b12 J t  1,
J t  a2  b21Yt 1   2 ,
Tt  a3  b31Yt   3 ,
Yt  Ct  J t  Gt ,
где C – совокупное потребление в период t, Y – совокупный доход в период t, J – инвестиции в период t, T налоги в период t, G – государственные доходы в период t, t – текущий период, t-1 – предыдущий период.
16
Задача 47
Модель спроса и предложения кейнсианского типа:
Qts  a1  a2 Pt  a3 Pt 1  1
предложение;
Qtd  b1  b2 Pt  b3Yt   2
спрос;
Qts  Qtd
тождество,
Qtd -- спрос на товар в момент времени t, Qts -- предложение товара в момент времени t, Pt -- цена товара в момент времени t, Yt -- доход в момент времени t, Pt 1 -- цена товара в предыдущий период, t – текущий
где
период, t-1 – предыдущий период.
Задача 48
Модель спроса и предложения на деньги:
Rt  a1  b11M t  b12Yt  1,
Yt  a2  b21Rt   2 ,
где R – процентные ставки в период t, Y – ВВП в период t, M – денежная масса в период t, t – текущий период, t-1 – предыдущий период.
Задача 49
Модель денежного рынка:
Rt  a1  b11M t  b12Yt  1,
Yt  a2  b21Rt  b22 I t   2 ,
I t  a3  b33 Rt   3 ,
где R – процентные ставки, Y – ВВП, M – денежная масса, I – внутренние инвестиции, t – текущий период,
t-1 – предыдущий период.
Задача 50
Рассматривается следующая модель:
St  a1  b11Dt  b12 M t  b13Unt  1,
Ct  a2  b21Dt  b22 St  b23Unt 1   2 ,
Dt  a3  b31St  b32Ct 1  b33 I t   3 ,
где St -- заработная плата в период t, Dt -- чистый национальный доход в период t, M t - денежная масса в
период t, Ct - расходы на потребление в период t, Ct 1 -- расходы на потребление в период t-1, Unt -- уровень безработицы в период t, Unt 1 -- уровень безработицы в предыдущий период, I t - инвестиции в период
t, t - текущий период,
t-1 – предыдущий период.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Предмет эконометрики.
Эконометрические переменные и эконометрические модели.
Задачи, решаемые с помощью эконометрических моделей.
Типы данных и виды переменных в эконометрических исследованиях.
Основные этапы эконометрического моделирования.
Основные проблемы эконометрического моделирования.
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.
Спецификация модели.
Двумерная (однофакторная) регрессионная модель.
17
10. Метод наименьших квадратов.
11. Линейная регрессия.
12. Нелинейная регрессия по включаемым в нее объясняющим переменным, но линейная
по оцениваемым параметрам.
13. Нелинейная регрессия по оцениваемым параметрам.
14. Множественная регрессия.
15. Проверка гипотезы о значимости уравнения регрессии в целом.
16. Показатели качества регрессии.
17. Виды систем эконометрических уравнений.
18. Необходимое условие, достаточное условие идентификации уравнения модели.
19. Структурная и приведенная форма модели.
20. Эконометрика как наука.
22. Предмет, цель и задачи эконометрики.
23. Эконометрическая модель – основа механизма эконометрического моделирования.
Классы моделей.
24. Оценка параметров парной линейной регрессии и их экономическая интерпретация.
25. Расчет и интерпретация коэффициента корреляции для парной линейной регрессии.
26. Коэффициент детерминации и его характеристика.
27. Средняя ошибка аппроксимации.
28. Расчет индекса корреляции для парной нелинейной регрессии.
29. Отбор факторных признаков при построении множественной регрессии.
30. Оценка параметров множественной регрессии.
31. Множественная и частная корреляция.
32. Понятие мультиколлинеарности и способы ее устранения.
33. Частный коэффициент корреляции.
34. t-критерий Стьюдента в оценке значимости коэффициента корреляции.
35. Понятие о коэффициенте эластичности и его характеристика.
36. Прогнозирование по уравнению регрессии.
33. Общее понятие о системе одновременных уравнений и ее составление.
34. Косвенный метод наименьших квадратов: алгоритм и условия применения.
18