Моделирование стучайных процессов с заданными числовыми

Тема 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С
ЗАДАННЫМИ ВЕРОЯТНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Цель лабораторной работы: изучение методики и алгоритмов получения
на ПЭВМ последовательностей псевдослучайных чисел с экспоненциальной
корреляционной функцией, моделирующих реализации случайных процессов с заданными вероятностными характеристиками.
1. Основные понятия и определения
Моделирование - особая форма эксперимента, проводимого не на самом
изучаемом объекте - оригинале, а на его заменителе, называемом моделью.
Моделирование как метод познания включает два этапа: эксперименты на
модели и перенос полученных знаний с модели на изучаемый объект. При
этом важнейшим условием является объективное соответствие между моделью и оригиналом, в частности, подобие - геометрическое, физическое,
функциональное и т.п.
Процесс - изменение любого параметра или показателя системы во времени
или по любому другому параметру.
Пример процесса с временным аргументом: изменение натяжения нити на
входе технологического объекта (трикотажной машины, ткацкого станка,
мотальной машины и др.). Пример процесса с не временным аргументом:
изменение линейно плотности пряжи по ее длине, изменение плотности
намотки бобины по ее радиусу.
Случайный процесс - изменение параметра во времени или по любому
другому параметру, имеющие вид хаотических колебаний, без какой бы то
ни было закономерности, регулярности.
Реализация случайного процесса - это тот вид, который процесс имел на
интервале времени [0,T]. Изучение случайного процесса на практике
осуществляют с использованием одного из двух подходов (а иногда и
комбинируя их): по одной достаточно длинной реализации и по ансамблю
(набору) реализаций. При выборе подхода к изучению учитывают такие
свойства случайного процесса, как стационарность и эргодичность.
Случайный процесс называется стационарным, если его математическое ожидание и дисперсия - постоянные величины, а корреляционная
функция зависит только от расстояния между сечениями процесса. Если
реализация случайного процесса - числовая последовательность, то элементы
этой последовательности и есть сечения процесса. Мерой расстояния между
ними является разность их порядковых номеров.
Случайный процесс является эргодическим, если общий вид его
реализаций примерно одинаков. Более точное определение эргодичности
возможно лишь на основе спектральных представлений о случайных процессах.
Центрирование случайного процесса - математическая операция вычитания из текущих значений процесса соответствующих по аргументу значений
его математического ожидания. Для стационарного случайного процесса
центрированный случайный процесс имеет нулевое математическое
ожидание.
Корреляция - связь между случайными величинами, не имеющая, вообще
говоря, строго функционального характера. В отличие от функциональной
связи корреляция рассматривается тогда, когда одна из величин зависит не
только от данной другой, но и от ряда случайных факторов. Количественной
мерой тесноты корреляционной связи является коэффициент корреляции,
определенный на отрезке [-1, 1].
Корреляционная функция - одна из трех характеристик случайных
процессов. По определению - это зависимость коэффициента корреляции от
расстояния между сечениями изучаемого процесса. График корреляционной
функции называется коррелограммой. Математически корреляционная функция может описываться различными выражениями. При описании ее показательной функцией вида y=exp(x) корреляционная функция называется
экспоненциальной, т.к. график такой функции называется экспонентой.
Функция распределения случайной величины - функция, описывающая
зависимость между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления (упрощенная трактовка понятия применительно к
дискретным случайным величинам). В зависимости от вида этой функции
различают равномерно распределенные, нормально распределенные и др.
случайные величины.
Псевдослучайные числа – числа, получаемые по определенным
алгоритмам и удовлетворяющие введенным критериям случайности.
2. Общее представление о структуре случайного процесса
С наиболее общих позиций случайный процесс состоит из двух составляющих: детерминированной Yд (t) (неслучайной, функциональной) и случайной. Случайная, в свою очередь, также включает две компоненты: коррелированную Yк (t) и некоррелированную Yнк (t). Таким образом, если Y(t) – случайный процесс, то общее представление его таково:
Y(t) = Yд (t) + Yк (t) + Yнк (t)
(1)
Задача моделирования такого процесса заключается в том, что построить
каждую из трех его составляющих и, сложив их, получить модель изучаемого
процесса. Для того, чтобы соотношение (1) действительно было моделью
изучаемого процесса, необходимо модель строить, используя информацию
об этом процессе. Такую информацию получают по реализации (или
ансамблю реализаций) изучаемого процесса. Поэтому методически
моделирование случайного процесса начинается с получения его реализации и
определения по ней трех характеристик случайного
процесса:
математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции.
3. Моделирование случайной составляющей процесса
3.1. Моделирование некоррелированной составляющей
Некоррелированная составляющая случайного процесса моделируется
последовательностью некоррелированных псевдослучайных чисел (ПСЧ) с
заданной функцией распределения. ПСЧ с любой функцией распределения
можно получить из ПСЧ с равномерной функцией распределения. Поэтому
получение ПСЧ с равномерной функцией распределения является отправной
задачей решаемой при построении моделей любых случайных процессов.
3.2 Получение равномерно распределенных псевдослучайных чисел
Алгоритм получения ПСЧ с равномерной функцией распределения имеет
следующий вид:
□ - n-ое и (п-1)-ое псевдослучайные числа равномерной функцией
распределения на интервале [0; 1];
М - достаточно большое целое число;
{ } - символ, обозначающий дробную часть числа.
В первом цикле работы по данному алгоритму n=1 и необходимо задать
величину ξ0 , называемую стартовым числом. Оно зависит от типа
ЭВМ, применяемой для генерирования ПСЧ, и определяется
по
формуле:
где
где г - число двоичных разрядов, отводимых под мантиссу числа, вводимого
в эту ячейку. Величиной г определяется и значение постоянной М в
выражении (2). Пусть р - некоторое число, наибольшее значение
которого выбирается из неравенства:
5 2р + 1 < 2 г
Тогда:
М = 5 2р+1
Некоррелированные числа
Z i , моделирующие некоррелированную
составляющую, являются псевдослучайными числами, распределенными на
интервале [- а; а] и получаются по формуле:
Zi = a (2ξi - 1)
ξi - псевдослучайные числа, равномерно распределенные на интервале [0;
1], полученные по алгоритму, описанному выше. Величина “а” определяется
путем подбора, так чтобы дисперсия модели процесса была равна дисперсии
самого исследуемого процесса.
3.3 Моделирование коррелированной составляющей
случайного процесса
Для моделирования коррелированной составляющей с экспоненциальной корреляционной функцией используются так называемые процессы
авторегрессии. Их математическое представление имеет вид:
Yi - воспроизводимые ПСЧ с заданной функцией распределения;
βi - постоянные коэффициенты, определяющие интервал корреляции в
последовательности генерируемых ПСЧ;
Zi - псевдослучайные некоррелированные числа с заданной функцией
распределения на отрезке [0; 1];
m - порядок авторегрессии.
Псевдослучайные числа Y, воспроизведенные по данному алгоритму,
имеют математическое ожидание равное нулю.
3.4 Случайные функции и их характеристики
Случайной функцией называется функция X(t), значение которой при
любом значении аргумента является случайной величиной. Можно сказать и
так: случайной функцией называется функция, которая в результате опыта
может принять тот или иной конкретный вид, принимаемый случайной
функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции. Так
как на практике аргумент t чаще всего является временным, то случайную
функцию чаще называют случайным процессом. На рис. 1 изображено
несколько реализаций некоторого случайного процесса.
Рисунок 1 – Ансамбль реализаций случайной функции
Если зафиксировать значение аргумента t (см. рис. 1), то случайная
функция X(t) превратиться в случайную величину, которая называется
сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t.
Пусть имеется случайная функция X(t). Возникает задача описать ее с
помощью одной или нескольких неслучайных характеристик.
В качестве первой из них естественно принять функцию mx(t) = M(X(t))
- математическое ожидание случайного процесса.
В качестве второй - среднее квадратичное отклонение случайного
процесса:
Эти характеристики являются некоторыми функциями от t. Первая из
них это средняя траектория для всех возможных реализаций. Вторая
характеризует возможный разброс реализаций случайного процесса около
средней траектории. Но этих характеристик недостаточно. Важно знать
зависимость между различными сечениями случайного процесса, т.е. между
случайными величинами X(ti) и X(tJ). Эту зависимость можно характеризовать с помощью корреляционного момента, который определяется как математическое ожидание произведения отклонений случайных величин от их
средних значений:
R x(t 1 ,t 2 ) = M[(X(t 1 ) - mx(t 1 )) - (X(t 2 ) - mx(t 2 ))]
(3)
Пусть имеются два случайных процесса, по несколько реализаций,
которых изображено на рис. 2 и 3:
Рис. 2
Рис. 3
У этих случайных процессов примерно одинаковые математические
ожидания и средние квадратичные отклонения. Тем не менее, это различные
процессы. Всякая реализация для случайной функции X1(t) медленно меняет
свои значения с изменением t, чего нельзя сказать о случайной функции X2(t).
У первого процесса зависимость между сечениями X1(t) и X1(t+т) будет
больше, чем зависимость для сечений X2(t) и X2(t+т) второго процесса, т.е.
Rx1(t, t+т) убывает медленнее, чем Rx2(t, t+т), при увеличении т. Во втором
случае процесс быстрее «забывает свое прошлое».
Изменение силы корреляционной связи между сечениями случайного
процесса X(t) с увеличением интервала между сечениями т может быть
представлено в виде корреляционной функции:
(4)
■
С
.-
Графическое изображение корреляционной функции называется коррелограммой. Коррелограмма корреляционной функции экспоненциального
Рис. 4
типа представлена на рис. 4. Она показывает, что, чем дальше сечения случайной
функции отстоят друг от друга, тем слабее они коррелированны.В случае
центрированного случайного процесса числитель формулы (2) будет иметь вид:
M[X(t) X(t+ т)],
т.к. mx (t) = 0. Знаменатель этой же формулы станет равным дисперсии Dx(t),
Для дискретного случайного процесса, когда т - есть разность порядковых
номеров сечений процесса X(t), корреляционный момент и дисперсия определяпо ются формулам:
(8)
где n - число сечений в исследуемой реализации случайного процесса.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. По заданной реализации дискретного случайного процесса определить
величину ординат процесса в узловых ее точках. Результаты измерений
представить в виде таблицы:
№ сечения (X)
1
2
N
2. С помощью формул (8), (7) и (4) определить дисперсию исходного
случайного процесса, а так же корреляционный момент Rх(т), и значения
корреляционной функции р(т) при т = 1,2,3,4,5.
Для этого пользуясь таблицей, для каждого значения т определяют
корреляционный момент: так для т=1 формула (7) примет вид:
Значение ординаты (X,, мм)
для х=2 и
3. Построить график корреляционной функции и определить коэффициенты
авторегрессии второго порядка, решив систему уравнений:
или
4. Воспроизвести последовательность псевдослучайных чисел в соответствии с
уравнениями авторегрессий первого и второго порядков:
При этом некоррелированные числа Zj являются псевдослучайными
числами распределенными на интервале [-а; а] и получаются по формуле:
ξi - псевдослучайные числа, равномерно распределенные на интервале [0; 1],
полученные по алгоритму, описанному выше.
Величина “а” определяется путем подбора, таким образом, чтобы дисперсия модели процесса была равна дисперсии самого исследуемого процесса.
СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
Название темы и формулировку цели лабораторной работы.
Определения понятий: моделирование, процесс, случайный процесс.
Реализацию моделируемого процесса.
Формулы для вычислений трех характеристик моделируемого процесса.
Вычисленные значения характеристик моделируемого процесса:
математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции.
Формулы для вычисления параметров моделирующих авторегрессий:
коэффициентов авторегрессий и параметра “a” для некоррелированной
Z – последовательности, входящей в состав авторегрессии;
Выражения для моделирующих авторегрессий с конкретными значениями
их коэффициентов;
Реализацию моделирующей авторегрессии, наложенную в цвете,
отличном от цвета реализации моделируемого процесса, на реализацию
моделируемого процесса.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.
Реализация случайной функции это ее:
1. графическое изображение;
2. график;
3. вид, который она принимала на интервале наблюдения;
4. графическая регистрация случайной функции с помощью технических
средств.
2.
Первой характеристикой случайной функции является математическое
ожидание. Математическое ожидание это:
1. неслучайная функция, описывающая изменение наиболее вероятного
значения случайной функции в каждом ее сечении;
2. функция, являющаяся мерой не случайного в случайном;
3. обычное среднее.
3.
Второй характеристикой случайной функции является дисперсия.
Дисперсия это:
1. количественная характеристика случайного процесса, не имеющая
определенного физического смысла;
2. количественная
мера
интенсивности
случайных
колебаний
наблюдаемой характеристики относительно математического ожидания;
3. количественная мера изменчивости наблюдаемой характеристики
случайного процесса;
4. средний квадрат отклонения случайного процесса от математического
ожидания;
4.
Третьей характеристикой случайной функции является корреляционная
функция. Корреляционная функция это:
1. функция, описывающая зависимость коэффициента корреляции между
сечениями случайной функции от расстояния между ними;
2. характеристика изменчивости случайного процесса;
3. характеристика случайного процесса, не имеющая определенного
физического содержания.
4. характеристика тесноты связи между мгновенными значениями
случайного процесса.
5.
Корреляционные связи это связи:
1. обусловленные пространственно-временным синхронизмом;
2. нечеткие причинно-следственные;
3. особый вид связей, не сводимых ни к первой, ни ко второй трактовке.
6.
Аргументом корреляционной функции числовой последовательности
является “расстояние” между ее элементами. В качестве меры этого
“расстояния” для числовой последовательности принимается:
1. разность элементов;
2. число элементов, расположенных между парой рассматриваемых
элементов;
3. разность порядковых номеров элементов;
4. порядковый номер элемента;
5. сумма порядковых номеров элементов.
7.
Случайный процесс это:
1. процесс, описываемый случайной функцией;
2. процесс x(t), значение которого при любом значении аргумента t
является случайной величиной;
3. процесс, в котором отсутствуют закономерности, устойчивые связи
между мгновенными значениями, который имеет вид хаотических,
нерегулярных изменений;
4. цепь случайных событий;
5. цепь случайных величин, связанных корреляционными связями.
8.
Модель случайного процесса – это:
1. функция или числовая последовательность, описывающая с требуемой
точностью одну из его реализаций;
2. последовательность псевдослучайных чисел, математическое ожидание
и дисперсия которой отличается от одноименных характеристик
моделируемого процесса на величины, не превышающие заданных;
3. последовательность псевдослучайных чисел, значения корреляционной
функции которой отличается от соответствующих значений
корреляционной функции моделируемого процесса на величины, не
превышающие заданных;
4. суперпозиция последовательностей неслучайных и псевдослучайных
чисел;
5. суперпозиция детерминированной и случайной составляющих,
математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция
которой отличаются от одноименных характеристик моделируемого
процесса на величины, не превышающие заданных.
9.
Моделирование случайных процессов применяется для:
1. проведения экспериментов по изучению объектов или процессов тогда,
когда проведение прямых экспериментов на них невозможно или
нежелательно;
2. упрощения процедуры изучения объектов или процессов;
3. построения математических описаний изучаемых объектов или процессов;
4. того, чтобы сделать эксперименты, связанные с изучением объектов или
процессов полностью управляемыми;
5. для выработки стратегий управления ими;
6. для достижения любой из перечисленных целей.
10. Для моделирования случайных процессов используются авторегрессии.
Авторегрессия это:
1. числовая
последовательность,
построенная
по
специальным
алгоритмам;
2. коррелированная числовая последовательность;
3. числовая последовательность, каждый элемент которой является
линейной комбинацией некоторого числа предшествующих элементов;
4. числовая последовательность, каждый элемент которой определенным
образом связан с предшествующими элементами;
5. ряд некоррелированных псевдослучайных чисел.
11. Для расчета коэффициентов авторегрессии необходимо знать:
1. значения математического ожидания моделируемого процесса при
некоторых значениях аргумента;
2. значения дисперсии моделируемого процесса при некоторых значениях
аргумента;
3. значения математического ожидания и дисперсии моделируемого
процесса при некоторых значениях аргумента;
4. значения корреляционной функции моделируемого процесса при
некоторых значениях ее аргумента;
5. значения всех трех названных характеристик моделируемого
случайного процесса при некоторых значениях их аргументов.
12. Основной характеристикой авторегрессии является ее порядок, равный
числу предшествующих ее элементов, по которым строится каждый ее
последующий элемент. Выбор порядка авторегрессии осуществляется:
1. произвольно;
2. исходя из физического смысла моделируемого случайного процесса;
3. по корреляционной функции, определяемой по реализации
моделируемого случайного процесса;
4. по признакам 2 и 3.
13. Для моделирования некоррелированной составляющей случайного
процесса используются псевдослучайные числа – ПСЧ. ПСЧ это:
1. числа, не связанные друг с другом какой-либо зависимостью;
2. числа, выбранные из некоторого числового массива наугад;
3. числа, получаемые по определенным алгоритмам удовлетворяющие
принятым критериям случайности;
4. числа, не являющиеся по способу получения случайными, но
способными их заменить в некоторых случаях;
5. числа, практически не отличимые от истинно случайных, но которые
можно получить алгоритмически в неограниченном количестве.
14. Равномерно распределенные и нормально распределенные ПСЧ отличаются
тем, что:
1. равномерно распределенные ПСЧ не имеют наиболее вероятного
значения, а нормально распределенные ПСЧ его имеют;
2. равномерно распределенные ПСЧ имеют наиболее вероятное значение,
а нормально распределенные ПСЧ его не имеют;
3. при обоих распределениях ПСЧ не имеют наиболее вероятного
значения;
4. при обоих распределениях ПСЧ имеют наиболее вероятные значения.
15. С наиболее общих позиций случайный процесс представляет собой
суперпозицию двух составляющих: детерминированной и случайной. В
суперпозиции эти две составляющие остаются теми же, что и до
объединения их в ее составе:
1. нет, т.к. уже факт построения суперпозиции в виде их суммы неизбежно
изменяет их;
2. да, т.к. суперпозиция – это не что иное, как линейная комбинация
детерминированной и случайной составляющих, которая вследствие
именно линейности не способна качественно повлиять на объединяемые
в ее составе эти составляющие;
3. нет, т.к. суперпозиция, хоть и имеет вид суммы, несводима ни к одной
из ее составляющих.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
ОСНОВНАЯ
1. Севостьянов А. Г., Севостьянов П. А. Моделирование технологических
процессов: Учебник. – Москва : Легкая промышленность. - 1984. - 312 с.
2. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. Москва : Наука, 1978. –
148 с.
3. Ермаков С. М., Михайлов К. А. Курс статистического моделирования.Москва : Наука, 1976 г. – 250 с.
4. Фурунжиев Р. И. Вычислительная техника и ее применение. Минск,
Вышэйшая школа, 1975 г. – 303 с.
5. Колесов Ю. Б. Моделирование систем. Практикум по компьютерному
моделированию : учебное пособие. - Санкт-Петербург : БХВ-Петербург, 2007. –
430 с.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ
1. Виноградов Ю. С. Математическая статистика и ее применение в
текстильной и швейной промышленности. – Москва : Легкая индустрия, 1970 г. 148 с.
2. Новый политехнический словарь / гл. ред. Ишлинский А. Ю., Дубровский
В. А. – Москва : Большая Российская энциклопедия, 2003. – 671 с.
3. Половинкин А. И. Основы инженерного творчества : учебное пособие . – 3е изд. стер. – Санкт-Петербург : Лань, 2007. – 361 с.
4. Сторожук О. А. Моделирование и вариантное прогнозирование развития
техники : научная монография. – Москва, Машиностроение, 2005. – 252 с.
5. Литвинов Б. В. Основы инженерной деятельности : курс лекций. – изд. 2-е,
испр. и доп. – Москва : Машиностроение, 2005. – 288 с.