Сарафанова Ольга Владимировна Преподаватель Волгоградского филиала федерального государственного бюджетного

Сарафанова Ольга Владимировна
Преподаватель Волгоградского филиала
федерального государственного бюджетного
образовательного учреждения
инклюзивного высшего образования
«Московский государственный
гуманитарно-экономический университет»
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ЛЕКЦИИ С ПОЯСНЕНИЯМИ. РАЗДЕЛ ТРИГОНОМЕТРИЯ.
Пояснительная записка
В каждом учебном заведении есть студенты, которым приходится
изучать отдельные темы или даже целые разделы дисциплины математика
самостоятельно. Это студенты, которые пропускают занятия по тме или
иным причинам – по болезни, по причине привлечения к общественной
жизни (конкурсы, олимпиады, соревнования и проч.), а также студенты
заочного отделения (ведь большую часть материала им приходится изучать
самостоятельно). Используя для этого учебники или Интернет – ресурсы,
они не всегда понимают написанное, так как зачастую необходимая «база»
знаний и умений для усвоения этого материала отсутствует или очень
непрочная, а знающего человека (учителя, преподавателя), который может
многое прояснить, рядом нет. Слова в тексте «аналогично», «выполните
рассуждения самостоятельно», «вспомните предыдущие законы и правила»,
а также промежуточные вычисления (которые порой пропускаются в
учебника вызывают непонимание. Все это приводит к тому, что студенты не
усваивают изучаемую тему, непонимание наслаивается и приводит к
нежеланию продолжить самостоятельное изучение, а в дальнейшем и к
нежеланию изучать другие темы по математике.
Получается противоречие. С одной стороны множество справочного
материала и доступность к нему, а с другой – невозможность (для
некоторых студентов) самостоятельно изучить тему, по причине отсутствия
живого педагога, который сможет более доходчиво и наиболее простым
языком объяснить «как», «что», «зачем» и «почему». Эти противоречия
вызвали необходимость в создании «Лекций с пояснениями».
Данное пособие содержит лекции с пояснениями по основным темам
раздела «Тригонометрия».
В
теме
«Числовая
окружность.
Радианное
измерение
углов»
рассматривается понятие числовой окружности и правила перевода из
градусов в радианы и наоборот. В результате изучения этой темы
обучающиеся получают окружность, на которой изображены точки,
соответствующие углам в градусах и радианах и их координаты.
В теме «Синус и косинус. Тангенс и котангенс» дается понятие синус,
косинус, тангенс и котангенс и объясняется правила их вычисления с
использованием тригонометрического круга.
В теме «Тригонометрические функции их свойства и графики»
рассматриваются тригонометрические функции синус, косинус, тангенс и
котангенс их графики и свойства.
Тема «Формулы приведения» дает понятие формул приведения,
объясняет правила применения этих формул на примерах.
В темах «Арккосинус. Решение уравнения Cos x  a », Арксинус.
Решение уравнения Sin x  a », «Арктангенс. Решение уравнения tg x  a »,
«Арккотангенс. Решение уравнения
соответствующим
функциям,
ctg x  a » даются определение
формулы
для
решения
простейших
тригонометрических уравнений и на примерах показывается техника их
решения.
И далее, в теме «Простейшие тригонометрические уравнения» на
различных примерах с подробными пояснениями описывается технология
решения этих уравнений.
В тему «Основные тригонометрические тождества» включены не
только сами тождества, но и примеры их использования для решение
различных задач.
Линия Тригонометрические уравнения продолжается в следующих
темах «Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным», и
«Однородные тригонометрические уравнения». Здесь не только приводится
общая схема решения подобных уравнений, но и на примерах с
пояснениями рассматриваются конкретные примеры применения этих
методов.
Рекомендовано при изучении раздела Тригонометрия при получении
среднего образования, а также всем интересующимся.
Тема Числовая окружность. Радианное измерение углов.
Определение
Пусть дана единичная окружность (ее радиус R=1), на ней отмечена
начальная точка A – правый конец горизонтального диаметра. Поставим в
соответствие каждому действительному числу t точку окружности по
следующему правилу:
1) Если t>0, то, двигаясь из точки А в направлении против часовой
стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по
окружности путь АМ длиной t. Точка М и будет искомой точкой М(t).
2) Если t<0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке
(отрицательное направление обхода окружности), опишем по
окружности путь АМ длиной |t|. Точка М и будет искомой точкой
М(t).
3) Числу t=0, поставим в соответствие точку А; А=А(0).
Единичную окружность с установленным соответствием (между
действительными числами и точками окружности) будем называть
числовой окружностью.
Рассмотрим числовую окружность
Длина окружности то l  2R, т.к. R=1, то
l  2 . С другой стороны, если повернуть
радиус от точки А вокруг окружности до
точки А, получим угол 3600.
Таким образом 360  2
Если точка М числовой окружности
соответствует числу t , то она соответствует и
числу вида t  2k , где k - любое целое число
0
(k  Z )
Определение
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна одному
радиусу, называется углом в 1 радиан.
Определение
Дуга в 1 радиан содержит
Определение
Дуга в 10 содержит
180

градусов, т.е.

радиан, т.е
180
 180 
1 радиан  

  
  
10  
 радиан
 180 
0
Примеры перевода градусов в радианы и радианы в градусы
1) Найти радианную меру угла, равного 540
Решение:
  
  
0
10  
  54 радиан (после сокращения на 18)
 радиан , значит 54  
 180 
 180 
3
получим: 540    радиан
 10 
2
2) Найти градусную меру угла, равного
радиан.
3
Решение:
2
 180 
 180 2 
1 радиан  
радиан  

 , значит
 (после сокращения на 3 и на 
3
  
  3 
2
радиан  1200
) получим:
3
0
0
Поместим числовую окружность в декартовую систему координат таким
образом, чтобы центр этой окружности совпал с началом координат. Для
любой точки М(x,y) числовой окружности выполняются неравенства
 1  x  1;  1  y  1
Найдем координаты точки М(x,y) числовой
окружности, соответствующей дуге в 300 (или

6
радиан). Сделаем дополнительные
построения: опустим перпендикуляр из точки
М на ось OX, получим прямоугольный
треугольник MOP , у которого MOP  30 и
длина отрезка MP соответствует ординате
точки М, т.е MP=y, а длина отрезка OP
соответствует абсциссе точки М, т.е OP=x
(смотри рисунок 1). Так как катет, лежащий
против угла 300 равен половине гипотенузы,
0
Рис 1
1
1
1
PM  OM ; т.к. OM  R  1, то PM  1  ,
2
2
2
то
1
1
т.е. PM  , а значит y 
2
2
По теореме Пифагора
1
4 1
3
1
PO  OM  PM  1     1  
 
4
4 4
2
2
2
2
Т.о. PO 
2
2
 3 1
3
3
, т.е. x 
, а значит М  ; 
2
2
 2 2
(смотри рисунок 2)
Рис 2
Найдем координаты точки М(x,y)
числовой окружности,
соответствующей дуге в 450 (или

4
радиан). Сделаем дополнительные
построения: опустим перпендикуляр
из точки М на ось OX, получим
прямоугольный треугольник MOP , у
которого MOP  45 и длина отрезка
MP соответствует ординате точки М,
Рис 3
т.е MP=y, а длина отрезка OP
соответствует абсциссе точки М, т.е
OP=x (смотри рисунок 3). Так как
сумма углов треугольника равна 1800,
то PМО  45 . В треугольнике два
равных угла, значит он –
равнобедренный, и значит РО=МР, т.е.
x=y. Так как М лежит на окружности,
то ее координаты удовлетворяют
уравнению окружности x  y  1 .
0
0
2
2
 xy
подставим
2
2
x  y  1
Рис 4
Получим систему 
x вместо y во второе уравнение,
получим
x2  x2  1  2x2  1  x2 
, т.к. y=x, то y 
1
1
2
x

2
2
2
2
.
2
 2 2
 (смотри рисунок 4)
М 
;

2
2


Найдем координаты точки М(x,y) числовой
окружности, соответствующей дуге в 600 (или

3
радиан). Сделаем дополнительные
построения: опустим перпендикуляр из точки
М на ось OX, получим прямоугольный
треугольник MOP , у которого MOP  60 и
длина отрезка MP соответствует ординате
точки М, т.е MP=y, а длина отрезка OP
соответствует абсциссе точки М, т.е OP=x
(смотри рисунок 5). Так как катет, лежащий
против угла 600 равен половине гипотенузы,
0
Рис 5
1
1
1
PО  OM ; т.к. OM  R  1, то PО  1  ,
2
2
2
то
1
1
т.е. PО  , а значит x 
2
2
По теореме Пифагора
1
1
PМ  OM  PО  1     1  
4
2
2
2
Т.о. PМ 
2
3
, т.е.
2
2
y
4 1
3
 
4 4
2
1 3
3
, а значит М  ; 
2
2 2 
(смотри рисунок 6).
Рис 6
Найдем координаты точки М(x,y) числовой
окружности, соответствующей дуге в 900 (или

2
радиан) (смотри рис 7). Так как точка М
лежит на оси OY и на окружности, то зная,
что радиус R=1 можно утверждать, что x=0,
y=1, таким образом М(0;1) (смотри рис 8).
Рис 7
Рис 8
Рассуждая аналогично, можно получить окружность, на которой
изображены точки, соответствующие углам в градусах и радианах и их
координаты.
Тема Синус и косинус. Тангенс и котангенс.
Определение
Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки
М называют косинусом числа t, а ординату точки М называют синусом числа
t.
Т.е. если М (t)=M(x,y), то
x=Cos t
y=Sin t
Правило (Вычисление косинуса)
Чтобы вычислить косинус числа t, нужно на числовой окружности найти
точку, соответствующую числу t и спроецировать ее на ось OX (пройти по
пунктирной линии вверх или вниз до оси OX).
Правило (Вычисление синуса)
Чтобы вычислить синус числа t, нужно на числовой окружности найти
точку, соответствующую числу t и спроецировать ее на ось OY (пройти по
пунктирной линии влево или вправо до оси OY).
Определение
Отношение синуса числа t к косинусу того же числа t называют тангенсом
числа t,т.е.
Sin t
tg t 
Cos t
Определение
Отношение косинуса числа t к синусу того же числа t называют котангенсом
числа t,т.е.
Cos t
сtg t 
Sin t
Так как x=Cos t и y=Sin t, то можно определить знак синуса и косинуса в
каждой из 4-х четвертей числовой окружности.
Примеры вычисления тригонометрических функций
Sin 600=
3
2
Находим на окружности точку
600 (она выделена зеленым
цветом) и проецируем ее на ось
OY (процесс проецирования
изображен зелеными
стрелками), находим значение
3
.
2
Cos
4
1

3
2
Находим на окружности точку
4
(она выделена желтым
3
цветом) и проецируем ее на ось
OX (процесс проецирования
изображен желтым цветом),
находим значение
1
.
2
tg 300 = =
Sin 300 1
3 1 2
1
3
 
 


0
Cos 30
2 2
2 3
3
3
Находим на окружности точку
300 (она выделена коричневым
цветом) и вычисляем для нее
сначала Sin 300 (спроецировав на
ось OY: коричневая стрелка),
1
2
находим значение Sin300 = , а
затем вычисляем Cos 300
спроецировав эту же точку на
ось OX: оранжевая стрелка),
находим Cos 300 =
3
2
Тема Тригонометрические функции, их свойства и графики
1
2
3
4
Функция y  Sin x
Свойства
Область определения
Множество значений
Четность
Периодичность
5
6
Нули функции
Знакопостоянство
7
Монотонность
8
Наибольшее и
наименьшее значения
График функции y  Sin x
(;)
 1;1
Нечетная, т.к. для всех x  R sin(  x)   Sin x
Периодическая с наименьшим положительным
периодом 2 , т.е. для всех x  R
sin( x  2 )  Sin x
Sin x  0 при x  k , k  Z
Sin x  0 для всех x  (2k ;   2k ), k  Z
Sin x  0 для всех x  (  2k ; 2  2k ), k  Z
y  Sin x возрастает на промежутке

 

 2  2k ; 2  2k , k  Z
y  Sin x убывает на промежутке
3


 2  2k ; 2  2k , k  Z


Sinнаи б   2k   1, k  Z
2

 3

Sinнаим 
 2k   1, k  Z
 2

1
2
3
4
Функция y  Cos x
Свойства
Область определения
Множество значений
Четность
Периодичность
(;)
 1;1
Четная, т.к. для всех x  R Cos( x)  Cos x
Периодическая с наименьшим положительным
периодом 2 , т.е. для всех x  R
Cos( x  2 )  Cos x
5
6
7
8
Нули функции
Знакопостоянство
Монотонность
Cos x  0 при
x

2
 k , k  Z

 2k ;

 2k ), k  Z
Cos x  0 для всех
x  (
Cos x  0 для всех

3
x  (  2k ;
 2k ), k  Z
2
2
2
2
y  Cos x возрастает на промежутке
   2k; 2k , k  Z
y  Cos x убывает на промежутке
2k;   2k , k  Z
Cosнаиб (2k )  1, k  Z
Наибольшее и
наименьшее значения Cos (  2k )  1, k  Z
График функции y  Cos x
наим
Функция y  tg x
Свойства
1 Область определения
2
3
4
Множество значений
Четность
Периодичность
5
6
Нули функции
Знакопостоянство
(

 n;

2
2
 ;  
 n)
Нечетная, т.к. для всех x  R tg ( x)  tg x
Периодическая с наименьшим положительным
периодом  , т.е. для всех x  R tg ( x   )  tg x
tg x  0 при
x  k , k  Z
tg x  0 для всех
x  (k ;
tg x  0 для всех
x  (

2

2
 k ), k  Z
 k ; k ), k  Z
7
Монотонность
y  tg x возрастает на промежутке

 




k
;
 k , k  Z
 2
2

8
Наибольшее и
наименьшее значения
Функция y  tg x неограниченна, поэтому не
достигает ни наибольшего ни наименьшего
значений.
График функции y  tg x
Функция y  ctg x
Свойства
1 Область определения
2 Множество значений
3 Четность
4 Периодичность
5
6
Нули функции
Знакопостоянство
(n;   n)
 ;  
Нечетная, т.к. для всех x  R сtg ( x)  сtg x
Периодическая с наименьшим положительным
периодом  , т.е. для всех x  R сtg ( x   )  сtg x
сtg x  0 при
x

2
 k , k  Z
сtg x  0 для всех
x  (k ;
сtg x  0 для всех
x  (

2

2
 k ), k  Z
 k ; k ), k  Z
7
Монотонность
y  сtg x убывает на промежутке
k;   k , k  Z
8
Наибольшее и
наименьшее значения
Функция y  сtg x неограниченна, поэтому не
достигает ни наибольшего ни наименьшего
значений.
График функции y  сtg x
Тема Формулы приведения
Формулами приведения называются соотношения с помощью которых
значения тригонометрических функций аргументов

3
  , 2   , выражаются через значения
2
2
Sin  , Cos  , tg  , ctg  .
,  ,
Все формулы приведения можно свести в таблицу
Для облегчения запоминания приведенных формул можно воспользоваться
следующими правилами:
1) Считая угол  острым углом (т.е. 0   

2
или 0    900 ) в
результате перед функцией поставить такой знак, который имеет
приводимая функция (знак определяем по тому, в какую четверть
попадает угол, знаки функций по четвертям смотри в теме «Синус и
косинус. Тангенс и котангенс»).
2) При переходе от функции углов

2

или (900   ),
3

2
или (2700   ), к функциям угла 
название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс
и наоборот;
при переходе от функции углов
   или (180   ), 2   или (360   ), к функциям угла 
название функции не изменяют.
0
0
Примеры применения формул приведения
1) Привести к тригонометрической функции острого угла и
вычислить:
а) Sin 19350; б) Cos (-15600); в) tg(-23,25  )
а) Sin 19350 Решение
Sin 1935  Sin (360  5  135 )  Т.к. через 3600 значения всех
тригонометрических функций повторяются, то
и через ( 360  5 ) тоже повторятся.
0
0
0
0
 Sin 1350  Sin (900  450 ) 
(900  450 ) - это угол II четверти, а функция
 Cos 45 
синус больше нуля в этой четверти и 900
функцию меняет, т.е. синус на косинус.
0

Находим на тригонометрическом круге точку
450 и проецируем ее на ось OX (идем по
пунктирной линии вниз до оси OX), находим
2
2
значение
2
2
б) Cos (-15600) Решение
Т.к. функция косинус четная, то Cos( )  Cos( ) , а
значит, Cos(1560 )  Cos(1560 )
Cos(1560 ) 
0
0
 Cos(15600 ) 
Т.к. через 3600 значения всех тригонометрических
функций повторяются, то и через ( 360  4 ) тоже
повторятся.
 Cos(3600  4  120 0 ) 
0
 Cos120 0 
 Cos(90  30 )   Sin 30 
0
1

2
0
0
0
(900  300 ) - это угол II четверти, а функция косинус
меньше нуля в этой четверти и 900 функцию
меняет, т.е. косинус на синус.
Находим на тригонометрическом круге точку 300
и проецируем ее на ось OY (идем по пунктирной
линии вправо до оси OY), находим значение
забывая о минусе перед функцией
1
, не
2
в) tg(-23,25  ) Решение
tg (23,25 ) 
Т.к. функция тангенс нечетная, то tg ( )  tg ( ) , а
 tg (23,25 ) 
значит, tg (23,25 )  tg (23,25 )
Т.к. через 2 значения всех тригонометрических
функций повторяются, то и через 22 тоже
повторятся.
 tg (22  1,25 ) 
(  0,25 ) - это угол II четверти, а функция тангенс
 tg (  0,25 ) 
меньше нуля, и  функцию не меняет.

 (tg ) 
4
 tg

 Sin

4
4
2
2


1
2
2
 Cos

4
Т к. tg 




Sin 
, то tg  Sin  Cos
4
4
4
Cos 
находим по тригонометрическому кругу значения
Sin

4
и Cos

4
и вычисляем их отношение.

2
2
2) Упростить выражение Cos(  )  Sin (   )  tg (   )  ctg (   )
2
2) Решение

 
 Чтобы воспользоваться формулой приведения,
Cos(  )  Cos  (   ) 
2
 2
 вынесем минус за скобочку.


 Cos    
2

 Sin 
Т.к. функция косинус четная, то Cos( )  Cos( ) ,


а значит, Cos  (   )   Cos    .

2

  Sin     
  Sin 



    угол в I четверти, а косинус в первой
2

четверти положителен и
Sin (   )  Sin  (   )  
2

2
функцию меняет (т.е.
косинус на синус)
Чтобы воспользоваться формулой приведения,
вынесем минус за скобочку.
Т.к. функция синус нечетная, то Sin ( )   Sin ( ) ,
а значит, Sin (   )  Sin    .
    - угол II четверти, а синус положительный
в этой четверти и  функцию не меняет.
tg (   )  tg 
(   ) - это угол II четверти, а тангенс
отрицательный в этой четверти и  функцию не
меняет.
ctg (   )  ctg  (   )  
 ctg     
 (ctg  ) 
 ctg 
Чтобы воспользоваться формулой приведения,
вынесем минус за скобочку.
Т.к. функция котангенс нечетная, то
ctg ( )  ctg ( ) , а значит ctg (   )  ctg   
    - это угол II четверти, котангенс в этой
четверти отрицательный и  функцию не меняет.
Подставим все найденные значения в условие т.о.

Cos(  )  Sin (   )  tg 2 (   )  ctg 2 (   ) =
2
= Sin   Sin   tg 2  ctg 2  tg 2  ctg 2
Тема Арккосинус. Решение уравнения Cos x  a
Определение
Если  1  a  1 , то арккосинусом числа a ( arccos a ) называют такое число из
отрезка 0;  косинус которого равен a .
Используя тригонометрический круг (только I и II четверть) можно легко
вычислить некоторые (табличные) значения арккосинуса.
Таблица 1
a
-1
arccos a


3
2
5
6

2
2
3
4

1
2
2
3
0
1
2




2
3
4
6
2
2
3
2
1
0
Свойство arccos a
arccos (a)    arccos a, где 0  a  1
Общее решение уравнения Cos x  a
Если a  1 , Если 1  a  1, то
то уравнение не имеет решения x   arccos a  2n, n  Z
Частные случаи
Cos x  0
x

2
 n, n  Z
(2.1)
Cos x  1
Cos x  1
x  2n, n  Z
x    2n, n  Z
(2.2)
(2.3)
(1)
(2)
Примеры решения простейших тригонометрических уравнений
относительно косинуса.
Решить уравнения
1) 2 Cos x  1
1) Решение
Разделим обе части уравнения на 2
2 Cos x  1
2 Cos x
2

1
2
Cos x 
1 2
2 2
Cos x 
2
2
x   arccos
x

4
2
 2n, n  Z
2
 2n, n  Z
Избавимся от иррациональности в
знаменателе, для этого домножим и
числитель и знаменатель на 2
Воспользуемся формулой (1.)
По Таблице 1 найдем значение arccos
2 

2
4
1
2
2) Cos 2 x   0
2) Решение
1
0
2
1
Cos 2 x 
2
1
2 x   arccos  2n, n  Z
2
Cos 2 x 
2x  

3
 2n, n  Z
2x

2n


, nZ
2
3 2
2
x
1
6

6
Перенесем
1
в правую часть уравнения (не
2
забыв поменять знак на противоположный)
Воспользуемся формулой (1)
1
2
По Таблице 1 найдем значение arccos 

3
Разделим обе части уравнения на 2
 n, n  Z
1
2
3) Cos 2 x   0
3) Решение
1
1
Cos 2 x   0
6
3
Перенесем
1
в правую часть уравнения (не
3
забыв поменять знак на противоположный).
1
1
Cos 2 x 
6
3
1 6
1 6
Cos 2 x 
6
3
Cos 2 x  2
нет решений
Домножим обе части уравнения на 6.
Т.к. 2>1, то уравнение не имеет решения.
Тема Арксинус. Решение уравнения Sin x  a
Определение
Если 1  a  1, то арксинусом числа a ( arcsin a ) называют такое число из
 
отрезка  ;  синус которого равен a .
 2 2
Используя тригонометрический круг (только I и IV четверть) можно легко
вычислить некоторые (табличные) значения арксинуса.
Таблица 2
a

-1
arcsin a
-

-
2
3
2

3

-
2
2

1
2


4
6
1
2
0
0
2
2
3
2
1




6
4
3
2
Свойство arcsin a
arcsin (a)   arcsin a
Общее решение уравнения Sin x  a
Если a  1, Если 1  a  1, то
то уравнение не имеет решения x  (1) arcsin a  n, n  Z
Частные случаи
(3)
n
Sin x  0
x  n, n  Z
(4.1)
Sin x  1
x

2
Sin x  1
 2n, n  Z
x
(4.2)
(4.3)

2
 2n, n  Z
(4)
Примеры решения простейших тригонометрических уравнений
относительно косинуса.
Решить уравнения
1) 2 Sin x  1
1) Решение
2 Sin x  1
Разделим обе части уравнения на 2
2 Sin x
1
2

2
Sin x 
1 2
2 2
Sin x 
2
2
Воспользуемся формулой (3.)
x  (1) n arcsin
x  (1) n
Избавимся от иррациональности в
знаменателе, для этого домножим и
числитель и знаменатель на 2

4
2
 n, n  Z
2
По Таблице 2 найдем значение arcsin
 n, n  Z
2 

2
4
1
2
2) Sin 2 x   0
2) Решение
Sin 2 x 
Sin 2 x 
1
0
2
Перенесем
забыв поменять знак на противоположный)
Воспользуемся формулой (3)
1
2
2 x  (1) n arcsin
2 x  (1) n
1
в правую часть уравнения (не
2

6
1
 n, n  Z
2
По Таблице 2 найдем значение arcsin
1 

2 6
 n, n  Z
2x
 n
 (1) n
 , nZ
2
62 2
 n
x  (1) n  , n  Z
12 2
1
1
3) Sin 2 x   0
6
2
Разделим обе части уравнения на 2
3) Решение
1
1
Sin 2 x   0
6
3
1
1
Sin 2 x 
6
3
1 6
1 6
Sin 2 x 
6
3
Sin 2 x  2
нет решений
Перенесем
1
в правую часть уравнения (не
3
забыв поменять знак на противоположный).
Домножим обе части уравнения на 6.
Т.к. 2>1, то уравнение не имеет решения.
Тема Арктангенс. Решение уравнения tg x  a
Определение
Арктангенсом числа a ( arctg a ) называют такое число из промежутка
  
  ;  тангенс которого равен a .
 2 2
Приведем некоторые (табличные) значения арктангенса.
Таблица 3
 3
a
-
arctg a

3
-1
-

4

-
3
3

6
0
0
3
3
1
3



6
4
3
Свойство arctg a
arctg (a)  arctg a
Общее решение уравнения tg x  a
(5)
x  arctg a  n, n  Z
Примеры решения простейших тригонометрических уравнений
относительно тангенса.
Решить уравнения
1) 3 tg x  1
1) Решение
Разделим обе части уравнения на 3
3 tg x  1
3 tg x
3

1
3
tg x 
1 3
3 3
tg x 
3
3
3
 n, n  Z
3
x  n, n  Z
x  arctg
Избавимся от иррациональности в
знаменателе, для этого домножим и
числитель и знаменатель на 3
Воспользуемся формулой (5)
По Таблице 3 найдем значение arctg
3

3
2) tg 2 x  1  0
2) Решение
tg 2 x  1  0
tg 2 x  1
2 x  arctg1  n, n  Z
2x 

 n, n  Z
4
2x

n

 , nZ
2 42 2
 n
x   , nZ
8 2
1
1
3) tg 2 x   0
6
2
Перенесем 1 в правую часть уравнения (не
забыв поменять знак на противоположный)
Воспользуемся формулой (5)
По Таблице 3 найдем значение arctg 1 

4
Разделим обе части уравнения на 2
3) Решение
1
1
tg 2 x   0
6
3
1
1
tg 2 x 
6
3
Перенесем
1
в правую часть уравнения (не
3
забыв поменять знак на противоположный).
Домножим обе части уравнения на 6.
1 6
1 6
tg 2 x 
6
3
tg 2 x  2
2 x  arctg 2  n, n  Z
x
arctg 2 n
 , nZ
2
2
Воспользуемся формулой (5), т.к. arctg 2 не
табличное значение, оставим его без
вычислений.
Тема Арккотангенс. Решение уравнения ctg x  a
Определение
Арккотангенсом числа a ( arcctg a ) называют такое число из промежутка
0;  котангенс которого равен a .
Приведем некоторые (табличные) значения арккотангенса.
Таблица 4
a
 3
-1
arctg a
5
6
3
4

3
3
2
3
0
3
3
1
3




2
3
4
6
Свойство arcctg a
arcctg (a)    arcctg a
Общее решение уравнения ctg x  a
(6)
x  arcctg a  n, n  Z
Примеры решения простейших тригонометрических уравнений
относительно котангенса.
Решить уравнения
1) 3 ctg x  1
1) Решение
Разделим обе части уравнения на 3
3 ctg x  1
3 ctg x
3

1
3
ctg x 
1 3
3 3
ctg x 
3
3
x  arcctg
x

3
3
 n, n  Z
3
 n, n  Z
Избавимся от иррациональности в
знаменателе, для этого домножим и
числитель и знаменатель на 3
Воспользуемся формулой (6)
По Таблице 4 найдем значение arcctg
3

3
2) c tg 2 x  1  0
2) Решение
c tg 2 x  1  0
ctg 2 x  1
2 x  arcctg 1  n, n  Z
2x 

4
 n, n  Z
2x

n

 , nZ
2 42 2
 n
x   , nZ
8 2
1
1
3) c tg 2 x   0
6
2
Перенесем 1 в правую часть уравнения (не
забыв поменять знак на противоположный)
Воспользуемся формулой (5)
По Таблице 3 найдем значение arcctg 1 

4
Разделим обе части уравнения на 2
3) Решение
1
1
ctg 2 x   0
6
3
1
1
ctg 2 x 
6
3
Перенесем
1
в правую часть уравнения (не
3
забыв поменять знак на противоположный).
Домножим обе части уравнения на 6.
1 6
1 6
c tg 2 x 
6
3
ctg 2 x  2
2 x  arcctg 2  n, n  Z
x
arcctg 2 n
 , nZ
2
2
Воспользуемся формулой (6), т.к. arcctg 2 не
табличное значение, оставим его без
вычислений.
Тема Простейшие тригонометрические уравнения
1) Sin x 
1
2
1) Решение
Sin x 
Воспользуемся формулой
1
2
1
2 x  (1) n arcsin    n, n  Z
2
2 x  (1) n

6
 n, n  Z
2x

n
 (1) n
 , nZ
2
62 2
 n
x  (1) n
 , nZ
12 2
2
2)  2Cos x  2
3
Sin x  a
Если 1  a  1, то
x  (1)n arcsin a  n, n  Z
По таблице арксинусов найдем
1

значение arcsin   
2
6
Разделим обе части уравнения на 2
2) Решение
2
x 2
3
2
2
Cos x  
3
2

2
2
  2n, n  Z
x   arccos 

3
 2 
2
3
x
 2n, n  Z
3
4
 2Cos
3 2
3  3 3
 x
  2n, n  Z
2 3
24 2
9
x
 3n, n  Z
8
Разделим обе части уравнения на (-2)
Воспользуемся формулой
Cos x  a
Если 1  a  1, то
x   arccos a  2n, n  Z
По таблице арккосинусов найдем

2
3
значение arccos   
 2  4
Домножим обе части уравнения на
3
, выполним сокращения и
2
умножения.

3) 3tg 4 x    3

6
3) Решение


3tg  4 x    3
6

Разделим обе части уравнения на 3

3

tg  4 x   
6
3

Воспользуемся формулой
 3
  n, n  Z
4 x   arctg 

6
 3 
По таблице арктангенсов найдем значение

4x 
4x 
4x 

6

6



6

6
 n, n  Z
tg x  a
x  arctg a  n, n  Z
 3 

arctg 
 6
3


Перенесем 

6
в правую часть уравнения, не
забыв поменять знак на противоположный.
 n, n  Z
2
 n, n  Z
6
Выполним действие «сумма дробей» числители суммируем, записываем в
числитель, знаменатели суммируем,
записываем в знаменатель.
Сокращаем на 2 дробь
4x 

3
2
, - делим и числитель
6
и знаменатель на 2.
 n, n  Z
4x

n

 , nZ
4 43 4
 n
x
 , nZ
12 4
Разделим левую и правую части уравнения на
4.
x 
4) 2Cos    3
2
6
4) Решение
x 
2Cos    3
2 6
Разделим обе части уравнения на 2.
3
x 
Cos   
2 6 2
Воспользуемся формулой
 3
x 
  2n, n  Z
   arccos

2 6
 2 
x 

    2n, n  Z
2 6
6
По таблице арккосинусов найдем значение
x  
   2n, n  Z
2 6 6
x 2

 2n, n  Z
2
6
x 
  2n, n  Z
2 3
2 x 2

 2  2n, n  Z
2
3
2
x
 4n, n  Z
3
x  
2)    2n, n  Z
2 6 6
x
 2n, n  Z
2
x  2  2n, n  Z
1)
x  4n, n  Z
Cos x  a
Если 1  a  1, то x   arccos a  2n, n  Z
 3 

arccos
 6
2



Т.к. в решении присутствует  , то
6
рассмотрим два случая: в первом оставляем в
решении 

6
и во втором оставляем 

6
Тема Основные тригонометрические тождества
Sin 2  Cos2  1,   R
1
Sin 
, Cos   0
Cos 
2
tg  
Cos    1  Sin 2
1.1
Sin    1  Cos 2
1.2
1.3
1.4
2.1
Sin 2  1  Cos 2 ,   R
Cos2  1  Sin 2 ,   R
Sin   tg   Cos 
Sin 
, tg   0
tg 
Cos  
Cos   ctg   Sin 
ctg  
Cos 
, Sin   0
Sin 
3
Sin  
tg  
tg   ctg   1
tg 2   1 
4
Cos 
, ctg   0
ctg 
3.1
3.2
1
, ctg   0
ctg 
4.1
1
, tg   0
tg 
4.2
1
5.1
ctg  
1
, Cos   0
Cos 2 
5
Cos   
1
, Sin   0
Sin 2 
6
Sin   
ctg 2   1 
2.1
tg 2   1
1
6.1
ctg   1
2
Примеры применения основных тригонометрических формул для
решения задач.
1) Упростить
Sin 2   tg 2
Cos 2   ctg 2 
1) Решение
Будем полагать, что данное выражение имеет смысл при всех допустимых
значениях 
Sin   tg  
Упростим числитель.
tg   Cos   Sin  , (формула 2.1), значит
 tg   Cos   tg  
2
2
2
2
2
 tg 2  (Cos 2   1) 
tg 2   Cos2   Sin 2
Вынесем tg 2  за скобку.
 tg 2   Sin 2   
В скобке вынесем минус за скобку.
1  Cos   Sin  ,   R (формула 1.3)
 tg 2   (1  Cos 2  )  
 tg 2   Sin 2 
2
2
Cos 2   ctg 2  
 ctg   Sin   ctg  
Упростим знаменатель.
ctg   Sin   Cos  (формула 3.1), значит
 ctg 2  ( Sin 2   1) 
ctg 2   Sin 2  Cos2 
Вынесем ctg 2  за скобку.
 ctg 2   (Cos 2  ) 
Вынесем минус за скобку.
1  Sin   Cos  ,   R (формула 1.4)
2
2
2
 ctg 2   (1  Sin 2  )  
2
2
 ctg 2   Cos 2 
Таким образом
Sin 2   tg 2

Cos 2   ctg 2 

Отрицательное число при делении на отрицательное
дает положительное (при делении минус на минус
дает плюс)
 tg 2  Sin 2 

 ctg 2   Cos 2 
1
Sin 2 
 tg  


ctg 2  Cos 2 
2
 tg 2  tg 2  tg 2 
 tg 6
3
5
1
1
 tg  (формула 4.1), значит
 tg 2 
ctg 
ctg 2 
Sin 
Sin 2 
 tg  (формула 2), значит
 tg 2 
Т.к.
2
Cos 
Cos 
Т.к
2) Известно Sin   , 90    180 , найти а) Cos  , б ) tg  , в) ctg 
0
0
2) Решение
а)
Cos    1  Sin 2 
Используем формулу 1.1.
1 9
3
  1     

1 25
5
Вместо Sin  подставляем его значение
2

25 9
16
4



25 25
25
5
3
и
5
вычисляем.
Приводим дроби
1
и
1
9
к общему
25
знаменателю 25, и вычисляем.
т.к. 90    180 , а это II четверть, а Cos  в этой четверти отрицательный, то
оставляем значение со знаком минус.
0
0
Т.о. Cos   
б)
tg  

4
5
Sin 

Cos 
3  4
  
5  5
3  5
35
3
    

5  4
5 4
4
Т.о. tg  
3
4
Используем формулу 2.
3
,
5
4
вместо Cos  подставляем его значение 
5
Вместо Sin  подставляем его значение
Деление заменяем на умножение при этом
вторую дробь переворачиваем, выполняем
сокращение на число 5.
в)
ctg  
Cos 

Sin 
4 3
  
5 5
4 5
45
4
  

5 3
53
3
Т.о. ctg  
4
3
Используем формулу 3.
3
,
5
4
вместо Cos  подставляем его значение 
5
Вместо Sin  подставляем его значение
Деление заменяем на умножение при этом
вторую дробь переворачиваем, выполняем
сокращение на число 5.
Тема Тригонометрические уравнения, приводимые к
квадратным
Решить уравнение:
1) Cos x  2Cos x  3  0
Решение:
2
Cos 2 x  2Cos x  3  0
Пусть Cos x  y,
тогда уравнение примет вид
y2  2y  3  0
a  1; b  2; c  3
Заменим в уравнении Cos x на y , в
результате получим квадратное
уравнение, решим его используя
формулу дискриминанта и корней.
D  b 2  4ac  2 2 4  1  (3)  4  12  16
 b  D  (2)  16 2  4


2a
2 1
2
24 6
y1 
  3;
2
2
24 2
y2 

 1;
2
2
при y1  3 Cos x  3,
y1, 2 
т.к. 3  1, то уравнение
не имеет решений
при
y 2  1 Cos x  1,
это частный случай
x    2n, n  Z
Ответ : x    2n, n  Z
Сделаем обратную замену, т.е. в
строке «Пусть» вместо y подставим
его первое значение, получим
уравнение Cos x  3 , оно не имеет
решения, т.к.  1  Cos x  1
Теперь в строке «Пусть» вместо y
подставим его второе значение,
получим уравнение Cos x  1 , это
частный случай, запишем его
решение.
2) 2Sin x  Cos x  2  0
2) Решение
2
2 Sin x  Cos 2 x  2  0
2 Sin x  (1  Sin x)  2  0
2
2 Sin x  1  Sin 2 x  2  0
2 Sin x  Sin 2 x  3  0
 Sin 2 x  2 Sin x  3  0
Пусть Sin x  y,
тогда уравнение примет вид
 y2  2y  3  0
a  1; b  2; c  3
D  b 2  4ac 2 2 4  (1)  3  4  12  16
Воспользуемся формулой
Cos x  1  Sin x ,
2
2
Приведем подобные слагаемые
Переставим члены уравнения по
старшинству степеней.
Заменим в уравнении Sin x на y , в
результате получим квадратное
уравнение, решим его используя
формулу дискриминанта и корней.
 b  D  2  16  2  4


2a
2  (1)
2
24
2
y1 

 1;
2
2
24 6
y2 

 3.
2
2
При y1  1 Sin x  1
y1, 2 
это частный случай
x

2
 2n, n  Z
При y 2  3 Sin x  3
т.к. 3  1, то уравнение
не имеет решение
Ответ : x  

2
 2n, n  Z
Сделаем обратную замену, т.е. в строке
«Пусть» вместо y подставим его
первое значение, получим уравнение
Sin x  1 , это частный случай, запишем
его решение.
Теперь в строке «Пусть» вместо y
подставим его второе значение,
получим уравнение Sin x  3 , оно не
имеет решения, т.к.  1  Sin x  1
Тема Однородные тригонометрические уравнения
Определение:
Уравнения вида a Sin x  b Cos x  0 (a  0, b  0) называются
однородными первой степени относительно Sin x и Cos x .
Способ решения:
Разделим почленно на Cos x  0 , в результате получается уравнение
a Sin x b Cos x

 0 (a  0, b  0)
Cos x
Cos x
a tg x  b  0
А это уже простейшее тригонометрическое уравнение.
Пример решения однородного тригонометрического уравнения первой
степени относительно Sin x и Cos x .
3Sin x  3 Cos x  0
Решить уравнение
Решение
Разделим почленно уравнение на Cos x  0 .
3Sin x  3 Cos x  0
3Sin x 3Cos x

0
Cos x
Cos x
3tg x  3  0
3tg x  3
tg x  
tg x  
Перенесем 3 в правую часть равенства, не
забыв поменять знак на противоположный.
3
3 3
3 3
tg x  

Sin x
 tg x
Cos x
Разделим правую и леву часть равенства на
3
3
3 3
3
tg x   3
Преобразуем уравнение, помня, что

Избавимся от иррациональности в
знаменателе, для этого и числитель и
знаменатель домножим на 3 . Вспомним, что
3 3.
x  arctg  3  n, n  Z
x

3
Воспользуемся формулой
 n, n  Z
tg x  a
x  arctg a  n, n  Z
Используя таблицу арктангенсов, вычислим
значение arctg  3   

3
Определение:
Уравнения вида a Sin 2 x  b Sinx Cosx  c Cos 2 x  0 (a  0, b  0)
Называются однородными тригонометрическими уравнениями второй
степени относительно Sin x и Cos x .
Способ решения
Разделим почленно на Cos x  0 , в результате получается уравнение
2
a Sin 2 x b Sin x Cos x c Cos 2 x


 0 (a  0, b  0)
Cos 2 x
Cos x
Cos 2 x
a tg 2 x  b tg x  c  0
Это тригонометрическое уравнение, которое сводится к квадратному
a t  b t  c  0 путем замены tg x  t
2
Пример решения однородного тригонометрического уравнения первой
степени относительно Sin x и Cos x .
Решить уравнение
2Sin 2 x  5Sin x Cos x  3Cos 2 x  0
Решение
2 Sin 2 x  5Sin x Cos x  3Cos 2 x  0
Почленно разделим уравнение на
Cos x  0 .
2
2 Sin 2 x 5Sin xCos x 3Cos 2 x


0
Cos 2 x
Cos x
Cos x
Преобразуем уравнение, помня, что
2tg 2 x  5tg x  3  0
Сделаем замену: tgx  y , в результате
получили квадратное уравнение,
решаем его, используя формулу
дискриминанта и корней.
Пусть tg x  y, тогда
2y2  5y  3  0
a  2; b  5; c  3
Sin 2 x
Sin x
 tg x , а значит
 tg 2 x
2
Cos x
Cos x
D  b 2  4ac   5  4  2  3  25  24  1
2
 b  D 5  1 5 1


2a
22
4
5 1 6 3
y1 
 
4
4 2
5 1 4
y2 
 1
4
4
Сделаем обратную замену
y1, 2 
y1 
при
3
2
получим
Получив корни квадратного уравнения
делаем обратную замену: в той строке,
где делали замену (строка «Пусть»)
вместо y подставляем первое
3
2
найденное значение, т.е. y  .
1
tg x 
Воспользуемся формулой
3
2
x1  arctg
3
 n, n  Z
2
tg x  a
x  arctg a  n, n  Z
3
Т.к. arctg не табличное значение,
2
оставим его без вычислений.
y 2  1 получим
при
tg x  1
В той строке, где делали замену
(строка «Пусть») вместо y
подставляем первое найденное
значение, т.е. y  1 .
Воспользуемся формулой
2
x2  arctg1  n, n  Z
x

4
 n, n  Z
Ответ : arctg
3

 n;
 n, n  Z
2
4
tg x  a
x  arctg a  n, n  Z
Используя таблицу арктангенсов,
вычислим значение arctg1 

.
4
Используемая литература
1) Крамер Н.Ш. Практикум по высшей математике – М.,2003
2) Крамер Н.Ш. Высшая математика для экономистов - М.,2004
3) Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. – М., 2009.
4) Пехлецкий И.Д. Математика – М., 2005
5) Дорофеева А.В. Высшая математика. Гуманитарные специальности.
Сборник задач: учеб. пособие для вузов.-М.:Дрофа, 2009.
6) Ткачева
М.В.
Элементы
статистики
и
вероятность:
учеб.
пособие/М.:Просвящение, 2006.
7) Прикладные задачи по математике, 5-11 классы, Петров В.А., Дрофа, 2010