В.Г. ИВАНЕНКО N СТЕПЕНИ КАК ФУНКЦИИ ЕГО СВОБОДНОГО ЧЛЕНА

УДК 004.056:378(06) Проблемы информационной безопасности в системе высшей школы
В.Г. ИВАНЕНКО
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА N-Й
СТЕПЕНИ КАК ФУНКЦИИ ЕГО СВОБОДНОГО ЧЛЕНА
Предлагается эффективный графоаналитический способ нахождения корней
полинома n-й степени как функции его свободного члена, основанный на использовании известного в технической кибернетике метода корневого годографа.
Определение корней полинома n-й степени как вычислительная задача
весьма часто встает при решении самых разных практических проблем, в
том числе и в криптографии. Известно, что для полиномов выше третьей
степени нет готовых формул вычисления их корней и решение находят
различными итерационными методами. Точность вычисления корней оказывается весьма чувствительной к значениям коэффициентов полинома, а
в случае, когда искомые корни близки друг к другу, отмеченная чувствительность становится слишком большой, что является одной из основных
проблем при решении рассматриваемой задачи.
Предлагаемый ниже способ нахождения корней полинома произвольной степени основывается на так называемом методе корневого годографа [1], хорошо известном и широко применяемом в технической кибернетике. С помощью этого метода корни полинома
An(x)=xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0
(1)
находятся графоаналитически как траектории корней характеристического уравнения
P(x)+ kQ(x)=0,
(2)
где k – изменяющийся от нуля до бесконечности параметр, а P(x) и Q(x) –
полиномы, корни которых должны быть известны. В итоге искомая задача
сводится к разложению исходного полинома (1) на полиномы P и Q, вычислению их корней и последовательности графических построений на
комплексной плоскости корней с элементарными арифметическими вычислениями, которые можно осуществить вручную или на простейшем
калькуляторе.
Нахождение корней полиномов P(x) и Q(x) (2) предлагается осуществлять так же, как и для Аn(x). В итоге процедура решения решаемой задачи
выглядит следующим образом.
1.
Из коэффициентов исходного полинома (1)
сформируем полином второй степени
A2(x)=x2+a1x+a2 ,
(3)
ISBN 5-7262-0636-3. XIII Всероссийская научная конференция
59
УДК 004.056:378(06) Проблемы информационной безопасности в системе высшей школы
корни которого находятся элементарно.
2.
Из коэффициентов выражения (1) сформируем
полином третьей степени
A3(x)=x3+a1x2+a2x+a3=x(x2+a1x+a2)+a3 ,
(4)
откуда, согласно (2), можно записать, что
P3(x)=x(x2+a1x+a2), Q3(x)=1, k3=a3.
Корни P3(x) нам известны – это два корня (3) плюс один нулевой.
Далее методом корневого годографа [1] определяем на комплексной
плоскости x траектории всех трех корней полинома (4) как функции параметра k3 и выбираем три конкретных корня, соответствующих значению
k3=a3 .
3.
Из коэффициентов уравнения (1) сформируем
полином четвертой степени
A4(x)=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=x(x3+a1x2+a2x+a3)+a4 ,
(5)
где, очевидно,
P4(x)=x(x3+a1x2+a2x+a3), Q4(x) =1, k4=a4 .
Корни P4(x) нам известны – один нулевой и еще три корня из предыдущего п.2. Затем вновь методом корневого годографа находим корни
полинома (5) как функции параметра k4 и выбираем те из них, для которых k4=a4. Далее продолжаем подобную процедуру с увеличением каждый раз степени полинома Ai(x) на единицу, пока не дойдем до степени n.
Общее число шагов, равное (n-2), можно сократить примерно вдвое,
если на каждом шаге степень полинома Ai(x) увеличивать не на 1, а на 2,
что для отмеченного выше п.2 будет выглядеть следующим образом:
A4(x)=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=x2(x2+a1x+a2)+a3(x+a4/a3),
при этом
P4(x)=x2(x2+a1x+a2), Q=x+a4/a3, k4=a3 .
Точность предлагаемого метода составляет единицы процента, а общее
время решения при некотором навыке для степени полинома 5 – 8 не превышает десятков минут.
Список литературы
1. Удерман Э. Г. Метод корневого годографа а теории автоматических систем. – М.,
Наука, 1972.
ISBN 5-7262-0636-3. XIII Всероссийская научная конференция
60