Решение квадратных уравнений в школьном курсе

Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики
Муниципальное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 37
с углубленным изучением отдельных предметов г. Чебоксары»
Методическая разработка
по теме:
«Решение квадратных уравнений
в школьном курсе математики»
выполнила:
учитель математики I категории
Яковлева Людмила Викторовна
Чебоксары, 2008
Содержание
Введение…………………………………………………………………………..1
1. Квадратные уравнения………………………………………………………...2
1.1. Основные понятия…………………………………………………………2
1.2. Способы решения квадратного уравнения……………………………….5
1.3. Формулы корней квадратного уравнения………………………………..8
1.4. Теорема Виета……………………………………………………………..10
1.5. Уравнения с параметром………………………………………………….11
1.6. Задания для самостоятельной работы. Тест……………………………..13
2. Уравнения, приводимые к квадратным уравнениям………………………..15
2.1. Дробные рациональные уравнения………………………………………15
2.2. Иррациональные уравнения……………………………………………....17
2.3. Тригонометрические уравнения………………………………………….18
2.4. Показательные уравнения………………………………………………...19
2.5. Логарифмические уравнения……………………………………………..20
2.6. Задания для самостоятельной работы……………………………………21
3. Заключение…………………………………………………………………….23
4. Список использованной литературы…………………………………………25
Приложения
1
Введение
Цель современного образования – обучение и всестороннее развитие личности,
способной к творчеству. Для достижения этой цели существует множество программ,
множество технологий обучения. В условиях стремительного развития и расширения
доступности открытых информационных сетей передача «готовых знаний» перестает
быть главной задачей учебного процесса, снижается функциональная значимость и
привлекательность традиционной организации обучения.
Основная задача обучения математики в школе – обеспечить прочное и
сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений,
необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену
современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения
образования.
Квадрат, квадратный стол, квадратная площадь – за всеми этими выражениями мы
видим ясный наглядный смысл. И вдруг появляется квадратное уравнение, квадратный
корень. Что же квадратное видим, например, в уравнении х2 + 10х = 39. Мы привыкли
произносить «квадрат суммы», «удвоенный квадрат» не придавая этим выражениям
геометрического смысла. На самом деле все они отражают взгляд на алгебру, который
сложился еще в глубокой древности, потому что людям приходилось решать
геометрические задачи на вычисление площадей.
Уравнение второй степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во II
тысячелетии до нашей эры. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения
геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем
отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих
древних математических рукописях и трактатах.
Квадратные уравнения уже встречались, начиная с 7 класса, и работаем с ними на
протяжении всего школьного курса математики. Но для их решения до сих пор
использовались либо приемы разложения на множители, либо графические методы. Но
вместе с увеличением числа различных приемов вызрела и проблема решения квадратного
уравнения, поскольку все указанные приемы недостаточно надежны. Эта проблема здесь
решена – выведена формула корней, т. е. оформлен алгоритм решения любого
квадратного уравнения.
Очень много времени тратится на решение квадратных уравнений, а ведь очень
часто они являются лишь промежуточным этапом в решении более серьезного задания,
потребность в быстром решении также обусловлена применением тестовой системы
выпускных экзаменов.
Цель разработки:
۰ систематизация и обобщение опыта работы по обучению решения квадратных
уравнений в школьном курсе математики.
۰ прослеживание применения решения квадратных уравнений к различным видам и типам
уравнений и задач школьного курса математики.
2
1. Квадратные уравнения.
1.1. Основные понятия
Квадратным уравнением называют уравнения вида ах2 + bx + с = 0, где х –
переменная, а, b, с – действительные числа, причем а ≠ 0.
а – первый коэффициент
b – второй коэффициент
с – свободный член
х2 + 6х + 5 = 0
а = 1, b = 6, с = 5
2х2 +3х – 5 = 0
а = 3, b =3,
3 – 5х2 – х = 0
а = -5, b = -1, с = 3
с = -5
Квадратное уравнение называется приведенным, если первый коэффициент, а = 1.
Неполными квадратными уравнениями называются уравнения, у которых:
■b=0
ах2 + с = 0
■с=0
ах2 + bх = 0
■b=0ис=0
ах2 = 0
Схема решения уравнения ах2 + с = 0, а ≠ 0
ах2 + с = 0
ах2 = -с
с
х2 = - –
а
с
с
с
- – >0
- – =0
- – <0
а
х1,2 = ±
3
а
с
- –
а
х=0
а
Корней нет
Схема решения уравнения ах2 = 0, а ≠ 0
ах2 = 0
х2 = 0
х=0
Схема решения уравнения ax2 + bx = 0, a ≠ 0
ax2 + bx = 0
x(a x + b) = 0
b
x1 = 0, x,2 = - –
a
Корнем квадратного уравнения ах2 + bх +с = 0 называют всякое значение
переменной х, при котором квадратный трехчлен ах2 + bх + с обращается в ноль; такое
значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.
Примеры: Какие из чисел -2, 2,5 являются корнями уравнения х2 – 3х – 10 = 0.
х = -2
(-2)2 – 3 ۰ (-2) – 10 = 4 + 6 – 10 = 0
0 = 0, значит х = -2 - корень.
х=2
22 -3 ۰ 2 - 10 = -12
0 ≠ -12, значит, х = 2 не является корнем.
х=5
52 – 3 ۰ 5 -10 = 25 – 15 -10 = 0
0 = 0, значит х = 5 – корень.
4
Решить квадратное уравнение – значит найти все ее корни или установить, что
корней нет.
Примеры:
2х2 – 7х = 0
-2х2 + 7 = 0
х2 + 5х = 0
3х2 + 10 = 0
x2 – 16 =0
5х2 = 0
Вывод:
Если с = 0, то ах2 + bх = 0
х(ах + b) = 0
х = 0 или х = -
b
a
Если b = 0, то ах2 + с = 0
с
с
х2 = - , при - >0 х1,2 = ±
а
а
при -

с
;
а
с
< 0 нет корней.
а
Если b = 0, с = 0, то ах2 = 0
х = 0.
Итак, квадратное уравнение ах2 +bx + с = 0 может иметь либо два корня, либо один
корень, либо вообще не иметь корней.
Конечно, неплохо знать, сколько корней имеет квадратное уравнение, но еще
лучше находить эти корни. Если уравнение неполное, то особых проблем не возникает. А
для решения полного квадратного уравнения используем другие способы решения.
5
1.2 Способы решения квадратного уравнения
х2 + 4х + 3 = 0
Графический способ
Чтобы графически решить уравнение f(х) = g(х), следует построить графики
функций y = f(х) и y = g(х) и найти абсциссы точек пересечения построенных графиков.
1. Построим график функции y = x2 + 4x + 3.
Графиком функции является парабола. Корнями уравнения служат абсциссы точки
пересечения параболы с осью Ох (-3;0); (-1;0).
Итак, х1 = -3; х2 = -1.
2. Преобразуем уравнение х2 + 4х + 3 = 0: х2 = -4х – 3.
Построим в одной системе координат графики функций y =х2 и y = -4х – 3.
Точки пересечения (-1;1) и (-3;9); корни уравнения х1 =-3, х2 =-1
6
3. Преобразуем уравнение х2 + 4х + 3 = 0: х2+ 3 = -4х
Построим в одной системе координат графики функций y = х2 + 3 и y = -4х.
4. Приведем уравнение х2 + 4х + 3 = 0 к виду х2 + 4х + 4 – 4 + 3 = 0;
(х + 2)2 – 1 = 0;
(х + 2)2 = 1.
Построим в одной системе координат графики функций y = (х + 2)2 и y = 1.
5. Разделим обе части уравнения х2 + 4х + 3 = 0 на х:
х+4+
3
= 0;
х
х+4=-
3
.
х
Построим в одной системе координат графики функций у = х + 4 и у = -
3
.
х
Аналитический способ
Используется два способа разложения на множители:
а) выделение полного квадрата
х2 + 4х + 3 = 0
х2 +4х + 4 – 4 +3 = 0
(х + 2)2 – 1 = 0
(х + 2 – 1)(х +2 + 1) = 0
(х + 1)(х + 3) = 0
х = -1 или х = -3.
б) разложение на множители способом группировки
х2 + 4х + 3 = 0
х2 +3х + х + 3 = 0
х(х + 3) + (х + 3) = 0
(х + 3)(х + 1) = 0
х = - 3 или х = -1
С сильными учащимися разобрать решение уравнения методом введения новой
переменной.
2(3х – 5)2 = 9(3х – 5);
t = 3х – 5;
2t2 – 9t = 0;
t (2t – 9) = 0;
7
t1 = 0; t2 = 4,5.
При t = 0;
При t = 4,5;
3х – 5 = 0;
3х - 5 = 4,5;
х1 = 1
2
3
Ответ: х1 = 1
х2 = 3
1
6
2
1
; х2 = 3
3
6
Данный диктант проводится для закрепления основных понятий. Один вариант, в
ответе записывается «да» или «нет».
Математический диктант
1. Является ли уравнение 2х2 – 3х + 4 = 0 квадратным?
2. В уравнении 3х2 + 3х – 3 = 0 число 3 является свободным членом?
3. Является ли уравнение 2 – 4х + х2 = 0 приведенным?
4. Является ли полным уравнение 5х + х2 – 1 = 0?
5. Является ли число 0 корнем уравнения х2 – х = 0?
6. Может ли квадратное уравнение не иметь корней?
7. Правда ли, что число 0 является корнем для любого квадратного уравнения?
8. Может ли в квадратном уравнении коэффициент, а = 0?
Затем диктант разбирается всем классом и на вопросы ученики отвечают с полным
объяснением.
Учащимся предлагается самостоятельная работа для закрепления.
Самостоятельная работа
Вариант 1
Вариант 2
1. Привести квадратное уравнение к виду ах2 + bх + с = 0, выписать его
коэффициенты и определить вид уравнения:
а) 2х – х2 +1 = 0;
а) 7х2 – 2 +3х = 0;
б)3 – 5х2 – х = 0;
б) 5х – 2 – х2 = 0;
в) 4х2 – 5 = 0;
в) 3х + 4х2 =0;
г) х(2х – 1) + 3(х – 2) = 0.
г) (х – 2)(3 – 4х) + 4х(х – 5) = 0.
2. Являются ли числа 3,1,0,-4 корнями уравнения
х2 + 3х – 4 = 0
х2 - 6х + 8 = 0.
3. Решить данные уравнения:
а) 3х2 – 2х = 0;
а) 5х2 – 12 = 0;
б) х2 + 5 = 0;
б) 5х – 7х2 = 0;
в) х2 + 10х + 25 = 0.
в) х2 – 12х + 36 = 0.
8
1.3. Формулы корней квадратного уравнения
Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0. Воспользуемся методом
выделения полного квадрата:
b
b
b 2
b2
b2
х) + с = a(х2 + 2
+
)
+ c = a(x +
)
2
2
a
2a
2a
4a
4a
ах2 + bх + с = (ах2 +bх) + с = а(х2 +
b 2  4ac
.
4a
Обычно выражение b2 – 4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом
квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0.
Решение квадратного уравнения
ax2 + bx + c = 0
D = b2 – 4ac
D=0
D<0
Корней нет
x1 = x2 = -
D>0
b
2a
x1,2 =
b D
2a
Частные случаи квадратных уравнений
Приведенное квадратное уравнение (a = 1)
x2 + px + q = 0
D=
D<0
Корней нет
9
p2
4
-q
D=0
x= -
p
2
D>0
x1,2 = -
p
 D
2
Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом
ax2 + 2kx + c = 0
D = k2 - ac
D<0
Корней нет
D=0
x=-
k
a
D>0
x1,2 =
k  D
a
Для закрепления данного материала рассмотреть решение квадратного уравнения
12х2 + 7х + 1 = 0 через дискриминант, обсудить удобство данного решения.
12х2 + 7х + 1 = 0;
а = 12, b = 7, с = 1;
D = b2- 4ac = 72 - 4۰12۰1= 49 -48 = 1
D = 9 > 0, значит имеем два действительных корня.
х1,2 =
b D
7 1
; х1,2 =
;
2a
24
х1 = -
1
1
, х2 = - .
3
4
Ответ: -
10
1
1
,- .
3
4
1.4 Теорема Виета
Теорема Виета. Пусть х1, х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0.
Тогда сумма корней равна х1 + х 2 = -
b
, а произведение корней равно с :
a
а
b
с
, х1 ۰ х2 = .
a
а
Особенно простой вид принимают эти соотношения для приведенного квадратного
уравнения x2 + px + q = 0. в этом случае получаем:
x1 + x2 = - p, x1 ۰ x2 = q,
т. е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, а произведение корней свободному члену
Пример 1:Найти для каждого уравнения произведение и сумму корней:
а) х2- х – 6 = 0;
б) х2 - 8х -20 = 0.
Пример 2: Определите знаки корней уравнения (если они существуют), не решая
уравнения:
х2 – 15х + 56 = 0.
Находим дискриминант. Если дискриминант D ≥ 0, то квадратное уравнение имеет корни.
В этом уравнении произведение корней ровно 56.
Индивидуальная работа
Задание 1. Решить уравнение и проверит его корни по теореме Виета:
х2 + х – 20 = 0.
Задание 2. Составить уравнение, для которого корнями будут являться числа 1 и – 3.
Задание 3. При каком значении b один из корней уравнения х2 – bх + 15 = 0 равен 3?
Задание 4. Не решая уравнения 3х2 + х – 30 = 0 найти значение выражения
х1 и х2 являются корнями данного уравнения.
Задание 5. Разность корней уравнения х2 – 12х + q = 0 равна 2. Найдите q.
11
1
х1
2
+
1
х2
2
,где
1.5 Уравнения с параметром
Уравнение вида
Ах2 + Вх + С = 0,
где А, В, С – выражения, зависящие от параметров, А ≠ 0, а х – неизвестное, называется
квадратным уравнением с параметрами.
В множестве действительных чисел это уравнение исследуется по следующей
схеме.
1) Если А = 0, то имеем линейное уравнение Вх + С = 0.
2) Если А ≠ 0 и дискриминант уравнения D = В2 – 4АС < 0, то уравнение не имеет
действительных решений.
3) Если А ≠ 0 и D = 0, то уравнение имеет единственное решение х = еще говорят, совпадающие корни х1 = х2 = -
В
или как
2А
В
.
2А
4) Если А ≠ 0 и D > 0, то уравнение имеет два различных корня x1,2 =
В D
2A
.
Решить уравнение с параметром А – это значит для каждого значения
параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому условию.
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто
приводят к решению задач с параметрами. В математике параметр – это постоянная
величина, выраженная буквой, сохраняющее свое постоянное значение лишь в условиях
данной
задачи.
При
решении
многих
задач,
например,
тригонометрических,
показательных, логарифмических уравнений и неравенств приходится обращаться к
нахождению корней квадратного трехчлена, области значений квадратичной функции,
определению знака квадратного трехчлена. В последнее время в материалах выпускных
экзаменов, ЕГЭ предлагаются уравнения с параметром, где в роли коэффициентов
выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. В данном случае параметр
входит в состав первого, второго коэффициентов и свободного члена.
Пример 1. При каком значении параметра а уравнение х2 + ах + 81 = 0 имеет один
корень?
Решение: Чтобы уравнение имело один корень, необходимо, чтобы значение
дискриминанта было равно нулю. Выразим из данного уравнения дискриминант.
D =а2 – 4 ۰ 1 ۰ 81 = а2 – 324.
Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение: а2 – 324 = 0;
а2 = 324;
а1,2 = ± 18.
12
Значит, существуют такие значения параметра а = - 18 и а = 18, при которых
уравнение имеет один корень.
Ответ: при а = - 18 и а = 18 уравнение имеет один корень.
Пример 2. Докажите, что не существует такого значения а, при котором уравнение
х2 – ах + а – 2 = 0 имело бы один корень.
Решение: Чтобы уравнение имел один корень, необходимо, чтобы значение
дискриминанта было равно нулю. Выразим из данного уравнения дискриминант.
D =a2 – 4 ۰ 1 ۰ (a – 2) = a2 – 4a + 8.
Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение:
а2 – 4а + 8 = 0;
D = b2 – 4ac = 16 – 32 = - 16 < 0.
Так как значение дискриминанта отрицательное, то данное уравнение не имеет
корней. А значит, не существует такого значения переменной а, при котором уравнение
х2 – ах + а – 2 = 0 будет иметь один корень.
Пример 3. Решить уравнение х2 – (2р + 1)х + (р2 + р – 2) = 0.
Решение: а = 1, b = -(2р + 1), с = р2 + р – 2.
Найдем дискриминант:
D = (2р + 1)2 – 4 ۰ 1 ۰ (р2 + р – 2) = 4р2 + 4р + 1 – 4р2 - 4р + 8 = 9.
х1 =
2 р 1 3
= р + 2;
2
х2 =
Ответ: р + 2; р – 1.
13
2 р 1 3
= р – 1.
2
1.6 .Задания для самостоятельной работы
Тест
Вариант 1
Вариант 2
1. Какое из данных уравнений не является квадратным?
а)2х-х2–8 =0; в) 3+х2=0;
а) 2+х-х2=0;
б)4х(3+х)=4х-2;
2
2
3
2
б) 4х +х=4х-2; г)х =(х-2)(х+1)
в)3+х +2х =0; г)х2=6.
2.Выберите приведённое (неполное) квадратное уравнение из данных:
а)х2-1+х=0;
б)х-2х2+2=0;
а)х2-1+х=0;
б)х-2х5+2=0;
в) Зх-2х2+1=0; г)х2-2=0.
в) Зх-2х2+1=0; г) х2-2=0
3. Найдите коэффициенты а, b, с квадратного уравнения:
2
х -2х +7=0
-х+9+2х2=0
а) 1,-2,7
б)-2,1,7;
а)2,0,9; б)-1,2,9;
в) 0,-2,7;
г) другой ответ.
в) 2,-1,9; г) другой ответ.4
4. Какое из чисел является корнем уравнения
2х2-Зх-14=0?
-х2+2х+3=0?
а)3; б)-2; в)2; г)-3.
а)3; б)-2; в)2; г)-3.
5. Решите уравнение:
х2-36=0.
2х2-12х=0
а)6 и 0; 6)6 и -6;
а)6 и 0; 6)6 и -6;
в)0и-6; г)6.
в)0и-6; г)6.
6. Сколько корней имеет уравнение
х2+10х+25=0?
х2-2х+7=0?
а) множество; б) один;
а) множество; б)один;
в) два ;
г) ни одного.
в) два;
г)ни одного.
7. При каких значениях х верно равенство
(2х-3)2=(х+2)2
(Зх+2)2=(3-2х)2
1
а) и-5;
3
в)
1
и 5;
3
6)5;
а)5 и-0,2;
г)другой ответ.
в)-5 и-0,2;
6)0,2;
г)другой ответ
8. Найдите сумму корней уравнения
4х2 – х + 12 = 0
а) -0,25; 6) 1,25 в)0.25; г) корней нет.
9.Решите уравнение
х  5 х  15

2х  1 3  х
а)0 и -1; 6)0; 11; в)0 и -11; г)-1и -11 .
2х - 5х + 2 = 0
а)-2.5; 6) 1.25; в)2,5; г) другой ответ.
3х  8 2 х  6

х4
х3
а) 0 и-1; б) 0; в) 0 и-11; г)-1 и-11.
10 Решите уравнение
15  3х = l-x
а) 7 и-2; 6)7; в)-2; г) 2 и-7.
x+ 8  х = 2
а)4и-1; 6)4; в ) - 1 ; г ) 1 и - 4 .
11. При каком значении параметра а уравнение имеет один корень?
х2 – ах + 9 = 0
х2 + 2ах + 9 = 0
а) ±6; б) ±9; в) ±3; г) ±12.
а) ± 6 ; б)±9; в) ± 3 ; г) + 12.
14
Ответы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 вариант
2 вариант
г
в
а
г
б
в
б
а
б
а
б
г
г
г
г
в
в
а
10 11
в
в
б
в
Для закрепления темы «Формулы корней квадратного уравнения» учащимся
предлагается самостоятельно решить по рядам уравнения и выписать соответствующие
координаты (Xmax, Xmin). Результатом коллективной работы будет рисунок.
1 ряд
1) х -7х+10=0
2) х2 - х =0
3) 2х2 - 8х - 10=0
4) х2-8х=0
5) 2х2-12х-14=0
6) -х2+6х+16=0
7) 3х2- 24х-60=0
8) х2-8х-9=0
9) -х2+7х+8=0
10) -2х2+20х=0
2
2 ряд
1) х -10х-11=0
2) 2х2-28х-30=0
3) 0,5х2-7х-16=0
4) х2-17х-38=0
5) х2-17х-18=0
6) 2х2 - 30х-32=0
7) -х2+ 17х=0
8) 2х2 - 36х=0
9) х2 - 20х+19=0
10) х2-20х+51=0
2
Ответы
1. (5;2)
11. (11;-1)
21. (17;2)
2. (1;0)
12. (15;-1)
22. (16;3)
3. (5;-1)
13.(16;-2)
23. (16;2)
4. (8;0)
14. (19;-2)
24. (15;1)
5. (7;-1)
15.(18;-1)
25. (14;1)
6. (8;-2)
16. (16;-1)
26. (13;2)
7. (10;-2)
17. (17;0)
27. (9;2)
8. (9;-1)
18.(18;0)
28. (8;1)
9. (8;-1)
19. (19;1)
10. (10;0)
20. (17;3)
15
29. (5;2)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
3 ряд
х -19х + 34=0
-х2 + 19х-48=0
0,5х2 - 9х+16=0
x216х+15=0
x215х+14=0
2х2 -30х +52=0
-х2 + 11х-18=0
x2 - 9х+8=0
0,5х2 - 3,5х+5=0
2
2. Уравнения, приводимые к квадратным уравнениям
2.1. Дробные рациональные уравнения
Уравнение f(х) = g(х) называется рациональным, если f(х) и g(х) –
рациональные выражения.
Чтобы решить рациональное уравнение, надо:
1) найти общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение;
2) заменить данное уравнение целым, умножив обе части на общий знаменатель;
3) решить полученное целое уравнение;
4) исключить из корней целого уравнения те, которые обращают в нуль общий
знаменатель.
Пример 1. Решить уравнение:
х3
1
х5
+
=
.
х5
х
х( х  5)
Решение: Общий знаменатель дробей х(х – 5).
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим
х(х – 3) +(х -5) = х +5,
х2 – 3х + х - 5 = х +5,
х2 –3х – 10 = 0,
D = 9 + 40 = 49,
х=
3  49
,
2
х=
37
,
2
х1 = - 2, х2 = 5.
Если х = - 2, то х(х – 5) ≠ 0; если х = 5, то х(х – 5) = 0.
Значит, корнем исходного уравнения является число -2.
Ответ: - 2.
Пример 2. Решить уравнение:
2
1
4 х
 2
 2
.
х  4 х  2х х  2х
2
2
1
4 х
.


( х  2)( х  2) х( х  2) х( х  2)
Имеем
Общий знаменатель дробей х(х – 2)(х + 2).
Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим
2х – (х + 2) = (4 – х)(х – 2).
Отсюда
16
2х – х – 2 = 4х – х2 - 8 + 2х,
х2 – 5х + 6 = 0,
D =25 – 24 = 1,
х=
5 1
,
2
х=
5 1
,
2
х1 = 2, х2 = 3.
Если х = 2, то х(х – 2)(х + 2) = 0; если х – 3, то х(х – 2)(х + 2) ≠ 0.
Значит, корнем исходного уравнения является число 3.
Ответ: 3.
17
2.2. Иррациональные уравнения
Если в уравнении переменная содержится под знаком корня, то уравнение
называют иррациональным. Иррациональные уравнения решают методом возведения
обеих частей в квадрат; решив в итоге рациональное уравнение, надо обязательно сделать
проверку, отсеяв, возможные посторонние корни.
Пример. Решить уравнение.
5 х  6 = х – 2;
Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат.
( 5 х  16 )2 = (х – 2)2;
5х – 16 = х2 – 4х + 4;
х2 – 4х + 4 – 5х + 16 = 0;
х2 – 9х + 20 = 0;
х1 = 5, х2 = 4.
Проверка. Подставив х = 5 в исходное уравнение, получим
равенство. Подставив х = 4 в исходное уравнение, получим
9 = 3 – верное
4 = 2 – верное равенство.
Значит, оба найденные значения – корни данного уравнения.
Ответ: 4; 5.
Задания для самостоятельной работы
1.Решить уравнение: а)
2 х 2  4 х  5 = х – 2;
х 2  2 х  7 = 0;
б)
х3 -
в)
х 2  6 х  7  х  1 = 0.
2. Укажите промежуток, содержащий корни уравнения
1) [6; 8];
2) (0; 2];
3) (2; 4];
3. Решите уравнение 2 – х =
4) (4; 6).
х  18 . Укажите верное утверждение о корнях уравнения.
1) корень только один, и он положительный;
2) корней два, и они разных знаков;
3) корень только один, ион отрицательный;
4) корней два, и они отрицательны.
18
х  2 = 4 – х.
2.3. Тригонометрические уравнения
Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, в которых
неизвестное (переменная) входит лишь под знак тригонометрической функции.
Тригонометрические уравнения встречаются в задачах, в которых из соотношений
между тригонометрическими функциями требуется найти неизвестные углы. Основными,
чаще всего встречающимися тригонометрическими уравнениями являются уравнения
простейшего типа sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a. Более сложные
тригонометрические уравнения обычно решаются сведением их к простейшим с помощью
различных алгебраических и тригонометрических формул и преобразований.
Пример 1. Решить уравнение 2sin2x + 3sin x – 2 = 0.
Это уравнение является квадратным относительно sin x. Корни этого уравнения
sin x =
1
и sin x = - 2. Второе из полученных простейших уравнений не имеет решений,
2
так как ‫׀‬sin x‫ ≤ ׀‬1, решение первого можно записать так: х = (-1)n۰

+ πn, n є Z.
6
Пример 2. Решить уравнение 2sin2x – 5cosx – 5 = 0.
Так как квадрат синуса легко выражается через косинус, то, заменяя sin2x на 1 –
cos2x и приведя уравнение к квадратному относительно cosx, получим квадратное
уравнение 2cos2x + 5 cosx + 3 = 0, корни которого cosx = -1, cosx = -1,5. Уравнение cosx =
-1,5 не имеет решений, так как ‫׀‬sin x‫ ≤ ׀‬1. Решения уравнения cosx = -1 запишем в виде
х = π +2πκ, κ є Z.
Задания для самостоятельной работы
Решить уравнения:
1. sin2x + sin x - 2 = 0;
2. 2cos2x – 5 sin x + 1 = 0;
3. 2sin2x – cos x – 1 = 0;
4. tg x – ctg x + 1 = 0.
19
2.4. Показательные уравнения
Показательными
переменная
содержится
в
уравнениями
показателе
называются
степени
при
уравнения,
постоянных
в
которых
положительных
основаниях.
Пример 1. Решить уравнение 9х -3х – 6 = 0.
Первый член уравнения можно представить в виде 9х = 32х = (3х)2. Тогда исходное
уравнение примет вид (3х)2 – 3х – 6 = 0. Подобные уравнения, куда неизвестная функция
входит в различных степенях, решается методом замены переменной.
Обозначим 3х = у, тогда имеем у2 – у – 6 = 0. Корни уравнения у1 = 3; у2 = -2. Второй
корень смысла не имеет, так как показательная функция всегда положительна. Итак, 3х =
3; х = 1.
Пример 2. . Решить уравнение 22х + 14۰2х+1 – 29 = 0.
Решение: 22х + 14۰2۰2х – 29 = 0;
22х + 28۰2х – 29 = 0.
Обозначим 2х = t, то получим уравнение
t2 + 28t – 29 = 0;
t1 = -29, t2 = 1.
Первый корень смысла не имеет, так как показательная функция всегда
положительна.
Итак, 2х = 1, х = 0.
Ответ: 0.
Задания для самостоятельной работы
Решить уравнения:
1. 4х – 5۰2х + 4 = 0;
2. 52х+1 -575۰5х-1 – 250 = 0;
3. 49х – 8۰7х + 7 = 0.
20
2.5. Логарифмические уравнения
Логарифмическими уравнениями называются уравнения, содержащие
переменную под знаком логарифма.
Пример 1. Решим уравнение log2 (x2 + 4x + 3) = 3.
Данному уравнению удовлетворяют те значения х, для которых выполнено
равенство х2 + 4х + 3 = 23. Мы получим квадратное уравнение х2 + 4х – 5 = 0, корни
которого равны 1 и – 5. Следовательно, числа 1 и – 5 – решения данного уравнения.
Ответ: 1; - 5.
Пример 2. Решим уравнение log22x – log2x – 2 = 0.
Уравнение подобного вида, где неизвестная функция входит в различных степенях,
решаются методом замены переменной. Обозначим log2x = t. Вместо исходного уравнения
получим
t2 – t – 2 = 0. Это квадратное уравнение легко решается: t1 = 2; t2 = - 1.
Найдем теперь искомые значения х: t1 = log2x = 2, x = 22 = 4; t2 = log2x = -1, х = 2-1 =
1
.
2
Обе эти значения х удовлетворяют исходному уравнению, так как область его
допустимых значений есть множество х > 0.
Ответ: 4;
1
.
2
Задания для самостоятельной работы
Решить уравнения:
1. log22 x + log2 x2 = 8;
2. log32 x – 10log3 x + 21 = 0;
3. 4 – lg2 x = 3lg x;
4. log52 x – log5 x = 2.
21
2.6. Задания для самостоятельной работы
1. Решите уравнения
1)
2)
3х  1 х  1

 1;
х2 х2
4
9у 1
2

4
5

;
3у  1 1  3у
3)
3
4
5 х

 2
;
х х 1 х  х
4)
21
16
6

 .
х 1 х  2 х
2. Найдите значение переменной у, при котором:
а) сумма дробей
2 у  13
3у  9
и
равна 2;
2у  5
3у 1
б) разность дробей
в) сумма дробей
5 у  13 4  6 у
и
равна 3;
5у  4
3у 1
у 1
10
и
равна их произведению;
у 5
у5
г) разность дробей
6
у
и
равна их произведению.
у4
у2
3. Решите тригонометрические уравнения
1) 2sin2x + sin x + 1 = 0;
2) 6cos22x - 5 3 cos2x + 3 = 0;
3) 3tg23x + 4tg3x + 1 = 0;
4)
3 tg20,2x – 4tg0,2x +
3 = 0;
5) 4sin25x – 2( 2  3 ) sin5x +
6) 2sin23x + 9 sin x = 3;
x
x
7) 2 cos2 3  cos 3 = 2 ;
8) cos24x = cos4x + 2;
x
x
9) tg2 4 - 3tg = -5;
4
10) sin2
22
х
х
= 6 - sin .
5
5
6 = 0;
4. Решите показательные уравнения
1) 8۰22х – 6۰2х + 1 = 0;
2) 3( 3 )2х +10( 3 )х + 3 = 0;
3) 32х - 3 3 ۰3х + 6 = 0;
4) 5۰(0,2)2х – 14۰(0,2)х – 3 = 0;
5) 0,52х – 3۰0,5х + 2 = 0;
1
6) 5   
5
2х
х
1
 9   2  0 ;
5
7) 64х = 5۰62х + 6;
8)
 5   5
1
9)  
4
2х
2х
х
 5;
х
1
 4     5 ;
4
 2

10) 

2


2х
х
 2
 8  0 .
 7  

2


5. Решите логарифмические уравнения
1) 2log22 x – 3log2 x – 2 = 0;
2) log32 (x2 + 3) + log3 (x2+3) = 2;
3) lg2 x – lg x – 6 = 0;
4) 2log221 x – 3log21x + 2 = 0;
5) log24 (x - 2) + 3log4 (x - 2) = -2;
6) log20,2 (x2 + 1) = 12 – log0,2(x2 + 1);
7) ln2 x – 2ln x + 1 = 0.
23
3. Заключение
Данная тема выбрана мной, исходя из актуальности и сложности изучения решения
квадратных
уравнений.
Квадратные
уравнения
применяются
как
при
решении
алгебраических, так и геометрических задач. Для успешного освоения этой важной темы
применяется алгоритм решения квадратных уравнений.
Знания, умения, навыки решения квадратных уравнений необходимы и в старшем
звене, особенно при подготовке к ЕГЭ. При решении показательных, логарифмических,
тригонометрических уравнений и уравнений с параметром используется алгоритм
решения квадратных уравнений.
Применяемая мной система подготовки выпускников к итоговой аттестации дает
хорошие результаты, о чем свидетельствуют нижеприведенные таблицы и диаграмма.
Результаты ЕГЭ - 2007 по математике (1 этап)
Количество
учащихся
на «5»
чел.
%
на «4»
чел.
%
на «3»
чел.
%
на «2»
чел.
%
Чувашская
Республика
13612
город
Чебоксары
4316
СОШ №37
28
186
8
13,8
1
600
2
44,3
6
423
4
31,3
0
142
5
10,5
3
3,61
Средний
балл по
100балльно й
шкале
54,50
646
14,9
6
181
5
42,0
5
140
1
32,4
6
483
11,1
9
3,53
53,32
18
13
46,4
9
1
3,6
3,8
57,6
5
32,1
Средний
балл по
5-балльно
й шкале
Результаты ЕГЭ - 2007 по математике (в
сравнении с результатами ЕГЭ - 2006)
2006
год
18,8
2007
год
14,96
Доля участников (%), получивших
«4»
«3»
2006
2007
2006
2007
год
год
год
год
41,3
42,05
29,5
32,46
Чувашская
Республика
16,82
13,81
44,02
44,36
30,29
Российская
Федерация
11,9
9,7
34,1
33,5
34,1
«5»
г. Чебоксары
24
2006
год
10,4
«2»
2007
год
11,19
31,30
8,87
10,53
35,7
19,0
21,1
60
50
40
30
20
10
0
на "5",%
на "4",%
на "3",%
по России
по г.Чебоксары
25
на "2",%
средний
средний
балл по 5- балл по 100
ти бальной бальной
шкале
шкале
по Чувашии
по СОШ №37
4. Список использованной литературы
1 .Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова. Алгебра. 8 класс. 16 издание,
Москва, просвещение, 2008.
2. Алгебра: открытые уроки (обобщающее повторение в 7, 9, 10) классах) /авт.-сост.
С.Н.Зеленская. - Волгоград; Учитель, 2007.
3. В.И.Жохов, Г.Д.Карташова. Уроки алгебры в 8 классе, Москва, просвещение, 2004.
4. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. сред. шк. - 2-е изд.
Москва. Просвещение, 1992.
5. Дидактические материалы по математике для 10-11 классов/сост.: В.А.Агаков,
Н.Д.Поляков, М.П.Урукова и др. - Чебоксары: Издательство Чуваш. Ун-та, 2007.
6. Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учебное
пособие. - 4-е издание, Москва, 2006.
7. Нестандартные уроки алгебры. 8 класс. / Сост. Ким Н.А. - Волгоград: ИТД «Корифей»,
2006.
8. Система тренировочных задач и упражнений по математике / А.Я. Симонов, Д.С.
Бакаев, А.Г. Эпельман и др. - М.: Просвещение, 1991.
9. Тесты. Математика, 5-11 кл. / Сост. М.А.Максимовская и др. - М.: ООО «Агентство
КРПА «Олимп»: ООО «Издательство ACT», 2003.
10. А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др. Алгебра и начала анализа. Учеб.
для 10-11 кл. средн. шк., Москва, просвещение, 2005.
26
Тест. Квадратные уравнения
Приложение
1 вариант
1. Какое из данных уравнений не является квадратным?
а) 2х - х2 - 8 = 0;
в) 3 + х2 = 0 ;
б) 4х2 + х = 4х - 2;
г) х2 = (х - 2)(х + 1).
2. Найдите коэффициенты а, b и с квадратного уравнения
х - 2х2 + 7 = 0.
а) 1,-2, 7;
в) 0,-2, 7;
б) - 2, 1, 7;
г) другой ответ.
3. Выберите уравнение, дискриминант которого равен 49.
а) 5х2 + Зх + 2 = 0;
в) Зх2 - Зх - 7 = 0;
б) 2х2 - Зх - 5 = 0;
г) 2х2 - Зх + 5 = 0.
4. Решите уравнение 5х2 = 9х + 2 .
а) 2 и-0,2;
в) - 2 и 0,2;
б) корней нет;
г) другой ответ.
5. При каких х верно равенство (2х - 3)2 = (х + 2) 2 ?
а)
1
и - 5;
3
б) 5;
в)
1
и - 5;
3
г) другой ответ.
6. При каком b уравнение 2х2 + bх - 10 = 0 имеет корень 5?
а)3;
в)-3;
б) 0;
г) другой ответ.
7. Найдите сумму корней уравнения 4х2 - х + 12 = 0 •
а)-0,25;
в) 0,25;
б) корней нет;
г) другой ответ.
8.Решите уравнение
27
х
7
8

 2
х2 х2 х 4
а) -1 и-6;
в) 2 и 3;
б) корней нет;
г) другой ответ.
9. Скорый поезд задержался у семафора на 16 мин и ликвидировал опоздание на перегоне
в 80 км, идя со скоростью на 10 км/ч больше, чем по расписанию. Определите скорость
поезда по расписанию.
а) 70 км/ч;
в) 50 км/ч;
б) 60 км/ч;
г) другой ответ.
10.
Сколько корней имеет уравнение
х2 – х + 4 = 0 ?
а) 0;
б) 1;
.
28
в) 2;
г) другой ответ
II вариант
Приложение
1. Какое из данных уравнений является квадратным?
а) х(х - 1) = х2 - 2х;
б)7х + 9 = 0;
в) 2х2 - Зх = х + 5;
г)
2 3
 4
х2 х
2. Найдите коэффициенты a, b, c квадратного уравнения –х + 9 + 2х2 = 0
а) 2, 0, 9;
в) 2,-1, 9;
б) - 1; 2; 9
г) другой ответ.
3. Выберите уравнение, дискриминант которого равен 25.
а) х2 + Зх + 4 = 0;
в) 16х2- Зх = 0;
б) 4х2+ Зх-1 = 0;
г) 2х2 - Зх + 2 = 0.
4. Решите уравнение 2х2 = 5х + 3 .
а) 3 и - 1,5;
в) - 3 и 1,5;
б)корней нет;
г) другой ответ.
5. При каких значениях х верно равенство (3х + 2)2 = ( 3 – 2х)2?
а) 5 и-0,2;
в) - 5 и-0,2;
б) 0,2;
г) другой ответ.
6. При каком а уравнение 3х2 + ах + 24 = 0 имеет корень 3 ?
а) 17;
в) -11;
б) - 17;
г) другой ответ.
7. Найдите произведение корней уравнения
2х2 - 9х + 5 = 0 .
а)-4,5;
в) 4,5;
б) корней нет;
г) другой ответ.
8. Решите уравнение
3
33
х4
 2

х х  11х х  11
а) 0 и 7;
в) 2 и 5;
б) корней нет;
г) другой ответ.
9. Лыжнику необходимо было пробежать расстояние в 30 км. Начав бег на 3 мин позже
назначенного срока, лыжник бежал со скоростью, большей предполагавшейся на 1 км/ч, и
прибежал к месту назначения вовремя. Определите скорость, с которой бежал лыжник.
29
а) 26 км/ч;
в) 25 км/ч;
б) 24 км/ч;
г) другой ответ.
10.
Сколько корней имеет уравнение х2 + 2 х + 3 = 0.
а)0;
в) 2;
б) 1;
г) другой ответ.
30