E:SKOLAFIZIKAmehanikaКинемюгарм.кол.03 Кинематика

D:\308830959.doc
Кинематика гармонических колебаний.
Среди многообразия механических колебаний можно выделить движение материальной
точки, которое является прямолинейным (т.е. происходит вдоль прямой линии ),
периодическим, и для которого зависимость координаты положения от времени x(t)
выражается аналитически через простейшие периодические функции, а именно
x(t )  M  Sin ( B  t )  L  Cos( B  t ) ,
где М, L, и В – постоянные величины (числа). Можно показать, что эта же зависимость
может быть записана по-другому:
x(t )  A  SinBt  C 
x(t )  A  Cos( Bt  D) ,
или
причем A, C и D – тоже постоянные величины, которые связаны с величинами М и L
соотношениями M  A  CosC , L  A  SinC для первой и M  A  SinD , L  A  CosD
для второй зависимостей. В этом рекомендуется убедиться в качестве задания. В физике
механическое движение материальной точки, для которого зависимость координаты от
времени
описывается
одним
из
трех
приведенных
соотношений,
называется
гармоническим колебательным движением, или просто гармоническим колебанием.
Анализ гармонического колебания с целью выяснения физического смысла величин А ,В
и С лучше всего проводить, используя зависимость
x(t )  A  Sin ( Bt  C ) .
Х
Из вида зависимости сразу же следует, что наибольшее
значение координаты равно ( +А ), наименьшее – (-А ),
Z
М
А
О
т.е. материальная точка М движется вдоль отрезка
прямой длиною 2А, в середине которого находится
Y
-А
начало системы отсчета, а координатная ось ОХ
направлена вдоль этого отрезка (рис. 1 ).
Рис. 1.
Таким образом, величина А характеризует размах колебаний или наибольшее отклонение
материальной точки от среднего положения при колебаниях. Эту величину обозначают
через Хm и называют амплитудой колебаний или амплитудным значением координаты.
Выяснение физического смысла постоянных В и С
нужно было бы проводить на
конкретном примере гармонического колебания, однако здесь мы сталкиваемся с двумя
большими трудностями. Первая связана с тем, что при наблюдении различных
1
D:\308830959.doc
колебательных процессов у нас пока нет оснований утверждать, что колебания являются
гармоническими. Это можно предполагать, но очень трудно доказать. Вторая трудность
связана с уровнем освоения математики. Дело в том , что первое знакомство и
последующее освоение тригонометрических функций по школьной программе приводит к
достаточно
устойчивому
представлению
о
том,
что
в
качестве
аргумента
тригонометрической зависимости всегда используется величина некоторого угла.
В связи с этим необходимо сделать несколько замечаний. Принято считать, что о
функциональной зависимости между двумя переменными величинами ξ (кси) и ζ (дзета)
можно говорить только тогда, когда известно правило или закон, по которому каждому
значению аргумента ξ (допустимому) ставится в соответствие определенное значение
функции ζ.. Это означает, что одному числу ставится в соответствие другое число.
Другими словами, ответ на вопрос, что такое ξ, или что такое Sinξ (или что такое ζ ),
может быть только один – это числа.. И сразу же встает проблема – как устанавливается
это соответствие между двумя числами в случае, когда эта зависимость синусоидальная.
Вот тут существует несколько вариантов. Соответствие может быть задано алгебраически
(в виде формулы). Для функции Sinξ в математических справочниках можно встретить
формулу
Sin   
3
5

7

 ( 2 n 1)

1 2  3 1 2  3  4  5 1 2  3  4  5  6  7
 ...   (1) n 
n 0
1  2  3  ...  2n  1 .
Ничего страшного в ней нет кроме того, что непонятно , когда в этой сумме из бесконечно
большого числа слагаемых можно остановиться. И уж совершенно не ясно, откуда эта
формула взялась. График этой зависимости представить себе может только человек с
очень богатым воображением.
а
Sin A = c
A
b
Cos A = c
0< A<
c
C
a
Рис.2.
иначе. Вначале совершенно естественным образом
тригонометрические
b
B/ 2
Поэтому в школьном курсе математики поступают
B
треугольнике достаточно просто
функции
вводятся
через
соотношения сторон прямоугольного треугольника.
При
этом
величину
ξ
приходится
наделять
свойствами угла (в данном случае А).
Именно
поэтому появляются понятия о прилежащих и
противолежащих
найти
значения
катетах
(рис.2
).
тригонометрических
Однако
в
функций
только для углов 300 = π/6, 450 = π/4, и 600 = π/3. А если углы больше, чем 900=π/2, или
не равны указанным? Что делать тогда? Выход есть!
2
D:\308830959.doc
Используют ещё один способ, который дает возможность определить тригонометрические
функции не только для острых , но и для тупых углов. (рис. 3 ).
Рис. 3.
c2
a2
a1
c1


Sin  =
ai
ci
c1
c3
c2
a3
a1 a2
( i = 1,2,3,... )
Действительно, если построить заданный угол, затем провести перпендикуляр к одной из
сторон до пересечения с другой стороной или с её продолжением, то получится
прямоугольный треугольник. Через отношение длин противолежащего катета к
гипотенузе
получим число, величина которого не зависит от способа построения
перпендикуляра.
Однако, если необходимо найти значение синуса для чисел, превышающих π (т.е. для
углов больших 3,14 рад или 180О ) и этот способ не подходит.
Для полного решения проблемы используются длины
отрезков, связанных с
окружностью единичного радиуса (рис. 4) .
tg
ξ
Sin
ξ
∞
ξ = ξ 0 + 2n
0
0
∞
ξ
π
( n = 0, 1, 2, 3, ... )
ξ0
2π
ξ0
ctg
ξ
Sin ξ = Sin ( ξ 0 + 2n
π ) = Sin ξ 0
R=1
Cos
ξ
Рис. 4.
Действительно, если принять, что величина аргумента синуса ξ чисоленно совпадает с
величиной центрального угла в радианах, отсчитываемого от горизонтального диаметра
окружности единичного радиуса против часовой стрелки, как показано на рис. 4 (в этом
случае угол считается положительным), то для угла ξо в пределах от 0 до 2π значения
соответствующих тригонометрических функций будут представлены отрезками прямых
3
D:\308830959.doc
горизонтального и вертикального диаметров. Длины отрезков отсчитываются от центра
окружности до указанных на рисунке точек. Если учесть, что произвольный угол ξ (как и
любое число) всегда может быть представлен в виде
  02n , где n = 0, 1, 2, … ,
то предложенным методом можно находить значение синуса для любых числовых
аргументов синуса, причем как положительных, так и отрицательных. При использовании
единичной окружности становится очевидным, что гармонические функции синус и
косинус являются периодическими с периодом 2π.
После всех сделанных замечаний из области математики можно вернуться к анализу
зависимости координаты от времени в случае гармонического колебания с физической
точки зрения. Необходим пример движения, которое с достаточной очевидностью
является
экран
гармоническим
решения
проблемы
называемой
двигатель
колебанием.
Для
воспользуемся
так
кинематической
моделью
гармонического колебания. Представьте себе
вращающийся на оси электродвигателя диск, на
стойка котором укреплена стойка (рис.5). Сильный
световой поток от удаленного источника создает
свет
Рис. 5.
на экране тень от устройства. На экране видно
перемещающуюся вверх и вниз тень стойки в то время, как остальная часть тени
неподвижна.
Проследим за движением стойки на диске и ее тени на экране. Будем считать, что диск
вращается равномерно с угловой скоростью ω. При этом стойка движется по окружности
радиуса R с постоянной по величине линейной скоростью v = ωR и центростремительным
ускорением a 
v2
. В то же время тень
R
стойки на экране совершает колебания
в
X
вертикальном направлении. Очевидно ( см.
X
R
рис. 6), что движение точки по окружности и
колебательное
движение
проекции
этой
2Xm = 2R
0
0
0
точки на вертикальный диаметр окружности
связаны между собой.
Через время t после начала движения угловая
координата материальной точки, движущейся
Рис. 6.
4
D:\308830959.doc
по окружности, будет равна   t  0 , где  0 - начальная угловая координата. Теперь
рассмотрим движение другой точки, которая является проекцией этой первой на
вертикальный диаметр. Вдоль вертикального диаметра направим координатную ось OX.
Зависимость координаты от времени х(t) для обеих точек будет иметь вид
x(t )  R  Sin(t  0 ) ,
где R – радиус окружности, а ω – угловая скорость движения первой точки.
. Во-первых, зависимость является гармонической. Во-вторых, материальная точка,
движущаяся по вертикальному диаметру, будет совершать гармонические колебания с
амплитудой Хm = R, и, следовательно, зависимость координаты от времени для неё
должна имееть вид
x(t )  X m  Sin ( Bt  C ) .
Сравнение двух последних формул позволяет заключить, что численно В = ω, а С = φо. И
если для точки движущейся по окружности величины ω и φо имеют четкий физический
смысл, то по отношению к колеблющейся точке говорить о каких-то углах и угловых
скоростях не имеет никакого смысла.
Ситуацию можно прояснить, если вспомнить, что такие величины, как период процесса T
и частота процесса , для обеих точек имеют абсолютно одинаковый и понятный смысл,
причем имеют место соотношения

1
,
T

2
T
и   2 .
Следовательно В = ω , причем если ν равно числу полных циклов колебаний за одну
секунду, то величина в 2π раз большая равна числу полных циклов колебаний за 2π (или
за 6,28 ) секунд. Поэтому в анализе колебаний эту величину называют круговой частотой
гармонических колебаний и обозначают через ω.
Теперь зависимость координаты от времени для точки, совершающей гармонические
колебания, в принятых (и, главное, понятных ) обозначениях, имеет вид
x(t )  X m  Sin(t  C ) .
X
Осталось узнать, что означают
X
v
  t C
vx
и
величины
С. В дальнейшем число С
будем обозначать как φ0 .
vy
0
Чтобы
y
0
0
понять,
какие
стороны
процесса
колебаний характеризуют φ и φ0, нужно
проследить, как меняются в зависимости от
времени координата, скорость и ускорение
колеблющейся материальной точки.
Для
Рис. 7.
5
D:\308830959.doc
этого есть две возможности.
Можно вернуться к движению двух точек, которое
рассматривались ранее. Нам известно, что зависимость координаты от времени имеет вид
x(t )  X m  Sin(t  o )
Из
рис.7 следует, что проекции векторов скоростей х этих двух точек на ось ОХ
одинаковы и равны
vx (t )  v  Cos  R  Cos(t  0 )  X m  Sin (t  0 

2
).
Точно также (на рисунке этого не показано) можно убедиться, что одинаковы и проекции
векторов ускорения обеих точек на ось ОХ
ax (t )  a  Sin   2 X m  Sin (t  0 )   2 X m  Sin (t  0   ) .
Другой способ. доступен только тем, кто знаком с понятием производной функции и
элементарными приемами дифференцирования.
В таблице 1 приводятся значения координат и проекций векторов скорости и ускорения
для определенных моментов времени и о характере их изменения за некоторые
Таблица 1.
t
φ=ω·t
x(t)
vх(t)
0
0
0
Vm =ω·xm
0 < t < T/4
0< φ < π/2
0 < x(t) < Xm
T/4
π/2
Xm
0
T/4 < t < T/2
π/2 < φ < π
Xm > x(t) > 0
0 > vх(t) > -Vm
T/2
π
0
-Vm
T/2 < T < 3T/4
π < φ < 3π/2
0 > x(t) > -Xm
-Vm < vх (t) < 0
3T/4
3π/2
-Xm
0
3T/4 < t < T
3π/2 < φ < 2π -Xm < x(t) < 0
0
Vm > vх (t) > 0 0 > a x (t) > -a m
0 < vх (t) < Vm
T
2π
0
Vm
T < t < 5T/4
0< φ < π/2
0 < x(t) < Xm
Vm > vх (t) > 0
5T/4
π/2
5T/4 < t < 3T/2
π/2 < φ < π
3T/2
π
3T/2 < T < 7T/4 π < φ < 3π/2
7T/4
3π/2
7T/4 < t < 2T
3π/2 < φ < 2π
2T
2π
ах(t)
-a m =- ω2 ·xm
-a m < a x (t) < 0
0
0 < a x (t) < a m
am
a m > a x (t) > 0
0
0 > a x (t) > -a m
-a m =- ω2 ·xm
Xm > x(t) > 0 0 > vх(t) > -Vm -a m < a x (t) < 0
0
-Vm
0
0 > x(t) > -Xm -Vm < vх (t) < 0 0 < a x (t) < a m
-Xm
0
am
-Xm < x(t) < 0 0 < vх (t) < Vm a m > a x (t) > 0
Vm
0
0
Xm
0
промежутки времени. Данные таблицы получены при условии, что φ0 = С = 0
(такое
упрощение абсолютно не отражается на общности анализа). Это означает, что в
6
D:\308830959.doc
начальный момент времени колеблющаяся точка проходит среднее положение, двигаясь в
положительном направлении координатной оси ОХ. На рис.8 показаны положения
материальной точки в разные моменты времени через каждые четверть периода, считая от
начального момента. Однако, если проследить, как меняются указанные величины не в
зависимости от времени, а в зависимости от
величины ωt (т.е. от значения аргумента синуса),
то окажется, что для любого колебательного
процесса независимо от момента времени и
величины
периода
значениям
и
частоты,
одинаковым
  t 
величины
2
t
T
соответствуют абсолютно одинаковые состояния
колебания.
Более того, в определенном смысле можно
говорить о фазах процесса, причем для каждой
Рис. 8.
фазы характер изменения всех кинематических
величин сохраняется
(уместно вспомнить о
фазах Луны). Очень хорошо это показано на рис. 9. Приведенные на рисунке значения
  t 
2
t ,
T
положении
соответствуют моментам времени, когда точка находится в среднем
и при амплитудных отклонениях из
среднего положения.
0
Из вышеизложенного с очевидностью следует, что даже
не зная
ни амплитуды, ни частоты, ни периода
колебаний (эти величины постоянны), мы тем не менее,
можем охарактеризовать состояние движения, если
4.71
известно значение величины   t  _ 0 . Название
4.71
0
1.57
3.14
1.57
3.14
Рис. 9.
6.28
этой величины – фаза колебаний говорит само за себя.
Знаем фазу, значит знаем, что происходит. Теперь очевидно, что C  0 - это начальная
фаза колебаний. Наш анализ гармонических колебаний успешно завершен.
Таким образом, особенностью движения материальной точки, которое называется
гармоническим колебанием, является то, что все кинематические характеристики , т.е.
координата положения и проекции скорости и ускорения зависят от времени по
гармоническому закону
x(t )  X m  Sin(t  0 ) ,
7
D:\308830959.doc
vx (t )  X m  Sin (t  0   )  X m  Cos(t  0 ) ,
2
ax (t )   2 X m  Sin (t  0   )   2 X m  Sin (t  0 )
Здесь Xm – амплитуда колебаний, ω - круговая частота колебаний,   t  0 - фаза
колебаний, φ0 - начальная фаза колебаний. Нельзя не заметить, что фаза гармонических
изменений проекции скорости всегда на 1,57 = π/2 больше, чем фаза изменения
координаты, и на 1,57 = π /2 меньше, чем фаза изменений проекции ускорения.
Очевидно также, что величина проекции ускорения прямопропорциональна величине
смещения с обратным знаком
ax (t )   2  x(t )
Это очень существенный момент нашего анализа. Он означает во-первых, что вектор
ускорения
направлен
всегда
в
среднее
положение,
а
во-вторых,
что
вектор
равнодействующей силы направлен так же, а ее величина пропорциональна смещению.
1,5
1
0,5
x(t)
0
v(t)
0
2
4
6
8
10
12
a(t)
-0,5
-1
-1,5
Рис.10.
На рис. 10
представлены примеры зависимостей координаты, проекций скорости и
ускорения для гармонического колебания материальной точки.
8