Тема урока: Решение нестандартных показательных уравнений

Тема урока: Решение нестандартных показательных уравнений.
« Некоторые наиболее часто встречающиеся виды
трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим
исследованиям.»
Л.Эйлер.
Цель урока: рассмотреть использование свойств функций (особенно показательной
функции) при решении нестандартных показательных уравнений, так называемых
трансцендентных уравнений.
Х о д у р о к а.
I. Проверка домашнего задания.
II. Повторение теоретического материала.
Фронтальный опрос учащихся.
1. Какая функция называется показательной?
2. Какими свойствами обладает показательная функция?
3. Какова её область определения?
4. Какова область значений?
5. Какова показательная функция по монотонности?
6. Возрастает или убывает функция:
x
x
x
 52 3 


16
5
 ; г) y   5  2 3  ?
а) y    ; б) y  x ; в) y  


3
10 
10 
3




7. Сформулируйте теорему о корне.
- Повторим методы решения простейших показательных уравнений на
конкретных примерах . Как будете решать уравнения?
1) 4 x  32 ;
2) 3 x 1  3 x 1  14 ;
3) 4 x  5  2 x  6  0 ;
1
3
 1.
4) 5 SINX =- ;
5) 5 SINX
Ш. Изучение нового материала. Решение нестандартных показательных
уравнений.
Решите уравнение:
1) 5 x  3 x  16 (Учитель на доске даёт образец решения уравнения.)
Р е ш е н и е.
Подбором определяем, что х=2 – корень уравнения. ( 5 2  32  16 - верно).
Докажем, что других корней нет.
x
16
5
5  3  16  5  3  16 , так как 3  0, то    1  x .
3
3
x
x
x
x
x
x
16
5
Функция f  x     - возрастающая на R, а функция  x   1  x - убывающая на R.
3
3
ГУО «СОШ №44 им. Н.А. Лебедева», Бучко Татьяна Александровна
x
5
16
Значит, уравнение    1  x имеет единственный корень. Поэтому корней у
3
3
данного уравнения, кроме х=2, нет.
О т в е т: 2.
2) 2 x  3 x  4 x  9 x ( учитель делает только переход к равносильному уравнению, а
затем кто-то из учеников решает на доске, комментируя решение.)
Р е ш е н и е.
1-й способ.
   

2
2
2 x  3x  4 x  9 x  2 x  3x  9 x  4 x  2 x  3x  3x  2 x 
2 x  3 x  3 x  2 x  3 x  2 x  3 x  2 x  1  3 x  2 x  0 , так как 2 x  3 x  0 , то


 

x
x
 2 1
1  3x  2 x  0  1  2 x  3x        1 .
 3 3
В левой части уравнения убывающая функция ( как сумма двух убывающих
функций, поэтому, если уравнение имеет корень, то он единственный). Очевидно,
что х=1, так как
2 1
  1.
3 3
О т в е т: 1.
2 способ.
x
x
x
 2 1  4
2  3  4  9           1 , так как
 9  3  9 
x
x
x
x
9x  0 .
В левой части уравнения убывающая функция ( как сумма трёх убывающих
показательных функций). Тогда по теореме о корне- уравнение имеет единственный
корень. А поэтому единственный корень имеет и равносильное ему данное
уравнение.
2 x  3 x  4 x  9 x . Нетрудно видеть, что х=1 – корень ( 21  31  41  91 - верно) .
О т в е т: 1.
x
3)  5  2 3    5  2 3    10  .
x


x


Р е ш е н и е. ( Один из учащихся решает на доске.)
 10 x  0 ,разделим обе части уравнения на  10 x , тогда
x
x
 52 3   52 3 

 
  1 . *

 

10
10

 

0
52 3
1 и 0 
10
52 3
 1.
10
В левой части уравнении (*)- сумма двух убывающих функций есть функция
убывающая. А поэтому, если уравнение (*) имеет корень, то он единственный.
x
х=2
x
 52 3   52 3 

 
  5  2 3  5  2 3  1.

10  
10 
10
10

 

О т в е т: 2.
ГУО «СОШ №44 им. Н.А. Лебедева», Бучко Татьяна Александровна
3)* 5  2 6   5  2 6   10
4) 4 x  x  13  2 x  2 x  22  0.
Решение
Обозначим 2 x  y , тогда 4 x  2 2 x  y 2 и получим квадратное относительно У
уравнение.
x
x
y 2  x  13  y  2 x  22  0
D  x  13  4  1   2 x  22  x 2  26 x  169  8 x  88  x 2  18 x  81  x  9 .
 x  13  x  9
 x  13  x  9
 x  13  x  9
y1, 2 
; y1 
 2; y 2 
 11  x
2
2
2
2
2
Итак, имеем 2 x  2, или 2 x  11  x .
2 x  2, x  1
2 x  11  x.
В левой части уравнения - возрастающая функция, а в правой – убывающая.
Уравнение не может иметь более одного корня.
х=3 ( 23=11–3 – верно).
О т в е т : 1; 3.
5) 6 x  x 2  5 3  5 2 sin x1  2  5sin x1  0,2  0
5
x 1
x
4
6) 2  16  0,25
IV. Самостоятельная работа по выбору.
За 10 мин решить два ( из трёх) уравнения:
2x
1) 12 x   5   13 x ,
x
x
2)  9  4 5    9  4 5   18 ,


2 x 2 1


 x 1 x 5 
8 x 1
3
 23
 0.
3) 3
За доской приготовлены решения этих уравнений ( для сличения после 10 мин).
1)Р е ш е н и е.
x
x
 12   5 
13  0,       1 .
 13   13 
x
x
x
 12 
5
f x     и   x     - убывающие функции на R, сумма двух убывающих
 13 
 13 
x
x
12
5
функций есть функция убывающая, поэтому уравнение       1 имеет
 13 
 13 
единственный корень х=2.
  12  2  5  2 144  25

     
 1 .
  13   13 

169


О т в е т : 2.
2) Р е ш е н и е.
9  4 5  9  4 5  
81  16  5  1.
ГУО «СОШ №44 им. Н.А. Лебедева», Бучко Татьяна Александровна
1
94 5 
94 5
.
x
1
Пусть  9  4 5   y , тогда y   18


y
y  18 y  1  0;
D
 9 2  1  80 ,
4
94 5
y1, 2 
 9  4 5.
1
y0
2
x
y1  9  4 5 ; y 2  9  4 5 ;
x
 9  4 5   9  4 5 , или  9  4 5   9  4 5 ,




x
9  4 5   9  4 5  ,
1
 9  4 5  2 
,


94 5
x
 1,
2
9  4 5   9  4 5 
x
2
1
x
2
1
,
x
 1; x  2
2
x2
О т в е т : 2; -2.
3) Р е ш е н и е.
38 x 1  0 , разделим обе части уравнения на 38 x 1
32 x
2
1
 3 x 1) x 5  2  38 x 1  0  32 x
Пусть 3
2
18 x 1
 3 x 1 x 58 x 1  2  0  32 x
2
8 x  7
 3x
2
 4 x 3
 2  0.
 t , t  0 , тогда уравнение примет вид:
2
3t 2  t  2  0, D  1  24  25, t1  1, t 2    0.
3
2
t  1, 3 x 4 x3  1, x 2  4 x  3  0, x1  1; x2  3.
x 2  4 x 3
О т в е т : 1; 3.
V. Подведение итога урока.
Мы рассмотрели примеры решений трансцендентных уравнений.
Задание на дом.
Решить уравнения: №27,29,33 (на листочке).
ГУО «СОШ №44 им. Н.А. Лебедева», Бучко Татьяна Александровна