(DOCX, 267KB)

Задачи с параметром
1. Задача.(9 класс)
При каких значениях параметра a уравнение
(a - 1)x2 + 2x + a - 1 = 0
имеет ровно один корень?
Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a  1,
то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях
параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая
дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a
4a2 - 8a = 0,
откуда a = 0 или a = 2.
Ответ: уравнение имеет единственный корень при a  {0; 1; 2}. ФЯ\Ый
2. Задача.
Найти все значения параметра a, при которых имеет два различных корня уравнение
x2+4ax+8a+3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x2+4ax+8a+3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a24(8a+3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a2-8a-3 > 0, откуда
a<1–
7
или
a>1+
2
7
2
2. Ответ:
a  (-; 1 –
7
)  (1 +
2
7
; ).
2
3. Задача.
Известно, что
f2(x) = 6x-x2-6.
а) Постройте график функции f1(x) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f1(x) и f2(x) имеют единственную общую точку?
Решение.
3.а. Преобразуем f1(x) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx+b и y = ax2+bx+c (a  0) пересекаются в
единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx+b = ax2+bx+c имеет
единственный корень. Используя представление f1 из 3.а, приравняем дискриминант
уравнения a = 6x-x2-6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое
с уравнением 2x-a = 6x-x2-6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра
удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a= 3.
4. Задача.
Найти все значения a, при которых множество решений неравенства x2-2ax-3a  0 содержит
отрезок [3;6].
Решение.
Первая координата вершины параболы f(x) = x2-2ax-3a равна x0 = a. Из свойств квадратичной
функции условие f(x) 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем
 a  3,
 3 < a < 6,
 a  6,



 f(3) = 9-9a  0,  D = 4a2+12a  0,  f(6) = 36-15a  0.
Решением первой системы является множество (-,1]. Вторая и третья система решений не
имеют.
Ответ: a  (-,1].
5. Задача (9 кл.)
При каком наименьшем натуральном значении a уравнение
x2+2ax-3a+7 = 2x
имеет ровно два решения?
Решение.
Перепишем это уравнение в виде x2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет
ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант,
получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a2+a-6 >
0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в
натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.
Ответ: 3.
6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a, при которых график функции
x2+ax+2
f(x) =
a-1
проходит через точку с координатами (-1;1).
Решение.
Из условия f(-1) = 1 имеем уравнение
1=
1+-a+2
,
a-1
или, после очевидных преобразований, a-2 = 2-a. Последнее уравнение равносильно
неравенству a  2.
Ответ: a  [2;).
7. Задача (10 кл.)
При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения
x2-2ax+a2-a = 0
больше чем 12?
Решение.
Дискриминант уравнения x2-2ax+a2-a = 0 равен 4a. Поэтому действительные корни этого
уравнения существуют, если a  0. Применяя к данному уравнению теорему Виета
получаем x1+x2 = 2a и x1·x2 = a2-a. Отсюда x12+x22 = (x1+x2)2-2x1·x2 = 2a2+2a. Решениями
неравенства 2a2+2a > 12, удовлетворяющими условию a  0, являются числа a> 2.
Ответ: a > 2.
8.Задача.
Решить уравнение
Решение. Рассмотрим функции
.
и
.
При
нет решений;
при
и
при
при
два решения;
- четыре решения;
- три решения.
Ответ:
при
нет решений;
при
и
при
при
9.Задача.Найти все значения , при которых корни
уравнения
положительны.
Решение.
Контрольная точка
1.
.
2.
, т.к. меняет суть уравнения.
;
два решения;
- четыре решения;
- три решения.
Получим
.
Ответ:
9.Задача. Найти все значения , при каждом из которых уравнение
имеет ровно два корня. Если таких значений
больше одного, в ответе укажите их произведение.
Решение.
Разложим квадратный трехчлен
на множители.
;
;
;
Получим
.
Это уравнение равносильно совокупности
Поэтому данное уравнение имеет ровно два корня, если
Отсюда находим, что искомыми значениями
.
Ответ: -5.
являются
и
10.задача. Найдите все значения параметра
,при каждом из которых
имеет единственное решение.
уравнение
Решение.
Будем решать задачу графическим способом. Оставим корень слева, а все остальное
перенесем вправо. Представим наше уравнение в виде системы
Построим график каждой функции и найдем, при каком значении параметра графики
имеют единственную точку пересечения.
Первая функция:
Вынесем
за скобку:
График этой функции представляет из себя семейство прямых, которые имеют
различный коэффициент наклона и общую точку с координатами (2;3):
Вторая функция:
Преобразуем выражение под корнем – выделим полный квадрат:
График функции
точке (-4;0) и радиусом 3.
представляет из себя полуокружность с центром в
Определим, при каком коэффициенте наклона прямая имеет с полуокружностью одну
точку пересечения:
Мы видим, что прямые, заключенные между прямыми
полуокружностью одну общую точку. Прямая
прямая
– две. Прямая
и
имеют с
имеет одну общую точку, а
также имеет с полуокружностью одну общую точку.
Найдем коэффициенты наклона этих прямых. Для этого мы рассмотрим соответствующие
прямоугольные треугольники:
Коэффициент наклона прямой
равен 1.
Коэффициент наклона прямой
равен 3/9=1/3.
Коэффициент наклона прямой
равен нулю.
Итак, прямая и полуокружность имеют одну общую точку, если
и
.
Умножим первое неравенство на -1 и получим
Ответ:
11.Задача.
Найдите все значения параметра, при которых система имеет единственное решение:
Решение( графически):
Так как параметр присутствует в системе одном единственном экземпляре, то это означает,
что одна из линий остается фиксированной независимо от параметра, а другая меняется в
зависимости от него. Искомый параметр – это то значение числа a, при котором две линии
пересекаются в одной точке. Сразу отметим, что задачу достаточно решить для
положительных значений параметра и добавить к нему еще и противоположные числа.
Несложно построить фигуру
окружностей радиуса 3.
– она представляет собой пару
Графиком второго уравнения будет окружность с меняющимся радиусом «a», при
увеличении которого она увеличивается в размере. как показано на рисунке, указывая
изменение размера окружности
в направлении зеленой стрелки.
Сами окружности отмечены зелеными номерами в порядке роста радиуса. При его малых
значениях (n=1) общих точек с фигурой (|x|-5)2+(y-3) 2=9 нет. В положении n=2 происходит
касание правой окружности, но еще нет общих точек с левой.
Отдельное исследование количества точек пересечения с каждой окружностью.
Снимем с рисунка левую окружность и найдем «a», при которых
правой 1 и 2 точки пересечения.
имеет с
Касание внешним образом происходит, когда расстояние между центрами окружностей
равно сумме их радиусов, то есть a+3=AB. Отрезок AB=5 легко найти из прямоугольного
треугольника ABC. Тогда a=AK=5-3=2. Касание внутренним образом (с окружность №4)
возможно, когда расстояние между центами AB равно разности радиусов. Отсюда
a=AB+BD=8.
Если 2 < a < 8, то окружности будут иметь две точки пересечения, а если параметр не
попадает в отрезок [a;b], то пересечений нет.
Аналогично можно разобраться и с левой. Рассуждая также, получим:
при
– касание,
при
– 2 точки
при
– нет точек.
на рисунке:
Понятно, что все параметры, попадающие под линии дают как минимум 2 общие. Осталось
подсказать, что единственность достигается на концах отрезка
Для финального ответа важно не забыть указать еще и отрицательные значения параметра.
Ответ:
12.Задача.При каких значениях параметра a система неравенств
{
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑎)2 ≤ 𝑎2
2𝑦 − 𝑥 ≥ 4
имеет хотя бы одно решение?
Решение. Геометрическое место точек F1 плоскости Oxy, координаты которых
удовлетворяют первому неравенству системы, есть круг с центром M (a;a) и радиусом 𝑟 =
|𝑎|.
Геометрическое место точек 𝐹2 плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют второму
неравенству системы, представляет верхнюю полуплоскость с границей –𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0 (см.
При 𝑎 = 0 система неравенств
{
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 0
2𝑦 − 𝑥 ≥ 4
не имеет решений.
С увеличением значения |𝑎| радиус круга увеличивается, причем круг перемещается вверх
при a > 0, вниз при a < 0.
Данная система неравенств будет иметь хотя бы одно решение, если множества 𝐹1 и 𝐹2 будут
иметь хотя бы одну общую точку. При увеличении радиуса при некоторых значениях 𝑎1 < 0
и 𝑎2 > 0 круг коснется прямой − 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0, а при дальнейшем увеличении |𝑎|
множества 𝐹1 и 𝐹2 будут иметь общие точки.
Используя формулу расстояния от точки 𝑀 (𝑎; 𝑎) до прямой 𝑙, заданной уравнением
− 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0, получим:
𝜌(𝑀, 𝑙) =
| − 𝑎 + 2𝑎 − 4|
√(−1)2 + 22
=
|𝑎 − 4|
√5
Значения параметра 𝑎, при которых произойдет касание, находим из уравнения 𝜌(𝑀, 𝑙) = |𝑎|
или |𝑎 − 4| = √5 |𝑎|.
Отсюда получаем два решения 𝑎1 = −1 − √5 и 𝑎2 = −1 + √5. Соответственно, условию
задачи удовлетворяют все 𝑎 такие, что 𝑎 ∈ (-∞; −1 − √5] ∪ [−1 + √5; +∞).
Ответ. (-∞; −1 − √5] ∪ [−1 + √5; +∞).
Замечание. Значения параметра 𝑎, при которых произойдет касание, можно было найти,
подставив 𝑦 = 0,5𝑥 + 2 в уравнение окружности (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑎)2 = 𝑎2 , а затем
поставить условие равенства нулю дискриминанта.