Чугунный короткий, поперечное сечение которого изображено

Методическое руководство
Задание 11
Внецентренное сжатие
Работа 11
Чугунный короткий, поперечное сечение которого изображено ниже (рис.11)
сжимается продольной силой F, приложенной в точке А.
Требуется:
1) определить главные моменты инерции;
2) вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее
напряжения в поперечном сечении, выразив эти напряжения через F и
размеры сечения;
3) найти допускаемую нагрузку F при заданных размерах сечения и
допускаемых для чугуна на сжатие Surve и на растяжение Tõmme ;
4) Построить ядро сечения. Данные взять из таблицы 11.
Таблица 11
Схема по
последней цифре
матрикула
Исходные данные по
предпоследней цифре
матрикула
а
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
6
2
3
4
5
6
2
3
4
5
в
Surve
cm
Tõmme
MPa
6
2
3
4
5
6
2
3
4
5
110
120
130
140
150
60
70
80
90
100
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Методическое руководство
I
Задание 11
А
2b
b
b
2b
b
II
a
b
А
А
a
IV
А
b
III
a
a
a
b
b
2b
2b
a
a
a
a
a
a
a
a
VI
2a
А
2b
b
V
a
b
А
b
a
VIII
2b
2b
А
b
b
А
a
b
VII
a
a
X
а
IX
a
а
2a
А
А
a
a
a
Рис.11
b
a
Методическое руководство
Пример решения:
b
Дано:
а = 5 сm
в = 6 сm
Surve = 140 МPа
Tõmme = 25 МPа
b
Задание 11
А
a
a
1) Определяем главные моменты инерции
C
C2
z1
3,3
2
6
C1
6
а) Находим центр тяжести сечения (размеры в сm)
5
4,7
3
1,7
z
z2

5
C  0
A   A2 2C
 C  1 1C
A1  A2
где
1
10  6  6  2  10  6  3
C  2
 4,7 сm
1
10  6  10  6
2
А1 - площадь трегольника, А2 - площадь прямоугольника
1C ,  2C - их координаты центра тяжести.
б) Главные моменты инерции
I z  I z1  I z2 
10  63
1
 3,32  10  6  387 сm4
36
2
3
10  6
I z2   I z 2  1,7 2  A2 
 1,7 2 10  6  353 сm4
12
I z  387  353  740 см4
I z1  I z1  2,8 2  A1 
I y  I y1  I y2 
Методическое руководство
Задание 11
6 10
 0  125 сm4
48
6 103
I y2   I y 2  0 
 0  500 сm4
12
I z  125  500  625 см4
3
I y1  I y1  0 
2) Напряжения в поперечном сечении.
Находим наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения. Для этого
определяем положение нейтральной линии.
y
В(0; 7,3)
От изгиба относительно оси z
x > 0 в 1 и 2 четвертях,
а в 3 и 4 x < 0.
6
n
N2
y0
5
z0
В
N1
I
4,7
6
C
n
z
nulljoon
5
А(-5; -4,7)
От изгиба относительно оси у
x > 0 в 1 и 4 четвертях,
а в 2 и 3 x < 0,
от продольного сжатия во всех
четвертях x < 0 (эти знаки в
кружочках).
n
I
А
Напряжения в любой точке сечения
My
F M
x   z y 
z
A Iz
Iy
где
M z  F  y p - изгибающий момент относительно оси z, а уp координата
точки приложения осевой силы относительно главной оси.
M y  F  z p - изгибающий момент относительно оси у, а zp координата
точки приложения осевой силы относительно главной оси.
Уравнение нейтральной линии получим из условия, что х = 0, тогда
My
Iy
z
Mz
F
y
Iz
A
z
y
F
My  Mz  
Iy
Iz
A
z
y
F
F zp 
F  yp  
Iy
Iz
A
zF  zp  A yF  yp  A


1
Iy F
Iz  F
делим на 
F
A
Методическое руководство
i y2 
Iy
Iz
- радиусы инерции поперечного сечения
A
и iz2 
A
обозначим
Задание 11
z0  
i 2y
zp
; y0  
i z2
- отрезки отсекаемые нейтральной линией на
yp
координатных осях z и y и уравнение нейтральной линии
z
y

1
z0 y0
Учитывая исходные данные имеем
Iy
625
 6,94 сm2
A 90
I
740
iz2  z 
 8,22 сm2
A 90
i y2 
Тогда

1
A  10  6  6 10  90 сm2
2
i 2y
6,94
z0  

 1,39 сm
zp
5
i z2
8,22
y0  

 1,75 сm
zp
 4,7
откладывая на осях z и y соответственно отрезки
z0  1,39 сm и y0  1,75 сm, получим нейтральную линию.
Проведя касательные к поперечному сечению параллельно нейтральной
линии, получим точки А и В, как наиболее удаленные от нейтральной линии.
Наибольшее растягивающее напряжение в точке В(0; 7,3)
 Bmax  
F F  yP  yB F  z p  zB
F F  4,7  7,3 F  5  0


 


A
Iz
Iy
90
740
625
H
H
 1 4,7  7,3 
 F

 350 2  350 F Pа
  0,035 F
2
740 
cm
м
 90
Наибольшее сжимающее напряжение А(-5; -4,7)
 Amax
F F  y p  yA F  z p  zA
F F  4,7   4,7 F  5   5
 





A
Iz
Iy
90
740
625
 0,081  F
H
сm 2
 810 F
H
m2
 810 F Pа
Методическое руководство
Задание 11
3) Находим допускаемую силу из условия прочности
Surve=140 Мpа, Tõmme=25 МPа
F    Surve   140  10
 Amax  810F    C 
 Bmax
810
810
6
 172840 N ≤172,8 kN

 Tõmme  25  10 6
F  

 71429 N≤ 71,4 kN
 
 350F    p
350
Принимаем допускаемую силу
350
F   71,4 kN.
4) Построение ядра сечения
Ядром сечения называется область поперечного сечения, очерченная вокруг
центра тяжести и характерная тем, что продольная сила, приложенная в этой
области, вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения одного
знака. Чтобы построить ядро сечения, необходимо рассмотреть всевозможные
положения касательных к контуру
сечения и, предполагая, что эти
касательные представляют собой нейтральные линии, найти по отношению к
главным осям сечения соответствующие координаты граничных точек ядра
сечения, а затем по этим точкам очертить само ядро.
Другими словами решаем обратную задачу, находим координаты точки
приложения силы F при заданных отрезках, отсекаемых нейтральной линией
на осях координат.
Исходя из уравнения нейтральной линии
z
y

1
z0 y0
где
z0  
i 2y
zp
; y0  
i z2
yp
откуда координаты точки приложения силы F, определятся
zp  
i 2y
z0
и
i2
yp   z .
y0
y
7,3
6
Для данного примера имеем (размеры в сm)
(0;1,75)
 6,94 сm
2
4,7
i z2  8,22 сm2
(-1,39;0)
(1,39;0)
6
i y2
(-1,14;1,13)
5
(1,14;-1,13)
5
z
Методическое руководство
Задание 11
Надо рассмотреть пять положений касательных к контуру сечения

y0  7,3 сm z0  6,083 сm где
значение z 0 найдем из пропорции
I
y
5  y0 5  7,3

 6,083 сm
5
6
6
и координата z0  6,083 сm
y0
6
z0
zP
yP
I

z0 
i 2y
z0

6,94
 1,14 сm
 6,083
i z2
8,22
yp  

 1,13 сm
y0
7,3
A(1,14;-1,13)
5

y0
6
zp  
z
z0

z0  6,083 сm
y0  7,3 сm
II
y
y0
zp  
i 2y
z0

6,94
 1,14 сm
6,083
i2
8,22
yp   z  
 1,13 сm
y0
7,3
z
z0
II

y
y0  
z 0  5 см
III
zp  
z
z0
III
i 2y
z0

6,94
 1,39 сm
5
i z2
8,22
yp  

0
y0

Методическое руководство

Задание 11
y0  4,7 сm
z0  
y
zp  
i 2y
z0

6,94
0

i2
8,22
yp   z  
 1,75 сm
y0
 4,7
z
y0
IV
IV
Ядро сечения имеет очертания пятиугольника, также как и очертание контура
поперечного сечения.

y0  
z0  5 сm
y
V
zp  
i 2y
z0

6,94
 1,39 сm
5
i2
8,22
yp   z  
0
y0

z
z0
V
NB! Если поперечное сечение имеет оси симметрии, то и ядро сечения
симметрично и можно определять меньшее число его вершин.
В случае, если контур поперечного сечения имеет внутренние углы.
III
тавр
двутавр
С
I
А
III
В
II
I
Методическое руководство
Задание 11
то число сторон у ядра сечения не совпадает с числом сторон у самого
сечения. Это объясняется тем, что нейтральную линию нельзя совместить с
ребром АВ и ВС, так как в этом случае она не будет касательной к контуру
сечения, а будет его пересекать. Поэтому надо проводить нейтральную линию
через А и В (III-III).
Рекомендации при построении ядра сечения в таких случаях:
а)
I
III
II
II
IV
VI
ядро сечения имеет вид шестиугольника
III
V
I
V
VI
IV
в) IV
II
I
I
ядро сечения имеет вид ромба
III
III
II
IV
с) круг симметричен относительно центра, поэтому достаточно рассмотреть
любое положение касательной и
I
z0
ядро сечения будет иметь вид круга
с радиусом r.
r
z0   R  
i y2
d
2
 d4 4
d2
d
r 



2
z0
A z 0
 d 8
64    d  z0
16    
Iy
 2
I
R
R